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陕西省西安市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32 B ．12 C ．78 D ．98【答案】C【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 2．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案.【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<.故选:D.3．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．2y x =± C ．33y x =± D ．3y x =±【答案】D【解析】【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴=223a b ∴=，解得3b a= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =，故选：D4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数. 5．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减 【答案】C【解析】【分析】 先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可.函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.6．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．5【答案】D【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i i z i i i i -=+=+=+++-Q ，2,5z i z ∴=-∴=． 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．7．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB⋅=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AG AC ⋅u u u v u u u v 等于（ ）A ．2B ．5C ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+u u u r u u u r 1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅ 22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++u u u r u u u r 5211BA BC =-⋅++ ， ∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅u u u r u u u r 22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．8．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1．故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 9．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由32i z i ⋅=+，得()()2323223i i i z i i i +-+===--， ∴23z i =+．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U 【答案】A【解析】【分析】化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x g x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ．【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．11．函数的图象可能是下面的图象( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】【分析】 模拟程序运行，观察变量值可得结论．【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =．故选：B ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年陕西省高考第五次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x ＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．（3分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1 B．i C．1 D．43．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{a n}公差为（）A．2 B．C．3 D．44．（3分）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A．m B．m C．m D．m（3分）如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）5．A．1﹣B．C．D．1﹣6．（3分）设a，b，c都是正数，且，那么（）A．B．C．D．7．（3分）函数f（x）＝+x2﹣2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．8．（3分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A．B．C．D．C C C9．（3分）在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）已知直线y＝kx与双曲线C：相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（）A．B．C．D．11．（3分）函数的部分图象如图所示，给下列说法：①函数f（x）的最小正周期为π；②直线为函数f（x）的一条对称轴；③点为函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．其中不正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（3分）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64 B．80 C．﹣64 D．﹣80二、填空题13．（3分）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为．14．（3分）在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，，，其中x，y ∈R，且均不为0．若，则＝．15．（3分）已知f（x）为奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣4）处的切线方程为16．（3分）已知矩形ABCD中，是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE 折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b（cos A﹣2cos C）＝（2c﹣a）cos B．（1）求的值；（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．19．为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉．保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价x（单位：百元/kg）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如表：x10 20 30 40 50 60y0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175（1）设z＝lnx，根据所给参考数据判断，回归模型与哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果保留一位小数）；（2）某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶1200kg，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：百元/kg）为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额W最大，并求W的最大值．参考数据：y与x的相关系数r1≈﹣0.96，y与z的相关系数r2≈0.99，，，，，，，，e3≈20.1，e3.4≈30.0，e3.5≈33.1，e4≈54.6．参考公式：，，．20．已知抛物线Γ：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线交抛物线Γ于M，N两点，满足|MN|＝8．（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点D（m，0）且斜率为1的直线被抛物线Γ截得的弦为AB，若点F在以AB为直径的圆内，求m的取值范围．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的零点个数；（2）若函数g（x）＝ln（e x﹣1）﹣lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝α与曲线C有两个不同的交点A，B，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若正数a，b，c满足，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x ＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出Z（A∩B）．【解答】解：；∴；∴Z（A∩B）＝5．故选：C．【点评】考查描述法的定义，交集的运算，理解Z（M）的定义．2．（3分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1 B．i C．1 D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝|z|2＝1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{a n}公差为（）A．2 B．C．3 D．4【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1＝12，S5＝90，∴5×12+d＝90，解得d＝3．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（3分）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A．m B．m C．m D．m【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过（6，﹣5），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求p即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：x2＝﹣2py，p＞0，∵抛物线过（6，﹣5），则36＝10p，可得p＝，抛物线的焦点到准线的距离为：．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．（3分）如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）5．A．1﹣B．C．D．1﹣【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积．即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．【解答】解：S矩形＝π，sin xdx＝﹣＝﹣（cosπ﹣cos0）＝2，∴S阴影＝π﹣2，故豆子落在图中阴影部分的概率为＝1﹣，故选：A．【点评】本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．6．（3分）设a，b，c都是正数，且，那么（）A．B．C．D．【分析】设＝k，利用对数表示出a、b和c的大小，再判断、和的关系．【解答】解：设＝k，k＞0，且k≠1；所以a＝k，b＝k，c＝k；所以＝＝log k，＝＝log k，＝＝log k，所以+＝log k+log k＝log k＝2log k＝．故选：D．【点评】本题考查了指数式与对数式的互换问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．7．（3分）函数f（x）＝+x2﹣2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用f（1）＜0，以及函数的极限思想进行排除即可．【解答】解：f（1）＝sin1+1﹣2＝sin1﹣1＜0，排除，B，C，当x→0时，→1，则f（x）→1+0＝1，排除A，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．8．（3分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A．B．C．D．C C C【分析】根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可【解答】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．【点评】本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9．（3分）在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】设空间四边形ABCD的边长为2，作AD的中点，连结ME，MF，在△EMF中利用边角关系进行分析求解即可．【解答】解：因为在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，所以空间四边形ABCD是一个正四面体ABCD，在图1中，连结DE，EC，因为△DEC为等腰三角形，设空间四边形ABCD的边长为2，在△DEC中，，CF＝1，可得，在图2中，取AD的中点M，连结ME，MF，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以MF＝1，EM＝1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角，在△EMF中，MF2+EM2＝EF2，故△EMF为等腰直角三角形，所以∠EFM＝45°，故异面直线AC与EF所成角的大小为45°．故选：B．【点评】本题考查了异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．10．（3分）已知直线y＝kx与双曲线C：相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，设A在第一象限，由双曲线的定义可得3m﹣m＝2a，再由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和可得c2＝3a2，进一步得到渐近线方程．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，所以四边形AF′BF为平行四边形，所以|AF′|＝|BF|＝m，设A在第一象限，得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），所以c2＝3a2，则b2＝c2﹣a2＝2a2，即＝，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±x，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．11．（3分）函数的部分图象如图所示，给下列说法：①函数f（x）的最小正周期为π；②直线为函数f（x）的一条对称轴；③点为函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．其中不正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断每个选项即可．【解答】解：由图象可知，，最小正周期，所以，将点代入函数得，，所以，即，因为，所以取k＝1，，所以．因此①正确；②，所以②正确；③令，则，当k＝﹣1时，．所以点为函数f（x）的一个对称中心，即③正确；④函数f（x）的图象向右平移个单位得到，即④错误．所以不正确的为④，故选：A．【点评】本题考查根据图象求函数解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生数形结合能力和运算能力，属于基础题．12．（3分）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64 B．80 C．﹣64 D．﹣80【分析】由题意可得＝+1，由等差数列的定义和通项公式，求得a n，再由特殊角的三角函数值，计算可得所求和．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），则＝+1，可得数列{}是首项为1、公差为1的等差数列，即有＝n，即为a n＝n2，则＝n2cos，则S11＝﹣（12+22+42+52+72+82+102+112）+（32+62+92）＝﹣（12+22﹣32﹣32+42+52﹣62﹣62﹣72+82﹣92﹣92+102+112）＝﹣×（5+23+41+59）＝﹣64．故选：C．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，以及三角函数的求值和数列的求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13．（3分）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为 6 ．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，即可得出结论．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为＝6，则48﹣6×7＝6，则抽到的最小学号为6，故答案为：6．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．14．（3分）在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，，，其中x，y ∈R，且均不为0．若，则＝ 2 ．【分析】根据平面向量的减法与加法求得、，根据∥列方程求出实数x、y 的关系，从而求出的值．【解答】解：如图所示，▱ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，所以＝﹣＝x﹣y，＝+＝+＝﹣+，又∥，所以x•1﹣（﹣）•（﹣y）＝0，解得2x＝y，又x≠0且y≠0，所以＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．（3分）已知f（x）为奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣4）处的切线方程为5x+y﹣1＝0【分析】求出函数的解析式，然后求解函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3（﹣x）＝x2+3x．又f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝x2+3x，∴f（x）＝﹣x2﹣3x（x＞0），∴f'（x）＝﹣2x﹣3，∴f'（1）＝﹣2﹣3＝﹣5，f（1）＝﹣4，∴y+4＝﹣5（x﹣1）＝﹣5x+5，∴5x+y﹣1＝0．故答案为：5x+y﹣1＝0【点评】本题考查切线方程的求法，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（3分）已知矩形ABCD中，是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE 折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为．【分析】由E是CD边的中点，可得△S ABE为定值，当△ADE⊥平面ABE时，高最大值，此时体积最大．三棱锥D﹣ABE换成三棱锥B﹣ADE，求解底面ADE外接圆半径r，根据球心与圆心构造勾股定理求解球半径R，即可球的表面积．【解答】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D﹣ABE的高最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，∴三棱锥D﹣ABE换成B﹣ADE∴底面△ADE外接圆半径r＝AE＝1，垂直面△ABE是边长为2等边三角形，可得AE边上的高h＝；设球心与圆心距离为d，球半径为R，R2＝r2+d2……①……②由①②解得R＝；三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝；故答案为：．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b（cos A﹣2cos C）＝（2c﹣a）cos B．（1）求的值；（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．【分析】（1）由正弦定理得：sin B（cos A﹣2cos C）＝（2sin C﹣sin A）cos B，从而sin C ＝2sin A，由此能求出的值．（2）推导出c＝2a，由余弦定理得a＝1，c＝2，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，b（cos A﹣2cos C）＝（2c﹣a）cos B．∴由正弦定理得：sin B（cos A﹣2cos C）＝（2sin C﹣sin A）cos B，化简，得：sin（A+B）＝2sin（B+C），∴sin C＝2sin A，∴＝．（2）∵＝，∴c＝2a，由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵cos B＝，b＝2，∴4＝a2+4a2﹣a2．解得a＝1，c＝2，∵cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝＝，∴△ABC的面积S＝＝＝．【点评】本题考查三角形中两角正弦值的比值的求法，考查三角形面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，＝4﹣2．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．∴AB＝AC＝＝2，∴AB2+AC2＝BC2，PA2+AC2＝PC2，∴AB⊥AC，AP⊥AC，∵AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴PA⊥AB，∵AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设在线段PD上，存在一点M（a，b，c），使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，且＝λ，（0≤λ≤1），A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣1，1，0），＝（a，b，c﹣2），＝（﹣1，1，﹣2），∴，∴M（﹣λ，λ，2﹣2λ），∴＝（0，2，0），＝（﹣λ，λ，2﹣2λ），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，），平面ACD的法向量＝（0，0，1），∵二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，∴cos60°＝＝，解得．∴在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，＝4﹣2．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉．保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价x（单位：百元/kg）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如表：x10 20 30 40 50 60y0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175（1）设z＝lnx，根据所给参考数据判断，回归模型与哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果保留一位小数）；（2）某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶1200kg，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：百元/kg）为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额W最大，并求W的最大值．参考数据：y与x的相关系数r1≈﹣0.96，y与z的相关系数r2≈0.99，，，，，，，，e3≈20.1，e3.4≈30.0，e3.5≈33.1，e4≈54.6．参考公式：，，．【分析】（1）通过两个回归模型的相关系数的比较，即可确定模型更合适，由题中的参考数据求出，即可得到回归方程；（2）求出W，然后利用导数求解最值即可．【解答】解：（1）因为回归模型的相关系数|r1|≈0.96，回归模型的相关系数|r2|≈0.99，因为0.96＜0.99＜1，由线性相关系数的意义可知，回归模型更合适，＝，＝0.45﹣（﹣0.45）×3.40≈2.0，所以回归方程为；（2）由题意可知，W＝1200×（﹣0.5lnx+2.0）x，所以W'＝1200×（1.5﹣0.5lnx），令W'＝0，解得lnx＝3，即x＝e3≈20.1，当0＜x＜e3时，W'＞0，W单调递增，当x＞e3时，W'＜0，W单调递减，所以当售价约为20.1百元/kg时，日销售额W最大，最大值为1200×（﹣0.5×lne3+2.0）×e3≈1200×（﹣0.5×3+2.0）×20.1＝12060百元，所以最大日销售额为120.6万元．【点评】本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20．已知抛物线Γ：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线交抛物线Γ于M，N两点，满足|MN|＝8．（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点D（m，0）且斜率为1的直线被抛物线Γ截得的弦为AB，若点F在以AB为直径的圆内，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意可得抛物线Γ焦点为F（，0），写出过点F的倾斜角为的直线方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），并联立抛物线的方程，结合韦达定理得x1+x2＝，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+＝2a＝8，解得a，即可得出答案．（2）设直线AB的方程为y＝x﹣m，联立抛物线的方程，由△＞0，得m＞﹣1，设A（x3，y3），B（x4，y4），结合韦达定理可得y3+y4，y3y4，写出，坐标，由点F在以AB为直径的圆内，得•＜0，由数量积公式计算，即可得出答案．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），则过点F的倾斜角为的直线方程为y＝x﹣，联立y2＝ax，得x2﹣x+＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+＝2a＝8，解得a＝4，所以抛物线Γ的方程为y2＝4x．（2）设直线AB的方程为y＝x﹣m，代入y2＝4x，得y2﹣4y﹣4m＝0，由△＝16+16m＞0，得m＞﹣1，设A（x3，y3），B（x4，y4），得y3+y4＝4，y3y4＝﹣4m，又F（1，0），所以＝（x3﹣1，y3），＝（x4﹣1，y4），因为点F在以AB为直径的圆内，所以∠AFB为钝角，即•＜0，得（x3﹣1）（x4﹣1）+y1y4＜0，得x3x4﹣（x3+x4）+1﹣4m＜0，所以﹣[（y3+y4）+2m]+1﹣4m＜0，得m2﹣6m﹣3＜0，解得3﹣2＜m＜3+2，又m＞﹣1，所以m的取值范围为（3﹣2，3+2）．【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的零点个数；（2）若函数g（x）＝ln（e x﹣1）﹣lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论．【解答】解：（1）根据题意，可得f'（x）＝e x﹣a，则有：①若a≤0，则f'（x）＝e x﹣a＞0，此时可得函数f（x）在R上单调递增，又因为f（0）＝0，所以函数只有一个零点；②若a＞0，令f'（x）＝0，则有x＝lna，所以f'（x）＞0⇒x＞lna，此时函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增；f'（x）＜0⇒x＜lna，此时函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减；即得f（x）min＝f （lna）＝a﹣1﹣alna，则有：（i）当lna＝0⇒a＝1时，则f（x）≥0，此时函数f（x）只有一个零点；（ii）当lna≠0时，即a≠1时，则f（lna）＜f（0）＝0，又因为x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞，根据零点存在定理可得，此时函数f（x）在R上有两个零点．综上可得，当a≤0或a＝1时，函数f（x）只有一个零点；当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，函数f（x）有两个零点．（2）由（1）可知，当a≤0或a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则有f[g（x）]＜f（x）⇔g（x）＜x⇔ln（e x﹣1）﹣lnx＜x⇔在（0，+∞）上恒成立，又因为x＞0时，，所以⇔⇔e x﹣1＜xe x⇔xe x﹣e x+1＞0令H（x）＝xe x﹣e x+1（x＞0）∵H'（x）＝xe x＞0在（0，+∞）上恒成立，即得函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，故有H（x）＞H（0）＝0，即得f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，符合题意；当0＜a＜1时，由（1）得，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则由上结论可知，f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，符合题意；当a＞1时，由（1）得，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，此时当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna⇔f[g（x）]＞f（x），不合题意，综上可得，a≤1，即a∈（﹣∞，1]．【点评】本题考查函数导数在函数单调性的证明中的使用，以及恒成立条件的转化，以及函数单调性的使用，属于难题．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝α与曲线C有两个不同的交点A，B，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）将所给的参数方程消去参数φ即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可；（Ⅱ）联立（Ⅰ）中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意义即可确定+的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣）2＝1，即x2+y2+2x﹣2+3＝0，又x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ．∴曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρ（cosθ﹣）+3＝0．（Ⅱ）把θ＝α代入ρ＝0得ρ2+2（cosρ+3＝0．设A（ρ1，α），B（ρ2，α）则ρ1+ρ2＝2（，ρ1ρ2＝3．所以+＝+＝＝＝sin（α﹣），又射线θ＝α与曲线C有两个不同的交点A，B，∴，∴，∴）≤1，∴＜+，的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若正数a，b，c满足，求的最小值．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+4b+9c＝3，根据柯西不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）＞1即|x﹣2|﹣2|x|＞1，若x≤0，则2﹣x﹣（﹣2x）＝x+2＞1，解得：﹣1＜x≤0，若0＜x＜2，则2﹣x﹣2x＝2﹣3x＞1，解得：0＜x＜，若x≥2，则x﹣2﹣2x＝﹣x﹣2＞1，解得：x＜﹣3，无解，综上：不等式的解集是{x|﹣1＜x＜}；（2）∵a+4b+9c＝f（）+2，∴a+4b+9c＝3，∴＝（a+4b+9c）（++），∵a，b，c均是正数，由柯西不等式得：＝（a+4b+9c）（++）＝[++][++]≥[（）•+（2）•2+（3）•3]2＝（1+4+9）2＝，当且仅当a＝b＝c＝时“＝”成立，∴的最小值是．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查开心不等式的应用以及分类讨论思想，是中档题．。
