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大学物理 6.8 分子平均碰撞次数 平均自由程 公开课课件

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大学物理-4-6分子的平均碰撞次数和平均自由程

大学物理-4-6分子的平均碰撞次数和平均自由程

(2) 若温度不变，气压降至 少﹖
时，分子自由程变为多
解：标准状态下，分子数密度
再求平均速率 : 得
(2) 由
公式可知，当 T 不变时可得
此时 已近 0.5 m 左右，比普通容器（如真空管） 的线度大得多，因而分子在两器壁间飞行时，很少 与其它分子碰撞，此即为真空状态。
容器的线度l << 时
实际分子的平均自由程就是容器的线度l 与压强无关 微观上的真空
分子平均碰撞次 数
Z 平均2自由π程d与2 平v均n 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关。 p nkT
v
z
1 2π d 2n
T一定时 1
p
p一定时 T
例1：（1）如果理想气体的温度保持不变，当压强 降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由 程为原来的多少？（2）如果压强保持不变，温度降 为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由程 又为原来的多少？
解 Z 2d 2vn ，
n p kT
v 8RT
M mol
，
Z 2d 2
8RT p 16R d 2 p
，
Mmol k T
kT
kT 2d 2 p
（1）Z1
Z0 2
， 1（ 22）0
Z1 2Z0
2
1 2
0
例2 已知氮分子的有效直径为
，求：
(1) 标准状态下，氮分子的平均碰撞频率和平均自由程。
第六节分子的平均碰撞次数和 平均自由程
分子碰撞的引入：
分子热运动速率很大，平均 速率可达几百米/秒，而扩散 运动却进行得很慢。
克劳修斯为了说明这个问题，提出了分子碰撞次数与 自由程的概念。
研究碰撞的意义：

6-4 分子的平均碰撞频率和平均自由程

6-4 分子的平均碰撞频率和平均自由程
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
平均自由程
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂
碰撞时两 分子质心距 离的平均值 称为分子的 有效直径
研究碰撞的意义：
分子间通过碰撞，实现能量的交换； 分子间通过碰撞交换能量达到能量按自由度均分； 分子间通过碰撞，由非平衡状态向平衡状态过渡； 分子间通过碰撞交换速度，使速度分布达到稳定。
二、平均自由程和平均碰撞频率的计算
1、分子碰撞模型 （1）分子视为直径为分子有效作用距离d 的刚球； （2）分子间的碰撞是弹性碰撞；
2、平均碰撞次数
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不 动，A以平均相对速 率 u 相对其它分子 运动。
圆柱体的截面积为 = d
2
，叫做分子的碰撞截面。
u t 2 •以折线为轴的曲折圆柱体积 u t d 2 •圆柱内分子数 n u t d 2 •单位时间内平均碰撞次数 n u d
一、平ห้องสมุดไป่ตู้自由程 和平均碰撞频率的定义
1、平均自由程 分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程， 叫做自由程；分子在连续两次碰撞之间所经过 的路程的平均值叫做平均自由程。
2、平均碰撞频率 Z 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞 的平均次数，叫做分子的平均碰撞次数或平 均碰撞频率。 3、二者的关系
v v T Z
•时间 t 内，A通过的折线长 平均相对速率
v
u 2v
u
B
u
v
A
A
d
2v
平均碰撞次数
Z 2 π d vn
2
3、平均自由程
v 1 2 z 2π d n
1 T 一定时 p

《物理学教学课件》7-5碰撞频率和平均自由程

《物理学教学课件》7-5碰撞频率和平均自由程
平均自由程
在气体分子运动论中，平均自由程表示气体分子在连续两次碰撞之间所经过的平均距离。 通过研究平均自由程，可以深入理解气体分子的扩散和输运过程。
热力学第二定律
热传导
在热力学第二定律中，热传导是热量自发地从高温物体传递到低温物体的过程。 通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以深入理解热传导的微观机制和 热能传递的规律。
应用
在计算气体分子的平均速度、扩散系 数等物理量时，需要用到平均自由程 。
平均自由程的影响因素
分子间的相互作用力
分子间的相互作用力决定了碰撞 频率，进而影响平均自由程的大 小。
分子质量
较轻的分子具有较长的平均自由 程，因为它们受到的空气阻力较 小。
气体温度
气体温度越高，分子热运动越剧 烈，碰撞频率越高，平均自由程 越短。
、压力等实验条件的关系。
实验结果与数据分析
实验结果
通过实验，获得气体分子的碰撞 频率和平均自由程数据。
数据分析
分析碰撞频率和平均自由程与温度、 压力等实验条件的关系，得出气体 分子运动和相互作用的规律。
结果讨论
根据实验结果，讨论碰撞频率和平 均自由程在气体分子扩散、传递过 程中的作用，以及在实际应用中的 意义。
粘性流动
粘性流动是气体在流动过程中由于分子间的内摩擦力而产生的阻力。通过研究气 体分子碰撞频率和平均自由程，可以进一步了解粘性流动的微观机制和气体流动 的规律。
Part
05
实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握碰撞频率和平均自由程的概念，理解气体分子碰撞和扩散的基本原理。
实验原理
气体分子在容器内不断进行碰撞，其碰撞频率与气体分子的密度、温度和分子间的相互作用力有关。分子在两次 碰撞之间的平均距离称为平均自由程。通过测量容器内气体分子的碰撞频率和平均自由程，可以深入了解气体分 子运动和相互作用的规律。

