【附20套高考模拟试题】2020届陕西省宁强县天津高级中学高考数学模拟试卷含答案

陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤14．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．567．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．58．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．210．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为______．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是______．（填上你认为正确的所有命题的序号）15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为______．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=______．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．18．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？（2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95地理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）参考答案与试题解析一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，∴．故选：A．2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：﹣sin215°=cos30°==．故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．4．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的运算法则求解即可．【解答】解：平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（1，1）﹣=（﹣1，2）．故选：D5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．56【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．利用长方体的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．上面的长方体的棱长分别为：5，4，2；下面的长方体的棱长分别为：6，4，1．∴该组合体的体积=5×4×2+6×4×1=64．故选：C．7．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5n mile．故选：D．8．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个古典概型，列出树状图，要做到不重不漏，从树状图可以看出试验发生的所有事件，数出满足条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，如图所有可能结果共有4×6=24种．A区域是红色可能结果有6种，所以A区域是红色的概率是=．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．【解答】解：由得b=2a，，．故选A．10．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值，用裂项法即可计算求值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值．由于S=1++++…+=1+2×[（）+（）+…+（﹣）]=1+2×（﹣）=．故选：B．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．12．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；【解答】解：函数，当＜x≤1时，f（x）=，f′（x）==＞0，f（x）为增函数，∴f（）＜f（x）≤f（1），∴f（x）∈（，]；当0≤x≤时，f（x）=﹣x+，为减函数，∴f（）≤f（x）≤f（0），∴f（x）∈[0，]，综上：f（x）∈[0，]；函数，g′（x）=，0≤≤，∴g′（x）＞0；g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1），∴g（x）=[1﹣a，1﹣]，∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，∴解得≤a≤2，故选C；二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点A（0，3）时，z最大值即可．【解答】解：根据约束条件，画出可行域如图：直线z=x+2y过点A时，z最大值，由，解得A（1，1）．即目标函数z=x+2y的最大值为3，故答案为：3．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错故答案为②15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k MA•k MB=﹣1．即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．【考点】三角函数的最值；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）根据题意和任意角的三角函数定义求出sinα、cosα，代入解析式求出f（α）的值；（2）根据二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，由x求出的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的最小值．【解答】解：（1）∵点P（，﹣1）在角α的终边上，∴sinα=，cosα=，∴f（x）=2sinα（cosα+sinα）﹣2=2×（）﹣2=﹣3；（2）由题意得，f （x ）=2sinx （cosx +sinx ）﹣2 =sin2x +2sin 2x ﹣2=sin2x ﹣cos2x ﹣1 =，由x 得，，则，即，∴f （x ）的最小值是f （0）=﹣2．18．如图，直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，AA ′=2AC=2BC ，E 为AA ′的中点，C ′E ⊥BE ． （1）求证：C ′E ⊥平面BCE ；（2）若AC=2，求三棱锥B ′﹣ECB 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）证明C ′E ⊥EC ，利用C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ，即可证明C ′E ⊥平面BCE ； （2）利用等体积转化求三棱锥B ′﹣ECB 的体积． 【解答】（1）证明：在矩形A ′ACC ′中，E 为A ′A 中点且AA ′=2AC ， ∴EA=AC ，EA ′=A ′C ′， ∴∠AEC=∠A ′EC=45°， ∴C ′E ⊥EC ，∵C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ， ∴C ′E ⊥平面BCE ；（2）解：∵B ′C ′∥BC ，B ′C ′⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， ∴B ′C ′∥平面BCE ， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ， ∵C ′E ⊥平面BCE ， ∴C ′E ⊥BC ，∵BC ⊥CC ′，C ′E ∩CC ′=C ′，∴BC ⊥平面ACC ′A ′′∴BC ⊥CE ， ∵AC=2，∴BC=2，EC=EC ′=2， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ==．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？ （2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 6065 70 75 80 85 90 95 地理分数y 7277 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（2）①根据古典概型的概率公式进行计算即可．②首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．【解答】解：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析抽取女生数=5人，男生数=3人；（2）①规定85分（含85分）以上为优秀，一个学生两科都优秀的为6.7.8三个同学，则两科都优秀的概率是P=．②r=r=≈0.99，非常接近于1，∴地理成绩y与数学成绩x之间有较强的线性相关关系，则对应的散点图如图：∵==77.5，==84.9b≈0.65，a≈34.53则线性回归方程为：y=0.65x+34.5320．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设c=t，（t＞0）．则a=2t，b=，由△F1PF2面积取最大值，求出t=1，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、直线方程、向量的数量积，结合已知条件能求出•为定值0．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，∴设c=t（t＞0）．则a=2t，b=，又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，∴=，解得t=1，∴椭圆方程为．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，，直线AA1的方程为y=，直线BA1的方程为y=，∴P（4，），Q（4，），∴=（3，），=（3，），∴=9+（）（）=，∴•为定值0．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再分类根据导数和函数单调性的关系即可解决；（2）根据函数的单调性以及k的范围，即可判断f（x）=0在区间（1，）解得个数．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣klnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=x﹣，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，令f′（x）=0，解得x=当f′（x）＞0时，解得x＞，此时函数f（x）在（，+∞）单调递增，当f′（x）＜0时，解得0＜x＜，此时函数f（x）在（0，）单调递减，综上所述，当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减．（2）由（1）可知，①当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，∵方程f（x）=0在区间（1，）上是有解，∴即此时k的值不存在，②∵f（1）=＞0，f（）=，当0＜＜1时，即0＜k＜1时，f（x）在（1，）单调递增，由f（1）=＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当1≤≤时，即1≤k≤e时，f（x）min=f（）=﹣kln=kln＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当＞时，即k≥e时，f（x）在（1，）单调递减，由f（）=＜0，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解，综上所述，当k≤e时，f（x）=0在区间（1，）上无解，当k＞e时，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明：△PED∽△PAE；（2）利用相似三角形的性质，结合PE=2，求PA长．【解答】（1）证明：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，∵在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，∴△PED∽△PAE；（2）解：∵△PED∽△PAE，∴=，∴PE2=PA•PD．设AD=x∵PD=2DA，∴PA=3x，PD=2x，∴6x2=（2）2，∴x=2∴PA=6．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t 为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|即可证明．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1t2=﹣2．∴|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=2，为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．。