2021年陕西省西安中学高考数学第二次仿真试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝Φ2．等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．98．已知α是第二象限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．411．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.412．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）A．B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝4x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是．15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥0.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD ＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．21．已知函数f（x ）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝Φ解：∵M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}＝Z，＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，∴N⊆M，故选：C．2．等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i解：等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝a1•q7＝（1+i）•i7＝（1+i）（﹣i）＝1﹣i，故选：D．3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故选：B．4．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝0得ln|x|＝0得|x|＝1，即x＝1或x＝﹣1，即f（x）有两个零点，排除C，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，故选：B．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）解：∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：令f（x）＝x3﹣，可知该函数为R上的增函数，函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），即x0为函数f（x）的零点，∵f（0）＝﹣4＜0，f（1）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝23﹣1＝7＞0，f（3）＝＞0，f（4）＝＞0，∴x0的范围为（1，2），故选：B．7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．9解：当S＝1，k＝1时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝2；当S＝，k＝2时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝3；当S＝，k＝3时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝4；当S＝，k＝4时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝5；当S＝，k＝5时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝6；当S＝，k＝6时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝7；当S＝，k＝7时，应满足退出循环的条件，故整数a的值为6，故选：A．8．已知α是第二象限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵α是第二象限角，且tanα＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣．故选：C．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在解：根据题意，等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，则q2＝＝4，则q＝±2，当q＝2时，若S m＝63，则有＝63，解可得m＝6；当q＝﹣2时，若S m＝63，则有＝63，变形可得：（﹣2）m＝﹣168，无解；故m＝6；故选：A．10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．4解：，所以，因为，所以，故△ABC的面积为．故选：A．11．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.4解：设甲乙两人分别在第x，y天到达某地，则0≤x≤10，0≤y≤10，他们会面的充要条件是|x﹣y|＜3，则点（x，y）分布在如图所示的正方形OABC内，其基本事件S1为介于两条直线x﹣y＝±3之间的阴影内，所以所求概率为＝＝0.51．故选：B．12．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）A．B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝4x解：由题意设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），，T是MN与x轴的交点，因为O，M，N，A四点共圆，由相交弦定理可得：|OT|•|TA|＝|MT|•|TN|，即x0•（﹣x0）＝y02＝2px0，其中x0＞0，可得x0＝﹣2p，y02＝2px0＝7p﹣4p2，代入双曲线的方程：（﹣2p）2﹣（7p﹣4p2）2＝1，即：32p2﹣84p+45＝0，解得p＝（舍）或p＝，所以抛物线的方程为：y2＝x，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．解：由，得1×（k﹣6）﹣9k＝0，解得k＝﹣，故答案为：．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（﹣4，2）．解：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z＝0的斜率k＝﹣＞k AC＝﹣1，a＜2．当a＜0时，k＝﹣＜k AB＝2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故答案为：（﹣4，2）．15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为6000．解：作出函数f（x）的简图如图所示，三角函数模型为：f（x）＝A sin（ωx+φ）+B，由题意知：A＝2000，B＝7000，T＝2×（9﹣3）＝12，∴，所以，当x＝3时，y取最大值，所以，k∈Z，∴φ＝0+2kπ，k∈Z，故，∴，故7月份的出厂价格为6000元．故答案为：6000．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于1．解：根据圆锥的侧面展开图：得知：OA＝OB＝4，AB＝4，所以OA2+OB2＝AB2，故∠AOB＝，设圆锥的底面半径为r，利用4×＝2πr，解得r＝1．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．解：（1）由题意可得＝+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝1，由，可得4sin2x＝1，即sin2x＝．∵x∈[0，]，∴sin x＝，即x＝．（2）∵函数＝（sin x，sin x）•（cos x，sin x）＝sin x cos x+sin2x＝sin2x+＝sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝，sin（2x﹣）+取得最大值为1+＝．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥0.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（Ⅰ）根据题意补全列联表，如下：选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100计算K2＝≈4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）根据题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X服从二项分布，由题意知，学生选考历史的概率为，且X～B（3，），计算P（X＝0）＝•＝，P（X＝1）＝••＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝•＝，所以X的分布列为：X0123P计算数学期望为E（X）＝3×＝．19．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点为P（0，﹣1），则b＝1，又离心率为，则，结合c2＝a2﹣b2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程是；（Ⅱ）因为直线l1⊥l2，且都过点P（0，﹣1），则设直线l1：y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，直线l2：，故圆心（0，0）到直线l1的距离为，所以直线l1被圆x2+y2＝4所截的弦，联立方程组，所以，故，所以＝，当且仅当时等号成立，此时直线l1的方程为．21．已知函数f（x）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝，则f（0）＝0，f′（x）＝，∴f′（0）＝1，∴函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x；（2）解：∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴ax+1＝0在（0，1）上无解当a≥0时，ax+1＝0在（0，1）上无解满足当a＜0时，只需1+a≥0，∴﹣1≤a＜0 ①f′（x）＝∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立即a[（x+1）ln（x+1）﹣x]≤1在（0，1）上恒成立设h（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x，则h′（x）＝ln（x+1），∵x∈（0，1），∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增∴h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1）∴a≤在（0，1）上恒成立，∴a≤②综合①②得实数a的取值范围为[﹣1，]（3）证明：由（2）知，当a＝﹣1时，f（x）＝在（0，1）上单调递增于是当0＜x≤时，f（x）＝≤f（）＝当≤x＜1时，f（x）＝≥f（）＝∴（3x﹣1）f（x）≥（3x﹣1）•，即≤（3x﹣1）•，同理有≤（3y﹣1）•，≤（3z﹣1）•，三式相加得：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．解：（1）曲线E的参数方程为（a为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝10，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π），转换为极坐标方程为θ＝β；（2）将直线极坐标方程为θ＝β代入ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，得到ρ2﹣8ρsinβ+6＝0，所以ρ1+ρ2＝8sinβ，ρ1ρ2＝6，由于，故，即ρ2＝3ρ1，所以，所以，所以直线的斜率k＝±1．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．解：（1）因为a＝b＝c＝1，所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，法1：由上可得：所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，当且仅当，即x＝﹣1时取得最小值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为＝≥2+2+2＝2（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为（a+b+c）（++）≥1，当且仅当＝＝取等号，又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即．。
陕西省西安市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．6 C ．33D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】根据题意可得BC ⊥平面ACD ，EF BC ∥，则CBG ∠即异面直线BG 与EF 所成的角，连接CG ，在Rt CBG △中，cos BCCBG BG∠=，易得22BD AD AB ===所以6BG =所以cos CBG ∠=66=，故选B ．2．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2 C 3D ．223【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A 2 B 3C ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故2z = A.4．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．当1a =时，2()1f x x =+没有零点， 所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C 【解析】 【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．6．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为b y x a =±-，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为()0,1可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为b y x a =±- 由题意可得2ba=-，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题. 7．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.8．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是A．13-B．13C．12-D．12【答案】B【解析】【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，得a–1=–2a，解得a=13，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=13．故选B．【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．9．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值. 【详解】根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221113x y +=，222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则221113x y +=，222213x y +=， 相减得到：()()()()1212121203x x x x y y y y -+++-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：43y x =-+. 故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 12．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =U （ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞U ．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣84．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x （a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件D．既不充分也不不要条件6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．77．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．28．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．29．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4C．2D．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．π D．3π11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是_______．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）15．若实数x，y满足，则的最大值是_______．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：2x﹣1＜=2﹣2，得到x﹣1＜﹣2，解得：x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1），∵A=[﹣2，0），∴A∩B=[﹣2，﹣1），故选：C．2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用新定义直接化简=﹣1﹣i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案．【解答】解：根据定义=﹣zi﹣i=﹣1﹣i，则iz=1，∴．故选：C．3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，∴a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，∴a6（a2+2a6+a10）=a6×4a6=4．故选：A．4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出“不是整数”包含的基本事件个数，由此能求出“不是整数”的概率．【解答】解：∵在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，∴基本事件总数n=4×3=12，“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，∴“不是整数”的概率p==．故选：C．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x （a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件D．既不充分也不不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，利用向量共线定理即可得出m的值．命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，可得m﹣1=1，x＞0，解得m．即可判断出结论．【解答】解：∵命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，∴2（m+1）﹣m（m+1）=0，和化为（m+1）（m﹣2）=0，解得m=﹣1或2；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，∴m﹣1=1，x＞0，解得m=2．则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得当k=8时，S=+++…+=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，从而可得输入的N为为8．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=1，S=0S=，满足条件k＜N，k=2，S=+，满足条件k＜N，k=3，S=++，…满足条件k＜N，k=8，S=+++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N为为8．故选：A．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=（|AF|+|BF|）=|AB|．【解答】解：过A作AP⊥l于P，过B作BQ⊥l于Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|．∵M为AB的中点，∴|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|．∴=．故选：A．8．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC中点为M，利用表示出，，代入数量积公式计算．【解答】解：设BC中点为M，则．∴．∵DM⊥BC，∴．∴•=（）==（）•（）=（）=×（25﹣9）=8．故选：B．9．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），由余弦定理可得PF1•PF2=16，由S= PF1•PF2sin60°，即可求得△F1PF2的面积．【解答】解：由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），在△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=16+4a2=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，即有PF1•PF2=16．可得S△=PF1•PF2sin60°=×16×=4．故选：B．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．π D．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr2=4=3π．故选：D．11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]【考点】分段函数的应用．【分析】若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，数形结合可得答案．【解答】解：若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：∵f′（x）=，故当m∈（﹣∞，0]∪[1，4]时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，故选：D．12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】运用二倍角的正弦公式和诱导公式，可得y=cos2x，再由平移和中心对称可得y=±sin2x，求得函数的导数，由有余弦函数的图象可得减区间，再由b为整数，即可得到b=1或2．【解答】解：y=sin（﹣x）•cos（x+）=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+）=cos2x，由题意可得曲线C′：y=cos（2x﹣2a），曲线C′关于点（0，0）中心对称，可得2a=kπ+，k∈N，即有y=±sin2x，由y=sin2x的导数为y′=cos2x，由cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，可得[π，π]⊆[，]，即有b=1或2；由y=﹣sin2x的导数为y′=﹣cos2x，由﹣cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，则[π，π]⊆[2kπ+，2kπ+]不恒成立．综上可得b=1或2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是1120．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=8，在二项式展开式的通项公式中，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故n=8．（x﹣）n即（x﹣）8，它的展开式的通项公式为T r+1==•（﹣2）r•x8﹣2r，令8﹣2r=0，求得r=4，则展开式中的常数项是•（﹣2）4=1120．故答案为：1120．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50故此四棱锥的表面积为cm2．故答案为：15．若实数x，y满足，则的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率，显然OA的斜率最大，故的最大值是2，故答案为：2．