第10讲-零件图

机械制图教程第10讲-直线的投影来这里学习机械技术前沿！课题：1、直线上点的投影2、两直线的相对位置3、直角投影定理课堂类型：讲授教学目的：1、讲解直线上点的投影特性2、讲解两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点3、讲解用直角投影定理教学要求：1、理解并掌握直线投影的定比性的解题方法2、会根据两直线的投影判断它们的相对位置，并熟练掌握两直线平行、相交的作图问题3、理解并掌握直角投影定理的特点和解题思路教学重点：1、两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点2、直角投影定理教学难点：利用直角投影定理图解空间几何问题教具：自制的三投影面体系模型教学方法：例题辅助讲解教学过程：一、复习旧课1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。

尤其注意：实长和倾角的判断。

2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。

二、引入新课题上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习空间直线的其他投影特性。

三、教学内容（一）直线上点的投影1、直线上点的投影点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。

举例：如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″ 必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′ b′、a″b″ 上。

图2－27 直线上点的投影2、直线投影的定比性直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。

在图2－27中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC 和CB两段。

根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a′ c′：c′ b′ = a″c″：c″b″ 。

3、讲解例题（例2－6）如图2－28（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k 。

（a）题目（b）解法1 （c）解法2图2—28 求直线上点的投影（二）两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。

第十讲作图法解题第一部分：趣味数学谁是作业本的主人在学完乘法分配律后，老师发现一作业本的姓名一栏写着：木（1+2+3）。

老师问：“这是谁的作业本？”一个学生站起来：“是我的。

”老师：“你叫什么名字？”学生：“木林森！”老师：“那你怎么把名字写成这样呢？”学生：“我用的是乘法分配律！”老师很开心的说：“那木（0.1+0.2+0.3）就是我们班的小木林森喽？”第二部分：奥数小练【例题1】五（1）班的男生人数和女生人数同样多。

抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。

五（1）班原有男、女生各多少人？【思路导航】根据题意作出示意图：从图中可以看出，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所以，剩下的男生人数是女生人数的3倍，而这8名同学正好相当于剩下女生人数的2倍，剩下的女生人数有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=30名。

