【附加15套高考模拟试卷】广东省龙川县第一中学2020届高三第一次月考考试数学理含答案

广东省广州市2020届高中毕业班综合测试（一）数学【文】试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面直角坐标系中，»»»¼,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．»ABB ．»CDC ．»EF D ．¼GH2．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2267A A B ．3247A A C ．322367A A A D ．362467A A A3．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从人中抽取人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为( ) A ．B ．C ．D ．4．如图，1F ，2F 是双曲线2221(0)24x y a a -=>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．8B ．82．83．165．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ）A ．2030x ≤≤B ．2045x ≤≤C ．1530x ≤≤D ．1545x ≤≤ 6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切8．若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，e] B ．（﹣∞，2] C ．（0，2]D ．（0，e]9．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．2 B ．14-C ．36-D ．33-10．已知函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，则满足22(23)()5tf x x f x -+-<+的x 的取值范围（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1]C ．2]D ．2⎡⎤⎣⎦ 11．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．ln (),()xf x eg x x ==B ．24(),()22x f x g x x x -==-+C ．sin 2(),()sin 2cos xf xg x x x ==D ．2()||,()f x x g x x ==12．已知集合{|0}A x x =>，2{|log (31)2}B x x =-<，则（ ） A ．(0,)A B ⋃=+∞B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦IC ．A B R ⋃=D ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学冲刺卷（一）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时90分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、考场号和座位号写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2,0,1,2A =-，{}21B x x =-≤≤∣，则A B = （）A.{}2- B.{}1 C.{}2,0,1- D.{}0,1,22.已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α等于（）A.2B.2- C.12-D.123.下列函数中是减函数且值域为R 的是（）A.1()f x x=B.1()f x x x=-C.()ln f x x= D.3()f x x=-4.不等式22150x x -++≤的解集为（）A.532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B.52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C.532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D.{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭5.化简：AB OC OB +-=（）A.BAB.CAC.CBD.AC6.方程()234xf x x =+-的零点所在的区间为（）A.()1,0- B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.41,3⎛⎫⎪⎝⎭7.已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A.π6B.π3C.2π3D.608.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件9.要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位10.已知两条直线l ，m 与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A.若//l α，l m ⊥，则m α⊥ B.若//αβ，//m α，则//m βC .若//l α，//m α，则//l mD.若l α⊥，l //β，则αβ⊥11.已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f -=（）A.-2B.-1C.1D.212.已知37log 2a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，135log c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a b c>> B.a c b >>C.b a c>> D.c b a>>二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13.已知i 是虚数单位，则复数4i1i-+的虚部为__________.14.函数51x y a -=+且（(0a >且1a ≠）的图象必经过定点______________．15.如果函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为___________.16.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为_____．17.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___件.18.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，()22xf x =-，则不等式()2f x ≤的解集是_______；三、解答题（本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.）19.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，已知46,5,cos 5a b A ===-（1）求角B 的大小；（2）求三角形ABC 的面积.20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，⋅⋅⋅，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.21.某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为2.6公里，收费10元；若超过2.6公里的，每公里按2.4元收费.（1）设A 地到B 地的路程为4.1公里，若搭乘出租车从A 地到B 地，需要付费多少？（2）若某乘客搭乘出租车共付费16元，则该出租车共行驶了多少公里？22.如图，在三棱锥V-ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ,VAB 为等边三角形，AC BC ⊥,且,O,M 分别为AB,VA 的中点.(1)求证：VB //平面MOC ；(2)求三棱锥V-ABC 的体积.2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学冲刺卷（一）答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,0,1,2A =-，{}21B x x =-≤≤∣，则A B = （）A.{}2- B.{}1 C.{}2,0,1- D.{}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】解：因为{}2,0,1,2A =-，{}21B xx =-≤≤∣，所以A B = {}2,0,1-故选：C2.已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α等于（）A.2 B.2- C.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】由正切函数的定义计算．【详解】由题意2tan 21α==--．故选：B ．3.下列函数中是减函数且值域为R 的是（）A.1()f x x= B.1()f x x x=-C.()ln f x x= D.3()f x x=-【答案】D 【解析】【分析】由幂函数及对数函数的图象与性质即可求解.【详解】解：对A ：函数()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞，故选项A 错误；对B ：函数()f x 为(),0∞-和()0,∞+上的增函数，故选项B 错误；对C ：函数()ln ,0()ln ln ,0x x f x x x x >⎧==⎨-<⎩，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，故选项C 错误；对D ：由幂函数的性质知()f x 为减函数且值域为R ，故选项D 正确；故选：D.4.不等式22150x x -++≤的解集为（）A .532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C.532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎩⎭D.{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；【详解】解：依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥故选：B ．5.化简：AB OC OB +-=（）A.BAB.CAC.CBD.AC【答案】D 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得()AB OC OB AB OC OB AB BC AC +-=+-=+=.故选：D.6.方程()234xf x x =+-的零点所在的区间为（）A.()1,0- B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.41,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数2x y =、34y x =-均为R 上的增函数，故函数()f x 在R 上也为增函数，因为()10f -<，()00f <，15022f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110f =>，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7.已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A.π6B.π3C.2π3D.60【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知π603=，由扇形弧长公式可得ππ133l =⨯=.故选：B8.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这2个事件外，还有事件“丙分得红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案．【详解】根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件；故选：B ．【点睛】本题考查对立事件与互斥事件的概念，要注意对立一定互斥，但互斥不一定对立，属于基础题.9.要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象A.向左平移12π个单位B.向右平移12π个单位C.向左平移3π个单位D .向右平移3π个单位【答案】B 【解析】【详解】因为函数sin 4sin[4(312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位．本题选择B 选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．10.已知两条直线l ，m 与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A.若//l α，l m ⊥，则m α⊥B.若//αβ，//m α，则//m βC.若//l α，//m α，则//l mD.若l α⊥，l //β，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】A.利用线面的位置关系判断；B.利用线面的位置关系判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.由l //β，过l 作平面γ，有m γβ= ，利用线面平行的性质定理得到得到//l m ，再利用面面垂直的判定定理判断.【详解】A.若//l α，l m ⊥，则//,m m αα⊂或,m α相交，故错误；B.若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故错误；C.若//l α，//m α，则//l m ，l ，m 相交或异面，故错误；D.若l //β，过l 作平面γ，有m γβ= ，则//l m ，因为l α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，则αβ⊥，故正确.故选：D11.已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f -=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】先根据分段函数求出()2f -，再根据分段函数，即可求出结果.【详解】因为()21224f --==，所以()()12112log 244f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭.故选：D.12.