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=n•2n．【考点】数列递推式．【分析】a n+1=2a n+2n+1（n≥1），变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：a n+1=2a n+2n+1（n≥1），∴﹣=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n，a n=n•2n．故答案为：n•2n．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量和三角函数公式可得f（x）=sin（2x﹣），由周期公式可得周期，解可得单调增区间；（2）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，进而可得A的范围，由三角函数值域可得．【解答】解：（1）由题意可得，∵点在函数f（x）的图象上，∴，解得，∴f（x）=sin（2x﹣），∴，解可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调增区间为；（2）∵，∴ccosB+bcosC=2acosB，∴由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=∵B∈（0，π），∴，，∴，，∴，∴f（A）的取值范围是．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直的性质定理即可证明DM⊥BM；（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明（1）由底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，∴DC=2，D0=，则OA⊥DC，建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（3，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣，0），B（3，2，0），C（0，，0），∵M为PB的中点．∴M（，，），=（，2，），=（3，0，﹣3），=（0，2，0），则•=×3+2×0﹣×3=0，•=0，则PA⊥DM，PA⊥DC，∵CD∩DM=D，∴PA⊥平面DMC．（2）=（，0，），=（3，﹣，0），设平面AMC的法向量为=（x，y，z），则由•=0，•=0，得，令x=1，则y=，z=﹣1，则=（1，，﹣1），同理可得平面CDM的法向量为==（3，0，﹣3），则cos＜，＞===，即二面角D﹣MC﹣B的余弦值是．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）至多有2天空气质量超标的对立事件是3天空气质量都超标，由此利用对立事件概率计算公式能求出至多有2天空气质量超标的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有2天空气质量超标”为事件A，“3天空气质量都超标”为事件B，则P（B）=0，∴至多有2天空气质量超标的概率P（A）=1﹣P（B）=1．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 1 2 3PEX==2．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（2）设A为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m2＜3k2+1，|PM|=||PN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．【解答】解：（1）∵△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，∴a=，c=∴b=1，∴椭圆的方程为：=1；（2）设A（x A，y A）、M（x M，y M）、N（x N，y N），A为弦MN的中点，直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2﹣12（3k2+1）（m2﹣1）＞0，∴m2＜3k2+1，①由韦达定理，可得A（﹣，）∵|PM|=||PN|，∴AP⊥MN，∴∴2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2∵2m=3k2+1＞1，∴m＞∴＜m＜2．当k=0时，m=，也成立．综上可得m的范围是[，2）．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（Ⅱ）问题转化为a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是（﹣，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（）=ln3﹣；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，⇔a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，由题意得：a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[1，2]恒成立，⇔a＞h（x）max或a＜g（x）min，∵h′（x）=＞0，g′（x）=＞0，∴h（x），g（x）在[1，2]递增，要使不等式①恒成立，当且仅当a＞h（2）或a＜g（1），即a＜ln或a＞ln．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．【解答】解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE，由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，可得∠AEO=∠C=90°，则直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，在△AOE中，OA2=OE2+AE2，且即（r+2）2=r2+62，解得r=2，OA=4，由OA=2OE，可得∠A=30°，∠AOE=60°，可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=r，则EC=BE=•r=××2=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由得，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=﹣4cosθ可得：ρ2=ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，即可得出．【解答】解：（1）由得两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0．①由ρ=﹣4cosθ⇒ρ2=ρcosθ，即x2+y2=﹣4x②的方程得交点为（0，0）和（﹣2，2）．②﹣①：x+y=0，代入曲线C1（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，∴△OAB的面积为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2，∴﹣2＜|x|﹣4＜2，∴2＜|x|＜6，故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，∴m的取值范围为m＜4．。
2021年陕西省西安市高考数学模拟试卷（2月份）（二模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|1<2x−1≤5}，B＝{x|x−2≥0}，则A∩B＝（）A.{x|2≤x≤3}B.{x|1<x≤3}C.{x|x>1}D.{x|x≤3}2. 设(−1+2i)x＝y−1−6i，x，y∈R，则|x−yi|＝（）A.6B.5C.4D.33. 已知向量＝(m, 3)，＝(−2, 1)，且（+）⊥，则m＝（）A.0B.4C.−6D.104. 在等比数列{a n}中，a3a7＝9，则a5＝（）A.±3B.3C.D.5. 某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法、篮球、信息技术，器乐这4个兴趣小组．小华和小明各自参加了一个兴趣小组，则他们参加了同一个兴趣小组的概率是（）A. B. C. D.6. 函数f(x)＝的图象大致为（）A. B.C. D.7. 已知直线l经过双曲线C：＝1(a>0, b>0)的一个虚轴端点以及一个焦点，且点O（O为坐标原点）到直线l的距离为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.8. 已知函数f(x)＝cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移个单位长度后，与函数g(x)＝sin2x的图象重合，则f(x)的单调递减区间为（）A.[，](k∈Z)B.[kπ−，kπ+](k∈Z)C.[，](k∈Z)D.[，](k∈Z)9. 《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为（）A.65B.99C.133D.15010. 清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业．2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据如图，下列说法不正确的是（）A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%11. 在三棱锥A−BCD中，AC＝BC，AC⊥BC，AB＝2，面ABD⊥平面ACB，BD＝2DA，则三棱锥A−BCD体积的最大值为（）A. B. C. D.12. 已知定义域为(0, +∞)的函数f(x)满足，且f(e)＝，e为自然对数的底数，若关于x的不等式≤0恒成立，则实数a的取值范围为（）A.[1, +∞)B.[2, +∞)C.[，+∞)D.[，+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. (x2−）n的展开式中，第5项为常数项，则n＝________．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．现已知该四棱锥的高与斜高的比值为，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是________．已知抛物线C:y2＝4x，过点(2, 0)的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为________．定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)＝0，当x≥0时，f(x)＝x2，若不等式f(ax2)+f(3−x)≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2B＝sin B．（1）求B；（2）若a＝8，cos A＝，求BC边上的中线AD的长．某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为．（1）当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；（2）当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格．一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得−50分．用随机变量X表示这个射击小组的总得分，求X的分布列及数学期望．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是直角梯形，其中∠ABE＝90∘，AF // BE，且DE＝AF＝3BE＝3．（1）证明：平面ABEF⊥平面ABCD；（2）求二面角C−DE−F的余弦值．椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长与短轴长之积为16．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在直线x+3y+t＝0上存在一点P．过P作两条相互垂直的直线均与椭圆C相切、求t的取值范围．已知函数f(x)＝x ln x．（1）若函数f(x)在[t, t+1](t>0)上有极值，求t的取值范围及该极值；（2）求使n(x−1)<f(x)+x+1对任意x>1恒成立的自然数n的取值集合．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），已知点Q(6, 0)，点P是曲线C1上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）若直线l:y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝2，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+2|+3|x−a|(a>0)．（1）求f(x)的最小值；（2）当a＝1时，求函数g(x)＝f(x)−10的图象与x轴围成封闭图形的面积．参考答案与试题解析2021年陕西省西安市高考数学模拟试卷（2月份）（二模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 【答案】6【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−2【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】由题意可得，因为8<B<π，所以sin B≠0，则，因为0<B<π，所以．因为．所以．因为A+B+C＝π，所以，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得，则．【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为．当每人射击2次时，该射击小组共射中目标6次的概率为：P＝++＝．随机变量X表示这个射击小组的总得分，则X的可能取值为−50，60，P(X＝−50)＝＝，P(X＝10)＝＝，P(X＝60)＝+＝，P(X＝100)＝（）2（）＝，∴X的分布列为：−501060100数学期望E(X)＝＝．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：连接AE，因为AB＝2，AB⊥BE，所以AE＝＝，又因为DE＝3，所以DE2＝AD5+AE2，所以DA⊥AE，又因为DA⊥AB，AB∩AE＝A，所以DA⊥平面ABEF，又因为DA⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ABEF．因为∠ABE＝90∘，所以AB⊥BE，所以AB⊥AF，所以AB、AF，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：C(2, 8, 2)，1，6)，0，2)，6，0)，＝(2, 5, −2)，，0，8)，，3，−2)，设平面DEC与平面DEF的法向量分别为＝(x，y，＝(u，v，，令z＝1，，2，1)，，令w＝3，，7，3)，设二面角C−DE−F的大小为θ，由图可知θ为钝角，所以cosθ＝-＝-．故二面角C−DE−F的余弦值为-．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意椭圆C：＝1(a>b>8)的离心率为．，可得a＝3，所以椭圆C的标准方程为．①当过点P的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为0，易得．②过点P的椭圆C的切线的斜率均存在时，设，设切线方程为y＝k(x−x0)+y8，代入椭圆方程得，由，可得，设过点P与椭圆C相切的切线斜率分别为k2，k2，则，因为两条切线相互垂直，所以，即，结合①②知，P在圆x2+y2＝10上，又因为点P在直线x+3y+t＝6上，所以直线x+3y+t＝0与圆x5+y2＝10有公共点，则，得−10≤t≤10．综上所述，t的取值范围为[−10．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】函数函数f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x+1，由f′(x)<0，解得4<x<，解得x>，所以f(x)在(7，）上单调递减，+∞)上单调递增，因为函数f(x)在[t, t+7](t>0)上有极值，解得4<t<，所以f(x)的极小值为f（）＝-；因为n(x−1)<f(x)+x+1对任意x>7恒成立，即对任意x>5恒成立，令g(x)＝，则，令μ(x)＝−x−ln x−3，则，因为x>1，所以μ′(x)>7，+∞)上为增函数，因为μ(4)＝1−ln4<2，μ(5)＝2−ln5>4，所以存在x0∈(4, 4)0)＝x0−ln x7−3＝0，当x∈(2, x0)时，g′(x)<0；当x∈(x7, +∞)时，g′(x)>0，所以，所以n<x4−1恒成立，因为x0∈(4, 5)0−2∈(3, 4)，故自然数n的取值集合为{8, 1, 2, 5}．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生从第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C1的参数方程为，（θ为参数），2sinθ)，已知点Q(6, 2)1上任意一点，点M为PQ的中点，设点M(x, y)，所以，转换为直角坐标方程为(x−5)2+y2＝4，根据2−6ρcosθ+5＝0．直线l:y＝kx的极坐标方程为θ＝α，由于＝2，所以6ρ1＝2ρ2，联立，整理得ρ2−7ρcosα+8＝0，所以，解得．故，故k＝．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)＝|x+2|+3|x−a|＝，则f(x)在(−∞, a)上单调递减，+∞)上单调递增，故f(x)min＝f(a)＝a+2；∵a＝5，∴g(x)＝，画出g(x)的大致图象如图，令−4x−9＝3，得x＝，得x＝-，得x＝．∵g(−5)＝−1，g(1)＝−7，∴所求图形面积为．【考点】函数的图象与图象的变换函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年陕西省高考数学全真模拟试卷〔理科〕〔三〕一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．集合A={x|y=lnx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=〔〕A．〔0，3〕B．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，+∞〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔3，+∞〕D．〔﹣1，3〕2．复数z=，则以下推断正确的选项是〔〕A．z的实部为﹣1 B．|z|=C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为1﹣i3．双曲线C：x2﹣y2=1的焦点到渐近线的距离等于〔〕A．1 B．C．2 D．24．等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a3=〔〕A．±4 B．16 C．﹣4 D．45．实数x，y满足，则z=的最小值为〔〕A．﹣B．1 C．﹣1 D．06．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．假设要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有〔〕A．3种B．6种C．9种D．18种7．函数y=的图象可能是〔〕A．B．C．D．8．某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的体积是〔〕A．36 B．30 C．27 D．129．执行如下图的程序框图，如果输入n=4，则输出的S=〔〕A．B．C．D．10．抛物线C：y2=8x的焦点为F，P为抛物线的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q 是直线PF与抛物线C的一个交点，假设，则直线PF的方程为〔〕A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x±y﹣2=0 D．不确定11．以下四个命题中，其中真命题的个数为〔〕①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②假设命题p：全部幂函数的图象不过第四象限，命题q：存在x∈R，使得x﹣10＞lgx，则命题p且q为真．③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1．④假设a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2≤1成立的概率为．A．1 B．2 C．3 D．412．函数f〔x〕=，则函数y=f〔x〕﹣x+的零点个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．向量=〔2，1〕，=〔x，﹣1〕，且与共线，则|x|的值为_______．14．随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，且P〔2＜X≤6〕=0.98，则P〔X＜2〕=_______．15．〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为_______．16．A，B，C是球O是球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=，且棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的外表积为_______．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．设f〔x〕=sin〔2x+〕+sin〔2x﹣〕﹣．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设f〔〕=，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．18．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，=0，且A1F=1．〔1〕求证：CF⊥平面B1DF；〔2〕求平面B1FC与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．19．如图，将一个半径适当的小球放入容器上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A地域或B地域中，小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．〔1〕分别求出小球落入A地域和B地域中的概率；〔2〕假设在容器入口处依次放入3个小球，记X为落入B地域中的小球个数，求X的分布列和数学期望．20．设点P〔﹣2，0〕，Q〔2，0〕，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣．〔1〕求动点M的轨迹C的方程；〔2〕直线l的斜率为1，直线l与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．21．函数f〔x〕=e x﹣mx〔e是自然对数的底数，m∈R〕．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设m=1，且当x＞0时，〔t﹣x〕f′〔x〕＜x+1恒成立，其中f′〔x〕为f〔x〕的导函数，求整数t的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．〔1〕求证：FB=FC；〔2〕假设AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M〔3，4〕，其倾斜角为45°，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．〔1〕求曲线C的极坐标方程；〔2〕设曲线C与直线l交于点A，B，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|〔1〕求不等式f〔x〕≤6的解集；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2021年陕西省高考数学全真模拟试卷〔理科〕〔三〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．集合A={x|y=lnx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=〔〕A．〔0，3〕B．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，+∞〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔3，+∞〕D．〔﹣1，3〕【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=lnx，得到x＞0，即A=〔0，+∞〕，由B中不等式变形得：〔x﹣3〕〔x+1〕＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=〔﹣1，3〕，则A∩B=〔0，3〕，应选：A．2．复数z=，则以下推断正确的选项是〔〕A．z的实部为﹣1 B．|z|=C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===1﹣i，∴|z|=，应选：B．3．双曲线C：x2﹣y2=1的焦点到渐近线的距离等于〔〕A．1 B．C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=1的a=b=1，c==，可得焦点为〔±，0〕，渐近线方程为y=±x，即有焦点到渐近线的距离等于=1．应选：A．4．等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a3=〔〕A．±4 B．16 C．﹣4 D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的性质可得：a3=．【解答】解：由等比数列{a n}中，∵a2=2，a4=8，则a3==±4．应选：A．5．实数x，y满足，则z=的最小值为〔〕A．﹣B．1 C．﹣1 D．0【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面地域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面地域如图：z=的几何意义是地域内的点到定点C〔2，0〕的斜率由图象知CA的斜率最小，此时最小值为﹣1，应选：C．6．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．假设要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有〔〕A．3种B．6种C．9种D．18种【考点】计数原理的应用．【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．应选：C7．函数y=的图象可能是〔〕A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．【解答】解：函数y=的定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．应选B8．某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的体积是〔〕A．36 B．30 C．27 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，且底面向左，底面是一个边长为3正方形，且四棱锥的高为4，∴几何体的体积V==12，应选：D．9．执行如下图的程序框图，如果输入n=4，则输出的S=〔〕A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=+++的值，利用裂项相消法，可得答案．【解答】解：由中的程序框图可知，该程序的功能是计算并输出S=+++的值，由于：S=+++=×〔1﹣﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕=．应选：D．10．抛物线C：y2=8x的焦点为F，P为抛物线的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，假设，则直线PF的方程为〔〕A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x±y﹣2=0 D．不确定【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合，P的纵坐标为正数求出直线的斜率，即可求出直线PF的方程．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F〔2，0〕，设Q到准线l的距离为d，则|QF|=d∵，∴||=d，∵P的纵坐标为正数，∴直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为﹣1，∴直线的方程为x+y﹣2=0．应选：B．11．以下四个命题中，其中真命题的个数为〔〕①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②假设命题p：全部幂函数的图象不过第四象限，命题q：存在x∈R，使得x﹣10＞lgx，则命题p且q为真．③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1．④假设a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2≤1成立的概率为．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假推断与应用．【分析】①根据系统抽样的应用进行推断．②根据复合命题的真假关系进行推断．③根据线性相关系数r意义推断．④利用几何概型进行推断．