必须要会做作业题
1、（10分）载有电流的I 长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a 。设半圆环以速度 v 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压U M - U N 。
解：动生电动势
⎰⋅⨯=MN
d )v (l
B MeN
ε
为计算简单，可引入一条辅助线MN ，构成闭合回
路MeNM , 闭合回路总电动势
0=+=NM MeN εεε总
MN NM MeN εεε=-= 2分
x x I l B b a b
a MN
d 2v d )v (0MN ⎰⎰⋅+-π-=⨯=με
b a b a I -+π-=ln 20v μ
N
负号表示MN
ε的方向（N →M ） 4分 b a b a I MeN
-+π-=ln
2v 0με方向N →M 2分
b
a b
a I U U MN N M -+π
=
-=-ln
2v
0με 2分
2、（10分）两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d ，其电荷线密度分别为1
λ和2
λ，则场强等
于零的点与直线1相距为多少？
解： （1） 作以带正电直线为中心轴、横截面半径为r 、高为l 的封闭圆柱形高斯面。由高斯定理
00
εq S d E s
=
∙⎰⎰ 得：
02ελπl l r E =⨯⨯
故无限长均匀带电直线的场强为
5分 （2） 设场强等于零的点与直线1的相距为x ，则
0)
(2202
01=--=x d x E πελπελ
r
E 02πελ=
211λλλ+=
d x 5分
4、（10分）如图，一半径为R 的均匀带电圆环，电荷总量为q 。
（1）求轴线上离环中心O 为x 处的场强E (已知q 、R 、 x)
（2）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？(已知q 、R)
解： （1）设圆环轴线为
x 轴，
2
04r dq
dE πε=
dl
R q
dl dq πλ2==
由于对称性整个圆环在P 点处的电场沿x 方向,
⎰αcos E d E =2122)(cos x R r r
x +==ααππεπcos 2412
20r l d R q E R
⎜⎠⎛=1
qx απεcos 4120r q
=
6分
（2）
4分
5、（10分）如图所示，球形金属腔带电量为Q>0，内半径为a ，外半径为b ，腔内距球心O 为r 处有一点电荷q ，求球心O 的电位。（提示：金属腔内表面带的总电量为q -）
i
x R xq E 2
32
2
0)
(4+=
πε时0=dx
dE
2
R x
=
2
02
32
2
0max 362
(42
R q R R q
R
E E πεπε=
+=
=
解: 金属腔内表面a S 带总电量为q -，由电荷守恒，金属腔外表面b S 带电量为Q q +
2分
∴ 球心电位
0q q Q q
u u u u
-
+=++ ⎰⎰++=b ds
a ds r q
b a 0
00444πεσπεσπε
4分
000444q q
Q q
r a b πεπεπε-+=++
0011144q Q r a b b πεπε⎛⎫=-++
⎪⎝⎭ 4分
6、（10分）如图所示，AB 、CD 为长直导线，BC 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。
解：如题图所示，O 点磁场由AB 、C B
、CD 三部分电流产生．其中
AB
产生01=B 3分
CD 产生
R
I
B 1202μ=
，方向垂直向里
3分
CD 段产生
)
23
1(2)60sin 90(sin 2
4003-πμ=-π
μ=
︒︒R I R I B ， 或)
23
1(2)180cos 150(cos 2
4003-=-=︒
︒
R I R I
B πμπ
μ 方向垂直向里
3分
∴)6
231(203
210π
πμ+-=++=R I B B B B ，方向垂直向里． 1分
7、（10分）如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面。 且导线框的一个边与长直导线平行，它到两长直导线的距离分别为r 1、r 2, 已知两导线中电流都为I=I 0sinωt ，其中I o 和ω为常数，t 为时间。导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势。
解：两个载同向电流的长直导线在如图所示坐标x 处所产生的磁场为
01211()
2B x x r r μπ=+-+ 2分 选顺时针方向为线框回路正方向，则：
111
1
012
(
2r b
r b
r r Ia
dx dx BdS x
x r r μφπ
++==+-+⎰⎰
⎰
3分
01212ln(2Ia r b r b r r μπ++=⋅） 2分
