镇江市高三数学第三次模拟考试试卷数 学 2017.5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置． 3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =,若A B ⊆,则实数m = ▲ 2．已知复数512iz =+（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 3．为了镇江市中学生运动会，现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所学校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 学校恰好抽出了6名志愿者， 那么n = ▲ ．4. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是 ▲ ． 5．已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为 ▲ .6. 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ▲ .7. 已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .8. 设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给 出下列命题：（第6题）（1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； （2）若a α⊥且a β⊥，则α∥β； （3）若α⊥β，则一定存在平面γ，使得,γαγβ⊥⊥； （4）若α⊥β，则一定存在直线l ，使得,//l l αβ⊥． 上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ▲ . 9. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，20]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ▲ .10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ .11. 在ABC ∆中，6=AB ,2=AC ，3π2=∠BAC ，若y x +=，且13=+y x ，的最小值为 ▲ .12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为221x y +=，()2,0A -，对圆O 上的任意一点P ，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，都有PB PA λ=成立，则b λ+的值为 ▲ .13. 已知函数R 2)(2∈+=x x x x f ，,若方程01)(=--x a x f 恰有4个互异的小于1的实数 根，则实数a 的取值范围为 ▲ .14. 若实数y x ,满足1222112sin cos =x x e y y--++，则x y 2tan 2的值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()(sin sin )()sin a c A C b B -+=-. （1）求角A ；（2）若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--，求()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）ABPNCM（第16题）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，AC AB ⊥,M 为BC 的中点，N 为AC 上一点， 且MN ∥平面PAB ．求证：（1）直线AB ∥平面PMN ； （2）平面ABC ⊥平面PMN ．17.（本小题满分14分）某学校有长度为14米的旧墙一面，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的活动室，工程条件是：① 建1 m 新墙的费用为a 元；② 修1 m 旧墙的费用是4a元；③ 拆去1 m 旧墙所得的材料，建1 m 新墙的费用为2a元，经过讨论有两种方案： （1）问如何利用旧墙的一段x 米)14(<x 为矩形厂房的一面边长； （2）矩形活动室的一面墙的边长14x ….利用旧墙，即x 为多少时建墙的费用最省？（1）（2）两种方案，哪种方案最好？18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知斜率为1-的直线l 与椭圆22221(0)y x a b a b +=>>相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)M . （1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的右焦点为F ，且5AF BF ⋅=，求椭圆的方程.19.（本小题满分16分）已知正项数列{}n a 满足*112(1)(N )n n a a a S n +-=-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和， 2a t =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1()2n n n a a S +…，并指出等号成立的条件.20.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =,2()g x kx ax =-，其中,k a 为实数. （1）若1,0k a ==,求方程()()0f x g x +=的零点个数；（2）若0a =，实数k 使得()()f x g x <恒成立，求k 的取值范围； （3）若1k =，试讨论函数()()()h x g x f x =-的单调性.2016-2017学年度高三教学情况调研（三）数学Ⅱ 试题2017.5注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题．．区域．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修4－1：几何证明选讲）BC 如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD AB⊥于D，和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：O B P C Q∠=∠.B．（选修4—2：矩阵与变换）QPDCBAO已知矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，31B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足AX B =，求矩阵X ．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）将参数方程(22)cos ,(22)sin ,t tt tx y θθ--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，t 为常数）化为普通方程．