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样．故①错误，②假设命题p：全部幂函数的图象不过第四象限，为真命题．命题q：存在x∈R，使得x ﹣10＞lgx，为真命题，比方当x=100时，不等式x﹣10＞lgx成立，则命题p且q为真．故②正确，③根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故③正确；④假设a，b∈[0，1]，则a，b对应的平面地域为正方形，面积为1，不等式a2+b2≤1成立，对应的地域为半径为1的圆在第一象限的局部，所以面积为，所以由几何概型可知不等式a2+b2≤1成立的概率是．故④正确，应选：C12．函数f〔x〕=，则函数y=f〔x〕﹣x+的零点个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】令y=0，可得f〔x〕=x﹣，作出函数y=f〔x〕的图象和直线y=x﹣，通过图象观察交点的个数，即可得到所求零点的个数．【解答】解：由y=f〔x〕﹣x+=0，可得：f〔x〕=x﹣，作出函数y=f〔x〕的图象和直线y=x﹣，可得当x=1时，ln1=0；﹣＞0，ln2＞×2﹣，由图象可得y=f〔x〕的图象与直线有4个交点．即函数y=f〔x〕﹣x+的零点个数为4．应选：D．二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．向量=〔2，1〕，=〔x，﹣1〕，且与共线，则|x|的值为2．【考点】平行向量与共线向量．【分析】由向量的坐标运算和平行关系可得x的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量=〔2，1〕，=〔x，﹣1〕，∴=〔2﹣x，2〕，∵与共线，∴﹣〔2﹣x〕=2x，解得x=﹣2，故|x|=2故答案为：214．随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，且P〔2＜X≤6〕=0.98，则P〔X＜2〕=0.01．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，根据对称性，由P〔2＜X≤4〕的概率可求出P〔X＜2〕．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N〔4，σ2〕，且P〔2＜X≤6〕=0.98，∴P〔2＜X≤4〕=P〔2＜X≤6〕=0.49，∴P〔X＜2〕=0.5﹣P〔2＜X≤4〕=0.5﹣0.49=0.01．故答案为：0.01．15．〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为﹣2．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于〔1+x〕4的展开式中x2、x3系数分别为，，可得〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为﹣+．【解答】解：∵〔1+x〕4的展开式中x2、x3系数分别为，，∴〔1﹣x〕〔1+x〕4的展开式中x3系数为﹣+=﹣6+4=﹣2．故答案为：﹣2．16．A，B，C是球O是球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=，且棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的外表积为2π．【考点】球的体积和外表积．【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的外表积．【解答】解：三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的外表上，且AB=2，BC=4，∠ABC=60°，AC=2，外接圆的半径为：GA=2，△ABC的外接圆的圆心为G，则OG⊥⊙G，∵S△ABC==2，三棱锥O﹣ABC的体积为，∴S△ABC•OG=，即=，∴OG=2，球的半径为：2．球的外表积：4π×8=32π．故答案为：32π．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．设f〔x〕=sin〔2x+〕+sin〔2x﹣〕﹣．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设f〔〕=，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦函数的图象．【分析】〔1〕利用两角和与差的正弦函数公式化简可得f〔x〕=sin2x﹣，由2kπ﹣≤2x ≤2kπ+，k∈Z，即可解得f〔x〕的单调递增区间．〔2〕在锐角△ABC中，由f〔〕=sinA﹣=，可得sinA=，A=，又a=1，b+c=2，利用余弦定理可得bc=1，利用三角形面积公式即可得解．【解答】〔此题总分值为12分〕解：〔1〕∵f〔x〕=sin〔2x+〕+sin〔2x﹣〕﹣=sin2x﹣…3分∴由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f〔x〕的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．〔2〕在锐角△ABC中，f〔〕=sinA﹣=，sinA=，A=，…8分∵a=1，b+c=2，∴由余弦定理可得：1=b2+c2﹣2bccos=〔b+c〕2﹣2bc﹣bc=4﹣3bc，∴bc=1，∴S△ABC=bcsinA==…12分18．如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，=0，且A1F=1．〔1〕求证：CF⊥平面B1DF；〔2〕求平面B1FC与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕根据线面垂直的判定定理先证明CF⊥B1F即即可证明CF⊥平面B1DF；〔2〕建立空间坐标系，求出平面的法向量，即可求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．【解答】〔1〕证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，D为A1C1的中点，∴DB1⊥AA1，∵CF⊥DB1，CF∩⊥AA1=F．∴DB1⊥平面AA1CC1．∴DB1⊥A1B1，则△A1B1C1为等腰直角三角形，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中高为3，AC=2，A1F=1∴AB=BC=，AF=2，FB1=，B1C=，CF=2，满足B1F2+CF2=B1C2，即CF⊥B1F，∵CF⊥DB1，DB1∩B1F=B1，∴CF⊥平面B1DF；〔2〕建立以B为坐标原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A〔，0，0〕，C〔0，，0〕，B1〔0，0，3〕，A1〔，0，3〕，C1〔0，，3〕，F〔，0，2〕，则平面ABC的法向量为=〔0，0，1〕，即平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值为．设平面B1FC的法向量为=〔x，y，z〕，由得，令x=1．则为=〔1，3，〕，则|cos＜，＞|=||==19．如图，将一个半径适当的小球放入容器上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A地域或B地域中，小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．〔1〕分别求出小球落入A地域和B地域中的概率；〔2〕假设在容器入口处依次放入3个小球，记X为落入B地域中的小球个数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕记“小球落入A地域〞为事件M，“小球落入B地域〞为事件N，事件M的对立事件为事件N，小球落入A地域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，由此能分别求出小球落入A地域和B地域中的概率．〔2〕由题意随机变量X的全部可能的取值为0，1，2，3，且X～B〔3，﹣〕，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕记“小球落入A地域〞为事件M，“小球落入B地域〞为事件N，则事件M的对立事件为事件N，而小球落入A地域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P〔M〕==．∴P〔N〕=1﹣P〔M〕=1﹣．〔2〕由题意随机变量X的全部可能的取值为0，1，2，3，且X～B〔3，﹣〕，P〔X=0〕=，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，P〔X=3〕==，∵X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．20．设点P〔﹣2，0〕，Q〔2，0〕，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣．〔1〕求动点M的轨迹C的方程；〔2〕直线l的斜率为1，直线l与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕设出点M的坐标，表示出直线MP、MQ的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是﹣，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程；〔2〕设l：y=x+b，代入x2+4y2=4，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出弦AB长，求出点O到直线l的距离，利用均值定理推导出S△ABO=|AB|•d≤1，并能求出此时直线l的方程．【解答】解：〔1〕设M〔x，y〕，由P〔﹣2，0〕，Q〔2，0〕，所以k MP=〔x≠﹣2〕，k QM=〔x≠2〕，由，•=﹣〔x≠±2〕，化简，得+y2=1〔x≠±2〕，点P的轨迹方程为+y2=1〔x≠±2〕；〔2〕设l：y=x+b，代入x2+4y2=4，整理得5x2+8bx+4b2﹣4=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|=•|x1﹣x2|=•==•=•．由△＞0，得64b2﹣20〔4b2﹣4〕＞0，解得b2＜5，点O到直线l的距离d=，即有S△ABO=|AB|•d=≤•=1，当且仅当5﹣b2=b2，即b=±时取等号，故〔S△ABO〕max=1，此时l：2x﹣2y±=0．21．函数f〔x〕=e x﹣mx〔e是自然对数的底数，m∈R〕．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设m=1，且当x＞0时，〔t﹣x〕f′〔x〕＜x+1恒成立，其中f′〔x〕为f〔x〕的导函数，求整数t的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】〔1〕由中函数的解析式，求出导函数的解析式，对m进行分类商量，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调递增区间；〔2〕问题转化为t＜+x，①，令g〔x〕=+x，〔x＞0〕，根据函数的单调性求出t的最大整数值即可．【解答】解：〔1〕由f〔x〕=e x﹣mx，x∈R，得f'〔x〕=e x﹣m，①当m≤0时，则f'〔x〕=e x﹣m＞0对x∈R恒成立，此时f〔x〕的单调递增，递增区间为〔﹣∞，+∞〕；②当m＞0时，由f'〔x〕=e x﹣m＞0，得到x＞lnm，所以，m＞0时，f〔x〕的单调递增区间是〔lnm，+∞〕；综上，当m≤0时，f〔x〕的单调递增区间为〔﹣∞，+∞〕．当m＞0时，f〔x〕的单调递增区间是〔lnm，+∞〕；〔2〕m=1时，〔t﹣x〕〔e x﹣1〕＜x+1，x＞0时，e x﹣1＞0，故t＜+x，①，令g〔x〕=+x，〔x＞0〕，则g′〔x〕=，令h〔x〕=e x﹣x﹣2，则h′〔x〕=e x﹣1＞0，〔x＞0〕，函数h〔x〕在〔0，+∞〕递增，而h〔1〕＜0，h〔2〕＞0，∴h〔x〕在〔0，+∞〕上存在唯一零点，即g′〔x〕在〔0，+∞〕上存在唯一零点，设此零点是x0，则x0∈〔1，2〕，x∈〔0，x0〕时，g′〔x〕＜0，x∈〔x0，+∞〕时，g′〔x〕＞0，∴g〔x〕在〔0，+∞〕上的最小值是g〔x0〕，由g′〔x0〕=0得：=x0+2，∴g〔x0〕=x0+1∈〔2，3〕，由于①式等价于t＜g〔x0〕，故整数t的最大值是2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．〔1〕求证：FB=FC；〔2〕假设AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】〔1〕由得∠EAD=∠DAC，∠DAC=∠FBC，从而∠FBC=∠FCB，由此能证明FB=FC．〔2〕由得∠ACB=90°从而∠ABC=30°，∠DAC=∠EAC=60°，由此能求出AD．【解答】〔1〕证明：因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=∠DAC．…因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC=∠FBC．…因为∠EAD=∠FAB=∠FCB，…所以∠FBC=∠FCB，…，所以FB=FC．…〔2〕解：因为AB是圆的直径，所以∠ACB=90°，…又∠EAC=120°，所以∠ABC=30°，…∠DAC=∠EAC=60°，…因为BC=9，所以AC=BCtan∠ABC=3，…所以AD==6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M〔3，4〕，其倾斜角为45°，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．〔1〕求曲线C的极坐标方程；〔2〕设曲线C与直线l交于点A，B，求|MA|+|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．【分析】〔1〕曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，利用cos2θ+sin2θ=1，可得直角坐标方程，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．〔2〕直线l的参数方程为：，代入圆的方程可得：t2+5t+9=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2．利用|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：〔1〕曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，利用cos2θ+sin2θ=1，可得直角坐标方程：x2+〔y﹣2〕2=4．展开为x2+y2﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．〔2〕直线l的参数方程为：，代入圆的方程可得：t2+5t+9=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2．∴t1+t2=﹣5，t1•t2=9．∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=5．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|〔1〕求不等式f〔x〕≤6的解集；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．〔2〕利用绝对值三角不等式求得f〔x〕的最小值为4，再根据|a﹣2|≥4，求得a的范围．【解答】解：〔1〕∵函数f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f〔x〕≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．〔2〕∵f〔x〕=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣〔2x﹣3〕|=4，则f〔x〕的最小值为4．假设关于x的不等式f〔x〕≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2}．2021年9月8日。
陕西省西安市2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A【解析】【分析】 作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α=?,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可.【详解】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥,故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α=?.又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA ???.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.2．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．2B ．153C ．163D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值. 详解：由2434120y x x y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的.由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离，从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=22130412334⨯+⨯+=+，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.3．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 【答案】A【解析】 依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12. 4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323π C ．6423π D ．2053π 【答案】C【解析】【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =，所以体积为()346422233V ππ=⨯=. 故选：C【点睛】 本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.5．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C【解析】【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求．【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-． z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．6．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A【解析】【分析】 224442+=()()2222224+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8，==，4=，=，2==，1=，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.7．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i【答案】D【解析】【分析】两边同乘-i，化简即可得出答案．【详解】i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】=+∈的共轭复数为z a bi(,)z a bi a b R=-8．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【解析】【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.9．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个【答案】D【解析】【分析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.【详解】 ()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈，所以函数()f x 的零点有无穷多个；因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-，即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称，由题意无法求出()f x 的值域，所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.10．已知向量()3,1a =r，()3,1b =-r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】【分析】由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.【详解】解：由题意得，设a r 与b r的夹角为θ， 311cos 222a b a bθ⋅-∴===⨯r r r r ， 由于向量夹角范围为：0θπ≤≤，∴π3θ=. 故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
陕西省西安市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>【答案】D【解析】【分析】利用()f x 是偶函数化简()3log 0.3f ，结合()f x 在区间()0,∞+上的单调性，比较出三者的大小关系.【详解】()f x Q 是偶函数，()3331010log 0.3(log )(log )33f f f ∴=-=， 而0.30.4310log 12203-->>>>，因为()f x 在(0,)+∞上递减， 0.30.4310(log )(2)(2)3f f f --∴<<， 即0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f --<<．故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.2．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞），∴a ＞b ⇒log a b ＜1，log a b ＜1⇒a ＞b ，本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r ，则y x -的值为（ ）A ．12-B ．23-C ．13- D ．1-【答案】D【解析】【分析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出． 【详解】 解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．4．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．22B ．5C ．13D ．11可过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，并连接CF ，从而可得出∠CSF （或补角）为异面直线SC 与OE 所成的角，根据条件即可求出3210SC SF CF ===，，这样即可得出tan ∠CSF 的值.【详解】如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF （或补角）即为异面直线SC 与OE 所成的角，∵14SE SB =，∴13SE BE =， 又OB ＝3，∴113OF OB ==， SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴32SC =；SO ⊥OF ，SO ＝3，OF ＝1，∴10SF =；OC ⊥OF ，OC ＝3，OF ＝1，∴10CF =，∴等腰△SCF 中，2232(10)()1123322tan CSF ∠-==. 故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.5．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10050023x =，解得115x =人. 故选：D【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.6．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)- 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知复数552i z i i =+-，则||z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z【详解】 55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.8．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =u u u v u u u v ，则DE DF ⋅u u u v u u u v 的取值范围是（ ）A ．11[,]216-B ．1(,]16-∞C ．1[,0]2- D ．(,0]-∞【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =u u u r u u u r ，找出m 与n 的关系．通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅u u u r u u u r 表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅u u u r u u u r 的取值范围．【详解】以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤所以(),(1,1))AE m CF n n ==--u u u r u u u r由||2||AE CF =u u u r u u u r得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ， 所以22713(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+u u u r u u u r ， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是11[,]216-．故选A ． 【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．9．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( )A ．{}32x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<< 【答案】D利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<,由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.10．已知集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2} 【答案】A【解析】【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集.【详解】 ∵集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故选：A ．【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 11．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．2kB ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.12．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()U M N ⋂=ð（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥ 【答案】A【解析】【分析】先求出U M ð，再与集合N 求交集.【详解】由已知，{|1}U M x x =≥ð，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>ð.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省汉中市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x yCa ba b-=>>，O为坐标原点，1F、2F为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，2F G OG⊥，且16||||OG GF=，则该双曲线的渐近线方程为（）A．22y x=±B．3y x=±C．y x=±D ．2y x=±【答案】D【解析】【分析】根据2F G OG⊥，先确定出2,GF GO的长度，然后利用双曲线定义将16||||OG GF=转化为,,a b c的关系式，化简后可得到ba的值，即可求渐近线方程.【详解】如图所示：因为2F G OG⊥，所以22222,1bcaGF b OG c b aba===-=+，16GF=16OG GF=，所以2216OG GF F F=+，所以222216OG GF F F=+，所以()222216422cos180a b c b c GF F=++⨯⨯︒-∠，所以2226422ba b c b cc⎛⎫=++⨯⨯-⎪⎝⎭，所以222,2bb aa==所以渐近线方程为2y x=±.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.2．