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积分的极限定理

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微积分中的极限运算法则及其应用

微积分中的极限运算法则及其应用

微积分中的极限运算法则及其应用微积分中的极限是一个非常基础的概念，几乎每个学习微积分的人都要学习和掌握。

在微积分中，极限运算法则是一个非常重要的概念，它不仅是解决微积分问题的基础，还能用来证明微积分中的很多定理。

一、极限运算法则极限运算法则是微积分中的一个基本概念，也是解决微积分问题的基础。

与其它数学概念一样，它有一些基本法则，如下：1、常数定理如果K是一个常数，那么：lim K = Kx→a这个定理是非常简单的，意思就是说，如果一个函数在极限运算的过程中只包含一个常数K，那么这个极限就等于这个常数K 本身。

2、幂指函数定理如果a是一个正数，并且f(x)是一个幂指函数，那么：lim f(x) = a^xx→a这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中包含一个幂指函数时，这个极限的结果就等于这个幂指函数的解。

3、和、差、积、商定理如果f(x)和g(x)是两个函数，如下：那么：lim [f(x)±g(x)] = lim f(x)±lim g(x) x→a x→alim [f(x)×g(x)] = lim f(x)×lim g(x) x→a x→alim f(x) = lim g(x) (注：lim g(x)≠0) x→a x→a那么：lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x) x→a x→a这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中不只包含一个函数时，可以通过将这些函数进行和、差、积、商运算来求出其极限。

4、复合函数定理如果f 和 g是两个函数，如下：那么：lim f(g(x)) = lim f(L)x→a x→L其中L是 g(x) 在x→a 时的极限。

这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中包含多个函数时，可以将其拆分为不同的函数来求解。

二、极限运算法则的应用极限运算法则可以用来解决很多微积分问题。

以下是一些常见的应用：1、求导求导是微积分的一个重要部分，其核心就是使用极限运算法则。

微积分中的积分中值定理与极限定理的应用

微积分中的积分中值定理与极限定理的应用

微积分中的积分中值定理与极限定理的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的导数和积分，以及两者之间的关系。

微积分在很多领域都有广泛的应用，比如物理、工程、经济学等。

在微积分中，积分中值定理和极限定理是非常重要的概念。

它们不仅是理论基础，而且在实际应用中也具有重要作用。

本文将重点介绍积分中值定理和极限定理的应用。

一、积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中一条重要的定理，它是求解积分的一种方法。

在积分运算中，很多时候我们需要求解一个函数在一定区间的平均值。

这个平均值可以用积分中值定理来得到。

积分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

下面我们分别来介绍一下它们的应用。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为第一中值定理，它是由法国数学家拉格朗日（Lagrange）在18世纪发现的。

该定理的表述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)这里的c就是在区间[a,b]上的某个中间值。

我们可以通过拉格朗日中值定理来求一个函数在某个区间上的平均值。

例如，假设我们要求函数y=√x在区间[1,4]上的平均值。

首先，我们可以将该函数在该区间上的积分表示出来：∫1^4√xdx然后，我们可以用拉格朗日中值定理求出积分的值。

根据该定理，存在一个点c∈(1,4)，使得：∫1^4√xdx=√4-√1/(4-1)=√3因此，y=√x在区间[1,4]上的平均值为√3。

2.柯西中值定理柯西中值定理是由法国数学家柯西（Cauchy）在19世纪发现的，它是拉格朗日中值定理的推广。

该定理的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)这里的c仍然是在区间[a,b]上的某个中间值。

微积分定理归纳.doc

微积分定理归纳.doc

第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x) 2则K1函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)W, K2则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列｛xn｝不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列｛xn｝收敛，那么数列｛xn｝—定有界。

如果数列｛xn｝无界，那么数列｛xn｝—定发散；但如果数列｛xn｝有界，却不能断定数列｛xn｝—定收敛，例如数列1, -1, 1, -1, (-l)n+l该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列｛xn｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列｛xn｝有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列｛xn｝是发散的，如数列1,-1, 1,-1, (-l)n+l中子数列｛x2k-l｝收敛于1, ｛xnk｝收敛于-1, ｛xn｝却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<lx-x0l表示xH xO,所以x—xO时f(x)有没有极限与f(x)在点xO有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x ->x0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么xO的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。

函数f(x)当x-*xO时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x —00 )f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x -*xO)f(x)= ,00则直线x=xO是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果Fl(x)2F2(x),而limF 1 (x)=a, limF2(x)=b,那么a2b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x f O)(sinx/x)=l ；lim(x -*00 )(l + l/x)x=1.夹逼准则如果数列｛xn｝、｛yn｝、｛zn｝满足下列条件：ynW xnW且znlimyn=a, limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。