2020年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（三）一、选择题（共12小题，每题 5分，满分60分）1．已知会集A={x|x≥0}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．?2．已知向量，则向量 =（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，0）C．（1，1）D．（0，﹣1）3．若复数z满足，此中i为复数单位，则z=（）A．1﹣iB．1+iC．﹣1﹣iD．﹣1+i4．已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．（0，1）5．以下函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单一递减的是（）A．y=lnxB．y=cosxC．y=﹣x2D．6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，则S9的值（）A．54B．45C．36D．277．已知x、y满足拘束条件，则z=x﹣y的最大值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣28．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜）的部分图象以以以下图，则 f（）=（）A．B．1C．D．29．已知某个几何体的三视图以以以下图，该几何体的体积是（）第1页（共20页）A ．4B ．12C ．8D ．810．已知菱形 ABCD 的边长为 4， ，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个 极点的距离均大于 1的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个极点的坐标为（ 0，2），则双曲线的标准方程为（ ）A ． ﹣ =1B ． ﹣ =1C ． ﹣ =1D ． ﹣ =112．定义f （x ）?g （x ）=，函数 F （x ）=（x 2﹣1）?（x ）﹣k的图象与x 轴有两个不同样的交点，则实数 k 的取值范围是 （ ）A ．k ≥3或0≤k ＜1B ．k ＞3或0＜k ＜1C ．k ≤1或k ≥3D ．0≤k ≤1或k ＞3二、填空题（共 4小题，每题 5分，满分20分）13．依据某样本数据获得回归直线方程为y=1.5x+45，x ∈{1，7，10，13，19}，则= ．14．已知函数f （x ）=ax 3﹣3x+2020的图象在（1，f （1））处的切线平行于x 轴，则a=．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无量增添时， 多边形面积可无量迫近圆的面积，并创立了 “割圆术”．利用“割圆术”刘徽获得了圆周率精确到小数点后两位的近似值 ，这就是有名的“徽率”．如图是利用刘徽的 “割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为．（参照数据：sin15°，°）第2页（共20页）16．已知各项都为正数的等比数列{a n}，公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=2a1，则的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b﹣c）2=a2﹣bc．1）求角A的大小；2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD订交于点O．1）证明：SO⊥BD；2）求三棱锥O﹣SCD的体积．19．2020年1月1日新《环境保护法》实行后，2020年3月18日，交通运输部宣告《关于加速推动新能源汽车在交通运输行业实行应用的实行建议》，建议指出，至2020年，新能源汽车在交通运输行业的应用初具规模，在城市公交、出租汽车和城市物流配送等领域的总量达到30万辆；新能源汽车配套服务设备基本齐备，新能源汽车营运效率和安全水平显然提升．跟着新能源汽车的迅速发展，关于新能源汽车是纯电动汽车的续航里程（单次充电后能行驶的最大里程）向来是开销者最为关注的话题．关于这一问题渭南市某高中研究性学习小组从汽车市场上随机抽取n辆纯电动汽车检查其续航里程，被检查汽车的续航里程所有介于50公里和300公里之间，将统计结果分红5组：[50，100），[100，150[150，200），[200，250），[250，300），]，绘制以以以下图的频率分布直方图．（1）若续航里程在[100，150）的车辆数为5，求抽取的样本容量n及频率分布直方图中x 的值；第3页（共20页）（2）在（1）的条件下，若从续航里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求此中恰有一辆车的续航里程为[250，300]的概率．20．在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为 e=的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣1=0的圆心． （1 ）求椭圆E 的方程；（2 ）能否存在斜率为﹣1的直线l ，与椭圆交于 A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ．若存在，求该直线方程；若不存在，请说明原由．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣2x+alnx （a ∈R ）．（Ⅰ）当a=2时，求函数 f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）当a ＞0时，求函数 f （x ）的单一区间；（Ⅲ）若函数f （x ）有两个极值点 x 1，x 2（x 1＜x 2），不等式 f （x 1）≥mx 2恒成立，务实数的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲 ]22．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的均分线，交BC 的延伸线于点D ，延伸DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ．1）求证：FB=FC ；（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径， ∠EAC=120°，BC=6cm ，求AD 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点M （3，4），其倾斜角为 45°，圆C 的参数方程为 ．再以原点为极点，以 x 正半轴为极轴成立极坐标系，并使得 它与直角坐标系 xoy 有同样的长度单位． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，求|MA|?|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲 ]24．已知函数 f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|第4页（共20页）（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，务实数a的取值范围．第5页（共20页）2020年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（三）参照答案与试题解析一、选择题（共 12小题，每题 5分，满分 60分）1．已知会集 A={x|x ≥0}，B={﹣1，0，1}，则A ∩B=（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0}D ．? 【考点】交集及其运算．【解析】依据会集的基本运算进行求解即可． 【解答】解：∵A={x|x ≥0}，B={﹣1，0，1}， ∴A ∩B={0，1}， 应选：B ．2．已知向量 ，则向量 =（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，0）C ．（1，1）D ．（0，﹣1） 【考点】平面向量的坐标运算． 【解析】利用 = ，即可得出． 【解答】解： = =（1，1）， 应选：C ．3．若复数 z 满足 ，此中i 为复数单位，则 z=（ ） A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算．【解析】把已知等式变形，直接利用复数代数形式的乘法运算得答案． 【解答】解：由 ，得z=i （1﹣i ）=1+i ，应选：B ．4．已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（0，﹣1）B ．C ．D ．（0，1） 【考点】抛物线的简单性质．【解析】把抛物线方程化成标准方程，依据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．【解答】解：把抛物线方程化为标准方程为： x 2=4y ， ∴抛物线的焦点在 y 轴的正半轴， p=2， ． ∴抛物线的焦点坐标为（ 0，1）． 应选：D ．5．以下函数中，既是偶函数又在区间（ 0，+∞）上单一递减的是（）第6页（共20页）A ．y=lnxB ．y=cosxC ．y=﹣x 2D ．【考点】函数单一性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【解析】依据偶函数图象的对称性，对数函数和指数函数的图象，偶函数的定义，二次函数以及余弦函数的单一性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A ．y=lnx 的图象不关于y 轴对称，不是偶函数，∴该选项错误；B ．y=cosx 在（0，+∞）上没有单一性，∴该选项错误；C ．y=﹣x 2是偶函数，且在（0，+∞）上单一递减，∴该选项正确； D.的图象不关于y 轴对称，不是偶函数，∴该选项错误．应选C ．6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 5+a 8=15，则S 9的值（ ）A ．54B ． 45C ．36D ．27【考点】等差数列的前n 项和．【解析】由条件并等差数列的定义和性质可得3a 559=9a 5=15，求出a=5 ，由S=运算求得结果．【解答】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 5+a 8=15，则由等差数列的定义和性质可得3a 5=15，∴a 5=5．9=9a 5 =45，S=应选B ．7．已知x 、y 满足拘束条件 ，则z=x ﹣y 的最大值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2 【考点】简单线性规划．【解析】先依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=x ﹣y 表示直线在 y 轴上 的截距的相反数，只要求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（以以以下图），由z=x ﹣y 可得y=x ﹣z 则﹣z 为直线y=x ﹣z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越大由图可知，当直线l 经过点C （2，0）时， z 最大，且最大值为 zmax=2 应选C第7页（共20页）8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜）的部分图象以以以下图，则f（）=（）A．B．1C．D．2【考点】正弦函数的图象．【解析】由周恳求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：依据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜）的部分图象，可得==﹣，求得ω=2．再依据五点法作图可的2?+φ=，求得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（）=2sin=，应选：A．9．已知某个几何体的三视图以以以下图，该几何体的体积是（）第8页（共20页）A ．4B ．12C ．8D ．8【考点】由三视图求面积、体积．【解析】由三视图还原原图形，此后利用正方体和三棱柱的体积公式求得答案． 【解答】解：由三视图还原原几何体如图：则该几何体的体积为 V= ． 应选：B ．10．已知菱形 ABCD 的边长为 4， ，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个 极点的距离均大于 1的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】几何概型．【解析】依据几何概型的概率公式求出对应地域的面积进行求解即可． 【解答】解：分别以 A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径的圆， 则所以概率对应的面积为暗影部分，则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为 2π，则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积 S=π×12=π， ∵S 菱形ABCD =AB?BCsin =4×4×=8，∴S 暗影=S 菱形ABCD ﹣S 空白=8﹣π×12=8﹣π．所以，该点到四个极点的距离大于1的概率P= = = ，应选：D ．第9页（共20页）11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个极点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A ． ﹣=1B ． ﹣ =1C ．﹣=1D ．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【解析】由已知得双曲线的标准方程为=1，且2a+2b= ?2c ，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线的极点坐标为（0，2），∴a=2，且双曲线的标准方程为 =1．依据题意 2a+2b= ?2c ，即a+b= c ．