【精品】信号与系统考研辅导讲义(完整版)

《信号与系统》考研及期末复习讲义期末复习讲义1、信号的定义和分类1）定义：信号是带有信息（如语⾳、⾳乐、图象、数据等）的随时间（和空间）变化的物理量或物理现象，其图象称为信号的波形。

信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。

2）分类：根据不同分类原则，信号可分为：连续时间信号与离散时间信号；确定信号与随机信号；周期信号和⾮周期信号；功率信号与能量信号等等例已知信号123()cos20,()cos22,()cos x t t x t t x t t===和4()x t =，问12()()x t x t +和34()()x t x t +是否为周期信号？若是，求其周期。

000()cos()sin()()j n f n e n j n n W W W ==+-?<+?的周期性？⼏种具体的信号定义：（i ）⾮时限信号（⽆始⽆终信号）：在时间区间（－∞，＋∞）内均有f (t )≠0；（ii ）因果信号：当t <0时，f (t )=0; 当t >0时，f (t )≠0，可⽤)()(t t f ε表⽰；（iii ）有始信号（右边信号）：当t t 1时，f (t )≠0；（因果信号是有始信号的特例）（iv ）反因果信号：若当t ≥0时，f (t )=0;当t <0时，f (t )≠0. （v ）有终信号（左边信号）：当t t 1时，f (t )=0；（反因果信号是有终信号的特例）（vi ）时限信号（有始有终信号）:若在时间区间(t 1, t 2)内f (t )≠0，⽽在此区间外f (t )=0.2、系统的定义与分类系统：由若⼲相互作⽤和相互依赖的事物组合⽽成的具有特定功能的整体。

变系统；因果系统与⾮因果系统；连续时间系统与离散时间系统；线性时不变因果系统的性质：齐次性、叠加性、线性、时不变、微分性、积分性、因果性。

研究系统的⽅法： 1）时域法（经典法、卷积法）与变换域法（FT 、LT 、ZT 法）；2）输⼊输出法与状态变量法；例：y (t )=x (-t)因果系统：当0t <时()0h t =。

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - ×÷）2.1信号的（+ - ×÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性))0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n ft t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d dd )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t aa at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00at t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δT[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d )(时不变性质) 直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