练习一：1.两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。

这两根电线原来共长多少厘米？2.甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。

原来两筐水果各有多少个？3.哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。

哥哥原来存有多少钱？【例题2】同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。

红花比紫花多几朵？【思路导航】通过线段图来观察：从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。

练习二：1.奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。

奶奶家养的鸡比鹅多几只？2.批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。

运来的香蕉比苹果少多少筐？3.期末测试中，明明的语文得了90分。

数学比语文和作文的总分少70分。

第十讲画示意图一、知识要点和基本方法1．画示意图，图形具有直观性，但在实际数学问题中的具体含意，具体条件以及数量关系往往比较隐蔽，比较复杂．那么画示意图是指将实际数学问题中隐蔽复杂的内涵条件以及复杂的数量关系画出示意图，用几何图形的直观形象表示出来．这样不仅简单明了，而且容易从整体上把握题目，便于思考和求解．俗话说，“一图顶千言”．2．常见的几种示意图．（1）画线段图，即把文字的含义用线段表示出来．例如：“和差问题”、“和倍问题”、“差倍问题”、“行程问题”，等等，用线段图解起来，往往比用公式要简单明了得多．如：图10－1（a）表示甲等于乙．若甲等于乙与丙之和的一半，则可如图10－1（b）所示，对于甲的3倍等于乙的2倍，则可画成图10－1（c）．图10-1画线段示意图注意两点，其一，线段一端点对齐，便于比较观察；其二，标志明确，使线段含义清楚明白．（2）画矩形图、正方形图，即把文字的具体含义用矩形图、正方形图表示出来．由于矩形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长．一般而言，运算同这两个算式类似的问题往往能用矩形图或正方形图表示出来．例如：一辆汽车每小时行驶5千米，10小时行驶多少千米？由于“距离=速度×时间”与“面积=长×宽”相似，这个数量关系就可以用矩形图（图10－2）表示，题目中的条件与矩形图的对应如下：图10-2时间−−→长；速度−−→宽；距离−−→面积．一只免有4条腿，6只兔有多少条腿？6−−→长；4−−→宽；总腿数−−→面积．一个工人每天可以做零件100个，10天做多少个？如何对应，请自己考虑，然后画个矩形图看一看．（3）画“树图”．什么样的图叫做“树图”呢？实例：从甲村到乙村有两条路可走，从乙村到丙村有三条路可走（如图10－3），那么从甲村到丙村有几条路可走呢？图10-3 图10-4根据题意可知从甲村到乙村的每条道路都对应着从乙到丙村的三条道路．于是我们可画出如图10－4的图形．从这图形中明显地告诉我们：从甲村到丙村有6条路可走．在数学上将类似图10－4的这种没有回路的图叫做“树图”．现实生活中最典型的“树图”是“家谱”．画“树图”是计数问题中一种基本思考方法．（4）行进斜线．如图10－5，水平横线上点A、B分别表示两地的位置，垂直线表示时间（单位：小时）．图10-5比如甲从A地出发经6小时到达B地，就将过A的时间轴上的0点，与过B的时间轴上的6的点连结成一斜线，则此斜线就表示甲从A到B之间的各地的时间，例如到C点的时间就是CP，到D点的时间就是DQ等，从图中量出CP≈4，DQ≈5．我们称此“斜线”为“行进斜线”．行进斜线既可以表示地点、时间，也可以表示速度大小，速度越大，斜线的坡度越级（小）．3．需要读者注意的是，来自于生活实际的数学问题，千变万化，错综复杂，灵活性很强．上面介绍的只是几种典型的情况．实际解数学题时绝不能拘泥这几种示意图，比如还有东、西、南、北方向图，阶梯形图，等等．因题而定，只要画出的示意图能帮助思考、推理，或简化解答都可以．二、例题精讲例1 甲、乙两班同学去滨江公园春游，但只有一辆车接送．甲班学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行出发．车行到途中某处，让甲班学生下车步行，车立即返回接乙班学生上车并直接开往滨江公园．两个班的学生步行速度均为每小时5千米，汽车带学生行驶的速度为每小时50千米，空车行驶的速度为每小时60千米．