微积分中的极限定理及其应用

微积分中的极限定理及其应用

微积分中的极限定理及其应用微积分是数学的基础课程，它学习的内容主要涉及函数、极限、导数、积分等方面。

在微积分中，极限是重要的基本概念之一。

极限的定义是：当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个数，这个数就是函数在该点的极限。

在微积分中，极限定理有很多应用，接下来我们将用一些例子详细解释。

一、连续性与极限连续性是微积分中的一个重要概念。

一个函数在某点连续，就是说在这个点不会有断点、跳跃点和奇点等不良表现。

而一个函数在某个点不连续，就是指函数在这个点处的极限不存在或者不等于函数在该点的取值。

对于连续函数，可以用极限定理求出该函数在某点的极限。

例如，函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x = 1$的极限为1。

我们可以使用极限的代数运算法则，得到以下结果：$$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \sqrt{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x}}} = \frac{1}{1} = 1 $$在本例中，我们使用了极限的代数运算法则，其中第二步是因为$1/\sqrt{x}$在$x=1$处的极限等于1，所以可以这样改写。

最后一个等式是因为$1/1=1$。

因此，$f(x) = \sqrt{x}$在$x = 1$处的极限是1。

二、利用极限定理求导数微积分中另一个重要的任务就是求函数的斜率，也就是导数。

利用极限定理，我们可以求出函数在某一点的导数。

例如，考虑一条曲线$y = x^2$。

我们可以通过极限定理求出这个函数在$x = a$处的导数。

以下是步骤：$$ \begin{aligned} f'(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{2ah +h^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} (2a + h) \\ &= 2a\end{aligned} $$这里我们代入函数$y=x^2$，以及导数的定义式，把极限转换为实数。

向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件

向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件

向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件向量值函数列的Bochner积分极限定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了向量值函数列在Bochner意义下的积分极限的充要条件。

在本文中，我们将介绍这个定理的定义、证明过程以及相关的一些应用。

一、定义在介绍定理之前，我们先来回顾一下向量值函数的定义。

设$E$是一个度量空间，$F$是一个赋范空间，$f:Erightarrow F$是一个从$E$到$F$的向量值函数，如果对于每一个$xin E$，$f(x)in F$都是一个向量，则称$f$为一个向量值函数。

我们用$mathcal{V}(E,F)$表示所有从$E$到$F$的向量值函数的集合。

设$f_n:Erightarrow F$是一个从$E$到$F$的向量值函数列，如果对于每一个$xin E$，${f_n(x)}_{nin mathbb{N}}$都是$F$中的一个Cauchy列，则称$f_n$在$E$上一致收敛于$f$，其中$f:Erightarrow F$也是一个向量值函数。

对于一个向量值函数$f:Erightarrow F$，我们定义其Bochner 积分为$$int_E f(x)dx=lim_{nrightarrowinfty}sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1})$$其中$x_0,x_1,cdots,x_n$是$E$中的$n+1$个点，且$x_0leqx_1leqcdotsleq x_n$。

如果对于每一个$xin E$，${f_n(x)}_{nin mathbb{N}}$都是可积的，则称$f_n$在$E$上Bochner可积。

我们现在可以给出向量值函数列的Bochner积分极限定理的定义了。

定义：设$f_ninmathcal{V}(E,F)$是一个从$E$到$F$的向量值函数列，$finmathcal{V}(E,F)$是另一个从$E$到$F$的向量值函数。

如果$f_n$在$E$上一致收敛于$f$，且对于任意的$xin E$，${f_n(x)}_{ninmathbb{N}}$都是可积的，则有$$lim_{nrightarrowinfty}int_Ef_n(x)dx=int_Ef(x)dx$$ 其中等号右边的积分是Bochner积分。

积分中值定理求极限公式

积分中值定理求极限公式

积分中值定理求极限公式
极限中值定理（The Mean Value Theorem）是数学中一个重要的定理，它可以用来求极限
结果。

极限中值定理指出，在特定的条件下，在某一段曲线位置上下文存在一个唯一的中
值点，即极限值。

理解极限中值定理需要先熟悉它的基本定义。

极限中值定理的基本定义是：若一个函数f的定义域上的每个部分段断定义，并且该函数
在这段曲线上有定义，则存在一个中值x0，使得f'（x0）与从a到b的定义域的极限值
等同。