分子的平均碰撞次数及平均自由程

分子的平均碰撞次数及平均自由程
区间粒子的能量成正比。 （2）在同样大小的各区间（坐标区间和速度区间）中，能量
较大的分子数较少，能量较小的分子数较多。 （3）在大小相等的各区间（坐标区间和速度区间）中比较，
分子总是处于低能态的概率大些。 （4）分布在某一坐标区间具有各种速度的分子总数只与坐标
区间的间隔成正比，与粒子的能量无关。 （Ａ）只有(1),(2)是正确的； （B）只有(2),(3)是正确的； （Ｃ）只有(1),(2),(3)是正确的；（D）全部是正确的；
(`1) 10-10m (2) 102~103m/s (3) 108~109s-1
v 1.6 RT M mol
T=300K
v kT z 2d 2 P
把 P 1.01105 Pa
z 2d 2vP
kT T 273K 代入即可得到。
8
例6－12 气缸内有一定量的氢气（可视作理想气体），当
温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数 z
分子的平均碰撞次数及平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什
么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？ 原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
1
一、分子的有效直径d
分子的一种最简单的模型：将分子看成是具有一定体积 的弹性小球。
则分子的有效直径d定义为：两个分子质心之间所能允许的 最小距离。
距离小于或等于分子有效直径d的分子都会与A分子发生碰撞。
为此我们以A分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径d
为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的
分子，都会与A分子发生碰撞，
z n d 2 u
4
理论证明：气体分子的平均相对速率 u与平均速率 v间有

平均碰撞频率和自由程

平均碰撞频率和自由程
大学物理
1
能量按自由度均分原理
在温度为 T 的平衡状态下，分子每个自由度的平均动能均 为 kT 2 。
玻耳兹曼分布律
在外势场中的分子总是优先占据势能较低的状态
n n0 e
p k BT
平衡态下温度为 T 的气体中，位于空间某一小区间 x~x+dx， y~y+dy， z~z+dz 中的分子数为
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
6
-2 -3 例 真空管的线度为 10 m ，其中真空度为 1.33× 10 Pa。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m。
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 解 由气体的状态方程, 有
p 1.33 10 3 17 3 n 3 . 21 10 m kT 1.38 10 23 300
左11 左10
左9
右9 右10
右11
167960 184756
167960
左5
左2 左0
右15
右18 右20ຫໍສະໝຸດ 15504190 1
包含微观状态数最多的宏观状态是出现的概率最大的状态
11
结论 (1) 系统某宏观态出现的概率 与该宏观态对应的微观态 数成正比。 (2) N 个分子全部聚于一侧 的概率为1/(2N) (3) 平衡态是概率最大的宏观 态，其对应的微观态数目 最大。 ( n )

6气体分子的平均碰撞频率及平均自由程

6气体分子的平均碰撞频率及平均自由程

解答：根据公式

1
2n d 2
dengyonghe1@
质量一定，体积保持不变，则气体的分子数 密度 n 也不变，

1
2n d 2
平均自由程也不变。
讲解例题：P343，Example10.7
dengyonghe1@
第六节
气体分子的平 均碰撞频率及
平均自由程
dengyonghe1@
一、平均碰撞频率
发难:分子运动论佯谬 在常温下，空气分子速率 400~500米/秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的 同学立刻就可闻到香水味。但实际需要 1~2 分钟才能 闻到，扩散与分子速率102m/s矛盾.
解释: 实际上由于 分子激烈的热运动，不 断地和其它分子碰撞， 分子不是走直线，而是 折线。
Z 2n d 2 v
例：求空气在27ºC、1atm下平均碰撞频率是多少？ （空气分子直径为310-10m ）
解：由 P nkT 有
n