又a 2+b 2=c 2，且a=2，∴解上述两个方程，得 b 2=4．∴切合题意的双曲线方程为．应选：B ．12．定义f （x ）?g （x ）=，函数F （x ）=（x 2﹣1）?（x ）﹣k 的 图象与x 轴有两个不同样的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≥3或0≤k ＜1B ．k ＞3或0＜k ＜1C ．k ≤1或k ≥3D ．0≤k ≤1或k ＞3【考点】分段函数的应用；函数的图象．【解析】依据定义求出（x 2﹣1）*（x ）的表达式，此后将函数转变成（ x 2﹣1）*（x ）=k ，利用数形联合即可获得结论．【解答】解：由x 2﹣1+x ≥1，即x 2+x ﹣2≥0，解得x ≥1或x ≤﹣2，由x 2﹣1+x ＜1，即x 2+x ﹣2＜0，解得﹣2＜x ＜1，即（x 2﹣1）*（x ）= ，第10页（共20页）由F （x ）=（x 2﹣1）*（x ）﹣k=0得（x 2﹣1）*（x ）=k ，作出函数（x 2﹣1）*（x ）的图象如图：要使（x 2﹣1）*（x ）=k 有两个交点， 则满足k ≥3或0≤k ＜1， 应选：A ．二、填空题（共 4小题，每题 5分，满分20分）13．依据某样本数据获得回归直线方程为 y=1.5x+45，x ∈{1，7，10，13，19}，则 = 60 ．【考点】线性回归方程．【解析】依据回归直线方程过样本中心点（ ， ），代人方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1+7+10+13+19）=10，∴ ×10+45=60． 故答案为：60．14．已知函数f （x ）=ax 3﹣3x+2020的图象在（1，f （1））处的切线平行于 x 轴，则a= 1 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1． 【解答】解：函数f （x ）=ax 3﹣3x+2020的导数为f ′（x ）=3ax 2﹣3，由图象在（1，f （1））处的切线平行于x 轴， 可得f ′（1）=3a ﹣3=0， 解得a=1．故答案为：1．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无量增添时， 多边形面积可无量迫近圆的面积，并创立了 “”“”割圆术．利用割圆术刘徽获得了圆周率精确到小数点后两位的近似值 ，这就是有名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为24 ．（参照数据：sin15°，°）第11页（共20页）【考点】程序框图．【解析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟履行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥，n=24，S=12×sin15°=12×，满足条件S≥，撤出循环，输出n的值为24．故答案为：24．16．已知各项都为正数的等比数列{a n}，公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=2a1，则的最小值为．【考点】等比数列的通项公式．【解析】存在两项a m，a n，使得=2a1，可得m+n﹣2=4，m+n=4．再利用基本不2等式的性质即可得出．【解答】解：∵存在两项a m，a n，使得=2a1，2m+n﹣2=4，m+n=4．则==≥=，等号不能够立，所以当且仅当m=3，n=1时，则的最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）第12页（共20页）17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足（ b ﹣c ）2=a 2﹣bc ． 1）求角A 的大小；2）若a=3，sinC=2sinB ，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；正弦定理． 【解析】（1）由已知等式可得 b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理可得 cosA= ，联合范围 A ∈（0，π），即可求得 A 的值．（2）由sinC=2sinB 及正弦定理可得 c=2b ，又a=3，A= ，由余弦定理可解得 b ，c 的值，利用三角形面积公式即可得解． 【解答】（本题满分为 12分）解：（1）∵（b ﹣c ）2=a 2﹣bc ，可得：b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴由余弦定理可得： cosA= = = ，4分又∵A ∈（0，π），∴A= 6分2）由sinC=2sinB 及正弦定理可得：c=2b ，∵a=3，A= ，8分∴由余弦定理可得： a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2﹣bc=3b2， ∴解得：b= ，c=2 ，10分∴S △ABC =bcsinA= =12分18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC 与BD 订交于点O ． 1）证明：SO ⊥BD ；2）求三棱锥O ﹣SCD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的地点关系．【解析】（1）由SA ⊥平面ABCD 可得SA ⊥BD ，又AC ⊥BD ，故BD ⊥平面SAC ，于是BD ⊥SO ；2）V O ﹣SCD =V S ﹣OCD =【解答】证明：（1）∵SA ⊥平面 ∴SA ⊥BD ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC ，．ABCD ，BD?平面ABCD ，第13页（共20页）又SA?平面SAC，AC?平面SAC，SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC，∵SO?平面SAC，∴SO⊥BD．（2）∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴S△OCD=S正方形ABCD==．∴V O﹣SCD=V S﹣OCD===．19．2020年1月1日新《环境保护法》实行后，2020年3月18日，交通运输部宣告《关于加速推动新能源汽车在交通运输行业实行应用的实行建议》，建议指出，至2020年，新能源汽车在交通运输行业的应用初具规模，在城市公交、出租汽车和城市物流配送等领域的总量达到30万辆；新能源汽车配套服务设备基本齐备，新能源汽车营运效率和安全水平显然提升．跟着新能源汽车的迅速发展，关于新能源汽车是纯电动汽车的续航里程（单次充电后能行驶的最大里程）向来是开销者最为关注的话题．关于这一问题渭南市某高中研究性学习小组从汽车市场上随机抽取n辆纯电动汽车检查其续航里程，被检查汽车的续航里程所有介于50公里和300公里之间，将统计结果分红5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制以以以下图的频率分布直方图．（1）若续航里程在[100，150）的车辆数为5，求抽取的样本容量n及频率分布直方图中x的值；（2）在（1）的条件下，若从续航里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求此中恰有一辆车的续航里程为[250，300]的概率．【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【解析】（1）频数=频率×样本容量求车辆数求出n的值，利用小矩形的面积和为1，求得x值；（2）续航里程在[200，250）的车辆数为：20××50=3辆；用A，B，C表示，续驶里程在[250，30020××50=2a b表示，分别求得5辆中随机抽取2辆]的车辆数为：辆，用，车的抽法种数与此中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，依据古典概型的概率公式计算．【解答】解：（1）由题意得n==20辆，由直方图可得：（）×50=1，；2）由（1）n=20，∴续航里程在[200，250）的车辆数为：20××50=3辆；用A，B，C表示，第14页（共20页）续驶里程在[250，300]的车辆数为： 20××50=2辆，用a ，b 表示，从这5辆中随机抽取 2辆为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共有10种抽法， 此中此中恰有一辆车的续航里程为 [250，300]的抽法为，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，共有 种抽法，故恰有一辆车的续航里程为 [250，300]的概率为 =20．在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 e=的椭圆E 的一个焦点为圆 C ：x 2+y 2﹣2x ﹣1=0的圆心． （1）求椭圆E 的方程；（2）能否存在斜率为﹣1的直线l ，与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ．若存在，求该直线方程；若不存在，请说明原由．【考点】椭圆的简单性质． 【解析】（1）求得圆 C 的圆心，可得椭圆的 c ，再利用椭圆的离心率公式，成立方程，求出 a ，b ，即可求椭圆 E 的方程；（2）假设存在直线 l ，将直线 y=﹣x+m 代入椭圆方程，利用韦达定理， OA ⊥OB ，可得 =0，即可求m 值，即可判断存在性．【解答】解：（1）圆C ：x 2+y 2﹣2 x ﹣1=0的圆心为（ ，0），可设椭圆方程为 + =1（a ＞b ＞0）， 可得c= ，即a 2﹣b 2=3，又e==，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为 +y 2=1；（2）假设存在斜率为﹣ 1的直线l ，与椭圆交于 A ，B 两点，且满足 OA ⊥OB ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立 （*）可得5x 2﹣8mx+4m 2﹣4=0，所以x 1+x 2=，x 1x 2= ，y 1y 2=（m ﹣x 1）（m ﹣x 2）=m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2=m 2﹣m 2+= ，由OA ⊥OB ，可得 ?=0，得x 1x 2+y 1y 2=0，即为+=0，第15页（共20页）解得m=± ．又方程（*）要有两个不等实根， △=（﹣8m ）2﹣20（4m 2﹣4）＞0，解得﹣ ＜m ＜ ．的值切合上边条件，所以存在斜率为﹣ 1的直线l 的方程为 y=﹣x ± ．21．已知函数f （x ）=x 2﹣2x+alnx （a ∈R ）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f （x ）在（1，f （1 ））处的切线方程；（Ⅱ）当a ＞0时，求函数f （x ）的单一区间；（Ⅲ）若函数f （x ）有两个极值点 x 1，x 2（x 1＜x 2），不等式f （x 1）≥mx 2恒成立，务实数m 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程； 利用导数研究函数的单一性；利用导数求闭区间上函数的最值．【解析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可获得切线方程；（Ⅱ）求出f （x ）的导数，令 f'（x ）=0，得2x 2﹣2x+a=0，对鉴别式议论，即当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（Ⅲ）函数f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，不等式f （x 1）≥mx 2恒成马上为≥m ，求得=1﹣x 1+ +2x 1lnx 1，令h （x ）=1﹣x++2xlnx （0＜x ＜ ），求出导数，判断单一性，即可获得 h （x ）的范围，即可求得 m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f （x ）=x 2﹣2x+2lnx ，，则f （1）=﹣1，f'（1）=2， 所以切线方程为 y+1=2（x ﹣ 1），即为y=2x ﹣3．（Ⅱ）（x ＞0），令f'（x ）=0，得2x 2﹣2x+a=0，（1 ）当△=4﹣8a ≤0，即时，f'（x ）≥0，函数f （x ）在（0，+ ∞）上单一递加；（2 ）当△=4﹣8a ＞0且 a ＞0，即时，由2x 2﹣2x+a=0，得，由f'（x ）＞0，得或；第16页（共20页）由f'（x ）＜0，得．综上，当 时，f （x ）的单一递加区间是（ 0，+∞）； 当时，f （x ）的单一递加区间是，；单一递减区间是 ．（Ⅲ）函数f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点，由（ Ⅱ）可得 ，由f'（x ）=0，得2x 2﹣2x+a=0，则x 1+x 2=1， ， ，由，可得 ， ，= =1﹣x 1+ +2x 1lnx 1，令h （x ）=1﹣x++2xlnx （0＜x ＜ ），h ′（x ）=﹣1﹣ +2lnx ，由0＜x ＜ ，则﹣1＜x ﹣1＜﹣ ， ＜（x ﹣1）2＜1，﹣4＜﹣ ＜﹣1，又2lnx ＜0，则h ′（x ）＜0，即h （x ）在（0， ）递减，即有h （x ）＞h （）=﹣ ﹣ln2，即 ＞﹣ ﹣ln2，即有实数 m 的取值范围为（﹣ ∞，﹣﹣ln2]．（ [选修4-1：几何证明选讲 ]（ 22．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的均分线，交BC 的延伸线于点D ，延伸DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ． （ 1）求证：FB=FC ； （ 2）若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm ，求AD 的长．第17页（共20页）【考点】与圆有关的比率线段．