极限中值定理可以用来求极限值。

方法是使用中值定理来找到极限中值点，然后利用这个
中值点计算出相应的极限值。

例如求f（x）=3x－2在x=2处的极限，首先可以算出f'（x）=3，然后可以确定极限中值x0为2，因此极限值f（2）=f（x0）=3x0-2=2。

极限中值定理是一个重要的定理，它可以被用来验证函数被定义在某一区间内的性质。

如
果函数在一个区间内满足极限中值定理，则该区间上的函数是连续的，且f（x）在该区间的极限存在。

此外，极限中值定理还可以用来求极限值。

极限中值定理是数学中一个重要的定理，它可以用来求出极限结果，也可以用来验证和求
函数某一区间的连续性。

它的使用也几乎涵盖对函数的所有分析。

极限中值定理因其易
理解、实用性强而广受欢迎。

L-积分的极限定理.

但我们知道，如果 { fm (x)}l 是一致 收敛的，则积分与极限是可以交换 顺序的。这很容易使我们联想到关 于函数序列不同收敛性之间关系的 一个重要定理。 这就是Egoroff定理。
L-积分的极限定理
由Egoroff定理知，存在 E Ek，使
mE
4l
，且在
Ek
E 上
{ fm (x)}l
一致收敛到{ f (x)}l 。
L-积分的极限定理
设正整数 m0 使 m m0 时，对一切
x Ek E，都有
0 { f (x)}l {
则当 m m0时，
fm (x)}l
，
4(1 mEk )
fm (x)dx { fm (x)}l dx
{
f
(x)}l
dx
4
E
Ek E
Ek E
L-积分的极限定理
又 { f (x)}l dx { f (x)}l dx { f (x)}l dx
可测函数序列， f (x) fm (x)，则
m1
f (x)dx fm (x)dx.
E
m1 E
L-积分的极限定理
k
令
Sk (x) fm (x，)
m1
则 Sk 是 E 上的非负可测函数，
Sm (x) Sm1(x), x E, m 1,2, ,
并且
fБайду номын сангаас
(
x)
lim
m
Sm
(
x)
，
L-积分的极限定理
Ek
Ek E
E
Ek
E
{
f
( x)}l
dx
, 4
故当 m m0 时，
E
fm (x)dx

有界闭集上(r)积分的极限定理

有界闭集上(r)积分的极限定理
积分极限定理，也称作“微积分极限定理”，是一系列积分性质的普遍性定理，可以用来表示一个积分表达式上一类参数的极限情况。

积分极限定理可以用来代替实际求积分，简化计算。

积分极限定理的一般形式是：在一个定义在限制性区间[a,b] 上的积分k(x) 的极限值为L，如果K(x)在[a,b]上的函数连续，那么积分的极限定理就能够应用：
limk(x)dx=L
积分极限定理可以用来阐明一些复杂的积分表达式变化情况，也就是说当参数不断变化时，可以迅速回到极限表达式，从而实现快速求解。

这样就避免了通过实际计算来求得积分，节省了大量时间和精力。

积分极限定理提供的灵活性，可以用来解决许多热点科学问题，比如物理中力学、化学中关于化学反应速度的问题，都可以用积分极限定理表达出来，另外几何中的复杂几何形状也可以表达出来。

因此，积分极限定理在各个领域有着广泛的应用，它可以帮助我们对许多问题有更深入地认识和把握，从而更加有效的分析和解决各种实际问题。

§4.3积分的极限定理


An
n=1
f − dµ.
An
(6)
∫ ∫ 由于 f 的积分存在, 因此
∪∞ n=1
An
f +dµ 和
∪∞ n=1
An
f −dµ 至少有一个是有限的.
将(5)和(6)
的两端相加即得(4).■
定理 4 (Fatou 引理)设{ f n }是一列非负可测函数. 则
∫ lim fndµ ≤ lim ∫ fndµ .
lim
n →∞
f n dµ
≥
lim
n→∞
f ndµ.
证明 对函数列{ f n − g}应用定理 4 即得 (i). 再对函数列{− f n }应用 (i) 的结果并注意
到 lim(−
n→∞
fn)
=
− lim n→∞
f n 即得 (ii).
■
定理 6 (控制收敛定理 ) 设 f , f n (n ≥ 1) 是可测 函数, 并且 存在可积函 数 g 使得
子列{ f nk } 都存在其子列{ f nk′ } , 使得 f nk′ a.e.→ f (k ′ → ∞). 由上面所证的结果有
fndµ.
■
103
推论 5 设{ f n }是一列可测函数. 则
∫ ∫ (i).若存在一可积函数 g 使得 fn ≥ g, a.e. (n ≥ 1). 则 lim f ndµ ≤ lim fndµ .
n→∞
n→∞
∫ ∫ (ii). 若存在一可积函数 g 使得 fn ≤ g, a.e. (n ≥ 1). 则
n
∞
∑ ∑ 证明 令 gn = fi , n ≥ 1, g = fi . 则 0 ≤ gn ↑ g. 应用定理 1 得到