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤- D ．{}35x x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R NM ，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示()R NM ，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-.故选：C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S .【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 4．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π= D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.5．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC FD ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.7．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD =∠∠，①在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CDADC CAD=∠∠，②①÷②得212CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin 4B ∴==因此，ABD ∆的面积为1sin 2ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决. 【详解】因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题. 9．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆. 【详解】依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 10．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π个单位长度，故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题. 11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.12．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ） A ．2- B ．1-C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =，()2,2b =- ()24,2a b ∴+= ()//2c a b + 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年陕西省西安中学高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）2．若复数z满足z⋅（1+i）＝﹣2i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元4．过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程为x+2y﹣4＝0，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．5．将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x6．在四边形ABCD中，AB∥CD，设．若，则＝（）A．B．C．D．7．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为（）A．B．C．D．8．若sin（﹣α）＝，则sin（）＝（）A．B．C．D．9．设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6﹣2S3＝2，则的最小值为（）A．8B．16C．24D．3610．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为（1，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．111．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤5B．a＜5C．3＜a＜5D．1＜a≤212．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A．0B．1C．2D．3二、填空题（共4小题）.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．14．若二项式（+）6的展开式中的常数项为m，则3x2dx＝．15．已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（填写正确命题对应的序号）．①若l∥m，则α∥β；②若l⊥m，则α⊥β；③若l⊥β，则α⊥β；④若α⊥β，则m⊥α．16．已知，若函数y＝f（x）+g（x）﹣m（x＞0）恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1．设F为线段AC上一点，，有下列条件：①c＝1；②；③．请从以上三个条件中任选两个，求S△ABF：S△CBF的值．18．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠CAD ＝90°，EF∥BC，EF＝BC，AC＝2，AE＝EC＝．（1）求证：A，D，E，F四点共面，且平面ADEF⊥平面CDE；（2）若二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，求点D到平面ACF的距离．19．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）求最低录取分数（结果保留为整数）；（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．20．已知椭圆C：，点A（1，），B（1，2）．（Ⅰ）若直线l与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；（Ⅱ）若直线l2：y＝2x+t（t≠0）与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．21．已知函数，其中0＜a＜e．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）零点的个数；（3）若f（x）存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＜e2．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心为（0，1），半径为1，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设M，N是圆C上两个动点，满足∠MON＝，求|OM|+|ON|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若∃x∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥a|x﹣3|成立，求实数a的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∪B＝{x|x≤3}＝（﹣∞，3]．故选：A．2．若复数z满足z⋅（1+i）＝﹣2i，则|z|＝（）A．B．C．2D．解：由z（1+i）＝﹣2i，得z＝，∴|z|＝．故选：A．3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元解：设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．故选：D．4．过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程为x+2y﹣4＝0，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．解：根据题意，直线方程为x+2y﹣4＝0，与x轴交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），则椭圆C的右顶点坐标为（4，0），上顶点坐标为（0，2），则a＝4，b＝2，则椭圆C的标准方程为+＝1；故选：A．5．将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x解：函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到：y＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos（2x+），再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为y＝cos（x+）．故选：A．6．在四边形ABCD中，AB∥CD，设．若，则＝（）A．B．C．D．解：∵AB∥CD，∴设＝k，则＝k，k＞0，∵＝+＝k+＝λ+μ，∴，∵，∴1+k＝，即k＝，即＝，故选：C．7．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠B为直角，且AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC的面积S＝×5×12＝30，若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝＝2π，则阴影部分的面积S＝30﹣2π，则对应的概率P＝，故选：C．8．若sin（﹣α）＝，则sin（）＝（）A．B．C．D．解：因为sin（﹣α）＝，所以sin（）＝sin[﹣（﹣2α）]＝cos（﹣2α）＝1﹣2sin2（﹣α）＝1﹣2×（）2＝．故选：D．9．设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6﹣2S3＝2，则的最小值为（）A．8B．16C．24D．36解：设等差数列{a n}的公差为d，由S6﹣2S3＝2可得：6a1+﹣2（3a1+）＝2，整理得：d＝，又a2＞0，∴＝3×＝3×＝3（a2++）≥3（2+）＝16，当且仅当a2＝时取“＝“，故选：B．10．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为（1，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．1解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点坐标为（，），由题意可得x1+x2＝2，y1+y2＝2，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得+＝0，所以＝﹣•＝﹣，又因为离心率e＝＝，所以1﹣＝，所以﹣＝﹣，即直线AB的斜率为﹣，故选：A．11．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．2≤a≤5B．a＜5C．3＜a＜5D．1＜a≤2解：∵函数f（x）在R上单调递增，∴当x＜1时，有a＞1；当x≥1时，f'（x）＝≥0恒成立，令g（x）＝2x3+ax﹣4，x∈[1，+∞），则g'（x）＝6x2+a，∵a＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）＝2+a﹣4＝a﹣2，要使当x≥1时，f'（x）≥0恒成立，则a﹣2≥0，解得a≥2．∵函数f（x）在R上单调递增，∴还需要满足，即a≤5，综上，a的取值范围是2≤a≤5．故选：A．12．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A．0B．1C．2D．3解：对于①，在图2中记AC与BD的交点（中点）为O，取BE的中点为M，连结MO，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，∴AC∥平面BEF，故①正确；对于②，如果四点共面，则由BC∥平面ADEF⇒BC∥EF∥AD⇒AD＝EF，与已知矛盾，故②不正确；对于③，在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故③正确；对于④，延长AF至G使得AF＝FG，连结BG、EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F 作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE．若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE 垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．二、填空题：把答案填在对应题号的横线上．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．解：∵，∴由正弦定理，可得：，可得：sin B＝，∵b＜c，B为锐角，可得：B＝，∴A＝π﹣B﹣C＝．故答案为：．14．若二项式（+）6的展开式中的常数项为m，则3x2dx＝124．解：二项式（+）6的展开式的通项＝．由12﹣3r＝0，得r＝4．∴m＝．则3x2dx＝．故答案为：124．15．已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是③（填写正确命题对应的序号）．①若l∥m，则α∥β；②若l⊥m，则α⊥β；③若l⊥β，则α⊥β；④若α⊥β，则m⊥α．解：①α∩β＝n，l∥m∥n，故①不正确；②α∩β＝n，m∥n，l⊥n，则l⊥m，故②不正确；③由面面垂直的判定定理，若l⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n，由面面垂直的性质定理知，m⊥n时，m⊥α，故④不正确．故答案为：③．16．已知，若函数y＝f（x）+g（x）﹣m（x＞0）恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ln3﹣3，0）∪[5，+∞）．解：由y＝f（x）+g（x）﹣m＝0得g（x）﹣m＝﹣f（x），设h（x）＝﹣f（x）＝，设m（x）＝g（x）﹣m＝|lnx|﹣m，作出h（x）和m（x）的图象如图：m（1）＝﹣m，当﹣m＝0时，即m＝0时，m（3）＝ln3，此时h（3）＝3＞m（3），即此时两个函数有3个交点，不满足条件．当﹣m＞0时，即m＜0时，要使两个函数有两个交点，则此时只需要满足m（3）＝ln3﹣m＜h（3）＝3，即m＞ln3﹣3，此时ln3﹣3＜m＜0，当﹣m＜0时，即m＞0时，此时当0＜x≤1时，两个函数一定有一个交点，则此时只要在x＞1时有一个交点即可，此时当x→1，f（1）→﹣5，m（1）＝﹣m此时只要满足m（1）＝﹣m≤﹣5，即m≥5即可，综上实数m的取值范围是m≥5或ln3﹣3＜m＜0，故答案为：（ln3﹣3，0）∪[5，+∞），三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1．设F为线段AC上一点，，有下列条件：①c＝1；②；③．请从以上三个条件中任选两个，求S△ABF：S△CBF的值．解：选①②，则a＝c＝1，，由余弦定理可得：cos∠ABC＝＝﹣，又∠ABC∈（0，π），所以∠ABC＝，所以A＝C＝．在△BCF中，由正弦定理得＝，因为，所以sin∠CBF＝．又∠CBF＜∠ABC＝，所以∠CBF＝，所以∠ABF＝．所以sin∠ABF＝sin＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．于是S△ABF：S△CBF＝sin∠ABF：sin∠CBF＝sin：sin＝．选②③，因为a＝1，b＝，a2+b2﹣ab＝c2，所以c＝1．由余弦定理可得cos C＝＝，又∠C∈（0，π），所以C＝，所以A＝C＝，所以∠ABC＝π﹣A﹣C＝．在△BCF中，由正弦定理可得＝，因为，所以sin∠CBF＝．又∠CBF＜∠ABC＝，所以∠CBF＝，所以∠ABF＝．所以sin∠ABF＝sin＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．于是S△ABF：S△CBF＝sin∠ABF：sin∠CBF＝sin：sin＝．选①③，则a＝c＝1，a2+b2﹣ab＝c2，则a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得cos C＝＝，又∠C∈（0，π），所以C＝，因为a＝c，所以A＝C＝，所以∠ABC＝π﹣A﹣C＝．在△BCF中，由正弦定理可得＝，因为，所以sin∠CBF＝．又∠CBF＜∠ABC＝，所以∠CBF＝，所以∠ABF＝．所以sin∠ABF＝sin＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．于是S△ABF：S△CBF＝sin∠ABF：sin∠CBF＝sin：sin＝．18．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠CAD ＝90°，EF∥BC，EF＝BC，AC＝2，AE＝EC＝．（1）求证：A，D，E，F四点共面，且平面ADEF⊥平面CDE；（2）若二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，求点D到平面ACF的距离．解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵EF∥BC，∴EF∥AD，∴A，D，E，F四点共面，∵∠CAD＝90°，∴AC⊥AD，∵平面ACE⊥平面ABCD，平面ACE∩平面ABCD＝AC，∴AD⊥平面ACE，∵CE⊂平面ACE，∴CE⊥AD，∵AC＝2，AE＝EC＝，∴CE2+AE2＝AC2，∴CE⊥AE，∵AE∩AD＝A，AD，AE⊂平面ADEF，∴CE⊥平面ADEF，∵CE⊂平面CDE，∴平面ADEF⊥平面CDE．（2）∵平面ACE⊥平面ABCD，∠CAD＝90°，∴如图以A为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，设AD＝2a，则A（0，0，0），C（2，0，0），E（1，0，1），F（1，﹣a，1），＝（2，0，0），＝（1，﹣a，1），设平面ACF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，a），平面ACE的一个法向量＝（0，1，0），∵二面角E﹣AC﹣F的大小为45°，∴cos45°＝＝＝，解得a＝1，∴AD＝2，＝（0，2，0），∴D（0，2，0），平面ACF的法向量＝（0，1，1），∴点D到平面ACF的距离为d＝＝＝．19．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）求最低录取分数（结果保留为整数）；（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得X～N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0＝266.32，即最低录取分数线为266；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．20．已知椭圆C：，点A（1，），B（1，2）．（Ⅰ）若直线l与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；（Ⅱ）若直线l2：y＝2x+t（t≠0）与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．解：（Ⅰ）设M（x1，y1），N（x2，y2），∵A为线段MN的中点，∴x1+x2＝2，y1+y2＝1∵，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，∴k MN＝＝﹣1．（Ⅱ）联立，消去y得，9x2+8tx+2（t2﹣1）＝0，由△＝（8t）2﹣4×9×2（t2﹣1）＞0，可得0＜t2＜9，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴|PQ|＝•＝＝•，又点B到直线l2的距离d＝＝，∴△BPQ的面积S＝×|PQ|×d＝ו×＝•≤•＝，当且仅当9﹣t2＝t2，即t＝±时取等号，故△BPQ面积的最大值21．已知函数，其中0＜a＜e．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）零点的个数；（3）若f（x）存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＜e2．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝（x﹣a）lnx+（）+2a﹣，＝（x﹣a）lnx++2a﹣，＝（x﹣a）（lnx﹣1），令f′（x）＝0，得x＝a或x＝e，因为0＜a＜e，当0＜x＜a或x＞e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当a＜x＜e时，f′（x）＜0，f （x）单调递减，所以f（x）的增区间为（0，a），（e，+∞），减区间为（a，e），（2）取δ＝min{1，2a}，则当x∈（0，δ）时，＜0，lnx＜0，2a﹣，f（x）＝x（）lnx+x（2a﹣）＞0，又因为0＜a＜e，由（1）可知f（x）在（0，a）上单增，因此，当x∈（0，a]，恒f′（x）＞0，即f（x）在（0，a]上无零点下面讨论x＞a的情况：①当时，因为f（x）在（a，e）单减，（e，+∞）单增，且f（a）＞0，f（e）＜0，f（e2）＞0，根据零点存在定理，f（x）有两个不同的零点．②当a＝时，由f（x）在（a，e）单减，（e，+∞）单增，且f（e）＝0，此时f（x）有唯一零点e．③若，由f（x）在（a，e）单减，（e，+∞）单增，f（x）≥f（e）＝e（a﹣）＞0，此时f（x）无零点综上，若，f（x）有两个不同的零点；若a＝，f（x）有唯一零点e；若，f（x）无零点．（3）证明：由（2）知，，且a＜x1＜e＜x2，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（），x∈（a，e），则F′（x）＝（x﹣a）（lnx﹣1）﹣（lnx﹣1）（）＝（lnx﹣1）令g（x）＝x4﹣ax3+e2ax﹣e4，x∈（a，e），因为当x∈（a，e）时，x2+e2﹣ax＞0，x2﹣e2＜0，所以g（x）＜0，又lnx﹣1＜lne﹣1＝0，所以F′（x）＞0恒成立，即F（x）在（a，e）单增．于是当a＜x＜e时，F（x）＜F（e）＝0，即f（x）＜f（），因为x1∈（a，e），所以f（x1）＜f（），又f（x1）＝f（x2），所以f（x2）＜f（），因为x2＞e，，且f（x）在（e，+∞）单增，所以由f（x2）＜f（），可得•e，即x1x2＜e2．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心为（0，1），半径为1，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设M，N是圆C上两个动点，满足∠MON＝，求|OM|+|ON|的取值范围．解：（1）圆C的圆心为（0，1），半径为1，所以圆的方程为x2+（y﹣1）2＝1，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．（2）设M（ρ1，θ），N（），故|OM|+|ON|＝ρ1+ρ2＝sin＝＝sin（），由于，故，所以，故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若∃x∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥a|x﹣3|成立，求实数a的最大值．解：（1）f（x）≥2即为|x+1|+|2x﹣1|≥2，等价为或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥，则原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）∃x∈[﹣1，0]，使得不等式f（x）≥a|x﹣3|成立，等价为∃x∈[﹣1，0]，x+1+1﹣2x≥a（3﹣x）即a≤成立，设g（x）＝，﹣1≤x≤0，则g（x）＝1+，由﹣4≤x﹣3≤﹣3，可得≤1+≤，即g（x）的最大值为，所以a≤，即a的取值范围是（﹣∞，]．。
陕西省西安中学2021届高考数学模拟试卷(理科)(三)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合A ={x|x ≤2}，B ={x|0<x <3}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|x <3}C. {x|2<x <3}D. {x|2≤x <3}2.(√21+i)2=( )A. −iB. iC. −1D. 13.从某校2100名学生随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时间(单位：min)依次为：75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80.则该校的所有学生中，课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生人数为( )A. 9B. 270C. 630D. 10504.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若直线y =√3x 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且四边形PF 1QF 2是矩形，则C 的离心率为( )A. √33B. √36C. 13D. √3−15.已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为π，且其图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)=cosωx 的图象，则f(x)图象的一条对称轴为( )A. x =5π6B. x =π2C. x =2π3D. x =π6.在三棱锥OABC 中，D 是BC 的中点，则直AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x ∈(0,π))及直线x =a(a ∈(0,π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则a 的值为( )A. 712πB. 23πC. 34πD. 56π8.已知α−π4的终边上有一点(−1,2)，则tan2α=()A. −2B. −3C. −13D. −349.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a2+a8−a4=6，则S11=()A. 132B. 108C. 66D. 不能确定10.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为()A. B. C. D.11.12.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(−2)=0，则{x|x·f(x)>0}等于()A. {x|x>2，或−2<x<0}B. {x|0<x<2，或x<−2}C. {x|x>2，或x<−2}D. {x|0<x<2，或−2<x<0}12.下列四种说法中，错误的个数是()①A={0,1}的子集有3个；②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；④命题“∀x∈R，均有x2−3x−2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2−3x−2≤0”A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC中，BC=4，AC=2√3，B=π3，则cosA=______．14.若(x−2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=______ ．15.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列四个命题，其中正确命题的序号是______ ．①若α//β，m⊂α，则m//β；②若m//α，n⊂α，则m//n；③若α⊥β，β⊥γ，则α//γ或α⊥γ；④若m⊥α，m//β，则α⊥β．}(x>0)，则不等式f(x)≥16.对于两个实数a，b，min{a,b}表示a，b中的较小数．设f(x)=min{x,1xlog42的解集是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，acosB=−(b+2c)cosA，AD=1．(1)求A；(2)求△ABC面积的最大值．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，BB1⊥平面ABC(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)求二面角A−A1D−B的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离．19.A企业为了监控某种零件的一条流水生产线的产品质量，检验员从该生产线上随机抽取100个零件，测量其尺寸X(单位：mm)并经过统计分析，得到这100个零件的平均尺寸为10，标准差为0.5.企业规定：若X∈(9.5,10.5)，该零件为一等品，企业获利20元；若X∈(9,11)且X∈(9.5,10.5)，该零件为二等品，企业获利10元；否则，该零件为不合格品，企业损失40元．(1)在某一时刻内，依次下线10个零件，如果其中出现了不合格品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查若这10个零件的尺寸分别为9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，则从这一天抽检的结果看，是否需要对当天的生产过程进行检查？(2)将样本的估计近似地看作总体的估计通过检验发现，该零件的尺寸X服从正态分布N(μ,σ2).其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差S12．