§3.2非周期信号的傅立叶变换一、傅立叶变换1．问题的引出①§3.2非周期信号的傅立叶变换()()()()1111211121Tjn t jn tT n f t F n e F n f t edt T ωωωω+∝−−=−∝=→=∑∫()()()dt e t f n F T n F t jn T T 1112211112ωωωπω−−∫==()()()0,1,0,1111111→→=−−=∆→∞→ωωωωωωωn F d n n n T ()()()11111012limlim ()j t T F n F F n T f t e dtωωπωωωω+∞−−∞→→∞===∫()()()1111111()jn tjn t n nF n f t F n ee n ωωωωωωω+∝+∝=−∝=−∝==∆∑∑②在极限情况下：()12j t F e d ωωωπ+∝−∝=∫§3.2非周期信号的傅立叶变换()()()ωϕωωj e F F =()ωω~F ()ωωϕ~2．傅立叶变换对3．①幅度频谱相位频谱()()j t F f t e dt ωω+∞−−∞==∫ℱ()()12j t f t F e d ωωωπ+∞−∞==∫()[]ωF ②ℱ-1()[]t f ①②§3.2非周期信号的傅立叶变换()t f ()ωF ω()ωϕω()()()[]ωωϕωωπd t F t f +=∫∝+∝−cos 21()()()()001cos cos F F t d t d ωωωϕωωωϕωωππ+∝+∝=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫为实函数，则为偶函数，为奇函数若于是：4．三角形式()()()[()]1122j t j t f t F e d F e d ωωϕωωωωωππ+∞+∞+−∞−∞==∫∫()()1cos[()]2sin[()]2F t d j F t d ωωϕωωπωωϕωωπ+∞−∞+∞−∞=+++∫∫§3.2非周期信号的傅立叶变换5．不同性质信号频谱特点①周期信号——离散频谱②非周期信号——连续频谱6．傅立叶变换存在条件①充分条件：绝对可积，即()∞<∫+∞∞−dt t f ②但是：奇异函数的存在，使许多不满足绝对可积条件的信号也存在傅立叶变换§3.2非周期信号的傅立叶变换2π−2π)(ωϕω二、典型非周期信号的傅立叶变换1．单边指数衰减信号a2a1a21)(ωF ωa a F ωωϕωωarctg )(,1)(22−=+=③)()(t u e t f at−=a (>0)①ωωωωj a dt e e dt e t f F tj at t j +===−+∞−+∞∞−−∫∫1)()(0②§3.2非周期信号的傅立叶变换aa1a2)(ωF ω2．双边指数信号0)(,2)(22=+=ωϕωωa aF ③ta et f −=)(a (>0)①222)()(ωωωω+===−+∞∞−−+∞∞−−∫∫a a dt eedt et f F tj ta tj ②)(t f t1§3.2非周期信号的傅立叶变换2τ−2τE)(t f t)()(t EG t f τ=)2()(22ωττωττωSa E dt Ee F t j ==∫−−2)(ωττωSa E F =⎩⎨⎧=πωϕ0)(πτωπτπτωτπ)1(4)12(2)12(24+<<++<<n n n n τ1=f B τπω2=B )(ωF τπ2τπ4τE ω3．矩形脉冲信号②③④带宽：①§3.2非周期信号的傅立叶变换2)()(τt Ee t f −=eE τπ2ττπE )(ωF 4．钟型脉冲dte Eedt e t f F t j t t j ∫∫∞+∞−−−∞+∞−−==ωτωω2)()()(2)2(02)(cos 2ωτττπω−∞+−==∫eE tdt eE t ②①EeE τtω§3.2非周期信号的傅立叶变换)(]cos 1[2)(2t G t Et f ττπ+=dte tE dt e t fF t j t j ∫∫+−−+∞∞−−+==ττωωτπω]cos 1[2)()(dt e E dt e E dt e E t j tj t j tj t j ∫∫∫+−−−+−−+−−++=ττωτπττωτπττω442)(2)(2)(πωττπωττωττ++−+=Sa E Sa E sa E 221)(1)sin(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=πωτωττπωτωωτSa E E 5．升余弦脉冲①②2τ2E 2τ−τE τ−()f t tτπ2τπ4τE ω2τE ()F ωπτ§3.2非周期信号的傅立叶变换())1(sin )(2sin )(2sin sin 22πωτωτωτωττπωτωττπωτωττωτωττ−−=+−−−E E E E ()()()222222222221()()1[][1]ωτωτπωτπωτωτπωτωτπωτωτωτπωτπ−−−−===⎡⎤−−−⎛⎞⎣⎦−⎜⎟⎝⎠i)而231cos lim ]1[sin lim ]1[sin lim 2222τωπτωττπωτωωτπωτωτωτττπωτπωτπωE E E E =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→→→ii)§3.2非周期信号的傅立叶变换()t G t E t f ττπ⋅=cos )(2222()cos cos cos j t t tF E e dt E tdtττωττππωωττ−−−==∫∫dtt t E tdt t E ])cos()([cos cos cos 22020ωτπωτπωτπττ−++==∫∫ωτπτωτπωτπτωτπ−⋅−++⋅+=2)sin(2)sin(E E222)(12cos2)(2cos 2]2cos 2cos [πωτωτπτωτπωττπωτπωτωτπωτ−⋅=−=−++=E E E [例1]：求半波余弦脉冲的傅立叶变换解：§3.2非周期信号的傅立叶变换-2 21[例2]：求下列B f①解：①()4Sa 2F ωω=411==τf B i)ii)()f t t 频谱第一个零点对应的频率§3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f-5 -1 1 5 1ωωωωωωω3cos 2Sa 82Sa 42Sa 4)(33=+=−j j e eF πω21=B 41=f B ii)②解：②i)()f t t§3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f 0 1 2 1③()f t t§3.2非周期信号的傅立叶变换解：dte t dt teF t j tj ∫∫−−+−+=211)2()(ωωω2121221102102)1(1)1(1tj t j t j t j t j ej e j te j e j te j ωωωωωωωωωω−−−−−−++−−=ωωωωωωωωj j j j e j e j e j j e −−−−−+−−−=12)1()1(22ωωωωωωωj j j j e j e j e e j −−−−+−−+22)()1(22222222)1()1()12()1(ωωωωωωωj j j j e j e e e j −−−−−−=−=+−=2222222222)2(Sa )2sin2()(ωωωωωωωωωjjjjje j eeee−−−−=−=−−=i)πω2=B 1=f B ii)§3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f 解：-4 0 4 t124441)4(]4cos 1[21)()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+==∫∫+−−+∞∞−−πωωπωωωSa dt e t dt e t f F t j tj 42πω=B 41=f B ④ii)④i)升余弦脉冲()f t §3.2非周期信号的傅立叶变换[例2]：求下列B f0 2 t1f(t)⑤34πω=B 32=f B ii)dte t dt e dt te F t j t j t j ∫∫∫−−−+−++=2232321210)42(2)(ωωωω232121022101)1(22t j t j tj e j e j e j t ωωωωωω−−−−−−=)]1()1[()(22123212−−−−=−−−ωωωωj j j eeej ωωωωωωω41sin 243sin 2)(2)1)(1()(2221232j j j e ee j j j j ⋅=−−=−−−ωωωω41sin 43sin82j e −=⑤解：i)§3.2非周期信号的傅立叶变换)(t δ1)()]([==∫+∞∞−−dt e t t f tj ωδ2Sa 2Sa 1ωτωτττ=⋅12Sa,0→→ωττ12τ−2ττ1三、奇异函数的傅立叶变换1．冲激函数傅立叶变换ii)理解：①i)ℱω()F ω()t δtt§3.2非周期信号的傅立叶变换)(ωδ)(2]1[ωπδ=Ef (t )Eπ2)(ωδω②的逆变换2[]lim Sa 2lim Sa 2lim Sa()2()22k kE E E E k E τττωτωττππωπδωππ→∞→∞→∞====ii)ℱiii)ℱ)(lim ωδωπ=∞→Sak kk *)(sin limωδπωω=∞→k k *πωδ21)]([1=−i)ℱt§3.2非周期信号的傅立叶变换1)()]([==∫+∞∞−−dt e t t t j ωδδ'11()1()22j tj t t e d t j e d ωωδωδωωππ+∞+∞−∞−∞⇒=⋅⇒=∫∫⇒⇒=ωδj t )](['[()]()nnnd t j dt δω=dtejt dt ejt dt etj nn tj tj ∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−+∞∞−−−=⇒−=⇒=ωωωωπδωπδωπδ)()(2)()(2)(2)(⇒=⇒∫+∞∞−−dt e t j t j n n n ωωδπ)(2)(2．冲激偶ℱℱ)(ωδ′②的逆变换)(2][ωδωπnnnnd d jt =ℱ()t δ′傅立叶变换①ℱ()()2n n nt j δωπ↔§3.2非周期信号的傅立叶变换()Sgn()f t t =3．符号函数1-1Sgn(t )-e -ate at0→a 222[Sgn()]j t j ωωω−==ℱωωωωj a j a dt edt etj a tj a ++−−=−∫∫∞−+−+∞+110)(0)(22211ωωωω+−=++−=a j j a a j §3.2非周期信号的傅立叶变换11()Sgn()22u t t =+⇒4．阶跃函数()()ωωπδωωπδj j t u 1221221)]([+=⋅+⋅=ℱ§3.2非周期信号的傅立叶变换6512++−ωωj )3(1)2(1)3)(2(16512+−+=++=++−ωωωωωωj j j j j 6512++−ωωj )()(32t u e e tt −−−[例3]：求下列函数逆变换)()(ωδωδ+′②①因为：所以：]=)()(ωδωδ+′ππ212+j t ②ℱ-1[]=①解：ℱ-1[§3.2非周期信号的傅立叶变换作业：3-16(b)(c)，3-19。