问：要使两班学生同时到达滨江公园，甲班学生步行了全程的几分之几？分析 甲、乙两班要同时到达公园，则两班学生步行路程必相等．若设两班学生均走了S 千米，全程有S 千米坝0行程可用图10－6表示．（其中A 表示学校，B 表示公园，甲班乘车从A 到D 下车步行到B ，乙班步行从A 到C 乘车到B ）图10-6可利用甲班步行（DB ）所用时间了（小时）与乙班坐车（CB ）时间50s x -（小时）及空车返回（CD ）时间260s x -之和相等关系来列方程求解． 解 设全程为S 千米，甲班学生步行x 千米．则可列方程：（参考图 10－6）250605s x s x x ---=()()65260s x s x x -+-=6651060s x s x x -+-=7611x s =所以 1176x s = 答 甲班学生步行了全程的76·例2 幼儿园有3个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分了5个枣，问3个班总共分了多少个枣？分析 作长方形示意图．图10-7如图10－7所示，其中AB、BD、DG分别表示丙、乙、甲3班小孩的人数，GH、DK、BN分别表示甲、乙、丙3班小孩每人分的枣数，则BD=AB＋4，DG=BD ＋4=AB＋8，这里CD=EF=FG=4，BN=DK＋5，DK=HG＋3，这里PN=5，KY=3．这样一来长方形DGHY，BDKP，ABNO的面积便分别表示甲、乙、丙3班小孩分得枣的总数．添辅助线后，从图10－7中可以看出：长方形ABRQ、BCXR、DEJ Y的面积相等．根据题意，长方形EGHJ的面积等于长方形QRNO的面积加8（=3＋5）．而长方形EGHJ的面积等于8 ×HG，长方形QRNO的面积等于AB × RN=8×AB．即8×HG=8×AB＋8，所以HG=QA=AB＋1．另外长方形BDYR 与长方形DFIY的面积相等，根据题意长方形FGHI的面积等于长方形RYKP的面积加3，而长方形FGHI的面积等于4×GH，长方形RYKP的面积等于3×RY，所以4×GH=3×RY＋3=3×（BC＋4）＋3=3×BC＋15，即4×（AB＋l）=3×AB＋15，最后可求出AB=11，HG=12，有了这两个数，便可求出总共分了多少个枣．解因为甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班又比丙班总共多分了5个枣，所以长方形EGHJ的面积等于长方形QRNO的面积加8，长方形FGHI的面积等于长方形RYKP的面积加3，即8 ×HG=8 ×AB＋8，4×GH=3×BD＋3．所以HG=AB＋1，4×（AB＋1）=3×（AB＋4）＋3，最后求得AB=11，HG=12．所以甲班总共分枣数为：（11＋4＋4）×12=228（个），乙班总共分枣数为：（11＋4）×（12＋3）=225（个）丙班总共分枣数为：11×（12＋3＋5）=220（个），3个班总共分枣数为：228＋225＋220=673（个）．答3个班总共分枣673个．例3某人从A城出差到E城．沿途须经过若干城市．如图10－8．每条线上的数字表示从这个城市到另一个城市所需费用（单位：百元）．问按图10－8每条线上所标数字，从A城到E城全程所用旅费最省的路线是哪条？费用多少？图10-8分析若从A开始逐一计算所有可能路线上的花费，计算量过大，不是好办法．但对于总费用最省的那条路线而言，不论前一段路线如何进行，从该城市到终点E城的途中费用一定也是最省的．因此，我们可以从终点城市E出发“倒推”回去，逐一淘汰花费较高的路线，从而找到旅费最省的路线．这项推理，我们仅在图上推演，即可一目了然．解第一步；图10－9从E 经A 1、D 2到C 1、C 2、C 3首先淘汰最贵的三条路线，其花费为2+5=7及2+6=8．第二步：图10-10进而考虑从E 经D 1、再经123C C C 、、到B 1、B 2的所有可能路线．淘汰最贵路线，如E 1−−→D 1 3−−→ 1C B 2，它的花费为1＋3十4=8．（还有E 1−−→ D 13−−→2C 3−−→B 1，它的花费为1＋3＋3—7，但同样可以到达B 1的另一路线为E 1−−→D 1 3−−→ 1C 2−−→ B 1，其花费为1＋3＋2=6）．第三步：图10-11最后，从图10－10中易选出最省路线为：E →D 1→2C →B 2→A 它的总花费为1＋3＋3十2=9（百元）．答总费用最省路线为A→B2→C→D1→E，总费用为900元．2例4甲在南北路上，由南向北行进，乙在东西路上，由西向东行进，甲出发的地点在两条路交叉点南1120米，乙在交叉点出发，两人同时开始行进，4分钟后，甲乙两人所在的位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南），再经过52分钟后，两人所在的位置又与交叉点等远（这时甲在交叉点北），问甲乙两人一分钟各行多少米？