等差数列综合测试题

等差数列测试题班级：_____________姓名：_____________得分：___________ 一选择题：（60分=5分×12）1.已知{}n a 为等差数列，135********,99,a a a a a a a ++=++=则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 72.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 633.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B. 53C.- 2D. 3 4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝( )A.－2B. 12- C. 12D.25.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )A.12B.13C.14D.15 6.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 7.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．489.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36612S1,3S S S ==则（ ） A.310 B.13 C.18 D.1911、等差数列{}n a 中，39||||,a a =公差d<0，则使前项n 和n S 取得最大值的自然数n 的值是（ ）A.4和5B.5和6C.6和7D.不存在12、含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） A.21n n+ B.1n n + C.1n n - D.12n n +二、填空题（20分=5分×4）13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= 14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =,则95S S = 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 三、解答题（70分=10分+5×12分，22,23大题任选一题作答） 17.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.18.已知等差数列{n a }中，374616,0a a a a ⋅=-+=，求{n a }前n 项和n S .19、求数列{}n a 的前n 项和n S ，其中1(1)n a n n =+20、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.21、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和n S ； （2）12314...a a a a ++++*22、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元， （Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.*23.若两个数列的前n 项和之比是(71):(427)n n ++,试求它们的第11项之比，第n 项之比。

人教A 版选择性必修第二册第四章数列综合测试1一、单选题1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9B ．12C ．15D ．182．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．553．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12-D ．12±4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．245．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 6．已知数列1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,…，则数列的第k 项是（ ）A ．12k k k a a a ++++B ．121k k k a a a --++C ．12k k k a a a -+++D ．122k k k a a a --+++7．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭8．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92 B ．102C ．8182D ．11211．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1112．函数222,3()11,316x ax a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，且为递增数列．则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=，则9S =______.14．数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =-+，则n a =_________________.15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n n S a =-+，则129S S S +++=________.16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n 段的重量为n a 斤(n =1，2，…，15)，且1215a a a <<<，若[]n n n b a a =⋅(其中[]n a 表示不超过n a 的最大整数)，则数列{}n b 的所有项和为________.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，已知1a 1=-，2a 2=．()1求{}n a 的通项公式；()2若3a ，4a 分别为等差数列{}n b 的前两项，求{}n b 的前n 项和n S ．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15150=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记124na nb =⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 19．已知数列{}n a 的前n 项和为233n S n n =-.（1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）求n S 的最大值及取得最大值时n 的值.20．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，5710,56.a S == （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，数列{}n b 的通项公式为1n n b x -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()44n n d n a =+，12n n H d d d =+++()*n N ∈，求使得对任意*n N ∈，均有9n mH >成立的最大整数m 22．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =． （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式； （2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考答案1．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 2．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 3．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；()211142211111122211121644a a q a qqqqa q a q⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩，故选：C.4．A【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a-=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：12ad=⎧⎨=⎩，()10789109133848S S a a a a a d-=++==+=.故选：A5．C【分析】由已知可得数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x==，故公差12d=则()1111122nnnx+=+-⨯=，故21nxn=+6．D 【分析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案 【详解】解：由已知数列的前4项：1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,归纳可知该数列的第k 项是一个以1为首项，以a 为公比的等比数列第k 项开始的连续k 项和，所以数列的第k 项为：122k k k a a a --+++故选：D 7．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足211232222n n na a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈，因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 8．A 【分析】根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A 9．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C10．B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=． 