(ⅰ)从下线的零件中随机抽取20件，设其中为合格品的个数为Y，求Y的数学期望(结果保留整数)(ⅰ)试估计生产10000个零件所获得的利润．附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．20. 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y = kx −(1+k 2) x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21. 已知函数f(x)=x −lnx −a 有两个相异零点x 1，x 2(x 1<x 2). (1)求a 的取值范围； (2)求证：x 1+x 2<4a+23．22. 已知曲线C 的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，曲线C 1：{x =3cosαy =2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(Ⅱ)若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值及该点坐标．23. 若函数f(x)对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为I 上的“局部奇函数”；满足f(−x)=f(x)，则称函数f(x)为I 上的“局部偶函数”.已知函数f(x)=2x +k ×2−x ，其中k 为常数．(1)若f(x)为[−3,3]上的“局部奇函数”，当x ∈[−3,3]时，求不等式f(x)>32的解集；(2)已知函数f(x)在区间[−1,1]上是“局部奇函数”，在区间[−3,−1)∪(1,3]上是“局部偶函数”，F(x)={f(x),x ∈[−1,1]f(x),x ∈[−3,−1)∪(1,3]．(ⅰ)求函数F(x)的值域；(ⅰ)对于[−3,3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合A={x|x≤2}，B={x|0<x<3}，则A∪B={x|x<3}．故选：B．根据并集的定义写出A∪B．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.答案：A解析：解：法1：(√21+i )2=[√2(1+i)(1−i)(1−i)]2=[√22(1−i)]2=12(−2i)=−i；法2：(√21+i )2=22i=1i=−i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，属基础题．3.答案：C解析：解：∵样本中课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生所占的百分比是：930×100%=30%，∴该校的所有学生中，课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生人数为：2100×30%=630.故选C．先求出样本中课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生所占的百分比，再利用样本估计总体的思想，用2100乘以这个百分比即可．本题考查了用样本估计总体，让整体×样本的百分比即可.求出样本中课外作业时间超过一个半小时(含一个半小时)的学生所占的百分比是解题的关键．4.答案：D解析：解：方法一：由直线PQ的倾斜角为π3，∠F1PF2=π2，则|PF2|=|OF2|=c，∠PF1F2=π6，∴|PF1|=√3c，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=(√3+1)c，椭圆的离心率e=ca =√3+1=√3−1；∴椭圆的离心率为√3−1；故选D．方法二：设∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠F1F2P=β，由正弦定理可知：|PF1|=2Rsinβ，|PF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsinθ=2Rsin(α+β)，由椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|=2R(sinβ+sinα)，则椭圆的离心率e=ca =sin(α+β)sinα+sinβ，由直线PQ的倾斜角为π3，∠F1PF2=π2，则|PF2|=|OF2|=c，∠PF1F2=π6，则，∠F1F2P=π3，∴e=ca =sin(α+β)sinα+sinβ=12+√32=√3−1；∴椭圆的离心率为√3−1；故选：D．方法一：又题意可知|PF2|=|OF2|=c，∠PF1F2=π6，|PF1|=√3c，根据椭圆的定义及椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率；方法二：根据正弦定理及椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率e=ca =sin(α+β)sinα+sinβ，代入即可求得C的离心率．本题考查椭圆的离心率公式，考查椭圆定义的应用，考查转化思想，属于中档题．5.答案：A解析：解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为π，∴2πω=π，∴ω=2．∵f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=sin(2x−π3+φ)=cos2x的图象，∴−π3+φ=π2，即φ=5π6，故f(x)=sin(2x+5π6).令2x+5π6=kπ+π2，k∈Z，求得x=kπ2−π6，故函数f(x)的图象的对称轴为x=kπ2−π6，k∈Z．故令k=2，可得函数f(x)的图象的一条对称轴为x=5π6，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵D 是BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：C ．利用三角形中线向量即可求解．本题主要考察三角形的中线向量对应的性质；属于基础题．7.答案：B解析：根据定积分计算公式，算出阴影部分的面积关于a 的表达式，结合矩形的面积为8，代入几何概型计算公式得到关于a 的等式，解之即可得出实数a 的值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)：N 计算即可得到答案． 解析：解：根据题意，可得阴影部分的面积为S =∫s a0inxdx =−cosx|0a =−cosa −(−cos0)=1−cosa ， 又∵矩形的面积为S′=a ×8a =8， ∴根据几何概型计算公式， 可得P =SS′=1−cosa 8=316，解之得cosa =−12， ∵a ∈(0,π)， ∴a =2π3．故选B ．8.答案：D解析：解：已知α−π4的终边上有一点(−1,2)，∴tan(α−π4)=−2， 则tan2α=cot(π2−2α)=−cot(2α−π2)=−1tan(2α−π2)=−1+tan 2(α−π4)2tan(α−π4)=−1+4−4=−34，故选：D ．)=−2，同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍利用任意角的三角函数的定义，求得tan(α−π4角的正弦公式求得tan2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．9.答案：C解析：解：设公差为d，∵a2+a8−a4=6，∴a6−4d+a6+2d−a6+2d=6，∴a6=6，∴S11=11(a1+a11)=11a6=11×6=66，2故选：C．设公差为d，由题意可得a6=6，再根据等差数列的求和公式即可求出答案．本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题．10.答案：A解析：解：故答案选：A．11.答案：C解析：解：∵f(x)是奇函数，且在区间(0,+∞)上是单调增函数，又f(−2)=0，∴f(2)=0，且当x<−2与0<x<2时，函数图象在x轴下方，当x>2与−2<x<0时函数图象在x轴上方∴xf(x)>0的解集为(2,+∞)∪(−∞,−2)故答案为C12.答案：D解析：解：①A={0,1}的子集个数为：22=4，故①错误；②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为：若a<b，则am2<bm2，若m=0，则a=b，故②错误；③∵命题p∩q为真，则p和q都得为真，p∪q为真，则p和q至少有一个为真，∴命题p∩q为真⇒命题p∪q为真，反之则不能，故③正确；④命题“∀x∈R，均有x2−3x−2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2−3x−2<0”，故④错误；故选D．①根据非空集合子集个数的计算公式进行判断；②先写出其逆命题，然后再判断是否正确；③已知命题p∧q为真，则p和q都得为真，利用这点进行判断；④根据命题否定的规则进行判断，注意任意的否定为存在；此题主要考查集合子集个数的计算公式和逆命题、否命题的定义，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n，则其子集的个数为2n；13.答案：0解析：由正弦定理，得ACsinB =BCsinA，所以sinA=1.因为A∈(0,π)，所以cosA=0．故答案为：0．利用正弦定理可得sin A，进而求出cos A本题主要考察正弦定理，属于基本题．14.答案：−1解析：解：∵(x−2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，∴令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1−2)5=−1，故答案为：−1根据二项式定理，利用赋值法令x=1即可得到结论．本题主要考查二项定理的应用，利用赋值法是解决本题的关键．15.答案：①④解析：解：①若α//β，m⊂α，则由直线与平面平行的判定定理得m//β，故①正确；②若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；③若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故③错误；④若m ⊥α，m//β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确． 故答案为：①④．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.答案：[12,2]解析：解：根据，min{a,b}表示a ，b 中的较小数， 得到函数f(x)=min{x,1x }(x >0)的图象，如图所示： 当x =12或2时，y =12，由图象可知， f (x)≥log 42的解集是[12,2]， 故答案为：[12,2]先根据，min{a,b}表示a ，b 中的较小数求得函数f(x)，再按分段函数的图象解得用满足f(x)<12时x 的集合．本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．17.答案：解：(1)由acosB =−(b +2c)cosA 以及正弦定理可得sinAcosB =−(sinB +2sinC)cosA ，得sinAcosB +cosAsinB =−2sinCcosA ， 得sinC =−2sinCcosA ， ∵0<C <π，∴sinC ≠0， ∴cosA =−12，又0<A <π，∴A =2π3．(2)∵点D 为BC 边的中点， ∴2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AD =1，∴4=b 2+c 2+2bccos2π3=b 2+c 2−bc ≥bc ，∴bc ≤4，当且仅当b =c 时等号成立．∴S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3，当且仅当b =c 时等号成立，∴△ABC 面积的最大值为√3． 解析：(1)根据正弦定理边化角可得；(2)根据向量数量积以及基本不等式，面积公式可得． 本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．18.答案：解：(I)取BC 中点O ，连接AO ．∴△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ．∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AO ⊥平面B 1C 1CB ，取B 1C 1中点O 1，以0为原点，OB ，OO 1，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(1,0，0)，D(−1,1，0)，A 1(0,2，√3)，A(0,0，√3)，B 1(1,2，0)， ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，√3). ∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2=0，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4−3=0 ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)设平面AA 1D 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)．∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)．m ⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +y −√3z =02y =0令z =1得m ⃗⃗⃗ =(−√3,0，1) 由(I)知AB 1⊥平面A 1BD ， ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√3+√32⋅2√2=−√64∴二面角A −A 1D −B 的余弦值为√64．(3)由(2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量， 又∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−√3)，． ∴点C 到平面A 1BD 的距离d =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2=√22．解析：(I)取BC 中点O ，连接AO. 可由面面垂直的性质得到AO ⊥平面B 1C 1CB ，令B 1C 1中点为O 1，以0为原点，OB ，OO 1，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出向量AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，用向量法可得AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而由线面垂直的判定定理得到AB 1⊥平面A 1BD ； (II)求出平面AA 1D 的法向量m ⃗⃗⃗ ，结合(I)中结论AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A −A 1D −B 的余弦值；(Ⅲ)由(I)中AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面A 1BD 的法向量，求出向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，代入d =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得点C 到平面A 1BD的距离．本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，将空间线面关系，夹角问题转化为向量问题是解答的关键．19.答案：解：(1)由于这10个零件的尺寸都在(9,11)内．所以不需要对当天的生产过程进行检查．(2)(i)因为合格品的尺寸范围为(9,11).所以抽取1个零件为合格品的概率为P(9<X <11)=P(10−2×0.5<X <10+2×0.5)=0.9544．由题意．得Y ～B(20,0.9544).所以EY =20×0.9544=19.088≈19． (ii)10000个零件中，一等品约为10000×0.6826=6826(个)， 二等品约为10000×(0.9544−0.6826)=2718(个)， 不合格品约为10000×(1−0.9544)=456(个)．生产10000个零件，估计所获得的利润为6286×20+2718×10−456×40=145460(元)． 解析：(1)判断这10个零件的尺寸所在的范围，即可得到结论． (2)(i)判断Y ～B(20,0.9544).然后求解期望．(ii)10000个零件中，一等品的个数，二等品个数，不合格品个数，然后求解生产10000个零件，估计所获得的利润．本题考查离散型随机变量的期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)令y =0，得kx −(1+k 2) x 2=0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故，当且仅当k =1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标存在k >0，使3.2= ka −(1+k 2) a 2成立关于k 的方程a 2 k 2−20 ak + a 2+64=0有正根判别式=(−20a )2−4 a 2(a 2+64)≥0 a ≤6．所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．解析：略21.答案：解：(1)f′(x)=x−1x(x >0)，当0<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；要使函数f(x)=x −lnx −a 有两个相异零点，必有f(1)=1−a <0，∴a >1， 当a >1时，∵e −a <1，且f(e −a )=e −a >0，∴函数f(x)在(0,1)有一个零点 ∵e a >1，f(e a )=e a −2a >0，∴函数f(x)在(1,+∞)有一个零点， ∴a 的取值范围为(1,+∞)． (2)由(1)知，0<x 1<1<x 2， ∵x 1−lnx 1−a =0，∴a =x 1−lnx 1， 要证x 1+x 2<4a+23，x 2<4a+23−x 1=4(x 1−lnx 1)+23−x 1=x 1−4lnx 1+23，故构造函数g(x)= x−4lnx+23，(0<x <1)，则g′(x)=x−43x<0，所以g(x)在(0,1)单调递减，g(x)>g(1)=1．∴x 2>1，x 1−4lnx 1+23>1，构造函数ℎ(x)=f(x)−f(x−4lnx+23)，(0<x <1)ℎ′(x)=2x+13x+1x−4lnx+2⋅x−4x，下面证明ℎ′(x)>0，即证明lnx −(x+5)(x−1)4x+2<0，构造函数H(x)=lnx −(x+5)(x−1)4x+2，(0<x <1)．H′(x)=(1−x)3(2x+1)2x>0在(0,1)上恒成立，因此H(x)在(0,1)递增，从而H(x)<H(1)=0， ∴ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1)递增， ∴ℎ(x)<ℎ(1)=0，∴f(x 1)<f(x 1−4lnx 1+23) ∴f(x 2)<f(x 1−4lnx 1+23)，∵x >1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴x 2<x 1−4lnx 1+23，即x 1+x 2<4a+23．解析：本题考查了利用导数处理函数的最值、单调性，以及极值点偏移问题，考查了转化思想、计算能力，属于难题．(1)利用导数，求得单调区间，利用最小值小于0，结合f(e −a )=e −a >0，f(e a )=e a −2a >0，求得a 的取值范围． (2)要证x 1+x 2<4a+23，x 2<4a+23−x 1=4(x 1−lnx 1)+23−x 1=x 1−4lnx 1+23，构造函数ℎ(x)=f(x)−f(x−4lnx+23)(0<x <1)，利用ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1)递增，可得f(x 1)<f(x 1−4lnx 1+23)即可得f(x 2)<f(x 1−4lnx 1+23)，从而有x 2<x 1−4lnx 1+23，即x 1+x 2<4a+23.即可证明．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0，由{x =3cosαy =2sinα得{cosα=x3sinα=y 2，代入cos 2α+sin 2α=1得x 29+y 24=1． (Ⅱ)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0， 设点M(3cosα,2sinα)，由点到直线的距离公式得： d =√5=√5，其中cosφ=35,sinφ=45，α−φ=0时，d min =√5，此时．M(98,85)解析：(Ⅰ)将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后消去参数，得到普通方程即可，(Ⅱ)利用点到直线距离公式得到距离的三角解析式，然后结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果．本题考查极坐标方程与参数方程的应用，点到直线距离公式，三角函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．23.答案：解：(1)若f(x)为[−3,3]上的“局部奇函数”，则f(−x)=−f(x)，即2−x +k ⋅2x =−(2x +k ⋅2−x )，整理可得(k +1)(2x +2−x )=0， 解得k =−1，即f(x)=2x −2−x ，当x ∈[−3,3]时，不等式f(x)>32，即为2(2x )2−3⋅2x −2>0， 可得2x >2，即x >1， 则原不等式的解集为(1,3]；(2)(ⅰ)F(x)={2x −2−x ,x ∈[−1,1]2x +2−x ,x ∈[−3,1)∪(1,3]，令t =2x ，则y =t −1t 在[12,2]递增，当x ∈[−1,1]时，F(x)∈[−32,32]； 因为y =t +1t 在(2,4]递增，所以x ∈(1,3]时，F(x)∈(52,174]；又因为f(x)在[−3,−1)∪(1,3]为“局部偶函数”，可得x ∈[−3,−1)∪(1,3]时，F(x)∈(52,174]； 综上可得，F(x)的值域为[−32,32]∪(52，174]；(ⅰ)对于[−3,3]上的任意实数x 1，x 2，x 3，不等式F(x 1)+F(x 2)+5>mF(x 3)恒成立， 可得2F(x)min +5>mF(x)max ， 即有2×(−32)+5>174m ，解得m <817，即m 的取值范围是(−∞,817).解析：(1)由“局部奇函数”的定义，结合指数不等式的解法，可得解集；(2)(ⅰ)由分段函数的形式写出F(x)的解析式，再由换元法和函数的单调性、基本不等式，可得所求值域；(ⅰ)由题意可得可得2F(x)min +5>mF(x)max ，结合F(x)的值域，可得所求范围．本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合装题目要求的．1．（5分）若集合2{|230}A x x x =--<，{0B =，1，2，3，4}，则(A B = )A ．{0，2}B ．{0，1，2}C ．{3，4}D ．{0，2，3}2．（5分）设复数11iz i-=+，那么在复平面内复数31z -对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，⋯⋯，第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”．现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为( )A ．86.2米B ．83.6米C ．84.8米D ．85.8米4．（5分）已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为( )A 23B 43C 83D ．23π 5．（5分）已知函数2()121x f x =-+，且(41)xf f ->（3），则实数x 的取值范围是( ) A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(,1)-∞6．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为( )A ．425B ．825C ．925D ．18257．（5分）已知M 经过坐标原点，半径2r =，且与直线2y x =+相切，则M 的方程为( )A ．22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)2x y ++-=或22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -++=或22(2)2x y ++=D ．22(1)(1)2x y -++=或22(2)2x y -+= 8．（5分）若将函数3sin 2y x =的图像向右平移6π个单位长度，平移后图像的一条对称轴为( ) A ．56x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．23x π=9．（5分）渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A 出发北航行到北岸．假设游船在静水中航行速度大小为1||10v =/m h ，水流速度的大小为2||6/v m h =．设速度1v 与速度2v 的夹角为120︒，北岸的点A '在码头A 的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应( )A ．在A '东侧B ．在A '西侧C ．恰好与A '重合D ．无法确定10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线6y x =-对称，且线段AB 的中点坐标为(2,4)M -，则双曲线C 的离心率为( ) ABC ．2D11．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC ==，2ABC π∠=，若该直三棱柱的外接球表面积为16π，则此直三棱柱的高为( ) A ．4B ．3C．D．12．（5分）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，函数()2x f x xe =+，若关于x 的函数2()[()](2)()2F x f x a f x a =+--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．1(,2)e -∞-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．11(2,2)(2,2)ee---D ．11(2,2)e e--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x ，y 满足约束条件20202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值为 ．14．（5分）52(3)(1)x x-+的展开式中常数项为 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos 3b C a c =-，且A C =，则sin A = ．16．（5分）已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 是以2π为周期的周期函数； ③()f x 的图像关于2x π=对称；④()f x其中真命题有 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面MBC ；（Ⅱ）设点N 是PB 的中点，求二面角N MC B --的余弦值．18．（12分）设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，22424a a =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足()()n n n sina n b cosa n ππ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+．19．（12分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试．受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A 、B 、C 三项技能，其中A 必须过关，B 、C 至少有一项过关才能进入面试．现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否过关相互独立． 考核技能 ABC过关率231212（Ⅰ）求甲应聘者能进入面试的概率；（Ⅱ）用X 表示三位应聘者中能进面试的人数，求X 的分布列及期望EX ．20．（12分）设O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于P ，Q 两个点． （Ⅰ）求证：OP OQ ⊥；（Ⅱ）试判断在x 轴上是否存在点M ，使得直线PM 和直线QM 关于x 轴对称．若存在，求出点M 的坐标．若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数(21)()()1a x f x lnx a R x -=-∈+有两个极值点1x 和2x ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）把222112x x x x +表示为关于a 的函数g （a ），求g （a ）的值域． （二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos(sinxyααα=⎧⎨=⎩为参数），直线l的参数方程为1(3x tty t=-⎧⎨=+⎩为参数）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，说明C是哪一种曲线；（Ⅱ）设M，N分别为l和C上的动点，求||MN的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x=+-，x R∈．（Ⅰ）求()2f x的解集；（Ⅱ）若()f x x=有2个不同的实数根，求实数的取值范围．