已知37log 2a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，135log c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a b c >> B.a c b>> C.b a c>> D.c b a>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为337log log 312a =>=，13110144b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133log 5log 10c =<=，因此，a b c >>.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.已知i 是虚数单位，则复数4i1i-+的虚部为__________.【答案】2-【解析】【分析】先把复数化简为22i --，再根据虚部定义得出即可.【详解】()()()()224i 1i 4i 1i 4i4i 4i =22i 1i 1i 1i 1i 2------===--++--,则复数的虚部为2-.故答案为:2-.14.函数51x y a -=+且（(0a >且1a ≠）的图象必经过定点______________．【答案】(5,2)【解析】【分析】由指数函数的性质分析定点【详解】令50x -=，得5x =，此时2y =故过定点(5,2)15.如果函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为______________.【答案】4【解析】【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】2T πω=，∴2242Tππωπ===.故答案为：4.16.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为_____．【答案】48π.【解析】【分析】先由球的表面积为48π求出球的半径，然后由圆柱的侧面积公式算出即可【详解】因为球的表面积24π48πS R ==所以R所以圆柱的底面直径与高都为所以圆柱的侧面积：2π⨯故答案为：48π【点睛】本题考查的是空间几何体表面积的算法，较简单.17.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.【答案】18【解析】【详解】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．18.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，()22xf x =-，则不等式()2f x ≤的解集是_______；【答案】[]22-,【解析】【分析】判断函数当0x ≥时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【详解】∵当x ≥0时，()22xf x =-，∴偶函数()f x 在[0,＋∞)上单调递增，且()2=2f ，所以()2f x ≤，即()()2fx f ≤，∴2x ≤，解得22x -≤≤.故答案为：[]22-,.三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，已知46,5,cos 5a b A ===-（1）求角B 的大小；（2）求三角形ABC 的面积.【答案】（1）B=300（2）93122ABC S ∆=【解析】【详解】分析：（1）由同角三角函数关系先求3sin 5A =，由正弦定理可求sinB 的值，从而可求B 的值；（2）先求得()()sin 30C sin A B sin A =+=+的值，代入三角函数面积公式即可得结果.详解：(1)由正弦定理又∴B 为锐角sinA=35,由正弦定理B=300(2)()()sin 30C sin A B sin A =+=+,∴19312bsin 22ABC S a C ==点睛：以三角形和为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，⋅⋅⋅，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.【答案】（1）77.5；（2）160(人).【解析】【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为()0.020.04100.6+⨯=，从而有：样本中分数小于70的频率为10.60.4-=，又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于[)70,80之间.计算为：0.70.4701077.50.80.4-+⨯=-所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，从而有，样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=，进而得，样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，所以总体中女生人数为40400160100⨯=(人).21.某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为2.6公里，收费10元；若超过2.6公里的，每公里按2.4元收费.（1）设A 地到B 地的路程为4.1公里，若搭乘出租车从A 地到B 地，需要付费多少？（2）若某乘客搭乘出租车共付费16元，则该出租车共行驶了多少公里？【答案】（1）13.6元（2）5.1公里【解析】【分析】（1）设出租车行驶x 公里，根据题设写出付费额()f x 的分段函数形式，进而求从A 地到B 地需要的付费；（2）由题意出租车行驶公里数 2.6x >，结合解析式列方程求该出租车共行驶的公里数.【小问1详解】设出租车行驶x 公里，则付费额10,0 2.6()10 2.4( 2.6), 2.6x f x x x <≤⎧=⎨+->⎩，所以(4.1)10 2.4(4.1 2.6)13.6f =+⨯-=元.【小问2详解】由题意，出租车行驶公里数 2.6x >，令10 2.4( 2.6)16x +-=，则 5.1x =公里.22.如图，在三棱锥V-ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ,VAB 为等边三角形，AC BC ⊥,且,O,M分别为AB,VA 的中点.(1)求证：VB //平面MOC ；(2)求三棱锥V-ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）33．【解析】【详解】试题分析：（1）要证明线面平行，就是要证线线平行，题中有中点，由中位线定理易得线线平行，注意得出线面平行结论时，必须把判定定理的条件写全；（2）要求三棱锥的体积，首先要确定高，本题中有面面垂直，由此易得VO 与底面ABC 垂直，因此VO 就是高，求出其长，及ABC 面积，可得体积．试题解析：（1）证明： 点O,M 分别为AB,VA 的中点//OM VB ∴又,OM MOC VB MOC ⊂⊄平面平面//VB MOC∴平面(2)解：连接VO ，则由题知VO ⊥平面AB C,∴VO 为三棱锥V-ABC 的高.又112ABC S VO === ，113.1333V ABC ABC V S VO -∴==⨯= 考点：线面平行的判断，体积．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试题（一）本试卷5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的县（市、区）、学校、姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合,A B 均为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =的子集，集合{1,2,3,4}A =，则满足{1,2}UAB =的集合B 可以是（ ）A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}【答案】C 【解析】 【分析】由补集的定义可知，集合B 中不含元素1,2，即得答案.【详解】集合,A B 均为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =的子集，集合{1,2,3,4}A =. {1,2},u A C B =∴集合B 中不含元素1,2.故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2. 复数4334iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A. 1- B. 2C. 5D. 1【答案】D【分析】根据复数的除法，把复数4334iz i+=-化为(),z a bi a b R =+∈的形式，即得z 的虚部. 【详解】()()()()()222433443122512253434342534i i i i i iz i i i i i +++++=====--+-, ∴复数z 的虚部为1.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念，属于基础题. 3. 已知向量1,12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向量b 满足2(1,)a b m +=-，若a b ⊥，则m =（ ） A. 3- B. 3C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出b ，由a b ⊥，得0a b =，即求m . 【详解】()1,1,2(1,),2,22a a b m b m ⎛⎫=-+=-∴=-+ ⎪⎝⎭.,0a b a b ⊥∴=，即()()12202m ⨯--+=，3m ∴=-.故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算和向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为,A B ，若四边形21AF BF 是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（ ）A. 22142x y +=B. 2212x y +=C. 22132x y +=D.22143x y +=【解析】 【分析】由题意知122,2F F c AB b ==.由四边形21AF BF 是正方形且面积为4，可得b c =，且12242c b ⨯⨯=，即2bc =，可求,b c 的值，从而求出2a ，可得答案. 【详解】由题意知122,2F F c AB b ==.四边形21AF BF 是正方形且面积为4，b c ∴=，且12242c b ⨯⨯=，即2bc =， 2222,4b c a b c ∴==∴=+=，∴椭圆C的方程为22142x y +=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.5. 如图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线(0x t t =<≤2）左侧的图形的面积为()f t ，则()y f t =的大致图像为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】高考资源网（ ） 您身边的高考专家【分析】先由已知条件写出()f t 的函数关系式，即可选择其图像. 【详解】因为OAB 是边长为2的正三角形， 当0t <≤1时，213()32f t t t =⨯= ； 当1t <≤2时，2113()23(2)3(2)2)3222f t t t t =⨯⨯--=--+所以223,(01)()32)3,(12)t f t t t <≤=⎨⎪-+<≤⎪⎩.只有选项B 中图像符合故选：B.【点睛】此题考查的是求函数解析式和由解析式选函数图像，属于基础题. 6. 若2sin()3πα+=，则sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 19-B. 59-C.19D.59【答案】B 【解析】 【分析】 由2sin()3πα+=，可求出sin α.又sin 2cos 22παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据倍角公式可求值.【详解】222sin()sin sin 333πααα+=∴-=∴=-. ()2225sin 2cos 212sin 1229πααα⎡⎤⎛⎛⎫⎢⎥∴-=-=--=--⨯=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和倍角公式，属于基础题.7. 甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）A.14B.13C.16D.136【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求出“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数，进而求出“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”包含的基本事件总数，以及“甲、乙两人选的2本恰好相同”包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，可求概率. 【详解】用a 、b 、c 、d 表示4种不同的图书，则事件“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共6种， 其中，事件“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数为2636=，记“甲、乙两人选的2本恰好相同”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数为6，()61366P A ∴==. 故选：C.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.8. 某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ） A.31920003cm B.31600003cm C.3160003cm D.3640003cm 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积.求出正三棱锥的体积即得答案.【详解】由题意，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积. 一个正三棱锥的体积为231140002020323cm ⨯⨯⨯=,所以石凳子的体积为33400016000040833cm -⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查空间几何体的体积，属于基础题. 9. 执行下边的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到,A k 的值.根据输出A 的值为70169，可求出输入的i 的值.【详解】模拟执行程序框图可得 第一次执行循环，可得12,21522A k ===+第二次执行循环，可得15,321225A k ===+ 第三次执行循环，可得112,4529212A k ===+第四次执行循环，可得129,51270229A k ===+ 第五次执行循环，可得170,629169270A k ===+ 输出A 的值为70169， 6i ∴≤不成立，5i =.故选：B .【点睛】本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.10. 