分析只有通过作图才能反映出题意．作一个标有方向和甲乙两人位置的十字交叉图（图10－12（a））．（a）（b）（c）图10-124分钟后，甲乙的位置如图10－12（b）所示，此时可以认为甲、乙两人所走的路程和是1120米，则两人的速度和是1120÷4=280（米/分）．再经过52分钟，即（4＋52）分钟后，甲乙的位置如图10－12（c），此时可以认为甲比乙多走了1120米．因此，两人的速度差是1120÷（4＋52）= 20（米/分）．已知两个数的和是280，差是20，求两个数各是多少．这类和差问题我们在四年级时已经学过．解由题意，甲的速度大于乙的速度，两人的速度和为1120÷4=280（米/分）；两人的速度差为1120÷（4＋52）= 20（米/分）．所以甲的速度是（280＋20）÷ 2=150（米/分）；乙的速度是（280－20）÷ 2=130（米/分）．答甲每分钟行150米，乙每分钟行130米．例5甲乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢；如果没有人连胜头两局观，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问一共有多少种可能的情况出现．解我们用“树图”方法讨论本题，如果甲先胜第一局则出现如图10－13所示的7种可能的情况．同理，乙先胜第一局也有7种可能的情况．所以一共有7+7=14种可能的情况出现．图10-13例6甲、乙两人步行走完连结A村与B村的同一条路，分别需要6小时、10小时．（1）如果甲、乙分别从A村万村同时相向出发，几小时相遇？（2）如果甲、乙都从A村出发去乙村，但乙先行两小时，那么甲几小时追上乙？解利用“行进斜线”求解我们的问题．（1）如图10－14．画出甲从A到B与乙从B到A的行进斜线，两斜线交于P点，过P点作AB的垂线交AB于C，则C点就是相遇地点而CP的长就表示相遇的时间，量得CP≈4（小时）．图10-14 图10-15（2）如图10－15．画出甲、乙都从A出发到B的行进斜线，其中乙始于0点终于10点，而甲始于2点终于8点（需6小时走完全程），两斜线交于Q点，垂线DQ的长约5（小时），即乙出发5小时，或甲出发3小时甲追上了乙．例7施金哥豪斯问题：农场场长派出两人步行去送信，一个向西去城里邮局，另一个晚一段时间出发向东去村政府．两人出发后，场长突然想起两封信装错了信封，于是骑自行车去追赶他们两人，把信调换过来后返回农场，场长推测两个送信人走的速度都一样，因此拿不定主意先追赶哪个人．试问先追赶哪个人返回时间较早？如果场长没有把信装错，而是两个送信人匆促间把各自应带的信忘记在农场了，现在要把信送给送信人，又该怎么办？图10-16 图10-17解图10－17中，水平轴表示道路向左去邮局，向右去村政府，垂直轴线表示时间．斜线表示行径中间各点的时间涸此斜线的坡度反映了行进速度的大小，速度大坡度小（见图10－16），速度相等坡度相等．在图10－17中OP表示去邮局的人的行进斜线AQ是去村政府的人的行进斜线，由于两人的速度相等，故坡度一样．设场长是时间B去追赶送信人，先追早走的人的行进斜线为BCDEF（图10－17中实线），先追晚走的人的行进斜线为BGHJK（图10－17中虚线）．由图10－l7可以看出K点时间较早，故应先追赶迟出发的送信人．如果是后一个问题，需比较BCDR与BGHS，也是应先追迟出发者．例8有甲、乙两人年龄不相等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么大时，甲29岁．求今年甲、乙两人的年龄各是多大？解根据题意画阶梯形图表示．甲、乙年龄的关系如图10－18所示，图10-18从图中可直观看出，从8岁到29岁之间有3个甲、乙年龄差，而甲、乙年龄差是不变的，所以甲、乙年龄差为：（29－8）÷ 3＝7．所以甲今年的年龄是29－7=22（岁），乙今年的年龄是8＋7=15（岁）．答甲今年22岁，乙今年15岁．练习题A 组1．用将一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一个记号表示水深；再将这个竹竿掉过头来垂直插人水中，也刻上一个记号表示水深．如果两个记号相距10厘米，水深是100厘米，那么，竹竿的长度是多少厘米？2．甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加数学小组．