【解析】（1）由已知得∠EAD=∠DAC ，∠DAC=∠FBC ，从而∠FBC=∠FCB ，由此能证明FB=FC ． （2）由已知得∠ACB=90°从而∠ABC=30°，∠DAC= ∠EAC=60°，由此能求出 AD ． 【解答】证明：（1）由于AD 均分∠EAC ， 所以∠EAD=∠DAC ． 由于四边形 AFBC 内接于圆， 所以∠DAC=∠FBC ．由于∠EAD=∠FAB=∠FCB ， 所以∠FBC=∠FCB ，， 所以FB=FC ．解：（2）由于AB 是圆的直径，所以 ∠ACB=90°， 又∠EAC=120°，所以∠ABC=30°，∠DAC= ∠EAC=60°，由于BC=6，所以AC=BCtan ∠ABC=2 ， 所以AD= =4 （cm ）．[选修4-4：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点M （3，4），其倾斜角为 45°，圆C 的参数方程为 ．再以原点为极点，以 x 正半轴为极轴成立极坐标系，并使得 它与直角坐标系 xoy 有同样的长度单位． 1）求圆C 的极坐标方程； 2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，求|MA|?|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程． 【解析】（1）利用cos 2θ+sin 2θ=1消去参数可得圆的直角坐标方程式，由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出．（2）直线l 的参数方程，（t 为参数），代入圆方程得： +9=0，利用|MA|?|MB|=|t 1|?|t 2|=|t 1t 2|即可得出．x 2+（y ﹣2）2=4， 【解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcos θ）2+（ρsin θ﹣2）2=4化简得ρ=4sin θ，（2）直线l 的参数方程，（t 为参数）．第18页（共20页）即代入圆方程得：+9=0，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，t1t2=9，于是|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=9．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，务实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【解析】（1）把要解的不等式等价转变成与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为4，再依据|a﹣2|≥4，求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x＜2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2）．（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2}．第19页（共20页）陕西省高考全真模拟文科数学试卷三含解析212020年7月7日第20页（共20页）。

绝密★考试结束前2020年高考模拟检测数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分,选考题为二选一,考生作答时,将所有答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效,本试卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,书写要工整、笔迹清楚,将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{0,2,4}A =集合2{|1},B x N log x =∈…则A B =U{}{}{}{}.2,4.0,1,4.1,2,4.0,1,2,4A B C D2.设复数z 满足|z-5i|=2,则z z ⋅的最大值为 A.81 B.49 C.9 D.73.命题“偶函数的图像关于y 轴对称”的否定是 A.所有偶函数的图像都不关于y 轴对称 B.不是偶函数的图像都关于y 轴对称 C.存在一个偶函数的图像不关于y 轴对称 D.存在一个偶函数的图像关于y 轴对称4.已知等腰Rt △ABC 的斜边AB 长为2,点M 满AM AC AB =+u u u u r u u u r u u u r 则MB MC ⋅=u u u r u u u u rA.2C. D.05.将正奇数排成一个三角形阵,按照如图排列的规律,则第15行第3个数为 A.213 B.215 C.217 D.2196.若){1,2,4 3,,5i x i =对应数据如茎叶图所示:现将这五个数据依次输入程序框进行计算,则输出的S值及其统计意义分别是.2,A S =即5个数据的方差为2 B. S = 2 ,即5个数据的标准差为2 .10,C S =即5个数据的方差为2 D. S = 1 0 ,即5个数据的标准差为47.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c 若()2cos 32,cos b C a c B =-且2,6a c ==则△ABC 的面积S=A.27.33B .5.25C D8.如图在四棱锥P ABCD —中,PD ⊥平面ABCD,E 为线段CD 上的一点,则“AE ⊥BD”是“AE ⊥平面PBD”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.函数()211sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为10.已知F 1，F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 是双曲线右支上任意一点,M 是线段PF 1的中点,点N 在圆()222,0,x y a ON OM λλ+==<u u u r u u u u r上则△PF 1N 的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能11.设函数()(ln 1),f x x x ax a =--+若仅存在两个正整数()1,2i x i =使得()0,i f x <则a 的取值范围是的取值范围是3ln 33.2ln 222a A <≤-- B.2ln2-2<a 3ln 33.2ln 222C a --<„3ln 33.2D a -„ 12.抛物线()22,0y px p =>的焦点为F,准线为l,A,B 是抛物线上的两个动点,且满足3AFB π∠=设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N,则MNAB的最大值是 A.13323B C D. 2 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.为支援武汉的防疫,某医院职工踊跃报名,其中报名的医生18人,护士12人,医技6人,根据需要,从中抽取一个容量为n 的样本参加救援队,若采用系统抽样和分层抽样,均不用剔除人员。

陕西省汉中市宁强县天津中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列满足，，记数列前n项的和为S n，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7参考答案：A2. 已知函数，若，且，则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. 若,则等于( )A． B． C． D．参考答案：B4. 已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3参考答案：B5. 在直角坐标系xOy中，设A（﹣2，3），B（3，﹣2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时，则θ的大小为（）A．120°B．60°C．30°D．45°参考答案：A【考点】二面角的平面角及求法．【分析】作AC⊥x轴，BD⊥x轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，根据二面角的平面角的定义可知∠BDM就是二面角的平面角，则利用，根据余弦定理可知∠BDM的大小．【解答】解：作AC垂直x轴，BD垂直x轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，CD=5，BD=2，AC=3=MD，而BD⊥x轴，MD⊥x轴（MD∥AC），∠BDM就是二面角的平面角，∴，∴BM=，∵DM=3，BD=2∴COS∠BDM=﹣∴∠BDM=120°故选A．6. 设函数的导函数为，对任意都有成立，则（）A. B.C. D. 与大小不确定参考答案：C7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先将-x代入选项，判断是否为偶函数，如果是偶函数再判断它在区间(0,+∞)上的单调性。

【详解】由题B，C，D选项的函数为偶函数，在区间(0,+∞)上单调递减，单调递增，有增有减，故选B 。

【点睛】本题考查偶函数的性质和函数的单调性，属于基础题。

2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．175．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab=A ．13B ．13-C ．3D ．-37．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC 6πD 69．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 [)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v ，且它们的夹角为120°，则向量2a b +v v 与向量a v 夹角的余弦值为________13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式）15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.AB平面PDC;（Ⅰ）求证://-的体积;（Ⅱ）当平面PBC⊥平面ABCD时，求四棱锥P ABCDP A B C D中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,BC垂直，并给出证明．．.18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间气温(单位：)[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =20．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-． （1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值； （2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值．2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)【解析】因为(){}|lg 22A x y x ∞==-=+（，），所以()2,3A B ⋂=，故选C.2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”⇔24004a a a ∆=-<⇔<<若“04a ≤≤”成立，“04a <<”不一定成立 反之，若“04a <<”成立，“04a ≤≤”一定成立所以“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的必要不充分条件. 所以A 选项是正确的. 故选A3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【解析】1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<． 故选：D.4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．17【解析】2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+，解得7AB AD =， )22ABC1()sin 601217sin 6072DEF AD S S ︒︒∴==V V ， 故选D5．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-，∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+，∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数， 故选B 6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab= A ．13B ．13- C ．3 D ．-3【解析】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B7．