已知O 是坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x轴垂直，且交双曲线C 于,A B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） 51+ 51- 51 51【答案】A 【解析】 【分析】设(),0F c .把x c =代入双曲线方程，得2by a=.由ABO 是等腰直角三角形，得2b ca.又222b c a =-，可求离心率e . 【详解】设(),0F c .把x c =代入双曲线2222:1x y C a b-=，得4222,b b y y a a =∴=.ABO 是等腰直角三角形，2b c a∴=,又2222222,,0c a b c a c c ac a a-=-∴=∴--=， 210e e ∴--=，解得15151,e e e ±+=>∴=. 故选：A .【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题.11. 在ABC 中，已知60A ︒=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，则ABC 面积的最大值为（ ） 3 332C. 23532【答案】B 【解析】 【分析】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=.则1233AD c b =+，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得6b c ≤，当且仅当2c b =时，等号成立.再由三角形面积公式可求ABC 面积的最大值【详解】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=，2BD DC =. 则()221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b =+=+=+-=+=+，22222212144144cos6033999999AD c b c b b c c b b c ⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭2222142142229999993c b b c c b b c b c =++≥⨯+=， 即24,63b c b c ≥∴≤，当且仅当221499c b =，即2c b =时，等号成立. 1133sin 6sin 6022ABCSb c BAC ∴=∠≤⨯⨯=ABC ∴332故选：B .【点睛】本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.12. 已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数(1)0f =，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()0f x <的解集为（ ）A. (1,0)1,2π⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B. (1,0)(0,1)-C. ,11,22ππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ,1(0,1)2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 由()()tan 0f x f x x '+>，得()cos ()sin 0f x x f x x '+>.令()()sin ,,22g x f x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则()'0g x >，故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10g =.可得()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，故()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()10g -=.故()0f x <等价于()0sin g x x <，等价于sin 0()0x g x <⎧⎨>⎩或sin 0()0x g x >⎧⎨<⎩，可求解集.【详解】由()()tan 0f x f x x '+>，得()sin ()0cos f x xf x x'+>，即()cos ()sin 0cos f x x f x xx'+>.0,,cos 0,()cos ()sin 02x x f x x f x x π'⎛⎫∈∴>∴+> ⎪⎝⎭.令()()()'sin ,,.()cos ()sin 022g x f x x x g x f x x f x x ππ'⎛⎫=∈-∴=+> ⎪⎝⎭， ()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()()11sin10g f ==.()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，()()f x f x =--∴.()()()()()()()sin sin sin g x f x x f x x f x x g x ∴-=--=--==，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数.()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()g x ∴在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()()110g g -==.故()0f x <等价于()0sin g x x<， 等价于sin 0()0x g x <⎧⎨>⎩或sin 0()0x g x >⎧⎨<⎩，即0212x x ππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<-⎪⎩或0201x x π⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，解得12x π-<<-或01x <<，∴原不等式的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于较难的题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设函数2()ln f x mx x =，若曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20200ex y ++=平行，则m =______．【答案】13- 【解析】 【分析】求出'()f x .由题意知'()f e e =-，可求m .【详解】()()2'()ln ,2ln f x mx x f x m x x x =∴=+.曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20200ex y ++=平行，'()f e e ∴=-，即()12ln ,3m e e e e m +=-∴=-.故答案为：13-.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. 若,x y 满足约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，，则2z x y =+的最大值为_____．【答案】7 【解析】 【分析】约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即1122x y x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，作出可行域.由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，数形结合可求z 的最大值.【详解】约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即1122x y x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，作出可行域，如图所示由2z x y =+得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距. 平移直线2y x z =-+，当直线过可行域内的点A 时，z 最大.解方程组12x y x -=-⎧⎨=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3A ，max 2237z ∴=⨯+=.故答案为：7.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15. 如图，已知三棱锥P ABC -满足2PA PB PC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为_______．【答案】32327π 【解析】 【分析】由题意可得，点P 在底面ABC 上的射影为ABC 的外心，即斜边AB 的中点D .由2PA PB AB ===得PAB △的外心即为三棱锥P ABC -的外接球的球心，设为O .故正PAB △的外接圆的半径即为三棱锥P ABC -的外接球的半径，求出半径，即求球的体积.【详解】,PA PB PC P ==∴在底面ABC 上的射影为ABC 的外心.,AC BC ⊥∴斜边AB 的中点D 即为ABC 的外心，即PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心在PD 上.2,PA PB AB PAB ===∴的外心即为三棱锥P ABC -外接球的球心，设为O .如图所示∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R 即为正PAB △的外接圆的半径，2222232133R PD ∴==-=， ∴三棱锥P ABC -外接球的体积33442332333V R πππ===⎝⎭. 32327π. 【点睛】本题考查空间几何体外接球的体积，属于中档题.16. 函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(2,1]3,2)--⋃ 【解析】 【分析】 由1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得()f x 的对称轴为16x =.由辅助角公式可得()()()21tan f x a x a πθθ=++=，故2116f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求a .求出()f x 的解析式，求出()f x 在30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域，即可求实数m 的取值范围.【详解】函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x ∴的对称轴为16x =.由辅助角公式可得()()()21tan f x a x a πθθ=++=，2116f a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即2sin cos 166a a ππ+=+即213122a a +=+3a =()sin 32sin 3f x x x x ππππ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]()[]11,,sin 1,1,2,23363x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫+∈∴+∈-∴∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，即方程()m f x =在30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不等的实根.21m ∴-<≤-32m ≤<，即实数m 的取值范围为(2,1]3,2)--⋃.故答案为：(2,1]3,2)--⋃.【点睛】本题考查函数与方程、三角函数的对称性和辅助角公式，属于较难的题目. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知{}n a 为单调递增的等差数列，设其前n 项和为n S ，520S =-，且35,1a a +，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值及取得最小值时n 的值． 【答案】（1）112n n a -=；（2）当10n =或11时，n S 取得最小值552-【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >.由520S =-，359,1,a a a +成等比数列列方程组求1,a d ，即求数列{}n a 的通项公式；（2）根据n a 的符号，可求n 的值，根据等差数列前n 项和公式，求n S 的最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，由题意可得()()()1211154520,22841.a d a d a d a d ⨯⎧+⨯=-⎪⎨⎪+⋅+=++⎩解得12d =或72d =-（舍）． 当12d =时，15a =-． 1115(1)22n n a n -∴=-+-⨯=． （2）由（1）知112n n a -=，令10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩解得1011n ≤≤．∴当110n ≤≤时，0n a <，当11n =时，0n a =， 当12n ≥时，0n a >．∴当10n =或11时，()()111min11111011552222n a S a -⎛⎫⨯+ ⎪+⎝⎭===-． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和前n 项和，属于基础题.18. 某城市208年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组，得到如下频率分布表：分组频数频率 [160,180) 1n0.04[180,200)191f[200,220) 2n0.22[220,240) 250.25[240,260) 15 0.15[260,280)102f[280,300]50.05（1）求表中1212,,,n n f f 的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m ；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u （单位：千瓦时）作为统计数据，下图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令2014x t =-，195y u =-，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u 关于t 的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx=-．【答案】（1）14n =，222n =，10.19f =，20.1f =；中位数224m =千瓦时；（2）①见解析；② 6.512892.8u t =-；237.2千瓦时. 【解析】 【分析】（1）根据频率等于频数与样本容量的比，求出1212,,,n n f f .根据中位数左右两侧的频率相等，求出中位数；（2）①根据折线图完成数据预处理表；②根据参考公式求出u 关于t 的线性回归方程，令2020t =，可得预测值.