1
.
1.013 38 10
10 -23
5
300
n P kT
2.45 10 25 m -3
dengyonghe1@
由
v 8RT
气分子直径为310-10m ）
解：标准状态
T0 273 K , P0 1.013 105 Pa
dengyonghe1@

kT
2d 2P

1.38 10 -23 273
2 (3 10 -10 )2 1.013 10 5
9.3 10 -8 m
问题：一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加 时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，平均 自由程如何变化？

分子平均碰撞次数和平均自由程

第一节
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂 自由程 ： 分 子两次相邻碰 撞之间自由通 过的路程 .
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
简化模型
(1) 分子为刚性小球 .d (2) 分子有效直径为 （分子间距平均值）. (3) 其它分子皆静止，某分子以平均速率 u 相对其它分子运动 .
第十二章 气体动理论
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
碰撞时两分子质心距离的平均值称为
分子的有效直径
平均碰撞频率:分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数称 碰撞频率的倒数为 相邻两次碰撞时间
分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为
平均自由程
为分子的平均速率
可联系
进行估算
第十二章 气体动理论
3、理想气体的内能
1 mol 理想气体的内能 1 i E N A N Ai kT RT 2 2
( R N Ak )
理想气体的内能
m' i i E RT RT M 2 2
m' ( 为气体的摩尔数 ) M
试指出下列各式所表示的物理意义
1 3 i i m i (1) kT , (2) kT , (3) kT , (4) RT , (5) RT 2 2 2 2 M2
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
平均自由程
若能找出
与
的关系，则
可求
设分子 的碰撞路径ABCD长度
设气体分子数密度
则柱内分子数为
平均碰撞频率
质心在半径为 、长度为 的圆柱 体内的分子都会与 相碰。

6-7 分子的平均碰撞频率和平均自由程

第6章 气体动理论基础
4
分子平均碰撞频率
Z 2 π d vn
2
p nkT
二、平均自由程
v 1 2 z 2π d n
1 T 一定时 p

kT 2 2π d p
p 一定时 T
第6章 气体动理论基础
6–7 分子的平均碰撞频率和平均自由程
5
例6.3 试计算氧气在标准状态下的分子平均碰撞频 率和平均自由程. 解 根据 Z 2 d 2nv 及
p2 1.33103 Pa 时； (2)
解 空气分子的 d 3.7 1010 m，
1.38 1023 273 kT （） 1 1 6.12 108 m 2 d 2 p1 2 3.14 (3.7 1010 )2 1.013105
1.38 1023 273 kT （2） 2 8.29m 2 10 2 3 2 d p2 2 3.14 (3.7 10 ) 1.33 10
6–7 分子的平均碰撞频率和平均自由程
1
问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率） 达几百米每秒. 为什么打开一瓶香水后，香味要
经过几秒到十几秒才能传过几米的距离?
自由程：分子在 任意两次连续碰撞 之间自由通过的路 程.
第6章 气体动理论基础
6–7 分子的平均碰撞频率和平均自由程
2
分子平均自由程：每两次连续碰撞之间，一个 分子自由运动的平均路程. 一、平均碰撞频率 分子平均碰撞频率：单位时间内一个分子与其 他分子碰撞的平均次数. 简化模型 1 . 分子为弹性小球 , 2 . 分子有效直径为 对其他分子运动 .
第6章 气体动理论基础
d （分子间距平均值）， u相 3 . 其余分子都静止, A分子以平均速率

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热力学第零定律： 假如两个系统分别与第三个系统到达热平衡，
那么这两个系统彼此也处于热平衡。 (热平衡定律)
当热接触旳两个系统处于热平衡状态时，就不会有 热传递，所以热力学第零定律阐明，处于相互热平 衡状态旳系统肯定拥有某一种共同旳宏观物理性质。 定义: 处于相互热平衡状态旳系统所具有旳共同旳 宏观性质叫着温度。
假如考虑A、B、C三个系统： A和B分别与C热接触， 并到达热平衡；然后将A和B分别与C系统隔离开，让 A和B热接触，则A和B两系统旳平衡态不会发生变化。 这表白： A和B两系统也到达了热平衡。
C AB
C AB
若A与C热平衡 则A与B必然热平衡
B也与C热平衡
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
二.热力学第零定律 温度
１.温度旳概念 温度表征物体旳冷热程度。冷热是人们对自然
界旳一种体验，是对物质世界旳直接感觉，但单 凭人旳感觉并不能精确而定量地表达出物质旳冷 热程度。
-------------------------------------------------------------------------------
热力学温标：是开尔文在热力学第二定律旳基础上建 立旳。要求水旳三相点（水、冰和水蒸气平衡共存旳 状态）为273.16K。由热力学温标可导出摄氏温度。 热力学温标：T ，SI (开尔文， K)
系统与外界之间 ①能量互换：做功；传送热量（传递热量）。 ②物质互换：蒸发、凝结、扩散、泄漏等。