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈【解析】由图像可知2A =，1,4612T T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因为2T πω=，得到2ω= 代入,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得sin 16πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得23k πϕπ=-，取0k =，则3πϕ=-所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2cos 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()34y f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2sin 223sin 2343x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 223sin 22sin 223233233x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4sin 233x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4sin2x =，则22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得4sin 2y x =的单调递增区间，得44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.故选A 项.8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．6πD ．62π 【解析】由题中条件易得2PA PB PC ===，从而球O 的半径36222r =⨯=，体积3463V r ππ==， 故选：C ．9．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2【解析】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示，可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<，即10b c ++=且0c >且2()()022b b b c -+⋅-+<且012b<-<，解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--， 故选B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=Q 11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.【解析】（1） 2.547.5812.5517.5222.519.520x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；（2）222222(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)128.520s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v，且它们的夹角为120°，则向量2a b +vv 与向量a v 夹角的余弦值为________【解析】2a b +===r r ()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.【解析】设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等，则222466R r a ππ==，则222111::::466R r a ππ=， 即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==. 14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式） 【解析】因为0x >，0y >，141x y+=，则144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，（当且仅当3,6x y ==时取等号），9x y +≥，不等式280m m x y ---<恒成立，即：28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<，则19m -<<，则m 的取值范围是(1,9)-.15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）【解析】根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有2615C =种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种.四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【解析】()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()IIQ 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠， 31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明．．. 【解析】（Ⅰ）证明：∵AB ∥DC ，且DC ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ， ∴AB ∥平面PDC ；（Ⅱ）解：取BC 中点D ，∵PB=PC ，∴PD ⊥BC ， 又平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC∩平面ABCD=BC ， ∴PD ⊥平面ABCD ，则PD 为四棱锥P ﹣ABCD 的高， 在底面直角梯形ABCD 中，由AB=5，AD=4，DC=3， 得()1435162ABCD S =⨯⨯+=，且224(53)25+-=又PB=PC=3，∴PD=223(5)2-=． ∴13216233P ABCD V -=⨯⨯=； （Ⅲ）解：图中PA ⊥BC ． 证明如下：由（Ⅱ）知，PD ⊥BC ，作CG ⊥AB ，在直角三角形CGB 中，可得cos 5CBG ∠=， 在三角形ADB 中，由余弦定理可得22255(5)25520AD =+-⨯⨯⨯=， 则AD 2+BD 2=AB 2， ∴AD ⊥BC ，又AD∩PD=D ，∴BC ⊥平面PAD ，则PA ⊥BC ．18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？【解析】(Ⅰ)由题意知X 的可能取值为100，300，500，()2161000.290P X +===， ()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===，X ∴的分布列为：()1000.23000.45000.4340E X =⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100500n ≤≤，当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=，若最高气温位于[)20,25，则()530023003900Y n n n =⨯+--=-， 若最高气温低于20，则()510021003300Y n n n =⨯+--=-，()()()20.49000.43000.24200.2E Y n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=+，此时，500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元， 当100300n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=， 若最高气温位于[)20,25，则532Y n n n =-=，若最高气温低于20，则()5100100300300Y n n =⨯---=-，()()()20.40.43000.260 1.4E Y n n n ∴=⨯++-⨯=+，此时，300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元，340n ∴=时，Y 的数学期望值为：4200.2340488+⨯=不是最大值， 500n =时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =【解析】（Ⅰ）由题意，得椭圆的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中12k =或，()1122,),,Ax y B x y （，由方程组22{12y kx mx y =++=得()222124220kxkmx m +++-=，所以2216880k m ∆=-+> ()*，于是有2121222422,1212km m x x x x k k --+==++ ， 所以()222222222422114821121212km m k AB k k m k k k --+⎛⎫=+-⨯=-+ ⎪+++⎝⎭，因为原点O 到直线y kx m =+的距离 21m d k=+所以()22221221212AOB S AB d m k m k ∆=⋅=-++ 222S =()22299AOB S m m ∆=- 当1k =时，()22233AOB S m m ∆=-232m =时AOB S ∆的最大值12S =，验证知()*成立；292m =当2k =时，所以当时AOB S ∆的最大值，验证知()*成立；所以12S S =。

2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷2一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |﹣1＜x ≤2}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{0，1，2}C ．{0，1}D ．{x |﹣1＜x ≤2，或x ＝3}2．（5分）若z =i 2020+3i 1+i ，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．﹣1D ．13．（5分）已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（ ） A ．310B ．35C ．710D ．254．（5分）已知a =21.2，b =30.6，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b5．（5分）古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A ．7B ．8C ．9D ．106．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．17．（5分）函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移个π3单位长度，再向上平移2个单位长度，得到g （x ）的图象则g（x ））图象的一条对称轴为直线（ ）A ．x =π12B ．x =π4C ．x =π3D ．x =5π128．（5分）已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．139．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．1511．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2在第一象限的交点为P ，∠PF 1F 2的角平分线与PF 2交于点Q ，若4|PQ |＝3|F 2Q |，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．6+2√7B ．3+√7C ．6﹣2√7D ．4−√712．（5分）已知函数f （x ）＝|x ﹣2|，g （x ）＝kx ，若方程f （x ）＝g （x ）有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（1，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为 ．14．（5分）曲线f(x)=12x 2+xlnx 在点（1，f （1））处的切线与直线ax ﹣y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝a n +1﹣1，则a n ＝ ． 16．（5分）过抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为6√2，则p ＝三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝4﹣4cos B．（1）求tan B 2；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC周长的最小值．18．（12分）细叶青萎藤又称海风藤，俗称穿山龙，属木质藤本植物，是我国常用大宗中药材，以根茎入药，具有舒筋活血、祛风止痛、止咳平喘、强身健体等医疗保健功效．通过研究光照、温度和沙藏时间对细叶青萎藤种子萌发的影响，结果表明，细叶青萎藤种子发芽率和发芽指数均随着沙藏时间的延长而提高．如表给岀了2019年种植的一批试验细叶青萎藤种子6组不同沙藏时间发芽的粒数．沙藏时间x（单位：天）222325272930发芽数y（单位：粒）81120305970经计算：∑6i=1x i y i=5550，∑6i=1x i2=4108，∑6i=1y i2=9866，√10829≈0.00961．其中x i，y i分别为试验数据中的天数和发芽粒数，i＝1，2，3，4，5，6．（1）求y关于x的回归方程y=b x+a（b和a都精确到0.01）；（2）在题中的6组发芽的粒数不大于30的组数中，任意抽岀两组，则这两组数据中至少有一组满足“发芽数沙藏时间＜12”的概率是多少？附：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线υ=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑ni=1(u i−v)(υi−v)∑n i=1(u i−v)2=∑n i=1u i v i−nuv∑n i=1u i2−nv2，α=u−βv．