掌握列一元一次方程解应用题的方法
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一元一次方程解应用题学习要求：掌握列一元一次方程解应用题的方法（1）记住列方程解应用题的步骤（2）会找出简单应用题中的已知数，未知数和表示应用题的一个相等关系（3）会根据题目中的数量关系恰当地设未知数学习重点：列一元一次方程解应用题学习难点：找准等量关系（特别是找隐含的等量关系）和布列方程列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。
因此我们要努力学好这部分知识。
一、列方程解应用题的主要步骤：1、认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；2、用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；3、利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；4、求出所列方程的解；5、检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。
二、对常见应用题的解法分析1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
第一阶梯例1、A、B两站相距200千米，慢车以每小时36千米的速度从A站开往B站，出发1小时后，快车以每小时46千米的速度从B站到A站，快车开出几小时后，与慢车相遇？提示：本题属于行程问题，行程问题主要是路程、时间、速度之间的关系。
即路程=速度×时间，而行程问题中的相向行进相遇问题又应是甲走的路程+乙走的路程=总路程。
如图：参考答案：解设快车开出x小时后，与慢车相遇36x + 36×1 + 46x = 20082x = 200 - 3682x = 164x = 2答：快车开出2小时后与慢车相遇说明：解应用题时，要尽可能利用图形，这样有助于分析问题，如上图。
慢车走的路程+快车走的路程=全程，这样有助于列方程，另外如单位不统一时要注意统一单位。
例2、一队学生去校外参加劳动，以4千米／时的速度步行前往，走了半小时，学校有紧急通知要传给队长，通讯员骑自行车以14千米／时的速度按原路追上去，通讯员要多少分钟才能追上队伍。
提示：由于通讯员从学校出发按原路追上去，所以与学生是同向而行，于是有这样一个相等关系式：通讯员行进路程=学生行进路程。
说明：此题是行程问题中的追及问题，要注意是同向而行，学生与通讯员走的路程一样多，利用等量关系方程，要注意统一单位。
例3、有一艘轮船在A、B两地间航行，顺流而下需要3小时，逆流而归需要5小时，已知水流速是每小时2千米，求A、B两地距离。
参考答案：说明：此题利用了静水速，水流速和船速三者之间的关系来列方程解有关航行问题，可以直接设距离，也可以设静水再求距离。
说明：此题为调动问题，要注意调动前与调动后的人数的变化是增加还是减少，以此来列方程，找等量关系。
例5、一项工作A做40天完成，B做50天完成，先由A做若干天后离去，再由B做，共做46天完成，问A、B两人各做几天？提示:说明：把总工作量看成整体"1"，那么工作效率为，这样再根据题目要求找出关系式，列出方程。
例6、一个两位数，它的十位数比个位数小3，十位上数字与个位上数字和等于这两位数的，求这个两位数提示：用代数式表示两位数要特别注意它的表示法，如十位上的数字是a，则其表示数值是10a，个位上的数字是b，则其表示数值为b，那么这两位数为10a + b，不应是ab。
参考答案：解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为x - 3，这个两位数应为10（x-3）+x，十位上的数字与个位上的数字和为（x-3）+x说明：解此题时要注意新数与原数的变化及它们之间的倍分关系。
列方程解应用题方法：1.弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数。
2.找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
3.根据这个相等关系列出所需要的方程。
4.解这个方程，求出未知数。
5.写出答案（包括单位名称）。
例7、运动场的跑道一圈长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑490米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米，两个人从某处同时同向出发，经过多少分钟两个首次相遇？提示：本题是行程问题中的同向运动问题，这类问题往往以路程差作为等量关系，由题意我们画一个示意图：假设甲、乙二人两人同时从A处出发，经过x分钟后，两人首次在B处相遇，由图示易发现，相遇时甲比乙多走一圈，即400米（不管他们各自走多少圈）参考答案：解设甲、乙二人经过x分钟后首次相遇，这时甲、乙二人各走了490x米和250x米。
490x - 250x = 400240x = 400答：经过分钟后两人首次相遇。
说明：行程问题分为两大类即同向而行，相向而行，解此类问题要结合题意画示意图，以便帮助我们直观，形象地理解题意。
第二阶段例8、一个三位数，它的百位上的数比十位上的数2倍大1，个位上的数比十位上数的3倍小1，如果这个三位数的百位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原数。