积分求极限问题

积分求极限问题
在数学中，积分求极限是求一个函数在某一点处的极限。

根据基本定理的积分推广，如果一个函数在一个区间上连续并且有界，那么它的积分也是有界的。

因此，对于这样的函数，可以通过求积分来求解极限问题。

具体的求解方法取决于给定的函数和极限的形式。

以下是一些常见的求极限的方法：
1. L'Hôpital法则：适用于求极限为0/0或∞/∞形式的极限。

若
函数f(x)和g(x)在极限点附近连续，并且f(x)和g(x)在该点都
为0或∞，并且f'(x)/g'(x)的极限存在，那么lim x→a f(x)/g(x)
= lim x→a f'(x)/g'(x)。

2. 积分中值定理：适用于求极限为无穷小形式的极限问题。

如果一个连续函数f(x)在[a, b]上有积分，那么存在一个c∈(a, b)，使得∫[a, b] f(x)dx = f(c)(b-a)。

根据这个定理，可以通过积分的
中值定理推导出一些常见的极限。

3. 函数的单调性和有界性：如果一个函数在某一区间上单调递增或单调递减，并且有界，那么可以通过求积分来判断它在某一点的极限。

如果函数在该区间上单调递增，那么函数的极限为区间上的上确界；如果函数在该区间上单调递减，那么函数的极限为区间上的下确界。

以上仅是一些常见的求积分求极限的方法，实际上针对不同的
函数和极限形式可能还有其他的求解方法。

在具体的问题中，可以根据函数的特性和极限的形式选择合适的方法来求解。

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− ∫ f ( x)dx ≤ − lim ∫ f n ( x)dx
E n →∞ E
从而 lim ∫ f n ( x)dx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ lim ∫ f n ( x)dx
n →∞ E E n →∞ E
故 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx
n →∞ E E n →∞
f ( x)
a.e.于
且存在非负可积函数F(x)，使得|fn(x)| ≤F(x) a.e. 于E， 则f(x)在E上可积且 lim∫E fn (x)dx = ∫E lim fn (x)dx n→∞ n→∞ 证明：显然f(x)为E上可测函数 （可测函数列的极限函数是可测函数） 且由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E，知|f(x)| ≤F(x) a.e.于E， 所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数
n→∞ E
lim ∫
n →∞ E
f n ( x)dx ≤ ∫
E
f ( x)dx = ∫
E
lim f n ( x)dx
n →∞
下证大于等于号
E 引理1：设{En}是递增集列， = ∪ En , ϕ ( x) 是Rn上的非负可测简单 n =1 函数，则
∞
lim ∫ ϕ ( x)dx = ∫ ϕ ( x)dx
n →∞ En E
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明
En = {x ∈ E | f n ( x) ≥ cϕ ( x)}
f(x) φ(x) fn(x) cφ(x)
于是从（应用引理2）
∫
E
f n ( x)dx ≥ ∫ f n ( x) χ En ( x)dx
E En En En
= ∫ f n ( x)dx ≥ ∫ cϕ ( x)dx = c ∫ ϕ ( x)dx,
湖南理工学院 数学学院 精品课程
第五章 积分论
第五节 积分的极限定理
1.Levi逐项积分定理 若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ f 3 ( x ) ≤
n →∞ E E n →∞
≤ f n ( x) ≤
, 且 lim f n ( x ) = f ( x )
∫
a
例
试从
证明
1 = (1 − x) + ( x 2 − x 3 ) + … + ( x 2 n − 2 − x 2 n −1 ) + … ,0 < x < 1 1+ x
1 1 1 ( − 1) n +1 ln 2 = 1 − + − + … + + … 2 3 4 n
解：令 f n ( x ) = x 2 n − 2 − x 2 n −1 , x ∈ ( 0 ,1), n = 1, 2 ,3,
得到 lim ∫ f n ( x)dx ≥ c ∫ ϕ ( x)dx
n →∞ E E
令c → 1, 则有 lim f n ( x)dx ≥ ϕ ( x)dx
n →∞ E E
∫
∫
再由的积分定义知 lim ∫E f n ( x)dx ≥ ∫E f ( x)dx n →∞
所以 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx
n →∞ E E
对Levi逐项积分定理的说明
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ f 3 ( x ) ≤
n →∞ E E n →∞
≤ f n ( x) ≤
, 且 lim f n ( x) = f ( x)
n →∞
则 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx
∞
1
= (L )∫
[ − 1 ,1 ]
∑
∞
n =1
x2 dx 2 n (1 + x )