12§1.2信号的描述，分类和典型示例(续）•指数信号和正弦信号•奇异信号–斜变信号–单位阶跃信号和符号函数–单位冲激和冲激偶信号正交信号•11(k 实指数信号1—(k 和s 都是实数)•若中的为0 , k 为实数βαj k +=β同时•0 , s ωσs +=ω若中的为,为实数j k则为实指数函数stke t x =)(正弦信号1—取周期复指数的实部•欧拉公式sin(cos()(0ωωφω+++=+t t et j •取实部则为正弦信号)()(00φφj =)cos()(0φω+t A t x 81.3§信号的运算（参考网站绪论的内容）Ee whu edu cn用Flash演示的动态过程§1.4阶跃信号与冲激信号一.奇异信号即本身、其导数或其积分有不连续点的函数。

1.斜变信号2.单位阶跃信号3.符号函数4.单位冲激5.冲激偶信号13信号加窗或取单边t t u t u e t t−−=−)]()([)(0f f(t)f()t（1）突然接入的直流电压（）2）突然接通又马上断开电源K负载r(t)r(t 3)r(t 1)r(t 2)r(t-3)-r(t-1)-r(t-2)f(t)1)]2()2()[1()(.101.38−−+−=−t u t u tt f a p 题2....)2()1()()(.+−+−+=t u t u t u t f b )]()([(sin )(.T t u t u t E t f c −−=πT二.单位冲激函数)(t dr )(t du δ=)(t u dt =)(t dt 1.定义:(p17—21))]()([1)(.lim ττδ−−+=t u t u t a 220ττ→)()(t t =δ1=∞dt t limfnn ∞→)(∫∞−fn0=t )(lim ∞→fnn 0≠t 用规则函数脉冲序列的极限来定义)(t Rt ut )(t)(tδtb.Dirac 定义:=)(t δ∫∞=1)(dt t δ00≠t 0=∞t c.利用冲激函数的抽样性∞)()()(00t f dt t t t f =−∫∞δ∞−∫∞−=)0()()(f dt t t f δ∞−)()()(.00t f dt t t t f a =−∫∞−δ1∞)()]([.00t t t t b −=−−δδ)()(.t aat c δδ=)()()()(.000t t t f t t t f d −=−δδt)()(.t dtt u e δ=)()(t u d =∫∞−ττδ+−)(t i c 由于冲激电流的出现，电容两端的电压可以突变；电感电流也可以突变。