【详解】（1）由已知，11000.044n =⨯=，同理222n =；1190.19100f ==，同理20.1f =． 设样本频率分布表的中位数为a ，则1(0.040.190.22)0.25(220)0.520a +++⨯⨯-=，解得224a =． 由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数224m =千瓦时． （2）①数据预处理表如下：2014x t =- 4- 2- 0 2 4 195y u =-21- 11-1929②由①可知，0=x ， 3.2y =．设y 关于x 的线性回归方程为y bx a =+，则12222155225(4)(21)(2)(11)021********6.50(4)(20)24405i ii i i x yx yb x x==--⨯-+-+--⨯-++⨯+⨯====-+-++-∑∑，且 3.2a y bx =-=． 得 6.5 3.2y x =+．代入2014x t =-，195y u =-，有195 6.5(2014) 3.2u t -=-+，则所求u 关于t 的线性回归方程为： 6.5(2014)198.2u t =-+， 即 6.512892.8u t =-．可预测该市2020年居民月均用电量的中位数为 6.5202012892.8237.2u =⨯-=（千瓦时）． 【点睛】本题考查频率分布表和线性回归方程，属于中档题.19. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，D 是AB 的中点，E 是1C C 的中点，且1AB =，12AA =．（1）证明：//CD 平面1A EB ； （2）求点1A 到平面BDE 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）217【解析】 【分析】（1）取1A B 的中点F ，连接,EF DF .证明四边形CDFE 是平行四边形，则//CD EF ，根据线面平行的判定定理，即证//CD 平面1A EB ．（2）根据体积相等，求点1A 到平面BDE 的距离．证明EF ⊥平面11A ABB ，则三棱锥1E A BD -的体积11133E A BD A BD V SEF -=⋅=.设点1A 到平面BDE 的距离为d ，由11A BDE E A BD V V --=得133BDE Sd ⋅=，可求d . 【详解】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接,EF DF ，如图所示,D F 分别是1,AB A B 的中点，111//,2DF A A DF A A ∴=． 1111//,A A C C A A C C =，E 是1C C 的中点， //,DF EC DF EC ∴=． ∴四边形CDFE 是平行四边形，//CD EF ∴．CD ⊄平面1A EB ，EF ⊂平面1A EB ,//CD ∴平面1A EB ．（2）ABC 是正三角形，D 是AB 的中点,CD AB ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，1A A CD ⊥∴． 1A AAB A =，CD平面11A ABB ．又由（1）知，//,CD EF CD EF =，EF ∴⊥平面11A ABB ．又1AB =，12AA =，32CD ∴=，11112222A BDS =⨯⨯=．1111133332E A BD A BDV SEF -∴=⋅=⨯= 在Rt CDE △中，2272DE CD EC =+=， AB CD ⊥，AB CE ，CD CE C =，AB ∴⊥平面CDE ．AB DE ∴⊥． BD DE ∴⊥． 117722BDES∴=⨯=． 设点1A 到平面BDE的距离为d ，则由11A BDE E A BD V V --=得133BDES d ⋅=3221BDE d ∴==1A 到平面BDE 的距离为217． 【点睛】本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和等体积法求点面距，属于中档题.20. 动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12,x x 是方程2240x mx +-=的两根． （1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 【答案】（1）222()4x m y m ++=+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理求出圆心坐标和半径，即求动圆C 的方程；（2）设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.令0y =，则20x Dx F ++=.由题意，结合韦达定理可得2D m =，4F =-．又动圆C 过点(0,1)M ，可求E 的值. 令0x =，可求动圆C 在y 轴上截得的弦长. 【详解】（1）12,x x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x ⋅=-．动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点且线段AB 是动圆C 的直径，∴动圆C 的圆心C 坐标为(,0)m -，半径为()212122214||422x x x x x x AB m +--===+∴动圆C 的方程为：222()4x m y m ++=+．（2）证明：设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=， 动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，()30,N y ， 令0y =，则20x Dx F ++=． 由题意可知2D m =，4F =-． 又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，即3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-．34y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为315y -=．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，属于中档题. 21. 已知函数2()()xf x e m e x mx =+--． （1）当0m =时，求函数()f x 的极值；（2）当0m <时，证明：在(0,1)上()f x 存在唯一零点． 【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，判断()f x 的单调性，即求函数()f x 的极值；（2）()2xf x e mx m e '=-+-，令()()2xg x f x e mx m e '==-+-,求出'()g x ，判断()g x 的单调性.根据零点存在定理可得：存在0(0,1)x ∈使得()()000g x fx '==，判断()f x 在(0,1)的单调性，即可证明.【详解】（1）当0m =时，()xf x e ex =-，()xf x ee '∴=-．令()0f x '=，得，1x =.当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 是减函数．∴当1x =时，()f x 取得极小值(1)0f =，无极大值．（2）证明：()2xf x e mx m e '=-+-， 令()()2xg x f x e mx m e '==-+-， 则()2x g x e m '=-．当0m <时，则()0g x '>，()()g x f x '∴=在(0,1)上单调递增．又(0)(0)10g f m e '==+-<，(1)(1)0g f m '==->，∴存在0(0,1)x ∈使得()()000g x f x '==．即当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数； 当()0,1x x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数． 又(0)1f =，()0(1)0f x f <=，∴在()00,x 上()f x 存在一个零点，在()0,1x 上()f x 没有零点．()f x ∴在区间(0,1)上存在唯一零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和零点，属于较难的题目.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积． 【答案】（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. 【解析】 【分析】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 【详解】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线， 曲线2C 是以点()1,2P -5，圆心P 到直线MN 的距离为5d =，2246525255MN d ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 原点到直线MN 的距离为5h =因此，OMN 的面积为1165322555OMN S MN h =⋅=⨯=△. 【点睛】本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. [选修4—5：不等式选讲] 23. 已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. 【解析】 【分析】（1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围． 【详解】（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-．35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立； 当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立，当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立，当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立，即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-．【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。

2022-2023学年广东省高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知合M={,3}，N={−,3}，若N={,23}，则a的值是（）A. −2B. −1C. 0D. 12.已知集合M={x|0≤x≤4}，N={x|0≤x≤2}，从M到N的对应法则f是函数的是()A. f：x→y=xB. f：x→y=x2C. f：x→y=|x|D. f：x→y=x−13.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则()A. f(3)<f(−2)<f(1)B. f(1)<f(−2)<f(3)C. f(−2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f(1)<f(−2)5.若两个正实数x，y满足1x+2y=1，且不等式x+y2<m2+3m有解，则实数m的取值范围是( )A. (−4,1)B. (−1,4)C. (−∞,−4)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(4,+∞)6.对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是()A. 若f(2)>f(1)，则函数f(x)是增函数B. 若f(2)>f(1)，则函数f(x)不是减函数C. 若f(−2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数D. 若f(−2)=f(2)，则函数f(x)不是奇函数7.函数f(x)=x sin x2x−1的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=ax+1x+2在区间(−2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A. (0,12)B. (12,+∞)C. (−2,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20分。

龙川一中2015年普通高考调研测试数 学（理 科）本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。

在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合=M {1，2，3}，=N {3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是 A ．{3} B ．{5} C ．{1，2} D ．{4，5}2. 已知i 是虚数单位，若i i n -=（*∈N n ），则n 的最小值是A.1B.2C.3D.43. 若)(x f ，)(x g 分别是R 上的奇函数和偶函数 ，则)(x f )(x g 一定是A. 偶函数B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4. 一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是A ．球体B ．圆锥C ．圆柱D ．长方体5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2011次，那么第2010次出现正面朝上的概率是A.20101B.20111C.20112010D.216. 下列特称命题中假命题为A. 空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直B. 仅存在一个实数2b ，使得1239,,,,1b b b --成等比数列C. 存在实数,a b 满足2a b +=，使得33a b+的最小值是6D.2(4,0],10a ax ax ∃∈-+-<恒成立 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为︒60，从乙楼顶望甲楼顶的仰角为︒30，则甲、乙两楼的高分别是A．米；B．米；C．米， D．2米，3米.8. 已知0,0x y >>，且m m y x x y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是A ．4m ≥或2m -≤B ．2m ≥或4m -≤C ．24m -<<D ．42m -<< 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题） 9．以双曲线16322=-y x 的右焦点为焦点的抛物线标准方程为________________．10．已知实数y x ,满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤≤，则y x z 2-=的取值范围是 ．11．随机变量ξ服从正态分布),1(2σN （如图1），已知3.0)0(=<ξP ，则=<)2(ξP ______. 12．