2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合装题目要求的．1．（5分）若集合2{|230}A x x x =--<，{0B =，1，2，3，4}，则(A B = )A ．{0，2}B ．{0，1，2}C ．{3，4}D ．{0，2，3}【解答】解：2{|230}{|13}A x x x x x =--<=-<<，{0B =，1，2，3，4}，{0AB ∴=，1，2}．故选：B ． 2．（5分）设复数11iz i-=+，那么在复平面内复数31z -对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，那么在复平面内复数3113z i -=--对应的点(1,3)--位于第三象限， 故选：C ．3．（5分）据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，⋯⋯，第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”．现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为( )A ．86.2米B ．83.6米C ．84.8米D ．85.8米【解答】解：由题意可知所求的高度为17.6910852686.2÷⨯≈， 所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米， 故选：A ．4．（5分）已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为( ) A ．23π B ．43π C ．83π D ．23π【解答】解：圆锥的轴截面是正三角形ABC ，边长等于4，如图： ∴圆锥的高3423AO =⨯=， 圆锥的底面半径1422r =⨯=，因此，该圆锥的体积22118322333V r AO πππ=⋅=⨯⨯=．故选：C ．5．（5分）已知函数2()121xf x =-+，且(41)xf f ->（3），则实数x 的取值范围是( ) A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【解答】解：x 增大时，21x +增大，221x+减小， ()f x ∴是R 上的减函数，且(41)x f f ->（3）， 413x ∴-<，解得1x <，x ∴的取值范围是(,1)-∞． 故选：D ．6．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为( )A ．425B ．825C ．925D ．1825【解答】解：甲选两种书体共有5420⨯=种，乙选两种书体共有5420⨯=种，一共有400种选法，甲不选隶书体有4312⨯=种，乙不选草书体有4312⨯=种，共有1212144⨯=种选法，共有1212144⨯=种选法，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为144940025P ==． 故选：C ．7．（5分）已知M 经过坐标原点，半径2r 2y x =+相切，则M 的方程为( )A ．22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)2x y ++-=或22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -++=或22(2)2x y ++=D ．22(1)(1)2x y -++=或22(2)2x y +=【解答】解：由已知设圆的方程为：222()()x a y b r -+-=，由已知得222222a b r r ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪=，解得1a b ==，或1a b ==-．故圆的方程为：22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=． 故选：A ．8．（5分）若将函数3sin 2y x =的图像向右平移6π个单位长度，平移后图像的一条对称轴为( ) A ．56x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．23x π=【解答】解：将函数3sin 2y x =的图像向右平移6π个单位长度，可得3sin(2)3y x π=-的图象， 令232x πππ-=+，Z ∈，可得5212x ππ=+，Z ∈， 故平移后图像的一条对称轴为512x π=， 故选：B ．9．（5分）渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A 出发北航行到北岸．假设游船在静水中航行速度大小为1||10v =/m h ，水流速度的大小为2||6/v m h =．设速度1v 与速度2v 的夹角为120︒，北岸的点A '在码头A 的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应( )A ．在A '东侧B ．在A '西侧C ．恰好与A '重合D ．无法确定【解答】解：如图建立直角坐标系，120θ=︒时， 水流速度为2(6,0)v =， 轮船的速度1(5v =-，53)， ∴12(1v v +=，53)，这说明船有x 轴正方向的速度，即向东的速度， 故该游船航行到达北岸的位置应在A '的东方， 故选：A ．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线6y x =-对称，且线段AB 的中点坐标为(2,4)M -，则双曲线C 的离心率为( ) A 2B 3C ．2D 5【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减，得2121221212()()y y b x x x x a y y -+=-+， A ，B 关于直线6y x =-对称，且线段AB 的中点坐标为(2,4)M -，∴直线AB 的斜率12121ABy y x x -==--，124x x +=，128y y +=-， 22418b a∴-=-，即222b a =， ∴离心率2222213a b b e a a+=+= 故选：B ．11．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC ==，2ABC π∠=，若该直三棱柱的外接球表面积为16π，则此直三棱柱的高为( ) A ．4B ．3C ．42D ．22【解答】解：在直三棱锥111ABC A B C -中，2ABC π∠=，AB BC ∴⊥，又2AB BC ==，∴直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成正四棱柱， 则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，设D ，1D 分别为AC ，11A C 的中点，则1DD 的中点O 为球心， 设直三棱柱的高为h ，则球的半径222(2)()224h h R =+=+，故表面积为2244(2)164h S R πππ==+=，解得22h =．故选：D ．12．（5分）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，函数()2x f x xe =+，若关于x 的函数2()[()](2)()2F x f x a f x a =+--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．1(,2)e -∞-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．11(2,2)(2,2)ee---D ．11(2,2)e e--【解答】解：()[()2][()]0F x f x f x a =-+=，()2f x =或()f x a =-，0x <时，()22x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，故()f x 的极小值是1(1)2f e -=-，又()2f x <，故()2f x =无解，此时()f x a =-要有2个解，则122a e -<-<，又()f x 是奇函数，故0x >时，()2f x =仍然无解，()f x a =-要有2个解，则122a e-<-<-，综上：a 的取值范围是(2-，112)(2e e --⋃，2)，故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若x ，y 满足约束条件20202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值为 14 ．【解答】解：由约束条件作差可行域如图，联立220x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(2,4)A ，由3z x y =+，得133z y x =-+，由图可知，当直线133zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为14．故答案为：14．14．（5分）52(3)(1)x x -+的展开式中常数项为 7- ．【解答】解：55522(3)(1)3(1)(1)x x x x x -+=⨯+-⨯+，所以常数项为：0155233107C C x x -⨯=-=-，故答案为：7-．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos 3b C a c =-，且A C =，则sin A =6． 【解答】解：因为3cos 3b C a c =-，且A C =，可得a c =，222332a b c b a c ab+-⋅=-，整理解得3a c ==，所以22223 cos232b c aAbcb b+-===⋅，可得26sin1A cos A=-=．故答案为：6．16．（5分）已知函数()sin(cos)cos(cos)f x x x=+，现有以下命题：①()f x是偶函数；②()f x是以2π为周期的周期函数；③()f x的图像关于2xπ=对称；④()f x的最大值为2．其中真命题有①②④．【解答】解：函数()sin(cos)cos(cos)f x x x=+，对于①：由于()()f x f x-=，且x R∈，故函数为偶函数，故①正确；对于②：函数(2)sin[cos(2)]cos[cos(2)]sin(cos)cos(cos)()f x x x x x f xπππ+=+++=+=，故②正确；对于③：由于(0)sin1cos1f=+，()sin(1)cos1fπ=-+，故(0)()f fπ≠，所以③错误；对于④：()sin(cos)cos(cos)2sin(cos)4f x x x xπ=+=+，当cos4xπ=时，()f x的最大值为2，故④正确；故答案为：①②④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在三棱锥P ABC-中，平面PAC⊥平面ABC，PC AC⊥，BC AC⊥，2AC PC==，4CB=，M是PA的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面MBC；（Ⅱ）设点N是PB的中点，求二面角N MC B--的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC，BC AC⊥，BC∴⊥平面PAC，PA ⊂平面PAC ，BC PA ∴⊥，AC PC =，M 是PA 的中点，CM PA ∴⊥，CMBC C =，BC ⊂平面MBC ．CM ⊂平面MBC ．PA ∴⊥平面MBC ．（Ⅱ）解：PC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PC BC ∴⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，(2A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，0)， (0P ，0，2)，(1M ，0，1)，(0N ，2，1)，则(1,0,1)CM =，(0,2,1)CN =，(2,0,2)PA =-， 由（Ⅰ）知(2,0,2)PA =-是平面MBC 的一个法向量， 设(,,)n x y z =是平面MNC 的法向量，则有020CM n x z CN n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则2z =-，2x =，∴(2,1,2)n =-，设二面角N MC B --所成角为θ， 则22cos |cos ,|||||||||89PA n PA n PA n θ⋅=〈>===⋅．18．（12分）设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，22424a a =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足()()n n n sina n b cosa n ππ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意有211()(3)24a d a d +=++，解得6d =-或3d =，0d >，3d ∴=，33(1)3n a n n ∴=+-=．（Ⅱ）当n 为奇数时，sin3sin 0n b n ππ===， 当n 为偶数时，cos3cos01n b n π===， 故{}n b 是以2为周期的周期数列，且121b b +=， 1220211211010()101001010b b b b b b ∴++⋅⋅⋅+=++=+=．， 19．（12分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试．受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A 、B 、C 三项技能，其中A 必须过关，B 、C 至少有一项过关才能进入面试．现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否过关相互独立．（Ⅰ）求甲应聘者能进入面试的概率；（Ⅱ）用X 表示三位应聘者中能进面试的人数，求X 的分布列及期望EX ．【解答】解：（Ⅰ）甲应聘者这三项考核分别记为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立，则甲应聘者能进入面试的概率为：2112112111()()()3223223222P ABC P ABC P ABC ++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=．（Ⅱ）由题知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且1~(3,)2X B ．03311(0)()28P X C ===；123113(1)()()228P X C ===；223113(2)()()228P X C ===；3303111(3)()()228P X C ===，分布列为：1~(3,)2X B ，13322EX =⋅=．20．（12分）设O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于P ，Q 两个点． （Ⅰ）求证：OP OQ ⊥；（Ⅱ）试判断在x 轴上是否存在点M ，使得直线PM 和直线QM 关于x 轴对称．若存在，求出点M 的坐标．若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：设直线:4PQ x ny =+，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 联立244x ny y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得24160y ny --=，124y y n ∴+=，1216y y =-．∴2221212(16)164416y y x x -=⋅==，12120x x y y ∴+=，∴12120OP OQ x x y y ⋅=+=，即OP OQ ⊥．（Ⅱ）解：假设存在这样的点M ，设(,0)M t ， 由（Ⅰ）知，124y y n +=，1216y y =-， 由PM 和QM 关于x 轴对称知，0MPMQ+=，即1212121244MP MQy y y y x t x t ny t ny t+=+=+--+-+- 122112(4)(4)(4)(4)y ny t y ny t ny t ny t +-++-=+-+-2212122(4)()(4)(4)ny y t y y ny t ny t +-+=+-+-1232(4)4(4)(4)n t nny t ny t -+-⋅=+-+-121640(4)(4)n ntny t ny t --==+-+-．4t ∴=-，即存在这样的点(4,0)M -．21．（12分）已知函数(21)()()1a x f x lnx a R x -=-∈+有两个极值点1x 和2x ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）把222112x x x x +表示为关于a 的函数g （a ），求g （a ）的值域． 【解答】解：（Ⅰ）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，22(23)1()(1)x a x f x x x +-+'=+，设2()(23)1h x x a x =+-+，其中△2912a a =-， 当△0>时，即43a >或0a <． 此时()0h x =有两个根，则有1212321x x a x x +=-⎧⎨=⎩，1x ∴，2x 同号，()f x 的定义域为(0,)+∞，10x ∴>，20x >， 12320x x a ∴+=->，∴23a >，∴43a >，∴1,212()x x x =<，()f x ∴在1(0,)x 上单调递增，在1(x ，2)x 上单调递减，在2(x ，)+∞上单调递增．综上可知，()f x 有两个极值点，∴实数a 的取值范围为4(,)3+∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当43a >时，()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且1212321x x a x x +=-⎧⎨=⎩，则223322322112121212124()[()3](32)[(32)3]2754272()3x x x x x x x x x x a a a a a a x x +=+=++-=---=-+->设324()2754272()3g a a a a a =-+->，则g '（a ）22811082727(341)27(31)(1)0a a a a a a =-+=-+=-->，g ∴（a ）在4(,)3+∞上是单调递增的，∴4()()23g a g >=，g ∴（a ）(2,)∈+∞，即g （a ）的值域为(2,)+∞．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），直线l 的参数方程为1(3x tt y t =-⎧⎨=+⎩为参数）．（Ⅰ）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线；（Ⅱ）设M ，N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为1(3x tt y t =-⎧⎨=+⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：4x y +=；曲线C 的参数方程为3cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为2219x y +=，所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆． （Ⅱ）设(3cos ,sin )N αα，则||MN 就是点N 到直线l的距离，||MN ==(ϕ由tan 3ϕ=决定）． 当sin()1αϕ+=时，||min MN ==[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x =+-，x R ∈． （Ⅰ）求()2f x 的解集；（Ⅱ）若()f x x =有2个不同的实数根，求实数的取值范围． 【解答】解：31,0()()|2||1|1,0131,1x x I f x x x x x x x -+⎧⎪=+-=+<<⎨⎪-⎩，由312x -+，解得：13x -，由12x +，解得：1x ，无解， 由312x -，解得：1x ，故()2f x 的解集是{|1x x 或1}3x -．（Ⅱ）由图易知：202,310OAOBAC-====-，∴Ao OB<<，即23<<，即的取值范围是(2,3)．。
陕西省2021年高考数学模拟试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁UM）∩N等于（）A . {2，3}B . {2，3，5，6}C . {1，4}D . {1，4，5，6}2. （2分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A . 1+iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . ﹣1﹣i3. （2分）等差数列中，，，设是数列的前n项和，则S8＝（）A . -16B . 16C . -32D . 324. （2分） (2019高二上·长沙月考) 在三角形ABC中，给出命题“ ”，命题“ ”，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2017高一下·南昌期末) 圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·珠海月考) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）(2016·连江模拟) 双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2渐近线分别为l1 ， l2 ，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1 ，l2∥PF2 ，则双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .8. （2分）如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A .B .C .D .9. （2分）下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）A . z的虚部为B . z为纯虚数C .D .10. （2分） (2020高二上·舟山期末) 在长方体中，，，分别在对角线，上取点M，N，使得直线平面，则线段MN长的最小值为A .B .C .D . 211. （2分） (2019高二下·浙江期中) 已知椭圆，焦点， .过作倾斜角为的直线L交上半椭圆于点A，以，（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点B恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·湖南模拟) 已知函数f（x）= ，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高三上·丽水月考) 复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为________.已知的展开式中没有常数项,且，则 ________.14. （1分）(2017·辽宁模拟) 已知x、y满足，若x2+y2的最大值为m，最小值为n，则mx+ny 的最小值为________．15. （1分） (2020高一下·天津期末) 已知中，D边上的点，且，若，则 ________.16. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知数列中，，则数列通项公式为________．三、解答题 (共8题；共75分)17. （5分）已知向量 =（sinωx，cosωx）， =（cosωx，cosωx），其中ω＞0，函数f（x）=2 •﹣1的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[ ， ]上的最大值．18. （5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4正三角形，，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥MC；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．19. （15分）(2017·河南模拟) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：520. （15分） (2019高二上·青冈月考) 求满足下列条件的各圆的标准方程:（1）圆心在原点,半径长为3;（2）圆心为点 ,半径长是（3）圆心为点 ,且经过点21. （10分） (2020高二下·阳江期中) 已知函数在处有极值．（1）求a,b的值；（2）求的单调区间．22. （10分） (2015高三上·太原期末) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．23. （5分）(2013·江苏理) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C 的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．24. （10分） (2020高一下·奉化期中) 在中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且（1）求角A的大小；（2）若的面积为，求的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
2021年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，M={1, 3, 6}，P={3, 4, 5}，指出Venn图中阴影部分表示的集合是（）A.{3}B.{1, 4, 5, 6}C.{2, 3, 7, 8}D.{2, 7, 8}2. 已知复数z1＝2+i，z2＝−1+2i，则z1⋅z2虚部为（）A.−4B.4C.3D.3i3. 在1和2两数之间插入n(n∈N+)个数，使它们与1，2组成一个等差数列，则当n＝10时，该数列的所有项和为（）A.15B.16C.17D.184. 很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数．请你估算这个数264大致所在的范围是()（参考数据：lg2=0.30，lg3=0.48）A.(1012, 1013)B.(1019, 1020)C.(1020, 1021)D.(1030, 1031)5. 为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是（）A.3%，0.010B.3%，0.012C.6%，0.010D.6%，0.0126. 执行如图的程序框图（“amodb”是a除以b的余数），如果输入a＝18，b＝12，则输出M的值等于（）A.12 B.18 C.36 D.727. 从直线l:3x+4y＝15上的动点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为C，D，则四边形OCPD（O为坐标原点）面积的最小值是（）A. B. C. D.28. 已知双曲线C：(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C 的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.9. 若sin(π3+α)=13，则cos(π3−2α)＝（）A.79B.13C.−79D.−1310. 若x，y满足约束条件，且z＝3x−y的最大值为12，则a的取值范围为（）A.a≥4B.a≥16C.a＝12D.a＝1611. 已知直线y＝kx(k>0)和曲线f(x)＝x−a ln x(a≠0)相切，则a的取值范围是（）A.(−∞, 0)∪(0, e)B.(0, e)C.(0, 1)∪(1, e)D.(−∞, 0)∪(1, e)12. 直线y＝ax+c与曲线y＝e x切于点，且x0∈[0, 1]，设，则a 与b的大小关系是（）A.a＝bB.a>bC.a<bD.以上均有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（注：15题第一空3分，第二空2分）已知向量＝(2, −1)，＝(3, −2)，，若，则||＝________．一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2的概率为________．记S n为等比数列{a n}的前n项和．设S3＝6，S4＝a1−3，则公比q＝________，S4＝________．沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体ABCD外接球表面积为________．三、解答题：共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分设函数f(x)＝12cos2x−4sin x cos x−5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在△ABC，角A、B、C的对边长分别为a、b，c．若f(A)＝−5，a＝，b＝2，求△ABC的面积．如图三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是边长2为等边三角形，E，F分别为AB，AA1的中点，CE⊥FB1，AB＝．（1）证明：EF⊥平面CEB1；（2）求三棱锥F−B1CE的体积．自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日−12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数（万）．（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为变量y，得到函数关系y＝ae bx(a、b>0)．对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值＝6，＝603.09，＝5.98，(x i）(y i）＝15835.70，(x i）(ln y i−）＝35.10，(x i）2＝110，＝11.90，e4.06≈57.97，e4.07≈58.56，e4.08≈59.15．