= (L)∫
[ − 1 ,1 ]
1dx = 2
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在 [a,b]上Lebesgue可积，且 ( L) f ( x)dx = ( R) b f ( x)dx
∫
[ a ,b ]
n →∞
则 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx
说明：小于等于显然成立， 因为fn(x)总在f(x)的下方, 只要证明大于等于，但一般而 言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。 注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。 cf(x) fn(x)
例 试求 lim ( R) 1 nx2 2 sin nxdx ∫0 n→∞
1+ n x
nx 证明：令 f n ( x) = sin nx 2 2 1+ n x
则fn(x)为可测函数且 | f n ( x ) |≤ F ( x ) =
从而Lebesgue控制收敛定理知：
1 2
nx nx lim ( R ) ∫ sin nxdx = lim ( L) ∫ sin nxdx 2 2 2 2 0 1+ n x [ 0 ,1] 1 + n x n →∞ n →∞ nx = ( L) ∫ lim sin nxdx =( L) ∫ 0dx =0 2 2 [ 0 ,1] n → ∞ 1 + n x [ 0 ,1]
n →∞ En E
引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则
∫
A
f ( x)dx = ∫ f ( x) χ A ( x)dx
E
Levi逐项积分定理的证明
∫
E
f ( x)dx = sup{∫ ϕ ( x)dx : ϕ ( x)为E上的简单函数，≤ ϕ ( x) ≤ f ( x)} 0
n→∞
对应于测度的可数可加性 m ( ∪ A i ) = i=1
∞
∑
∞
mA
i=1
i
例 试求 ∑
∞
n =1
(R )∫
1
−1
x2 dx 2 n (1 + x )
解 : 令f n ( x) =
x2 (1+ x 2 ) n
, x ∈ [−1,1]
则f n (x) 为非负连续函数，当然为非负可测函数，
∞ x2 x2 dx dx = ∑ ( L) ∫ 从而 ∑ ( R ) ∫ 2 n [ −1,1] (1 + x 2 ) n − 1 (1 + x ) n =1 n =1
E n n→∞
1/ n 0
x∈[ 0 , n ] x∈( n , +∞ )
∫ lim f ( x)dx = 0 < 1 = lim∫
n→∞
E
f n ( x)dx
注：fn(x)为E上非负可测函数列且一致收敛到0.
5.Lebesgue控制收敛定理 设fn(x)为E上可测函数列， lim f n ( x) = n →∞ E，
积分的几何意义（函数非负）： fn+1(x) fn(x)
f(x)
( L) ∫ f ( x)dx = mG( E; f )
E
G ( E ; f n )为递增集列
m(lim G ( E; f n ) = lim mG ( E; f n )
n →∞ n →∞
单调增集列测度的性质
2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式） 若fn(x)为E上非负可测函数列， 则
En E
及f ( x ) = Σ f ( x ) χ E n ( x )
n =1
∞
然后利用Lebesgue
逐项积分定理即可
∞
对应于测度的可数可加性 m ( ∪ A i ) = i=1
∑
∞
mA
i=1
i
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可 积性且积分值不变
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且
解 ： 令 Gn 为 Cantor 集 P 的 余 集 中 长 度 为 1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是[0,1] 上的非负可测函数，根据积分的可数可加性 知 f ( x ) dx = f ( x ) dx
∫
[ 0 ,1 ]
∫
P0 ∪ ( ∪ G
n =1
∞
n
)
=
∫
P0
f ( x ) dx + ∑
∫
∫
E
E
f ( x)dx = ∫ g ( x)dx
E
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
E1 E2 E1 E2
= ∫ g ( x)dx + ∫ g ( x)dx = ∫ g ( x)dx
E
例 设[0,1]上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor 集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，…) ， 求f(x)在[0,1]上的Lebesgue积分值
=
∑ (R)∫ ( x
1 n =1 0
∞
2n−2
−x
2 n −1
) dx =
∑
∞
n =1
1 1 ( − ) 2n − 1 2n
1 1 1 ( − 1) n + 1 = 1− + − +… + +… 2 3 4 n
1 1 1 dx = ( R ) ∫ dx = ln 2 另外( L) ∫ (0,1) 1 + x 0 1+ x