公差不为零的等差数列{}n a 中11,a =且3510,,a a a构成等比数列中相邻的三项，则等差数列{}n a前n 项的和n S = ．13．已知函数2131221)(,)(,)(xx f x x f x x f ===-，如果执行图2的程序框图，那么输出S 的值为_______. （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点)32,1(),35,3(ππB A ，则A ，B 两点间的距离等于 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AC 切⊙O 于A ， AC=6，BD=5.则线段DC 的长为 .C 图 3图2A BCDEFP三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=. （1）求8(πf 的值；（2）求函数)(x f 的最小正周期和最小值．17．（本小题满分12分）湛江成功申办2014年广东省第十四届运动会.为做好承办工作，决定选拔3名专业人士加入组委会.经过初选确定4男2女为候选人，每位候选人当选的机会相等.记ξ为女专业人士当选人数.（1）求ξ=0的概率； （2）求ξ的分布列及ξE .18．（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD=2， E 、F 分别为CD 、PB 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB ； （3）设,2AD AB =求直线AC 与平面AEF 所成角θ的正弦值．19．(本小题满分14分)已知函数x ax xx f ln 1)(+-=（a 为常数）.（1）求)(x f '；（2）当a =1时，求)(x f 在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上的最大值和最小值()71828.2≈e ．20．（本小题满分14分）已知抛物线C ：y x 42=的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率23=e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 的斜率为k ，经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，若切线1l 与2l 相交于点M ．当k 变化时，点M 的纵坐标是否为定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由． 21．（本小题满分14分）已知各项均为正数的等比数列{an}，其公比q>1，且满足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中项. （1）求3a ；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设1221log ,2++=-=n n n n a B a A ，试比较An 与Bn 的大小，并证明你的结论.龙川一中2015年普通高考调研测试 数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. C 2. C 3. B 4. D 5. D 6. A 7. A 8. D二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）9．x y 122= 10．]2,7[- 11．0.7 12．n n 47432+-13．2011114.4 15. 4三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．解：（1）xx x f 2sin 12cos )(++=1)42sin(2++=πx ， …………………………6分∴121)44sin(2)8(+=++=πππf .……………………………………………8分（2）由（1）可知1)42sin(2)(++=πx x f ，∴函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . …………………………………………10分函数)(x f 的最小值为21-. ………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）34361(0);5C P C ξ===……………………………………………………………3分（2）ξ的取值为0、1、2.34361(0)5C P C ξ===，2142363(1)5C C P C ξ===，1242361(2)5C C P C ξ===. ……………………………………7分………………………9分 ∴E ξ=1310121555⨯+⨯+⨯= …………………………………………………12分18．（本小题满分14分）证明：（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG. ∵F 是PB 的中点，∴GF ∥AB 且GF=21AB …………………………1分又底面ABCD 为矩形，E 是DC 中点，∴DE ∥AB 且DE=21AB∴GF ∥DE 且GF=DE …………………2分 ∴四边形DEFG 为平行四边形 ∴EF ∥DG∵DG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD. …………………4分 （2）∵PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB 又底面ABCD 为矩形∴AD ⊥AB ……………………5分 又PD ⋂AD=D ∴AB ⊥平面PAD ∵DG ⊂平面PAD∴AB ⊥DG ………………………6分 ∵AD=PD ，G 为AP 中点 ∴DG ⊥AP又AB ⋂AP=A ， ∴DG ⊥平面PAB 又由（1）知EF ∥DG∴EF ⊥平面PAB ， ……………………………………………………8分 又EF ⊂面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB. …………………………9分 证法二：（1）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 设AB=a. ∵AD=PD=2， ∴A （2，0，0），B （2，a ，0），C （0，a ，0），P （0，0，2）， ∵E 、F 分别为CD ，PB 的中点∴)1,2,1(),0,2,0(a F a E ．………………………………………………………………1分 ∴)1,0,1(=， ………………………………………………………………………2分A B C D E F PG∵)2,0,2()0,0,2()2,0,0(=+=+DA DP∴2121)(21+=+=故、、共面，……………………………………………………3分 又EF ⊄平面PAD∴EF ∥平面PAD. ………………………………………………………………4分 （2）由（1）知)1,0,1(=EF ，)0,,0(a AB =，)2,0,2(-=AP . ∴0=⋅，0202=++-=⋅ ∴⊥，⊥ ………………6分 又A AP AB =⋂∴PAB EF 平面⊥ ……………………8分 又EF ⊂平面AEF∴平面AEF ⊥平面PAB ……………9分（3）,)1(.22知由=AB ).1,01(),0,22(，，=-=设平面AEF 的法向量),,(z y x =，则⎩⎨⎧=+=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022,0,0z x y x 即 …………………………………………11分令1=x ，则)1,2,1(,1,2-=-==z y 所以． …………………………12分又.63122042,cos ),0,22,2(=++->=<-=所以 ……………13分 ∴.63,cos sin =><=θ ………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）21)(ax ax x f -='. …………………………………………………3分（2）当1=a 时，21)(x x x f -='，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1， 而⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,1e x 时，0)(<'x f ；(]e x ,1∈时，0)(>'x f ， ∴1=x 是)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上唯一的极小值点， ………………………………6分 ∴[]0)1()(min ==f x f . …………………………………………………8分又01)2(112)(1>--=----=-⎪⎭⎫⎝⎛e e e e e e e f e f ， ………………………10分 ∴)(1e f e f >⎪⎭⎫⎝⎛， ∴[]21)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e f x f .……………………………12分综上，当1=a 时，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上的最大值和最小值分别为2-e 和0. …………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆E 的方程为12222=+b y a x ，半焦距为c .由已知条件，得F （0，1），23=a c ………………………………1分 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=123222b c b a a c ， 解得1,422==b a . ………………………………3分 所以椭圆E 的方程为：1422=+y x . ……………………………………4分（2）假设点M 的纵坐标为定值.因为直线l 的斜率为k ，且过F(0, 1)故可设直线l 的方程为1+=kx y ，),(,),(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧+==142kx y y x ，消去y 并整理得0442=--kx x ， …………………………6分∴k x x 421=+，421-=x x . 且21x x ≠. ……………………………………7分∴242)(22121+=++=+k x x k y y816)(42212221+=+=+k y y x x ……………………………………………8分 ∵抛物线C 的方程为42x y =，求导得2x y ='， ………………………………9分 ∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是1l ：111)(y x x y y +-'=，2l ：222)(y x x y y +-'=，即111)(2y x x x y +-=，222)(2y x x xy +-=， ………………………………10分依题意，点M 的坐标满足方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=222111)(2)(2y x x x y y x x x y①-②得0)]([2212121=-++--y y x x x x x ③ ……………………………11分∵k x x 421=+，21x x ≠，且)(2121x x k y y -=- 故由③式可解得k x 2=， ………………………………………………………………………………12分 于是由方程组中①+②得21222121222y y x x x x x y +++-+=224281622422-=+++-⋅=k k k k∴1-=y即点M 的纵坐标为定值1-. ……………………………………………………14分21．（本小题满分14分）①②解：（1）,8,0.8,64,64332342=∴>±==∴=a a a a a a n 又 ……………………2分 （2）423,2a a a 是+ 的等差中项，∴,8820,)2(2423q q a a a +=+=+即 ……………………………………………3分解得q=2或21=q （舍去）， ∴.228}{333n n n n n q a a a =⋅==--的通项公式为数列 ……………………………5分 （3）由（2）得 ,221-=+n n A 2122)1(2l o g +==+n B n n ， ………………………6分当n=1时，A1=2，B1=（1+1）2=4，A1<B1；当n=2时，A2=6，B2=（2+1）2=9，A2<B2；当n=3时，A3=14，B3=（3+1）2=16，A3<B3；当n=4时，A4=30，B4=（4+1）2=25，A4>B4；当n=5时，A5=62，B5=（5+1）2=36，A5>B5；由上可猜想，当1≤n ≤3时，An<Bn ；当n ≥4时，An>Bn. ………………………9分 下面用数学归纳法给出证明：①当n=4时，已验证不等式成立.②假设n=k （k ≥4）时，Ak>Bk.成立，即21)1(22+>-+k k ,12222121]1)1[(444422)1(22)22(222,1++++=++=++>++=++⋅>+-⋅=-=+=k k k k B k k k k k k A k n 时当即当n=k+1时不等式也成立， 由①②知，当*4(),.n n n n N A B ∈>≥时………13分综上，当1≤n ≤3时，An<Bn ；当4,.n n n A B >≥时 ………………………………14分注：如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。

2020年广州市高中毕业班一模数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “a b c d ,,,成等差数列”是“a d b c +=+”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1111D C B A 内的一个动点（含边界），且5PE ≤，则111PA PB PC ++u u u r u u u r u u u u r的最小值为（ ）A ．171-B ．173-C ．17D ．171+3．玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．25614π+B ．25616π+C ．25629π-D ．25622π-4．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)f x +是偶函数，且当2(]0,x ∈时，()f x x =，则(2018)(2019)f f -+=（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．05．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10B ．7C ．8D ．46．如图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD 的边长为5，小正方形的边长为2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n 个点.有m 个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为（ ）A ．254m nB ．4mn C ．425m n D ．25m n7．若,x y 满足0,10,26,x y y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x y -的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．48．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1234a a a ++=，610S =，则3a =（ ）A ．149B ．169 C ．209 D ．739．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=，|DE|=，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ．8B ．6C ．4D ．210．设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知约束条件1{400x x y kx y ≥+-≤-≤表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2-12．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan FAM ∠=（ ） A ．25 B ．52 C ．54 D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