提示：如果直接设这个三位数为x，方程很难列出，通过分析可知，设十位上数为x，然后用译式法表示百位上的数，个位上的数，所求三位数和新三位数，从"新三位数比原三位数大99"为等量关系列出方程。
参考答案：解设原来的三位数上十位数为x，百位数上为2x + 1，个位上数为3x-1说明：解有关数字问题，作为多位数，若调换某两位上的数，则数位上的数字动，而位数不变。
例9、小李乘自动扶梯下楼，他以每一步一级的速度下行，结果走了50步，到楼下接着他又以下楼时的速度5倍（仍是一步一级）冲上楼梯，结果走了125步才到达楼上，请问扶梯停下时，他看见扶梯一共有多少级？提示：仔细审题，会发现如果了解小李下楼时每下行一级，自动扶梯降了多少级，也就是速度比，则问题就迎刃而解了。
参考答案：设下行时，人每走一步，扶梯下降x级。
说明：本题与船在水中航行，飞机在空中飞行，运动员在有风的运动场上跑步一样：在他们（它们）运动中，这些扶梯或风有时推动他们（它们），帮了忙，有时却产生了阻力作用，这样运动过程中实际速度不是自身速度，而是两种速度的合成。
例10、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？分析：相等关系是：今年捐款=去年捐款×2+1000。
解：设去年为灾区捐款x元，由题意得，2x+1000=250002x=24000∴ x=12000答：去年例11、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？分析：等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。
解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%去分母整理得，9x+20=5x+6x∴ 2x=20∴ x=10答：油箱里原有汽油10公斤。
2、等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。
例12、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？分析：等量关系为：机轴的体积和=钢坯的体积。
解：设可足够锻造x根机轴，由题意得，π( )2×3x=π( )2×30解这个方程得x=x= ×10× = =40答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。
3、劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有（1）既有调入又有调出。
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例13、有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？分析：此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。
等量关系为：乙队调出后人数= 甲队调入后人数。
解：设应从乙队调x人到甲队，由题意得，183-x= (285+x)解这个方程，285+x=549-3x4x=264∴ x=66答：应从乙队调66人到甲队。
例14、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？分析：此问题中只有调出，没有调入。
等量关系为：甲队调出后人数=2×乙队调出后人数。
解：设应从甲队抽出x人，则应从乙队抽出(116-x)人，由题意得，188-x=2[138-(116-x)]解这个方程188-x=2(138-116+x)188-x=44+2x3x=144∴ x=48116-x=116-48=68答：应从甲队抽出48人，从乙队抽出68人。
第三阶段例15、李明今年8岁，父亲是32岁，问几年以后父亲的年龄为李明的3倍。
分析：此问题中只有调入，没有调出。
等量关系为：几年后父亲年龄=3×李明几年后的年龄。
解：设 x年后父亲的年龄为李明的3倍，由题意得，32+x=3(8+x)解这个方程：32+x=24+3x2x=8∴ x=4答：4年后父亲的年龄为李明的3倍。
4、比例分配问题：这类问题的一般思路为：设其中一份为x ,利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和=总量。
例16、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？分析：应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。
等量关系为：（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的2倍。
解：设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产×3x件（即 x件），由题意得，4x+ x-12=2×3x解这个方程， =12∴ x=24∴ 4x=4×24=96（件），3x=3×24=72（件），x= ×24=60（件）答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。
5、数字问题：要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
例17、一个2位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个2位数。