根据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到0.01）．（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率．已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，直线l:y＝2x+a与抛物线C交于A，B两点．（1）若a＝−1，求△FAB的面积；（2）若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围．已知函数f(x)＝x3+bx2+cx，(b, c∈R)．（1）当c＝1时，讨论函数f(x)单调性；（2）设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，当|x1−x2|＝2时，求f(1)的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为，0≤θ≤，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程．（2）设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+1|+2|x−a|．（1）当a＝2时，求f(x)的最小值；（2）若函数在区间[−1, 1]上递减，求a的取值范围．参考答案与试题解析2021年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为(M∩P)∪（∁U(M∪P)），然后根据集合的基本运算即可求解．【解答】由图象可知阴影部分对应的集合为(M∩P)∪（∁U(M∪P)），∵全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，M={1, 3, 6}，P={3, 4, 5}，∴M∩P={3}，M∪P={1, 3, 4, 5, 6}，∴∁U(M∪P)={2, 7, 8}，∴(M∩P)∪（∁U(M∪P)）={2, 3, 7, 8}．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】对数的运算性质对数及其运算【解析】设264=N，两边同时取常用对数，再利用对数的运算性质即可求出N的近似值，从而求出结果．【解答】解：设264=N，两边同时取常用对数得：lg264=lg N，∴64lg2=lg N，∴lg N=64×0.30=19.2，∴N=1019.2，故1019<N<1020.故选B．5.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】∵sin(π3+α)=13=cos(π6−α)，则cos(π3−2α)=2cos2(π6−α)−1＝2×19−1=−79，10.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（注：15题第一空3分，第二空2分）【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】,5【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】5π【考点】球的表面积和体积球内接多面体棱锥的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分【答案】f(x)＝12cos2x−4sin x cos x−5，＝12×−2，＝6cos2x−7sin2x+5＝4）+1，故T＝π，函数的值域[1−3，1+5]，因为f(A)＝4cos(2A+，所以cos(8A+）＝，因为a<b，所以A<B，则<2A+<，所以5A+＝，即A＝，因为a＝，b＝6，由正弦定理得，，所以b＝2sin B＝2，故sin B＝7，即B＝，由勾股定理得，c＝1，△ABC的面积S＝＝．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，E、F分别为AB1的中点，∴CE⊥AB，又∵CE⊥FB1，且FB5与AB相交，∴CE⊥平面FB1E，∴CE⊥EF且CE⊥BB1，又∵AB＝，AB＝5，∴，∴，∴EB⊥BB1，∴BB1⊥平面ABC，∴，又，故，∴EF⊥EB1，又EC∩EB8＝E，∴EF⊥平面CEB1；由（1）可知CE⊥平面ABB1A3，∴CE⊥BB1，∴BB1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC−A3B1C1是正三棱柱，又，∴．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】因为y＝ae bx(a、b>0)，由已知可得＝，则a＝e2.06≈57.97，所以所求该函数关系式为y＝57.97e0.32x；6人中老人有人，故2人中没有老人的概率为，所以这2人中至少一人是老年人的概率为．【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】抛物线C:y2＝4x的焦点为F(2, 0)，a＝−1时，直线l:y＝6x−1，联立，可得，设A(x1, y1)，B(x6, y2)，则x1+x4＝2，x1x8＝．|AB|＝＝＝，点F到直线l的距离距离d＝＝，∴△FAB的面积S＝|AB|⋅d＝×＝．因为点M，N关于直线l对称，所以可设直线MN的方程为y＝-，联立，整理可得x2−(4m+16)x+3m2＝0，由△＝(6m+16)2−16m2>8，可得m>−2，设M(x3, y7)，N(x4, y4)，则x6+x4＝4m+16，y4+y4＝-(x3+x4)+5m＝−8故MN的中点为(4m+2, −4)，因为点M，N关于直线l对称，−4)，所以−4＝2(4m+6)+a，得a＝−4m−20，所以a<−12．．综上，a的取值范围为(−∞．【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】c＝1时，f(x)＝x3+bx8+x，f′(x)＝3x2+3bx+1，且△＝4b4−12，当-≤b≤时，所以f(x)在R上单调递增；当b<−或b>时，得x1＝，x3＝，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在(−∞, x4)，(x2, +∞)上单调递增，在(x1, x8)上单调递减．综上所述，当|b|≤时；当|b|>时，f(x)在(−∞，），（，在（，．f′(x)＝2x2+2bx+c，由x8，x2是函数f(x)的两个极值点，可得x1，x5是方程3x2+7bx+c＝0的两个根，所以x1+x8＝-，x2x2＝，又|x4−x2|＝2，所以(x4−x2)2＝(x8+x2)2−7x1x2＝-＝4−3，所以f(1)＝b+c+3＝+b−6＝）2−≥−，所以当b＝-时，c＝-5−12c＝4(b2−7c)>0，f(1)＝-，故当b＝-，c＝-时．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】已知曲线C1的极坐标方程为，0≤θ≤转换为直角坐标方程为x+y−4＝0，曲线C4的参数方程为（t为参数），，转换为直角坐标方程为(x+1)3−(y−1)2＝3．由，解得，2)．设所求的圆心坐标(x0, 2)，所以，解得x5＝2．设所求的圆的方程为(x−2)7+y2＝r2，由于圆经过极点，所以r＝6，故圆的方程为(x−2)2+y2＝4．根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a＝2时，f(x)＝|x+1|+3|x−2|＝，当x≤−1时，函数f(x)＝−4x+3≥f(−1)＝4，当−1<x<2时，f(x)＝−x+6>f(2)＝3，当x≥2时，f(x)＝2x−3≥f(2)＝3，综上所述函数f(x)的最小值为7；当a<−1时，x≥−1时，函数单调递增，当a≥−2时，f(x)＝，∵f(x)在[−1, 5]上单调递减，则a≥1，综上所述a的取值范围为[1, +∞)．【考点】函数单调性的性质与判断函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
陕西省西安中学2021届高考数学模拟试卷(文科)(三)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.复平面内，复数2i1−i 所对应的点到坐标原点的距离为( )A. √5B. 2C. √2D. √32.已知集合A ={x|x 2−1=0}，则下列式子表示正确的有( )①1∈A②{1}∈A③⌀⊆A④{1,−1}⊆A ．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.若f(x)=(m −2)+mx +(2m +1)的两个零点分别在区间(−1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A. (−1/2,−1/4)B. (−1/4,1/2)C. (1/4,1/2)D. [1/4,1/2]4.已知m ，n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若m ⊂α，n ⊂β，且α//β，则下列结论一定正确的是( )A. m//nB. m ⊥nC. m 、n 异面D. m//β5.在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组{x ≥0y ≥0x +y −4≥0所确定的平面区域内的动点，M ，N 是圆x 2+y 2=1的一条直径的两端点，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 4B. 2√2−1C. 4√2D. 76.在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，ba +ab =6cosC ，则tanCtanA +tanCtanB =( )A. 4B. 3C. 5D. 67.在数列{a n }中，a 1=12，a n =1−1an−1(n ≥2,n ∈N +)，则a 2020=( )A. 12B. 1C. −1D. 28.如果程序运行的结果为S =132，那么判断框中应填入( )A. k ≤11B. k ≥11C. k ≤10D. k ≥109.直角坐标系Oxy 中，已知两点A(2,1)，B(4,5)，点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ、μ∈R ，且λ+μ=1.则点C 的轨迹方程为( )A. y =2x −3B. y =x +1C. x +2y =9D. (x −3)2+(y −3)2=510. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)右支上的一点P(x 0,y 0)到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为2√2，且到两条渐近线的距离之积为23，则双曲线的离心率为( )A. √52B. √62C. √5D. √611. 若点(16,2)在函数y =log a x(a >0且a ≠1)的图象上，则tanaπ3的值为( )A. −√3B. −√33C. √33D. √312. 如果命题“p 且q ”是假命题，“¬q ”也是假命题，则( )A. 命题“¬p 或q ”是假命题B. 命题“p 或q ”是假命题C. 命题“¬p 且q ”是真命题D. 命题“p 且¬q ”是真命题二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=lg(mx 2−4x +3)的值域为R ，则m 的取值范围是______．14. 在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于7的概率为______ ．15. 在如图所示的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为________．16. 若数列{a n }的通项公式为a n =(−1)n+1n ，S n 是其前n 项的和，则S 100= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在中，内角、、的对边分别为、、，．(Ⅰ)若，求和；(Ⅱ)若，且的面积为，求的大小．18. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：性别男女是否需要志愿者需要40130不需要60270(Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；(Ⅱ)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，AB=√2,AF=1，M在线段EF上．(1)若M是线段EF的中点，证明：平面AMD⊥平面BDF；(2)命题“若M为线段EF的中点，则平面ADM⊥平面BDF”的逆命题是否成立？若成立，给出证明，否则请举出反例．,m)到准线的距离与到原20. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点D(12点O的距离相等．(1)求抛物线的方程；(2)设抛物线C的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21. 已知函数f(x)=+a，g(x)=aln x−x(a≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a>0时，对于任意x1，x2∈，总有g(x1)<f(x2)成立．22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的斜率为1，且经过点M(a,1)(a>0).以坐标原点为极点，x4轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(1+8sin2θ)=9．(1)求曲线C的参数方程(以角度θ为参数)．(2)若曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2√17，求此时直线l的方程．23. 已知函数f(x)=|2x+1|+|2x−1|．(Ⅰ)求f(x)的值域；|a+b|⋅f(x)≥0，求实数x的取值范围．(Ⅱ)若对任意实数a和b，|2a+b|+|a|−12【答案与解析】1.答案：C解析：解：2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i，则该复数对应的点为(−1,1)，其到原点的距离为√2，故选C．先对复数进行化简，得到其对应的点，利用两点间距离公式可得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义、两点间距离公式，属基础题．2.答案：C解析：解：因为A={x|x2−1=0}，∴A={−1,1}对于①1∈A显然正确；对于②{1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对于③⌀⊆A，根据集合与集合之间的关系易知正确；对于④{1,−1}⊆A.同上可知正确．故选：C．本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答时，可以先将集合A的元素进行确定．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可．本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识．值得同学们体会反思．3.答案：C解析：∵f(x)=(m−2)x2+mx+(2m+1)=0有两个零点且分别在区间(−1,0)和区间(1,2)内∴{m−2≠0f(−1)f(0)<0 f(1)f(2)<0∴{−12<m<12 14<m<78∴14<m<12故选：C 4.答案：D解析：解：∵m ⊂α，n ⊂β，且α//β， ∴根据平面与平面平行的性质，可得m//β， 故选：D ．根据平面与平面平行的性质，可得结论．本题考查平面与平面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5.答案：D解析：解：∵M ，N 是圆x 2+y 2=1的一条直径的两端点， ∴设M(a,b)，N(−a,−b)，则满足a 2+b 2=1， 设P(x,y)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,b −y)⋅(−a −x,−b −y)=−(a −x)(a +x)−(b −y)(b +y)=−a 2+x 2−b 2+y 2=x 2+y 2−(a 2+b 2)=x 2+y 2−1， 设z =x 2+y 2，则z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则原点到直线x +y −4=0的距离最小， 此时d =|0+0−4|√2=4√2=2√2，则z =d 2=(2√2)2=8，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−1=8−1=7， 故选：D ．设出M ，N ，P 的坐标，根据向量数量积的公式进行转化，利用数形结合转化为线性规划进行求解即可．本题主要考查向量数量积以及线性规划的应用，利用坐标系结合斜率数量积的公式转化为线性规划问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．6.答案：A解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，余弦定理的综合应用，属于中档题．由条件利用余弦定理可得a 2+b 2=32c 2，利用同角三角函数的基本关系，余弦定理化简tanC tanA +tanCtanB =c 2ab⋅a 2+b 2−c 22ab，从而求得结果．解：在锐角三角形ABC 中，由b a +ab =6cosC ， 利用余弦定理可得ba +ab =6cosC =6×a 2+b 2−c 22ab，∴a 2+b 2=32c 2．则tanC tanA +tanCtanB=sinCcosA cosCsinA +sinCcosBcosCsinB =sinC cosC (cosA sinA +cosBsinB) =sinC cosC ⋅sin(A +B)sinAsinB =sin 2CsinAsinBcosC =c 2ab ⋅cosC=c 2ab ⋅a 2+b 2−c 22ab=2c 23c 22−c 2=4，故答案为：4．7.答案：A解析：解：∵在数列{a n }中，a 1=12，a n =1−1a n−1(n ≥2,n ∈N +)，∴a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1−1=2，a 4=1−12=12，∴{a n }是周期为3的周期数列， ∴2020=3×673+1， ∴a 2020=a 1=12． 故选：A ．利用数列的递推公式求出数列{a n }的前4项，推导出{a n }是周期为3的周期数列，从而得到a 2020=a 1． 本题考查数列的第2020项的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：C解析：解：由题意知，程序框图的功能是求S =1×12×11×…，∵程序运行的结果为S =132，∴终止程序时，k =10， ∴判断框的条件是k ≤10(或k <11)， 故选：C ．程序框图的功能是求S =1×12×11×…，由程序运行的结果为S =132，得终止程序时，k =10，从而求出判断框的条件．本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．9.答案：A解析：解：由题意，可C 点坐标为(x,y)，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y) ∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5) ∴根据题意，可得方程组： {x =2λ+4μy =λ+5μ， ∵λ+μ=1，∴μ=1−λ，将此式代入方程组，可得： {x =2λ+4(1−λ)=4−2λy =λ+5(1−λ)=5−4λ， 消去λ，整理得2x −y −3=0． 故选：A ．本题可将三个向量写出它们的坐标表示，然后联立方程组，消去λ，μ，得出关于x ，y 的关系式． 本题主要考查向量的坐标表示及其运算，属基础题．10.答案：B解析：解：根据双曲线的定义知，2a =2√2，∴a =√2， 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)两条渐近线的方程为bx −ay =0或bx +ay =0， 点P(x 0,y 0)到两条渐近线的距离之积为00√a 2+b 200√a 2+b 2=23，即b 2x 02−a 2y 02a 2+b 2=23，又已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)右支上的一点P(x 0,y 0)，∴b 2x 02−a 2y 02=a 2b 2， ∴a 2b 2a 2+b 2=23，即2b 22+b 2=23， ∴b =1，∴c =√a 2+b 2=√3， 则双曲线的离心率为ca=√3√2=√62．故选B．根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．11.答案：D解析：解：∵点(16,2)在函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象上，∴2=log a16，∴a2=16，a=4，∴tan aπ3=tan4π3=tanπ3=√3，故选：D．由条件求得a的值，再利用诱导公式求得tan aπ3的值．本题主要考查对数的运算性质，利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．12.答案：C解析：解：命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个为假命题，因为“¬q”也是假命题，可得q是真命题，可得p是假命题，A、命题“¬p是真命题，可得命题“¬p或q”是真命题，故A错误；B、因为q是真命题，故命题“p或q”是真命题，故B错误；C、p是假命题，q为真命题，命题“¬p且q”是真命题，故C正确；D、p是假命题，命题“p且¬q”是假命题，故D错误；故选：C．因为命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个是假命题，因为“¬q”也是假命题，所以q 是真命题，根据此信息进行判断；本题主要考查了非P命题与p或q命题的真假的应用，注意“或”“且”“非”的含义，是一道基础题；13.答案：[0,43]解析：解：∵f(x)的值域为R，∴(0,+∞)是函数y=mx2−4x+3的值域的子集，∴①m=0时，函数y=−4x+3的值域为R，满足题意；②m ≠0时，则{m >0△=16−12m ≥0，解得0<m ≤43， ∴综上得，m 的取值范围是[0,43]． 故答案为：[0,43].根据题意知，集合(0,+∞)是函数y =mx 2−4x +3的值域的子集，然后讨论m 是否为0：m =0时，显然满足题意；m ≠0时，可得出{m >0△=16−12m ≥0，解出m 的范围即可．本题考查了对数函数的值域，子集的定义，熟悉二次函数的图象，分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：19解析：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示36种情况．其中和为7的从表中可以看出有4种情况， ∴所求事件的概率为436=19． 故答案为：19本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有的情况，可以通过列举得到结果，这些情况发生的可能性相等，满足条件的事件可以从列举出的表格中看出有4种，根据古典概型概率公式得到结果．本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的主要解题方法．15.答案：解析：在题图中，连接A 1D ，DB ，则A 1D//B 1C ，。
陕西省西安市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC=u u u r u u u r ，||||AB AC λ===u u u ru u u r . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 2．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112 B ．10102C ．10092D ．10082【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】 由（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=(122n ★)2018，又2★2018=1，所以4★12018=2，6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，L ，以此类推，2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=，所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，L ，以此类推，2018◆202020192=，所以（2018◆2020）（2020★2018）10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.3．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为12； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC垂直时，A CMN V -最大，最大值为1134448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.4．在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π4【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2B =，即可得解B 的值． 【详解】解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B 【解析】 【分析】选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.6．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃ð＝（ ） A ．{2，3，4，5} B ．{2，3，4，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．{1，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}， 所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7} B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}， 故A C ð＝{1，4，5，6}，所以()A B C ⋃ð＝{1，2，3，4，5，6}. 故选：C. 【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题. 7．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题8．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm【答案】B 【解析】 【分析】»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 9．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且23SB ．22S ，且3SC ．22S ，且23SD ．22S ，且3S【答案】D 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长. 【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以：2AB BC CD AD DE =====，22AE CE ==，22(22)223BE =+=.故选：D.. 【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.10．52mx x ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()r rrr rr r TC x mx m C x---+==，令55522r -=，得3r =， 则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 11．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( )A ．αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥B ．//αβ，m β⊥C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥时，由于m 不在平面β内，故无法得出m α⊥. 对于B 选项，由于//αβ，m β⊥，所以m α⊥.故B 选项正确.对于C 选项，当αβ⊥，//m β时，m 可能含于平面α，故无法得出m α⊥. 对于D 选项，当n ⊂α，m n ⊥时，无法得出m α⊥. 综上所述，m α⊥的一个充分条件是“//αβ，m β⊥” 故选：B 【点睛】本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.12．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第 1 页 共 15 页 2021年陕西省高考数学模拟试卷 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}lg 0A x x =>，{}24B x x =≤，则A B =I （ ）
A. ()1,2
B. (]1,2
C. (]0,2
D. ()1,+∞ 2．已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 命题的否定为( )
A ．:,sin p x R x x ⌝∃∈<
B ．:,sin p x R x x ⌝∀∈<
C ．:,sin p x R x x ⌝∃∈≤
D ．:,sin p x R x x ⌝∀∈≤ 3．若复数2i 2a z -=
在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8π3
B ．16π3
C ．8π
D ．16π。