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB ＝CC1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求点M到平面B1NC的距离．20．（12分）已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2，0），且焦距为2，直线l 交椭圆于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，若点P 满足2OP →=OE →+OF →，求直线AP 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax +1． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当x ＜1时，函数f （x ）的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t −1（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （0，﹣1）．若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求|P A |+|PB |的值． 五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|．（1）已知关于x 的不等式f （x ）＜a 有实数解，求a 的取值范围； （2）求不等式f （x ）≥x 2﹣2x 的解集．2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷2参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）若z=i2020+3i1+i，则z的虚部是（）A．i B．2i C．﹣1D．1【解答】解：z=i2020+3i1+i=1+3i1+i=(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴z的虚部是1．故选：D．3．（5分）已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（）A．310B．35C．710D．25【解答】解：一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中一次取出两个球，基本事件总数n=C52=10，取到的两个球颜色不相同包含的基本事件个数m=C31C21=6，则“取到的两个球颜色不相同”的概率p=mn=610=35．故选：B．4．（5分）已知a=21.2，b=30.6，c=ln 83，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【解答】解：由题意得：a＝21.2∈（2，4），b＝30.6∈(√3，3)，c=ln 83＜lne＝1．∵30.6=√31.2＜21，2，∴a ＞b ＞c ， 故选：B ．5．（5分）古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【解答】解：设该女五第一天织布x 尺， 则x(1−25)1−2=5，解得x =531， ∴前n 天织布的尺数为：531(2n −1)，由531(2n −1)≥30，得2n ≥187，解得n 的最小值为8． 故选：B ．6．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．1【解答】解：∵E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心，且AB →=a →，AC →=b →， ∴BG →=13(BA →+BC →)=13(−AB →+AC →−AB →)=−23AB →+13AC →=−23a →+13b →，又BG →=λa →+μb →， ∴λ+μ=−13． 故选：A ．7．（5分）函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移个π3单位长度，再向上平移2个单位长度，得到g （x ）的图象则g（x ））图象的一条对称轴为直线（ ）A ．x =π12B ．x =π4C ．x =π3D ．x =5π12【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，w ，φ为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，可得A =√2，14T =7π12−π3=π4，∴ω＝2． ∵f （7π12）=√2sin （2×7π12+φ）=−√2，∴2×7π12+φ＝2k π−π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π−5π3，k ∈Z ，由|φ|＜π2，可得φ=π3， ∴f （x ）=√2sin （2x +π3）．∴g （x ）＝f （x −π3）+2=√2sin （2x −π3）+2， 令2x −π3=k π+π2，k ∈Z ， 可得x =12k π+5π12，∴当k ＝0时，g （x ））图象的一条对称轴为直线为x =5π12．8．（5分）已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．13【解答】解：先根据x ，y 满足线性约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0画出可行域，平移直线0＝2x +y ，当直线z ＝2x +y 过点B （0，1）时，z 取最小值为1． 故选：C ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝2，n ＝2满足条件S ＜30，执行循环体，S ＝2+4＝6，n ＝3 满足条件S ＜30，执行循环体，S ＝6+8＝14，n ＝4 满足条件S ＜30，执行循环体，S ＝14+16＝30，n ＝5 此时，不满足条件S ＜30，退出循环，输出n 的值为5． 故选：C ．10．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【解答】解：由三视图得，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A ﹣A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则V 三棱锥=13×12a 3=16a 3， 故正方体的体积为：a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：16． 故选：C ．11．（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线C与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，若4|PQ|＝3|F2Q|，则双曲线C的离心率为（）A．6+2√7B．3+√7C．6﹣2√7D．4−√7【解答】解：如图，设PF2＝x，∠PF1Q＝θ，则∠QF1F2＝θ，∠PF1F2＝2θ，则有tan2θ=73tanθ，∴2tanθ1−tan2θ=73tanθ，解得tan2θ=17．又tanθ=37xx+2a=√77，解得x＝（7+3√7）a，∴（a+2a）2+x2＝4c2，解得e=6+2√7．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．(0，12)B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，+∞）【解答】解：∵f（x）＝g（x）有两个不相等的实数根，∴f（x）＝|x﹣2|和g（x）＝kx的图象有两个不同的交点．画出f（x），g（x）的图象如下：∴0＜k ＜1． 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为70003．【解答】解：由频率分布直方图得：[1000，2000）的频率为：（0.0002+0.0004）×500＝0.3， [2000，2500）的频率为0.0006×500＝0.3， ∴根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为： 2000+0.5−0.30.3×500=70003． 故答案为：7000314．（5分）曲线f(x)=12x 2+xlnx 在点（1，f （1））处的切线与直线ax ﹣y ﹣1＝0垂直，则a ＝ −12 ．【解答】解：∵f （x ）=12x 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝x +lnx +1， ∴f ′（1）＝2． ∴切线的斜率为2，∵切线与直线ax ﹣y ﹣1＝0垂直， 可得：a =−12； 故答案为：−12．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝a n +1﹣1，则a n ＝ 2n ﹣1 ．【解答】解：由S n ＝a n +1﹣1，S n +1＝a n +2﹣1，∴a n +1＝a n +2﹣a n +1，∴a n +2＝2a n +1． 又a 1＝S 1＝a 2﹣1，解得a 2＝2＝2a 1， ∴数列{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n ﹣1．故答案为：2n ﹣1．16．（5分）过抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为6√2，则p ＝ √2【解答】解：抛物线的焦点坐标为F （0，p2），则过焦点斜率为1的直线方程为y ＝x +p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2＞x 1），由题意可知y 1＞0，y 2＞0． 由{y =x +p2x 2=2py，消去y 得x 2﹣2px ﹣p 2＝0，由韦达定理得，x 1+x 2＝2p ，x 1x 2＝﹣p 2∴梯形ABCD 的面积为：S =12（y 1+y 2）（x 2﹣x 1）=12（x 1+x 2+p ）（x 2﹣x 1） =12•3p √(x 1+x 2)2−4x 1x 2=3√2p 2＝6√2， 又p ＞0，∴p =√2． 故答案为√2．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin （A +C ）＝4﹣4cos B ． （1）求tan B2；（2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 周长的最小值． 【解答】解：（1）△ABC 中，sin （A +C ）＝4﹣4cos B ， 由A +B +C ＝π，及二倍角余弦公式可得 sin （π﹣B ）＝4（1﹣cos B ）， 即sin B ＝8sin 2B 2；所以2sin B 2cos B 2=8sin 2B2， 所以tanB 2=14； （2）由tan B 2=14，得cos B =cos 2B 2−sin 2B2sin 2B 2+cos 2B 2=1−tan 2B 2tan 2B2+1=1−116116+1=1517， 所以B ∈（0，π2），所以sin B =√1−cos 2B =√1−225289=817，所以S △ABC =12acsinB =417ac ； 又S △ABC ＝2，所以ac =172； 由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，所以a +b +c =√a 2+c 2−2accosB +a +c ≥√2ac −2accosB +2√ac =√2+√34， （当且仅当a ＝c 时取等号）；所以(a +b +c)min =√2+√34，即△ABC 周长的最小值为√2+√34．18．（12分）细叶青萎藤又称海风藤，俗称穿山龙，属木质藤本植物，是我国常用大宗中药材，以根茎入药，具有舒筋活血、祛风止痛、止咳平喘、强身健体等医疗保健功效．通过研究光照、温度和沙藏时间对细叶青萎藤种子萌发的影响，结果表明，细叶青萎藤种子发芽率和发芽指数均随着沙藏时间的延长而提高．如表给岀了2019年种植的一批试验细叶青萎藤种子6组不同沙藏时间发芽的粒数．沙藏时间x（单位：天）222325272930发芽数y（单位：粒）81120305970经计算：∑6i=1x i y i=5550，∑6i=1x i2=4108，∑6i=1y i2=9866，√10829≈0.00961．其中x i，y i分别为试验数据中的天数和发芽粒数，i＝1，2，3，4，5，6．（1）求y关于x的回归方程y=b x+a（b和a都精确到0.01）；（2）在题中的6组发芽的粒数不大于30的组数中，任意抽岀两组，则这两组数据中至少有一组满足“发芽数沙藏时间＜12”的概率是多少？附：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线υ=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑ni=1(u i−v)(υi−v)∑n i=1(u i−v)2=∑n i=1u i v i−nuv∑n i=1u i2−nv2，α=u−βv．【解答】解：（1）x=26，y=33，b=∑6i=1x i y i−6xy∑6i=1x i2−6x2=5550−6×26×334108−6×262≈7.73，a=y−b x=33−40252×26＝﹣168．∴y关于x的回归方程为y=7.73x−168；（2）由表可得，6组发芽的粒数不大于30的组数为（22，8），（23，11），（25，20），（27，30）．分别记为A，B，C，D．任意抽岀两组，方法总数为（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）共6种．这两组数据中至少有一组满足“发芽数沙藏时间＜12”的有（AB），（AC），（AD），（BC），（BD）共5种．则所求概率为P=5 6．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB ＝CC1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面BCC 1B 1； （Ⅱ）求点M 到平面B 1NC 的距离．