龙川一中15-16学年度第一学期高三年级期末模拟考试英语试卷答卷时间：120分钟满分：120分第Ⅰ卷第一部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项。

AI used to be the shyest person in the world. I would hide behind my elder sister whenever I met a stranger. When I was asked to speak in class, I could hardly breathe, much less speak.Then, in seventh grade, my sister suggested I take voice lessons. After thinking carefully, I did and tried to keep it a secret.I began a series of exercises, making sounds so strange that I couldn't help laughing. I learned how to howl (吼叫) like a cowboy and snort (讥讽 ) like an old lady. By playing around with sound in the class, I got confidence in my voice. A few months later, I was asked to sing for some old people. I thought I would do better than before because of the voice lessons. I opened my mouth, I couldn't remember the words. My face turned red.Then the thought struck me. I've embarrassed myself enough in front of this crowd. There's really nothing else to lose. So, for my second song, I just relaxed myself and felt the energy of the song lift me. And I did much better.After that, I started singing to myself as loudly as I could in my room. That's something I had never done before.I am not a shy person any more. Singing has made me more outgoing. I believe we overcome our shortcomings.1. What was the writer like before?A. She was brave.B. She was shy.C. She was very outgoing.D. She was very optimistic.2. What made the writer take voice lessons according to the passage?A. Becoming a hostess.B. Improving her studiesC. Getting some confidenceD. Learning singing and dancing3. Why did the writer do a better job on the second song?A. Because the crowd didn’t laugh at her.B. Because she could only sing a good song.C. Because she felt more relaxed than before.D. Because she recited the words of the song.4. What can you learn from the passage?A. Girls can be very shy at times.B. We can get over our problems.C. We should sing songs for old people.D. Girls should take some voice lessons.BPhotography has been my interest ever since I was old enough to pick up a camera, but today I want to share with you the 15 most treasured photos of mine, and I didn’t take any of them. There were no art directors, no stylists, no chance for reshoots, not even any regard for lighting. In fact, most of them were taken by random tourists.My story begins when I was in New York City for a speech, and my wife took a picture of me holding my daughter on her first birthday. We’re on the corner of the 57th and 5th avenue. We happened to be back in New York exactly a year later, so we decided to take the same picture.Well you can see where this is going. Approaching my daughter’s thi rd birthday, my wife said, “Hey, why don’t you take Sabina back to New York and make it a father-daughter trip, and continue the ceremony?” This is when we started asking passing tourists to take the picture.So these photos are far more than representatives for a single moment, or even a specific trip. They’re also ways for us to freeze time for one week in October and reflect on our times and how we change from year to year, and nor just physically, but in every way. Because while we take the same photo, our viewpoints change, andshe reaches new milestones and I get to see life through her eyes, and how she communicates with and sees everything. This very focused time we get to spend together is something we value and expect the entire year.5 What can we know about the author from the first paragraph?A.He is fond of being photographed alone.B.He hardly ever asks strangers to take pictures of him.C.He has been interested in photography since childhood.D.He’s proud of the 15 most treasured photos taken by himse lf.6 Who came up with the idea of having a father-daughter trip when Sabina was 3 yearsold?A. Her mother.B. Her father.C. Sabina herselfD. An unknown tourist.7. It can be inferred from the last paragraph that .A. children usually get to see life through adults’ eyesB. the 15 photos are meaningful to the author’s familyC. it takes the author a whole week to have a family photo takenD. the viewpoints of the author’s family never change with the time.8. What can be the best title of the text?A. Believe it or not; photos do changeB. Photos help a family become richC. Even strangers can help take photographsD. A father-daughter bond, one photo at a timeCA n English idiom says, “You can’t teach an old dog new tricks.” But scientists have discovered that isn’t true. Older people can learn, and they should, in order to keep their brain active. Now a new trend has begun in several states in the US that encourages learning. Adults can attend One Day University. They can spend a Saturday or Sunday listening to four 70-minute lectures. Each one is given by a top university professor. One of the original participants said, “it’s like a health club for the brain.” Also, universities like MIT (Massachusetts Institute ofTechnology) have made all of their courses and lectures available online for free! Libraries offer learning programs, too. With so much available, there is no excuse not to learn.Leaning is habit. Don’t leave it behind after you left scho ol. On the website . author Scott Young mentions several things to help you.Always have a book. It doesn’t matter if you read fast or slow. Just read. If you read just one book a week, you will read 52 over the course of a year. Think of the knowledge you will gain.Practice it. As you read, do something with what you have learned. Don’t just enjoy the mental exercise. Use the knowledge. If you read about painting, try it.Make a “to learn” list. Compose a “to learn” list for yourself. Maybe yo u want to speak better English, play the piano and cook French food. Whatever interests you, put it on your list and then make the time to do it.Teach others. Whatever you learn，teach someone else. You’ll not only help others but also understand what you’ve learned.9. What does the underlined sentence in Paragraph 1 mean?A.The dog is too old to learn.B.Old er teachers can’t teach well.C.An old dog can only play old tricks well.D.Learning to do new things is hard for older people.10. What’s th e best title for this passage?A. Several tips on learning.B. How to keep the dog active.C. Take learning as a lifetime job.D. A healthy club for the brain.11. What can we infer according to the passage?A.You have to pay for taking online