令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴1211322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得：12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值．()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ． 【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值； 11．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 12．B 【分析】根据分段函数的特征，以及数列在*n N ∈是单调递增数列，列式求解. 【详解】{}n a 是单调递增数列，所以0a >，数列{}n a 是单调递增数列22303321142222316a a a a a ⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪-⋅+<-⎪⎩. 故选：B ． 【点睛】易错点点睛：本题考查分段函数的单调性和数列单调性的简单综合应用，本地的易错点是1n =和2n =时，数列的单调性，容易和函数222,3y x ax a x =-+<时函数单调性搞混，此时函数单调性和数列单调性的式子是不一样的，需注意这点. 13．272【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出532a =，再由等差数列的求和公式，根据等差数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=， 由等差数列的性质可得，46523a a a +==，所以532a =， 因此()1995927922a a S a +===. 故答案为：272. 14．2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当2n ≥时，()()()221=23121323n n n a S S n n n n n -⎡⎤=--+----+=-⎣⎦; 而112a S ==不适合上式，2,123,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩.故答案为：2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩. 15．3411024【分析】令1n =计算得出114a =，然后推导出当n 为偶数时，0n S =，当n 为奇数时，112n n S +=，利用等比数列的求和公式可求得129S S S +++的值.【详解】当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =；当2n ≥时，()()()1111122nnn n n n n nS a S S -=-+=-⋅-+. 当n 为偶数时，可得112n n n n S S S -=-+，则112n nS -=； 当()3n n ≥为奇数时，可得112n n n n S S S -=-++，则1112120222n n n n nS S -+=-=-=. 因此，2512924681011111111341240000122222102414S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=++++++++==-.故答案为：3411024. 【点睛】方法点睛：本题考查已知n S 与n a 的关系求和，常用的数列求和方法如下：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.16．869【分析】先根据等差数列的通项公式列方程求出公差与首项，可得1018n n a +=，结合新定义与等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意，由细到粗每段的重量成等差数列{}n a ，设公差为d ，则1123131415132,4,323394a a a a a a d a d a +++=⎧⎧⇒⎨⎨++=+=⎩=⎩解得11118a =，118d =， 所以1018n n a +=． 所以[]0,17,1,815.n n a n ≤≤⎧=⎨≤≤⎩因此数列{}n b 的所有项和为891518192586189a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==．故答案为：869【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答..17．（1）1(2)n n a -=--；（2）2610n S n n =-.【分析】(1)求出等比数列的公比q ，进而得到其通项公式；（2）求出等差数列公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】（1）∵公比212a q a ==-，∴()1112n n n a a q --==--. （2）∵34a =-，48a =，4a -3a =8+4=12,∴14b =-，公差12d =.故()214126102n n n S n n n -=-+⨯=-.【点睛】本题考查了等比数列的基本量计算和等比数列的通项公式，考查了等差数列的基本量计算和前n 项和公式.是基础题.18．（1）2n a n =+ （2）122n n T +=-【分析】（1）由15150=S ，可得11510a a +=，即85a =，从而可得公差d ，从而得出答案. （2）由条件可得21122244n a n n n b +=⋅=⋅=，由等比数列的前n 项和公式可得答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11515151502a a S +=⨯= 则11520a a +=，又1158220a a a +==，810a =，又35a =83510a a d =+=，得1d =，则13a =所以()11312n a a n d n n =+-⨯=+-=+（2）21122244n a n n n b +=⋅=⋅= 所以()12122212n n nT +⨯-==--19．（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为272. 【分析】（1）先由n S 求{}n a 通项公式，再利用定义法证明即可；（2）先判断0n a ≥的n 的范围，得到数列的正负分布，即得何时n S 最大. 【详解】解：（1）证明：当2n ≥时，1342n n n a S S n -=-=-，又当1n =时，11323421a S ===-⨯，满足342n a n =-，故{}n a 的通项公式为342n a n =-， ∴()()134213422n n a a n n +-=-+--=-. 故数列{}n a 是以32为首项，2-为公差的等差数列； （2）令0n a ≥，即3420n -≥，解得17n ≤， 故数列{}n a 的前16项或前17项和最大，此时21617331717272S S ==⨯-=.20．（1）2n a n =；（2）12332n n T n n +-=++. 【分析】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，然后根据题目条件列出关于1a 和d 的方程组求解；（2）将（1）中所得的数列{}n a 的通项公式代入，得到n b 的通项公式，再根据通项公式确定该用哪个方法求前n 项和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则根据题意得：由715172156410S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =.（2）23na n n nb a n =+=+，则123(23)(43)(63)(23)n n T n =++++++++2(242)(333)n n =+++++++(22)3(13)213n n n +⨯-=+- 12332n n n +-=++. 【点睛】本题考查等差数列的基本公式的运用，考查利用分组求和法求数列的前n 项和. 解答时，如果已知数列为等差数列或等比数列求通项公式，只需将题目条件翻译成数学表达式，然后通过方程解出首项和公差或公比，然后得出数列的通项公式. 对于数列n n n c a b =+，当{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，可采用分组求和法求和.21．（1）2n a n =；（2）()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩；（3）存在最大的整数5m =满足题意． 【分析】（1）当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，将已知代入化简计算可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法计算n T ，分1x ≠和1x =两种情况，分别得出答案；（3）利用裂项相消法计算出n H ，并得出单调性和最值，代入不等式解出m 的范围，得到答案． 【详解】（1）当1n =时，112a S ==当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦即数列{}n a 的通项公式为2n a n =（2）12n n n n c a b nx -==，23124682n n T x x x nx -=+++++，①则23424682n n xT x x x x nx =+++++，②①﹣②，得()21122222n n n x T x x nx nx --=++++-．当1x ≠时，()11221nn n x x T nx x--=⨯--，则()()1222121n n n n x nx T x +-++=-． 当1x =时，224682n T n n n =+++++=+综上可得，()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩（3）由（1）可得()411242n d n n n n ==-++，则12111111111111324352212n n H d d d n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然n H 为关于n 的增函数，故()1min 23n H H ==． 于是欲使9n mH >恒成立， 则293m <，解得6m <．