【解答】解：（Ⅰ）连接AC 1，BC 1交B 1C 于点O ，∵AA 1⊥平面ABC 且AC ＝CC 1＝2，∴四边形ACC 1A 1为正方形， ∴AC 1过点N ，且点N 为AC 1中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，且MN =12BC 1， 又∵MN 不在平面BCC 1B 1内，BC 1在平面BCC 1B 1内， ∴MN ∥面BCC 1B 1．（Ⅱ）由（1）可得四边形MBON 为平行四边形， ∴可证BM ∥平面B 1NC ，∴点M 到平面B 1NC 的距离等于点B 到平面B 1NC 的距离，设为d ， ∵A 1C =B 1C =A 1B 1=2√2，N 为A 1C 中点，∴S △B 1NC =12S △B 1A 1C =√3， 由V N−BB 1C =V B−B 1NC ，得13S △BB 1C12AC =13S △B 1NC d ，又∵S △BB 1C =2， ∴d =2√33．20．（12分）已知椭圆：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2，0），且焦距为2，直线l 交椭圆于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，若点P 满足2OP →=OE →+OF →，求直线AP 的斜率的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a ＝2，2c ＝2，即c ＝1， b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设直线AE 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， 由2+x E =16k23+4k2，可得x E =8k 2−63+4k2，y E ＝k （x E ﹣2）=−12k 3+4k2，由于AE ⊥AF ，只要将上式的k 换为−1k， 可得x F =8−6k 24+3k2，y F =12k 4+3k2，由2OP →=OE →+OF →，可得P 为EF 的中点， 即有P （14k 2(4+3k )(3+4k )，6k(k 2−1)(4+3k )(3+4k )），则直线AP 的斜率为t =y P x P −2=k(1−k 2)4k 4+4+6k 2，当k ＝0时，t ＝0； 当k ≠0时，t =1k−k 4(k 2+1k2)+6， 再令s =1k −k ，可得t =s 4s 2+14， 当s ＝0时，t ＝0；当s ＞0时，t =14s+14s≤256=√1456，当且仅当4s =14s时，取得最大值； 当s ＜0时，t =1−(−4s+14−s )≥−√1456， 综上可得直线AP 的斜率的取值范围是[−√1456，√1456]．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax +1． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当x ＜1时，函数f （x ）的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣ax+1∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，令f'（x）＝0，即e x＝a，则x＝lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）单调递增，综上所述：当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．（2）方法一：由已知得，当x＜1时，f（x）＞0恒成立，由（1）得，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f(2a)=e 2a−a×2a+1=e2a−1＜0，不合题意；当0＜a＜e时，lna＜1对于任意x∈（﹣∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，lna）单调递减；对于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）单调递增，因此当x＝lna时，f（x）有最小值为a﹣alna+1＝a（1﹣lna）+1＞0成立．当a≥e时，lna≥1，对于任意x∈（﹣∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，1）单调递减，因为f（x）＞0恒成立，所以只需f（1）≥0，即a≤e+1，综上，a的最大值为e+1．方法二：由已知得，当x＜1时，f（x）＞0恒成立，当lna≥1时，即a≥e，对于任意x∈（﹣∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，1）单调递减，因为f（x）＞0，所以f（1）≥0，即a≤e+1，综上，a的最大值为e+1．方法三：由题设知，当x＜1时，f（x）＝e x﹣ax+1＞0，①当0＜x ＜1时，a ＜e x +1x． 设g(x)=e x +1x，则g ′(x)=xe x −e x −1x 2=(x−1)e x −1x 2＜0， 故g （x ）在（0，1）单调递减，因此，g （x ）的最小值大于g （1）＝e +1，所以a ≤e +1． ②当x ＝0时，f （x ）＝2＞0成立．③当x ＜0时，a ＞e x +1x ，因为e x +1x＜0，所以当a ＝e +1时，a ＞e x +1x成立． 综上，a 的最大值为e +1．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =12ty =√32t −1（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （0，﹣1）．若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求|P A |+|PB |的值． 【解答】解：（1）已知直线l 的参数方程为{x =12ty =√32t −1（t 为参数）． 转换为直角坐标方程为：√3x −y −1=0． 曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)． 转换为直角坐标方程为：x 2+y 2＝2x +2y ， 整理得：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，（2）将直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t −1（t 为参数），代入（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2．得到：(12t −1)2+(√32t −2)2=2， 化简得：t 2−(1+2√3)t +3=0，所以：t 1+t 2=1+2√3（t 1和t 2为A 、B 对应的参数）．故：|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=1+2√3． 五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|．（1）已知关于x 的不等式f （x ）＜a 有实数解，求a 的取值范围； （2）求不等式f （x ）≥x 2﹣2x 的解集．【解答】解：（1）f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|≥|（x +1）﹣（x ﹣2）|＝3， 当且仅当（x +1）（x ﹣2）≤0，即﹣1≤x ≤2时取等号， ∴f （x ）min ＝3，∵不等式f （x ）＜a 有实数解， ∴a ＞f （x ）min ＝3，∴a 的取值范围为（3，+∞）；（2）f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|={2x −1，x ≥23，−1＜x ＜2−2x +1，x ≤−1，∵f （x ）≥x 2﹣2x ，∴{2x −1≥x 2−2x x ≥2或{3≥x 2−2x −1＜x ＜2或{−2x +1≥x 2−2x x ≤−1，∴2≤x ≤2+√3或﹣1＜x ＜2或x ＝﹣1， ∴−1≤x ≤2+√3∴不等式的解集为[−1，2+√3]．。

2020年陕西省高考数学模拟试卷（文科）（新课标II）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|3x-4≥x}，B={1，3，5，7}，则A∩B=（）A. （3，5}B. {5，7}C. {3，5，7}D. {1，3，5，7}2.=（）A. B. C. D.3.中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A. 每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B. 从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长以上D. 从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列4.已知椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，-1），则该椭圆的焦距为（）A. B. C. D.5.若sinθ=，则cos2θ=（）A. B. C. D. -6.过双曲线的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点坐标为（0，b），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.设曲线y=a（x-1）-ln x在点（1，0）处的切线方程为y=3x-3，则a=（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A. B. C. -2 D.9.已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）A. 36πB. 27πC. 18πD. 12π10.已知x1，x2是函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的两个零点，且|x1-x2|的最小值为，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数图象的对称轴方程为（）A. ,B. ,C. ,D. ,11.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12.若函数+2t+1在区间（1，5）内有零点，则函数g（t）=的值域为（）A. [，-1）B. （-1，]C. [，]D. [，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.己知，则f（f（ln2））=______．14.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26）这8组勾股数中中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为______．15.在△ABC中，，，则=______．16.如图，在△ABC中，BC=2，，，点E在边AB上，且∠ACE=∠BCE，将射线CB绕着C逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点D，使得，连接DE，则△CDE的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，已知a2=3，a7=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，若S n=，求n的值．18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AD上的一点，且AE=2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC=SD．（1）证明：SH⊥平面BCDE．（2）求四棱锥S-BCDE的体积．19.月份x12345销量y（百台）0.60.8 1.2 1.6 1.8y（百件）与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在月与月的这名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．参考公式与数据：线性回归方程，其中，．20.已知抛物线y2=2px（p＞0），直线y=x+2是它的一条切线．（1）求p的值；（2）若A（2，4），过点p（m，0）作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为常数，求实数m的值．21.已知函数f（x）=x2-ln x+（a∈R，且a≠0）．（1）求函数f（x）的极值点；（2）当a＜0时，证明：f（x）+a2+a-1≥0．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-8=0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P是直线l的一点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．23.己知a＞0，函数f（x）=|x-a|．（1）若a=2，解不等式f（x）+f（x+3）≤5；（2）若函数g（x）=f（x）-f（x+2a），且存在x0∈R使得成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x≥2}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={3，5，7}．故选：C．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，属中档题．先对图表信息进行处理，再结合等差数列的概念及简单的推理逐一检验即可得解．