courses.B.Each lecture at One Day University is interesting.C.Not all lectures are given by top university professors.D.More people are encouraged to take up learning in the USA.DFar out in the lake was a large wooden platform on which stood an improbably high diving board —a kind of wooden Eiffel Tower. It was, I’m sure, the county’s tallest wooden structure and no one had ever been known to jump from it.So it was quite a shock when our teacher, Mr. Milton, announced that he would dive off the high board that very afternoon.Word of his questionable plan was already spreading through town as Mr. Milton swam out to the platform. He was just a tiny, stick figure when he got there but even from such a distance the high board seemed almost to touch the clouds. Once at the top, he paced the enormously long board, then took some deep breaths and finally stood at edge. He was going to do it.Several hundred people had gathered at the shore to watch. Mr. Milton stood for quite a long time, then he raised his arms, took one massive bounce and launched himself into a perfect dive. It was beautiful. He fell with perfect style for what seemed minutes. The crowd fell silent. The only sound to be heard was the faint whistle of his body tearing through the air toward the water far, far below.But about three quarters of the way down he seemed to have second thoughts and began suddenly to panic, waving his arms and legs like someone having a bad dream. When he was perhaps thirty feet above the water, he gave up on waving and spread his arms and legs wide, apparently hoping that it would somehow slow his fall.It didn’t.He hit the water at over six hundred miles an hour. The impact was so loud that it made birds fly out of their trees three miles away. I don’t thi nk he entered the water at all. He just bounced off it, about fifteen feet back into the air. After that, he lay still on the surface, spinning like an autumn leaf.He was brought to shore by two passing fishermen in a rowboat and placed on an old blanket where he spent the rest of the afternoon. Occasionally he accepted small sips of water, but otherwise was too shocked to speak. From head to toe, he was coveredwith deep red bruises.... It was the best day of my life.12. What did the writer think of Mr. Milton’s plan to jump from the diving board?A. Crazy.B. Disappointing.C. Heroic.D. Confused.13. In Paragraph 3, Mr Milton is described as “a tiny, stick figure” because he was __________.A. tired after swimmingB. very small and thinC. very far awayD. sure to be broken14. Why did Mr. Milton suddenly start swinging his arms and legs during the dive?A. He thought it was the best way to slow his fall.B. He lost his confidence and started to panic.C. He was signalling the crowd for help.D. He wanted to show his courage.15. Which of the following sentences from the passage is an example of a fact?A. He hit the water at over six hundred miles an hour.B. The impact was so loud that it made birds fly out of trees up to three miles away.C. He just bounced off it, about fifteen feet back into the air.D. He was brought to shore by two passing fishermen in a rowboat ….第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

2020年高考化州市第一次模拟考试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 答案CCAAABBACDBB【提示】12、【详解】定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)y f x =+的图象关于直线1x =对称，可知函数是()f x 偶函数，()xf x 是减函数，当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立（()f x '是函数()f x 的导函数），可知函数()y xf x =在(,0)x ∈-∞时是减函数，0x >时()xf x 是减函数； 故()xf x 在R 上是减函数，0.660.7610.706log ＞＞＞＞所以()()()()660.60.60.70.7log 6log 60.70.766f f f >> ．即 b a c >> ，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) xoe R x ，∈∃0＜10+x (14) y x =； (15)3132； (16)． 65； 【提示】16、【详解】△ABC 是边长为3的正三角形，可得外接圆的半径2r asin60==︒2，即r ＝1． ∵PA⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R 22h r 2（）=+=2,解得h=2,又53PBC S ∆=由P ABC A PBC V V --= 知'13153××32=3434d ⨯⨯⨯ ，得'65d = 故点A 到平面PBC 的距离为65．三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（1）设等差数列的公差为， --------------------------------------1分由可得--------------------------------------------3分 解得，-------------------------------------------------5分所以的通项公式为---------------------------------------6分（2）, -----------------------------------9分所以-------------------------12分18．解：（1）根据题意可得22⨯列联表如下： 爱付费用户不爱付费用户 合计年轻用户 2440 64非年轻用户 6 30 36 合计3070100------------------3分由表中数据可得()()()()()()2221002430406 4.76 3.84130706436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，---5分所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关． --------------------6分 （2）由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为1A ，2A ，3A ，4A ，1人为“非年轻用户”，记为B ．------------------------------------------------7分 则从这5人中随机抽取2人的基本事件有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()1,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()2,A B ，()34,A A ，()3,A B ，()4,A B ，共10个基本事件．---9分其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，共6个． -------------------------------------------11分所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为63P 105==．----------------12分 19．证明：（1）取PD 的中点O ，连结AO ， 因为PAD ∆为等边三角形，所以AO PD ⊥.-----------------------------------------------------------1分 又因为AO ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面PCD PD =， 平面PAD ⊥平面PCD ，所以AO ⊥平面PCD .--------------------------2分 因为CD ⊂平面PCD ， 所以AO CD ⊥因为底面ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥.-----------------------------3分 因为AOAD A =，所以CD ⊥平面PAD ，------------------------4分 又因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .-----------------5分 （2）由（1）得AO ⊥平面PCD ， 所以A 到平面PCD的距离d AO ==.---------------------------------6分因为底面ABCD 为正方形，所以//AB CD .-----------------------------------------------------------7分 又因为AB ⊄平面PCD ， CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD .-----------------------------------------------------8分 所以A ，B 两点到平面PCD 的距离相等，均为d . 又Q 为线段PB 的中点， 所以Q 到平面PCD的距离2d h ==.----------------------------------10分 由（1）知，CD ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，------11分所以11122332Q PCD PCD V S h -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=.-------------------------12分 20．解：（1）椭圆D的离心率e ==，a ∴=，--------------2分又点)1-在椭圆上，22211a b∴+=，得2a =，b =-----------------4分 ∴椭圆D 的标准方程为22142x y +=.-----------------------------------------5分 （2）由题意得，直线l 的方程为y kx t =+，---------------------------------6分由22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=，-------------------7分设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421kt x x k -+=+，21222421t x x k -=+，----------------8分 1212OA OBy y k k x x +=+ 1212kx t kx t x x ++=+= ()12122t x x k x x ++= 22242122124kt k k t k t -++⋅⋅+-242k t -=-， 由OA OB k k k λ+=，得242t λ-=-，即242t λ=-，-----------------------10分 又[]2,4λ∈，[]20,1t ∴∈，[]1,1t ∴∈-. --------------------------------12分 21．解：（1）由题可得()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增；---------------2分 当0a >时，令()0f x '<得ln x a <；令()0f x '>，得ln x a >， ---------------3分 所以函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在[)ln ,a +∞上单调递增．