∴存在最大的整数5m =满足题意．【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和． 22．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可.【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =， ∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-， ∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ()()()()()12131323133n n n T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ∴()()()()111413333n n n T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-， ∴()()()131********n n n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：1.公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；2.分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；3.裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；4.错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.。

等差数列综合测试题（满分 100分）班级 姓名 分数一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．已知数列{}n a 的通项公式为22,(1),(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩，则这个数列的前三项为（ ）A ．1、4、9B ．2、4、9C ．2、1、4D ．2、6、112．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则7a 的值等于（ ）A ．1B ．14C ．15D ．163．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-, 则它的公差为 （ ）A .2B .3C ． 2-D ．3-4．等差数列的相邻四项是1,3,,a a b a b +++，那么a ，b 的值分别是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．455．已知等差数列{}中，14739a a a ++=,25633a a a ++=,则369a a a ++等于（ ）A ．30B ．27C ．24D ．216．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．487.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．358．已知等差数列{}n a 中,288a a +=,则该数列前9项和9S 等于( )A.18B.27C.36D.459．一个等差数列的前10项和是48，前20项和是60，那么它的前30项和是（ ）A.72B.84C.36D. 2410．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S ＝（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11.若n a =1n a -－3,则{}n a 是单调递数列12．在－1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c,使这五个数成等差数列,则b 的值是 .13．三角形中三个角A 、B 、C ，成等差数列，则cos B ＝14．数列7,77,777,7777的一个通项公式是 .三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）15．在等差数列{}n a 中(1) 已知69121520a a a a +++=，求120a a +(2）已知31110a a +=，求678a a a ++16.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S（1）15,95,10n a a n ===（2）11,120,1;n a a d ===17．已知等差数列｛｝中，a 10=3020=50．（1）求通项公式；（2）若242，求项数n 。

等差数列测试题（带答案）1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4等于()A．5B．6C．7D．9答案：C2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项公式an＝()A．2n＋1B．2n－1C．2nD．2(n－1)答案：B3．△ABC三个内角A、B、C成等差数列，则B＝__________.解析：∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C.又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°.答案：60°4．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)由题意，知a1＋－＝－1，a1＋－＝2.解得a1＝－5，d＝1.(2)由题意，知a1＋a1＋－＝12，a1＋－＝7.解得a1＝1，d＝2.∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d＝()A.12B.13C．－12D．－13解析：选C.∵a7＝a1＋(7－1)d＝21＋6d＝18，∴d＝－12.2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝()A．45B．41C．39D．37解析：选B.a6＝a2＋(6－2)d＝5＋4d＝17，解得d＝3.所以a14＝a2＋(14－2)d＝5＋12×3＝41.3．已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为()A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列解析：选A.an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.4．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n 的等差中项是()A．2B．3C．6D．9解析：选B.由题意得m＋2n＝82m＋n＝10，∴m＋n＝6，∴m、n的等差中项为3.5．下面数列中，是等差数列的有()①4,5,6,7,8，…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0，…④110，210，310，410，…A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列．6．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为()A．4B．5C．6D．7解析：选B.an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn得3n－1＝4n－6，∴n＝5.二、填空题7．已知等差数列{an}，an＝4n－3，则首项a1为__________，公差d 为__________．解析：由an＝4n－3，知a1＝4×1－3＝1，d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4，所以等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝4.答案：148．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则a3＝a1＋2d＝7；a5－a2＝3d＝6.∴d＝2，a1＝3.∴a6＝a1＋5d＝13.答案：139．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.解析：根据已知条件a2n＋1＝a2n＋4，即a2n＋1－a2n＝4，∴数列{a2n}是公差为4的等差数列，∴a2n＝a21＋(n－1)•4＝4n－3.∵an＞0，∴an＝4n－3.答案：4n－3三、解答题10．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．解：由an＝a1＋(n－1)d得10＝a1＋4d31＝a1＋11d，解得a1＝－2d＝3.∴等差数列的通项公式为an＝3n－5.11．已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根．(1)求此数列{an}的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：(1)由已知条件得a3＝2，a6＝8.又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1＋2d＝2a1＋5d＝8，解得a1＝－2d＝2.∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－4(n∈N*)．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－4.(2)令268＝2n－4(n∈N*)，解得n＝136.∴268是此数列的第136项．12．已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．解：(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5，由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.(2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点(如图)．(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．。