D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,x y z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z≥++++．【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某考生从6道预选题一次性随机的抽取3道题作答，其中4道填空题，2道解答题． (1)求该考生至少抽到1道解答题的概率；(2)若所取的3道题中有2道填空题，1道解答题．已知该生答对每道填空题的概率均为23，答对每道解答题的概率均为12，且各题答对与否相互独立．用X 表示该考生答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设整数9n ≥，在集合{1,2,3,,}n 中任取三个不同元素,,a b c ()a b c >>，记()f n 为满足a b c ++能被3整除的取法种数.(1) 直接写出(9)f 的值； (2) 求()f n 表达式.镇江市高三数学第三次模拟考试试卷数学参考答案 2017.5一、填空题． 1． 3 2．3．30 4． 315． 26．[-1,6] 7． 28．（2）（3）（4）9．10 10．50231 11．1 12．32 13．）（32-4,014．21 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 解：（1）由B c b C A c a sin )3()sin )(sin (-=+-， 及CcB b A a sin sin sin ==，（不交代定理扣1分） 得b c b c a c a )3())((-=+-即 bc c b a 3222-+= ... ... 3分 由余弦定理，（不交代定理扣1分）得： 21cos =A ， .. ... 5分 由0<A<π， 则6π=A . ... ... 7分(2)2)32cos(12)32cos(1)6(sin )6(cos )(sin )(cos )(2222ππππ---++=--+=--+=x x x x A x A x x f ... ...10分x 2cos 21=... ...12分2222,,2k x k k Zk x k k Zππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈令得： （不交代k Z ∈合计扣1分）()[,],2f x k k k Z ππππ++∈则的单调增区间为 ... ...14分16. 证明：（1）因为MN ∥平面PAB ，MN ⊂平面ABC ， 平面PAB 平面ABC AB =，所以MN ∥AB ． (3)分因为MN ⊂平面PMN ，AB ⊄平面PMN ，所以AB ∥平面PMN ． ·········6分（2）因为M 为BC 的中点，MN ∥AB ，所以N 为AC 的中点． ·········8分又因为PA PC =，所以PN AC ⊥， ·······10分 又MN AC ⊥．MN PN ⊂，平面PMN ，MNPN N =，所以AC ⊥平面PMN ． ·······12分因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PMN ． ········14分17. 解：设利用旧墙的一面边长x 米，则矩形另一边长为126x米. ········1分（1） 当14x <时，总费用25236()(14)(214)7(1)35424a a x f x x x a x a a x x=+-++-=+-≥， 当且仅当12x =时取最小值35a . …… 7分（2） 当14x ≥时，总费用25212649()14(214)2()44a f x a x a x x x =⨯++-=+-，…… 10分 则2126()2(1)0f x a x '=->，故()f x 在[14,)+∞上单调递增， 所以，当14x =时取最小值35.5a . ……13分答：第（1）种方案最省，即当14x =米时，总费用最省，为35a 元. ……14分18. 解：（1）由题意可知，l 的方程为y =-x +3 ... ... 2分 代入12222=+by a x ，得096)(2222222=-+-+b a a x a x a b 设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则x 1+x 2=2226a b a +，x 1x 2=222229a b b a a +- ① ... ... 5分由AB 中点为M （2,1）故 2226ab a +=4，即222b a = 故22122=-=ab e ② ... ... 8分（2）由①②知椭圆方程为：122222=+by b xx 1+x 2=4，x 1x 2=2326b -因为121212221212222,()()()1243354353AFe AF a ex a x cBF a ex AF BF a ex a ex a ae x x e x x b b b b b ==--=-⋅=--=-++=-+-=-+=则同理：则因此： ... ...10分即:061252=--b b)(52,3舍或-==b b ... ... 14分则18222==b a因此椭圆方程为：191822=+y x ... ... 16分19. 解：（1）令1n =，得2121(1)a a a a -=-，即221a a a =⋅， 因0n a >，则11a =，得221a a t a ==， ……2分 当2n ≥时 112(1)n n a a a S +-=-， 121(1)n n a a a S --=- 两式相减得：12(1)n n n a a a a +-=- 即12n n a a a +=，因0n a >则12n na a t a +== ……5分 综上：1(*)n na t n N a +=∈ ……6分 从而，{}n a 是以1为首项，t 为公比的等比数列故1n n a t -=. ……7分（2）令111()(1)()1,022n n n n n n a a n t f t S t t t --++=-=++⋅⋅⋅+->当1t =时，(1)0n f =，即1()2n n n a a S += ……9分当1t ≠时，22(1)'()12(1)2n n n n n t f t t n t---=++⋅⋅⋅+--， 若(0,1)t ∈，22(1)'()[12(1)]02n n n n n t f t n t--->++⋅⋅⋅+--=若(1,)t ∈+∞，22(1)'()[12(1)]02n n n n n t f t n t---<++⋅⋅⋅+--=即'()n f t 在(0,1)t ∈时单调递增，当(1,)t ∈+∞时单调递减， ……14分 则()(1)0n n f t f <=，即1()2n n n a a S +<， ……15分 故1()2n n n a a S +≤，当且仅当1t =时取“=”. ……16分 20. 