【解答】解：由2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图可知：选项A，B显然正确；对于选项C，因为，即选项C正确；1.6，1.9，2.2，2.5，2.9不是等差数列，即选项D错误.故选D．4.答案：B解析：解：椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，-1），可得：a=2，b=1，所以，从而．故选：B．利用已知条件求出a，b，c，即可求出椭圆的焦距．本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力．5.答案：C解析：解：若sinθ=，则cos2θ=1-2sin2θ=1-=，故选：C．由题意利用二倍角公式，求得cos2θ的值．本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．6.答案：A解析：解：直线l的方程为，令x=0，得．因为，所以a2=c2-b2=3b2-b2=2b2，所以．故选：A．求出直线方程，利用l与y轴的交点坐标为（0，b），列出关系式即可求解双曲线的离心率．本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力．7.答案：D解析：解：因为，且在点（1，0）处的切线的斜率为3，所以a-1=3，即a=4．故选：D．求出函数的导数，得到切线的斜率，以及已知条件列出方程求解即可．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．8.答案：B解析：解：表示通过可行域内的点（x，y）与坐标原点的直线的斜率，画出不等式组表示的可行域，点A（-2，1）与坐标原点（0，0）的连线斜率最大，即．故选：B．画出可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．9.答案：A解析：【分析】本题考查圆柱体的侧面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．设出底面半径，求出底面半径与高，即可求解圆柱的侧面积．【解答】解：设底面圆的半径为r，则高为2r，由2r•2r=36，得r2=9，所以．故选A．10.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数图象的平移变换的应用，正弦函数的性质的应用，属于基础题型．首先由三角函数两相邻的零点确定其周期，进而确定，求出函数的解析式，进一步利用函数的图象的平移变换，求出函数的对称轴方程即可．【解答】解：已知x1，x2是函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的两个零点，且|x1-x2|的最小值为=，∴ω=3，函数的解析式为f（x）=cos（3x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y=cos（3x++）=sin（3x+）的图象，令3x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，k∈Z．故得到的函数图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，x=，k∈Z也是函数图象的对称轴方程.故选D．11.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB=2，，∴，得∠BAC1=60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点存在定理和函数的值域的求法，考查化简运算能力，属于中档题．判断f（x）在（1，5）上单调递增，由题意可得f（1）f（5）＜0，求得t的范围，再由二次函数的值域求法，可得所求值域．【解答】解：+2t+1，即+2t+1，可得f（x）在（1，5）上单调递增，由题意可得f（1）f（5）＜0，即（2t-2）（2t-1）＜0，解得＜t＜1，设h（t）=3t2-4t=3（t-）2-，可得t=∈（，1），可得h（t）取得最小值-，又h（1）=-1，h（）=-，可得h（t）的值域为[-，-1），则g（t）=的值域为（-1，-]．故选B．13.答案：3解析：解：f（f（ln2））=f（-2）=4-1=3．故答案为：3．先求出f（ln2），然后求出f（f（ln2））即可．本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力，属基础题．14.答案：解析：解：现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26）这8组勾股数中中随机抽取1组，从这8组勾股数中随机抽取1组，其中能构成等差数列的有（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），共3种，故所求概率为．故答案为：．利用古典概型定义求解即可．本题考查古典概型与数学文化，考查数据处理能力和应用意识．解析：解：，所以．故答案为：．直接利用向量的数量积转化求解即可．本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量的数量积运算，考查运算求解能力．16.答案：解析：【分析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力和转化思想，属于中档题．由已知利用余弦定理可求AC的值，由正弦定理可求的值，利用正弦定理求得CE的值，可求∠ECD为直角，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：由AB2=AC2+BC2-2AC•BC cos∠ACB，得AC2+2AC-2=0，解得．因为，所以，，所以，又因为，所以．因为，所以．故答案为.17.答案：解：（1）设公差为d的等差数列{a n}中，已知a2=3，a7=8．所以a7-a2=5d=5，解得d=1，由于a2=a1+d，所以a1=2．故a n=n+1．（2）由于a n=n+1，所以，则=，整理得，解得n=10．解析：（1）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用S n=求出n的值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得AE=AB=2，所以SE=SB=2，又点H是BE的中点，所以SH⊥BE．因为SC=SD，点M是线段CD的中点，所以SM⊥CD．又因为HM∥BC，所以HM⊥CD，从而CD⊥平面SHM，所以CD⊥SH，又CD，BE不平行，所以SH⊥平面BCDE．（2）解：由（1）知，，底面BCDE的面积为，所以四棱锥S-BCDE的体积．解析：（1）取CD的中点M，连接HM，SM，证明SH⊥BE．SM⊥CD．HM⊥CD，推出CD⊥平面SHM，即可证明SH⊥平面BCDE．（2）求出棱锥的底面面积与高，即可求解几何体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，如果是考试，可以参考评分细则：（1）第（1）问中，不管用哪种方法，证出结论得（6分）；（2）第（2）问，计算出高，得（2分），算出底面积S=4，得（2分），正确算出四棱锥的体积本小问共得（6分）．19.答案：解：（1）∵，，∴，则，于是y关于x的回归直线方程为．当x=6时，（百台）；（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B．从这6人中随机抽取3人的所有情况为（a，b，c）、（a，b，d）、（a，b，A）、（a，b，B）、（a，c，d）、（a，c，A）、（a，c，B）、（a，d，A）、（a，d，B）、（a，A，B）、（b，c，d）、（b，c，A）、（b，c，B）、（b，d，A）、（b，d，B）、（b，A，B）、（c，d，A）、（c，d，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有（a，A，B）、（b，A，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共4种，故所求概率为．解析：（1）由已知表格中的数据求得与的值，得到线性回归方程，取x=6求得y值即可；（2）利用枚举法写出从6人中随机抽取3人的所有情况，再求出从这6人中随机抽取3人的所有情况，由古典概型概率计算公式求解．本题考查线性回归方程的求法，训练了利用枚举法求古典概型的概率，是中档题．20.答案：解：（1）由y=x+2，得x=y-2，代入y2=2px，得y2-2py+4p=0，因为拋物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+2相切，所以△=（2p）2-4×4p=0，解得p=4．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则．设过点p（m，0）的动直线的方程为x=ty+m，代入y2=8x，得y2-8ty-8m=0，所以△=64t2+32m＞0，y1+y2=8t，y1y2=-8m，所以．若t变化，k AB+k AC为常数，则需满足，解得m=-2．解析：（1）通过直线与抛物线方程联立，结合△=（2p）2-4×4p=0，解得p=4．即可．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），设过点P（m，0）的动直线的方程为x=ty+m，代入y2=8x，得y2-8ty-8m=0，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．如果是考试，请参考：评分细则：（1）第（1）问，联立方程组不管是消x还是消y，只要是列出△=0得（3分），正确解出p的值共得（4分）；（2）第（2）问，正确列出，本步骤得（2分），联立方程组消去一个变量正确得到一个二元一次方程，再得（1分），写出了韦达定理又得（1分），求出得（2分），全部正确解完得满分；（3）若在第（2）问中设过点P（m，0）的动直线的方程为y=k（x-m），只要方法正确，参照评分标准按步骤给分．21.答案：解：（1）函数f（x）=x2-ln x+（a∈R，且a≠0）的定义域为（0，+∞），f′（x）=3x-+=；①当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，得0＜x＜，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，函数f（x）的极小值点为x=,无极大值点；②当a＜0时，令f′（x）＞0，得x＞-a；令f′（x）＜0，得0＜x＜-a，故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增，函数f（x）的极小值点为x=-a，无极大值点；（2）证明：当a＜0时，由（1）得，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（-a）=-a2-ln（-a）+1；所以f（x）+a2+a-1≥a2+a-ln（-a），令t=-a（t＞0），则g（t）=t2-t-ln t（t＞0），g'（t）=2t-1-=，当t＞1时，g′（t）＞0；当0＜t＜1时，g′（t）＜0，所以g（t）=t2-t-ln t（t＞0）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故g（t）≥g（1）=0，所以当a＜0时，f（x）+a2+a-1≥0．解析：本题考查导函数的综合运用，求函数的单调性、极值点和函数的最值，通过分类讨论和构造新函数的思想解决，属于中档题．（1）求函数f（x）的导函数，分类讨论a的取值范围，可得f（x）的极值点；（2）当a＜0时，由（1）可得f（x）≥f（-a）=-a2-ln（-a）+1，即f（x）+a2+a-1≥a2+a-ln（-a），构造新函数g（t）=t2-t-ln t（t＞0），即转换成证明g（t）=t2-t-ln t≥0（t＞0）即可，即求函数g（t）=t2-t-ln t（t＞0）的最小值大于等于0即可得证，22.答案：解：（1）将l的参数方程（t为参数）消去参数t，得3x-4y-17=0．把代入ρ2+2ρcosθ-8=0，可得曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+y2=9；（2）由（1）知曲线C是以（-1，0）为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，则圆心A到直线l的距离，∴l与圆A相离，且|PA|≥4．连接AQ，AP，在Rt△APQ中，|PQ|2=|PA|2-|AQ|2≥42-32=7，∴，即|PQ|的最小值为．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．（1）将l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程．把代入ρ2+2ρcosθ-8=0，可得曲线C的直角坐标方程；（2）由（1）知曲线C是以（-1，0）为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，利用圆心到直线的距离大于半径可得l与圆A相离，再由勾股定理及点到直线的距离求解|PQ|的最小值．23.答案：解：（1）当a=2时，，当x＜-1时，由1-2x≤5，解得-2≤x＜-1；当-1≤x＜2时，由3≤5，解得-1≤x＜2；当x≥2时，由2x-1≤5，解得2≤x≤3；综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x≤3}；（2）g（x）=f（x）-f（x+2a）=|x-a|-|x+a|，存在x0∈R使得成立，等价于；又因为|x-a|-|x+a|≤|x-a-x-a|=2a，所以2a≥a2-2a，即a2-4a≤0，解得0≤a≤4，结合a＞0，所以实数a的取值范围为（0，4]．解析：本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题（1）利用分段函数表示f（x）+f（x+3）的解析式，再解不等式，把最终答案写成解集形式；（2）由题意求出g（x）的最大值g（x）max，再解关于a的不等式．。