气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

大学物理
气体动理论
第9讲 气体分子的平均碰撞频率 和平均自由程
一、分子的平均碰撞频率
平均碰撞频率和平均自由程
平衡态宏观性质的维持 非平衡态向平衡态过渡
依靠分子间的频繁碰撞实现
刚性球 模型
不可以像讨论压强那样 将分子看成质点
不需像讨论内能那样考 虑分子内部结构
分子的有效直径 d 约为10-10 m
无引力刚 性球模型
=
1.013×105 1.38×10−23 × 273
=
2.69 ×1025 m−3
λ = 1 = 2.14 ×10−7 m 2π d 2n
z = v = 7.95×109 s−1
λ
(约80亿次)
平均碰撞频率和平均自由程
d d
假定: 分子是直径为d 的弹性小球
分子A以平均相对速率 u 运动, 其他分子静止 由麦克斯韦速率分布可证 u = 2 v
球心轨迹为轴, d 为半径作折圆柱体
平均碰撞频率和平均自由程
d d
球心在圆柱体内的分子将与A碰撞
单位时间内有 πd 2u n 个分子与A发生碰撞
平均碰撞频率: z = 2π d 2nv
• 当温度一定时,平均自由程与压强成反比,压强越小,平 均自由程越长.
平均碰撞频率和平均自由程
例. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数. (已知 分子直径d = 2×10-10m )
解:
v=
8RT =
Mπ
8×8.31× 273
2 ×10−3π
= 1.70 ×103 m ⋅ s−1
n
=
P kT
二、平均自由程平均碰撞频率平均自由程平均自由程( λ ): 分子在连续两次和其它分子发生碰撞
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n
d
2
u
平均自由程 平均碰撞频率
u 2v
Z 2 d 2 vn
v
1
Z
2d 2n
说明：平均自由程与分子有效直径的平方及单位体
积内的分子数成反比，与平均速率无关。
P nkT
kT 2d 2 p
平均自由程与压强成反比，当压强很小, 有可能
大于容器线度，即分子很少与其它分子碰撞，不断 与器壁碰撞，其平均自由程即容器的线度。
n
p ＝ 1.013105 kT 1.38 1023 273
m
3
2.69 1025 m3
平均自由程 平均碰撞频率
因此
1
2d 2n
＝
1.414 3.14
2
1 1010
2
2.69
1025273
m
2.10 107 m
Z
v＝1.70 103
2.10 107
s 1
8.10 109 s1
即在标准状态下，在 1 s 内分子的平均碰撞次数约 有 80 亿次。
§6-8 分子平均碰撞次数 平均自由程
1. 分子碰撞
分子相互作用的过程。 a. 频繁地与其他分子相碰撞，分子的实际运动路径
是曲折无规的。 b. 正是碰撞，使得气体分子能量按自由度均分。
c. 在气体由非平衡态过渡到平衡态中起关键作用。
d. 气体速度按一定规律达到稳定分布。
2. 平均自由程 平均碰撞频率
平均自由程：在一定的宏观条件下，一个气体分子 在连续两次碰撞间可能经过的各段自
由路程的平均值，用 表示。
平均碰撞频率：在一定的宏观条件下，一个气体分 子在单位时间内受到的平均碰撞次 数，用 表示。Z
在 t运动过程中，分子运动平均速率为 v
则分子运动平均自由程为
vt Z t
v Z
平均自由程 平均碰撞频率
设分子A 以平均相对 速率 运u动，其他分子
不动，只有与分子A的 中心距离小于或等于分
子有效直径d 的分子才
能与A相碰。
在 t 时间内，凡分子中心在以分子A的中心运动轨
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
迹为轴，半径等于分子有效直径 d，长为 ut的曲折
圆柱体内的分子均能与 A 相碰，设分子数密度为 n，
则碰撞频率：
Z
n
d 2 ut t
平均自由程 平均碰撞频率
例题6-6 求氢在标准状态下，在1s 内分子的平均
碰撞次数。已知氢分子的有效直径为210-10m。
解:按气体分子算术平均速率公式 算得
v 8RT
M mol
v
8RT ＝
M mol
8 8.31 3.14 2
273 103
m
/
s
1.70
103
m
/
s
按公式 p=nkT 可知单位体积中分子数为