解：（1）1,0k a ==，则2()()ln f x g x x x +=+， 记2()ln F x x x =+，因为()F x 在(0,)+∞上单调递增， ……1分221111()ln 10F e e e e =+=-+<， ……2分(1)10F => ……3分所以()0F x =仅有一个零点01(,1)x e ∈，即方程()()0f x g x +=的零点个数为1. ……4分（2）由0a =，实数k 使得()()f x g x <恒成立，可得：2ln xk x ≥在0x >时恒成立，则max 2ln ()x k x >， ……5分记2ln (),(0)xG x x x =>, 312ln '()xG x x -= ……6分当'()0x G x ∈>，()G x 在上单调递增，当),'()0x G x ∈+∞<，()G x 在)+∞上单调递减，则x =()G x 取得最大值12e ，故k 的取值范围是1(,)2e +∞. ……8分（3）21,()ln ,(0)k h x x ax x x ==-->若0a …，则2()ln h x x ax x =--，故2121()2x ax h x x a x x --'=--=令()0h x '=，得x =（负值舍去）记b =于是，()h x 在区间(0,)b 上单调递减，在区间(,)b +∞上单调递增； ……10分 若0a >，则22ln ,()ln ,0x ax x x ah x x ax x x a ⎧--⎪=⎨-+-<<⎪⎩≥，先讨论2()ln ()h x x ax x x a =--≥的单调性，由2121()2x ax h x x a x x --'=--=令()0h x '=，得0x =>当b a >，即1a <时，()h x 在区间(,)a b 上单调递减，在区间(,)b +∞上单调递增；当b a …，即1a ≥时，()h x 在区间(,)a +∞上单调递增； ……12分 再讨论2()ln (0)h x x ax x x a =-+-<<的单调性，注意到2121()2x ax h x x a x x -+-'=-+-=当280a ∆=-…时，即0a <…()0h x '≤()h x 在区间(0,)a 上单调递减.当280a ∆=->时，即a >时，令()0h x '=得x a <，则()h x 在区间)a 上单调递减，在区间上单调递增； ……15分综上，当1a <时，()h x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增；当1a 剟()h x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；当a >时，则()h x 在区间)a 上单调递减，在区间上单调递增. ……16分数 学 Ⅱ 试 题A ．（选修4－1：几何证明选讲）证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以12BOD AOD AOB ∠=∠=∠， 又12ACB AOB ∠=∠，所以ACB DOB ∠=∠， ………5分又因为180BOP DOP ∠=-∠，180QCP ACB ∠=-∠，所以BOP QCP ∠=∠，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. ………10分B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由123211a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦得23,21,a b a b +=⎧⎨-=⎩ ………6分 解得1,1,a b =⎧⎨=⎩此时11X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. ………10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：当t =0时，y =0，x =2cos θ，即y =0，且22x -≤≤； ………2分当t ≠0时，cos 22t t x θ-=+，sin 22t t y θ-=- ， ………6分 所以22221(22)(22)t t t t x y --+=+-. ………10分D.（选修4—5：不等式选讲）证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z +=+≥． ………5分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 111x y z yz zx xy x y z++++≥． ………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解 (1)记该考生至少抽到1道解答题为事件A ， 则()343614()11155C P A P A C =-=-=-=. ………4分 (2)X 所有的可能取值为0，1，2，3.2211(0)(1)(1)3218P X ==-⋅-=； 122221215(1)(1)(1)(1)3323218P X C ==⋅⋅-⋅-+-⋅=； 12222121105(2)(1)()(1)33232189P X C ==⋅⋅-⋅+⋅-==； 22121(3)()32189P X ==⋅==.所以X 的分布列为：………8分所以155131()0123.18189918E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ………10分 23．（本小题满分10分）解 (1) (9)12=f . ………2分(2)①当*3(3,)N n k k k =∈≥时，记3n k =，集合为{1,2,3,,31,3}k k -. 将其分成三个集合：{1,4,,32}A k =-，{2,5,,31}B k =-，{3,6,,3}C k =. 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从A 中取一个，从B 中取一个（此数与A 中取的那个数之和能被3整除）.故有323112(1)(2)3183254k k k k k k n n n C C C k ---++=+=种取法； ………5分 ②当*31(3,)N n k k k =+∈≥时，记13n k -=，集合为{1,2,3,,3,31}k k +. 将其分成三个集合：{1,4,,32,31}A k k =-+，{2,5,,31}B k =-，{3,6,,3}C k =. 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从B 中取一个，从A 中取一个（此数与B 中取的那个数之和能被3整除）.故有2323311221(1)(2)(1)(1)(1)31210236254k k k kk k k k k k k k n n n C C C C k k +--+---+-++=++=+=种取法； ……7分③当*32(3,)N n k k k =+∈≥时，记23n k -=，集合为{1,2,3,,31,32}k k ++. 将其分成三个集合：{1,4,,32,31}A k k =-+，{2,5,,31,32}B k k =-+，{3,6,,3}C k =. 要使得a b c ++能被3整除，,,a b c 可以从A 取三个或从B 取三个或从C 取三个或从C 取一个，从B 中取一个，从A 中取一个（此数与B 中取的那个数之和能被3整除）.故有 232331111(1)(2)(1)(1)(1)318322(1)(1)63254k k k k k k k k k k k k n n n C C C C k k k k ++--+---++++=+++=++=种取法； ………9分综上所述，32*32*32*318,3(3,),5431210(),31(3,),5431832,32(3,).54NNNn n nn k k kn n nf n n k k kn n nn k k k⎧-+=∈⎪⎪⎪-+-==+∈⎨⎪⎪-++=+∈⎪⎩≥≥≥………10分。