-------------4分 综上，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在[)ln ,a +∞上单调递增．----------------------------------------5分 （2）()()f x g x ≤即23x x e ax xe -+≤+，即()110xx e ax ---≤，------------6分令()()()110xt x x e ax x =---≥，则()max 0t x ≤．易得()()0xt x xe a x '=--≥， -----------------------------------------7分令()()0xh x xe a x =--≥，则()()10xxxh x e xe x e =--=--<'，所以函数()h x 在[)0,+∞上单调递减，()0h a =-，--------------------------8分 ①当0a ≥时，0a -≤，则()()00h x h ≤≤，所以()0t x '≤，所以函数()t x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()00t x t ≤=，满足()max 0t x ≤；---9分 ②当0a <时，0a ->，1a e ->，()00h a =->，()()10aa h a ae a a e ---=-=-<，所以存在()00,x a ∈-，使得()00h x =，所以当()00,x x ∈时，()0t x '>；当()0,x x a ∈-时，()0t x '<，所以函数()t x 在[)00,x 上单调递增，在()0,x a -上单调递减，-----------------10分 又()00t =，所以()00t x >，所以0a <不满足()max 0t x ≤．-----------------11分综上可得0a ≥，故a 的取值范围为[)0,+∞．-------------------------------12分22．解：(1)曲线2C 的极坐标方程为31sin()sin cos 3622πρθρθρθ+=+=， 将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C 直角坐标方程为31322y x +=， 即360x y +-=，所以曲线2C 为直线． ------------------------------2分 又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆，因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点，所以|26|||22r -==， ------------------------------------------------3分 所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，------------------------------------4分把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.-----------------------------------------------------------5分(2)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>， -----------------------6分1212||sin 42cos cos 2444MON S OA OB ππρρθθ∆⎛⎫===+ ⎪⎝⎭‖ ----------------7分 ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 222cos 24πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ----------------------------------------------------8分 所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AOB ∆的面积最大，且最大值为222+.----------10分 23．解：（1）由可化为： 或或--------------3分 不等式解集为：--------------------------------------------5分（2）因为， （3）所以， ---------------------------------------------6分 即的最小值为； -------------------------------------------------7分要使不等式解集非空，需 ---------------8分从而，解得或 -----------------------------9分 所以的取值范围为)5()1(∞+-∞，，U -----------------------------10分。

2020年高考化州市第一次模拟考试 数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）（1）【解析】 由集合2{|log (1)0}{|12}A x x x x =-<=<<，则{|1R C A x x =≤或2}x ≥，又{|3}B x x =≤，所以(,1][2,3]R C A B ⋂=-∞⋃.（2）【解析】()()()21i 1i i 1i 1i 1i z ++===--+，则i z =-，故()i i 1z z ⋅=⋅-=，故选C ．（3）答案：A解析：因为E ，F ，G ，H 分别为各个面的中心，显然E ，F ，G ，H 四点共面，截面如图所示．显然四边形EFGH 为正方形，且边长为22， 所以S 正方形EFGH ＝22×22＝12. 另外易知点M 到平面EFGH 的距离为正方体棱长的一半，即12，所以四棱锥M －EFGH 的体积V＝13×12×12＝112. （4）解析：根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5种选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120种情况，则不同的排列有5×120＝600种，故选C.（5）解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74①，a 1（1－q 6）1－q ＝634②，②÷①，得1＋q 3＝9，∴q 3＝8， 即q ＝2，代入①，解得a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32.（6）解析：当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，则f (x )在[－1，0]上单调递减． 又f (x )在[－1，1]上是奇函数，∴f (x )在 [－1，1]上单调递减． ∴由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－m ≤1，－1≤m 2－1≤1，1－m >m 2－1，解得0≤m ＜1， ∴原不等式的解集为[0，1)．故选A .（7）【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为b y x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ． （8）解析：当n ＝1时，正方形的个数为20＋21＝3； 当n ＝2时，正方形的个数为20＋21＋22＝7； …，∴第n 代“勾股树”所有正方形的个数为20＋21＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.∵最大的正方形面积为1，∴当n ＝1时，由勾股定理知所有正方形的面积的和为2；当n ＝2时，由勾股定理知所有正方形的面积的和为3； …，∴第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为n ＋1. 故选D.（9）【解析】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故3ω=， 又函数的图象的第二个点是π,04⎛⎫⎪⎝⎭，∴π3π4ϕ∴⨯+=，∴π4ϕ=，∴()πsin 34f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()ππsin 3sin 3124g x A x A x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴只需将函数()f x 的图形要向右平移π12个单位，即可得到()g x 的图象，故选C ． （10）【解析】在ABD ∆中，6AD =，2BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得AB ==所以DF AB ==，所以所求概率为2413DEF ABC S S ∆∆==. （11）解析：令u ＝x 2＋x ＋1，则函数y ＝log a u (a >0，a ≠1)有最小值．∵u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，∴当函数y ＝log a u 是增函数时，在u ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上有最小值， ∴a ＞1.此时“囧函数”y ＝1|x |－1与函数y ＝log a |x |在同一坐标系内的图像 如图所示，由图像可知，它们的图像的交点个数为4.（12）【解析】∵()()2f x f x x -+=，∴()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，∴()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()0T x f x x ''=-<， ∴()T x 在(),0-∞上单调递减，∴()T x 在R 上单调递减．∵存在()(){}01x x T x T x ∈≥-，∴()()001T x T x ≥-，∴001x x ≤-，即012x ≤． 令()()e x h x g x x a =-=--，12x ≤， ∵0x 为函数()()h x g x x =-的一个零点，∴()h x 在12x ≤时有一个零点． ∵当12x ≤时，()12e e 0x h x =-'，∴函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又∵e0h ea ⎛=--=> ⎝，∴要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥， ∴a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13) 1- (14) 8 (15) 32342(1)(2)n n n +-++ (16) 6π（13）【解析】由()+⊥a b a 得()0+⋅=a b a ，得20+⋅=a a b ，∴1⋅=-a b ，故答案为1-． （14）【解析】画出不等式组10202x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数23z x y =+过点A 时，z 取得最小值；由1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，求得()1,2A ；∴23z x y =+的最小值是21328⨯+⨯=．故答案为8． （15）解析：由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知，数列{a n }是首项为3，公差为2 的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，故数列{b n }的前n 项和T n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1＋1n－1n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）. （16）【解析】∵1AB =，3BC =2AC =222AB AC BC +=， ∴ABC △是以BC 为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为3BC 当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值， 此时，其外接球的直径为2226R BC CD =+因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为()224ππ26πR R =⨯=． 三、解答题：共70分。

广东省河源市龙川县第一中学2020-2021学年高一物理月考试卷含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. （单选）如图所示，同一轨道平面内的几颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，某时刻它们恰好在同一直线上，下列说法正确的是A、根据可知它们的运行速度大小关系为B、它们的运转角速度的关系为C、它们的向心加速度的大小关系为D、各自运动一周后，A最先回到图示位置参考答案：CA、根据中距离r的变化去判断速度大小关系是错误的，因为随着距离r的变化，g也在改变；对卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得：，得，其中M为地球质量，r为轨道半径，所以，故A错误；B、根据，得：，其中M为地球质量，r为轨道半径，所以，故B错误；C、卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：，得，其中M为地球质量，r为轨道半径，所以向心加速度，故C正确；D、研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：，得，其中M为地球质量，r为轨道半径，所以，所以运动一周后，C先回到原地点，故D错误。

故选C。

2. 下列事例中有关速度的说法，正确的是（）A．汽车速度计上显示80km/h，指的是平均速度B．某高速公路上限速为110km/h，指的是瞬时速度C．火车从济南到北京的速度约为220km/h，指的是瞬时速度D．子弹以900km/h的速度从枪口射出，指的是瞬时速度参考答案：D3. （单选）如图所示，质量相同的两个小球，分别用长l和2l的细线悬挂在天花板上．分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（）A．两球运动的线速度相等B．两球的向心加速度相等C．两球运动的角速度相等D．细线对两球的拉力不相等参考答案：B4. （多选）一物体在力F1、F2、F3、… Fn的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去力F2 , 则物体 ( )A．可能做曲线运动 B．可能继续做匀速直线运动C．可能沿F2的方向做匀加速直线运动 D．可能沿F2的方向做匀减速直线运动参考答案：AD5. （单选）如图甲所示为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O、a、b、c、d……为网绳的结点，安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上，该处下凹至最低点时，网绳dOe，bOg均成120°向上的张角，如图乙所示。