甲班参加数学小组的人数恰好是乙班没有参加人数的13，乙班参加数学小组的人数是甲班没有参加人数的14，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加人数的几分之几？3．一汽车从城市开往山区，往返共用20小时．去时用的时间是回来的1．5倍，去时的速度比回来时的速度每小时慢12千米，问往返共行了多少千米？4．A、B两地相距60千米，甲、乙两人分别骑摩托车与自行车同时沿同一线路从A驶往B，结果甲比乙早4小时到达B地．又知摩托车的速度是自行车速度的3倍，问摩托车与自行车的速度是多少？5．图10－19中有6个点，9条线段，一只蚂蚁从A点出发，要沿着某条路线爬到C点．行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次．这蚂蚁最多有多少种不同的爬法？图10-19B 组6．某城市东西路与南北路交汇于路口A．用在路口A南面560米的点B 处，乙恰在路口A处．甲向北、乙向东同时匀速行走4分钟后，两人离A的距离相等；再以同样的匀速行走24分钟后，两人离A的距离又一次相等．问：甲、乙两人的速度各是多少？（米/分）7．游船顺流而下，每小时前进7千米，逆流而上每小时前进5千米．两条船同时从一地方出发，一个顺流而下，然后返回，一个逆流而上，然后返回．结果，1小时以后他们同时回到出发点．问在1小时内有多少时间这两条船的前进方向相同？8．一列快车从甲地到乙地需6小时，一列慢车从乙地到甲地需8小时．两车同时从两地相向开出2小时后，两车还相距180千米．问甲乙两地的距离是多少千米？9．有四位同学到儿童乐园去玩，要求站成一排进乐园的大门检票口，问有多少种不同的排法？10．A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场）进行到中途，发现A、B、C、D比赛过的场次分别是4，3，2，1．问这时E队赛过几场？E队和哪个队赛过？11．张津坐汽车，王东骑自行车，都从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车走了全程的了，汽车到达终点时，自行车恰好走到两地中点．问：汽车和自行车的速度比是多少？测试题1．如图10－20，在河流的一侧有两个村庄A、B欲利用河水合建一座小水厂，要使引到两村的水管的长度和最短（为了节约），请问，小水厂应建在河边的什么位置？（用图表示）图10-202．甲乙两人同时从始点出发沿着同一线路去终点，途中都使用了两个不同的速度．已知甲用这两个速度分别走全程的一半，而乙用这两个速度分别走全程所需时间的一半，问哪个人先到达终点？3．有一个工程，6人20天可以完成，现增加4人，试问可以提前几天完成？4．有一口水井，用4部抽水机40分钟可以抽干，若用同样的抽水机6部，24分钟可以抽干．那么，同样的抽水机5部，多少分钟可以抽干？5．一只青蛙在A、B、C三点之间跳动，若此青蛙从A点起跳；跳4次后仍回到A点．问这只青蛙一共有多少种不同的跳法？6．用汽车运粮，每运1吨行1千米需运费2元．运粮期间空车行驶豆千米需0．5元．从甲库调13．5吨玉米到乙库；从乙库调22．5吨麦子到丙库；从丙库调18吨稻谷到甲库．甲→乙→丙→甲间的公路长分别为15千米、12千米、17千米（如图10－21）．用一辆载重为4．5吨的卡车，按行驶里程最短的最佳方案完成任务，最少需运费多少元？图10-21。

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第10讲：圆的面积
例1、有一个半圆形的零件周长是25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。

例2、图中3个圆完全一样，半径是6厘米，求阴影部分的面积。

例3、正方形的边长为8厘米，A和B分别是两条边长的中点，求阴影部分的
面积。

例4、求阴影部分的面积。

（单位：厘米）
例5、有一块正方形的草地，边长是4米，对角两个顶点处各栓一只羊，每只羊绳长4米，那么两只羊都能吃到草的区域的面积是多少？
例6、正方形的面积是80平方厘米，求圆的面积。

例7、图中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。

练习
1、一个四分之一圆的周长是17.85厘米，求它的面积。

2、图中每个圆的半径都是6厘米，求阴影部分的面积。

3、求阴影部分的面积。

（单位：厘米）
4、扇形的半径是6厘米，求阴影部分的面积。

5、求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米？（单位：厘米）
6、图中正方形的面积是20平方厘米，求环形的面积。

7、图中阴影部分的面积是40平方厘米，求环形的面积。