L 积分与R 积分的比较1 引言黎曼积分(R 积分)起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立的微积分，接下来的两个世纪，经过欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西、维尔斯特拉斯、康托等人的努力，积分概念逐步发展，最终成形于黎曼，即R 积分．但由于一个像狄利克雷函数这样简单的函数却不是R 可积，这个发现充分暴露了R 积分在某种程度上的局限性，为使积分学有更广泛的应用，人们期望能将可积函数类加以扩大，这就需要对R 积分进行改造，把积分学推向前进，这个人就是勒贝格，他在1902年成功引入了一种新的积分—勒贝格积分(L 积分)．L 积分是积分发展史上的一次革命，它使得积分论在集合论，测度论的基础上走向现代化，从而有可能在现代水平的层次上向其他现代数学分支渗透，促使了其他学科的发展，特别是三角级数和函数序列方面，概率论、泛函分析等学科也受到了L 积分的积极影响．本文将从以下不同角度系统比较勒贝格积分与黎曼积分．2 黎曼积分与勒贝格积分的不同定义 2.1 R 积分与L 积分的极限式定义定义2.1[]1(9192)P - (黎曼积分的定义) 设)(x f 是定义在[,]a b 上的有界函数,任取一分点组T ，0x = a < 1x < 2x < …< n x b =,将区间[,]a b 分成n 部分,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ,(1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、,作和s = 11()()i i i i f x x ξ∞-=-∑ ,令r = ni ≤≤1max (i x - 1-i x ) ,如果对任意的分法与i ξ 的任意取法,当0r →时, s 趋于有限的极限I ,则称此极限值I 为)(x f 在[,]a b 上的黎曼积分,记为I = （R ）⎰ba)(x f dx ．定义 2.2[]1(9192)P - (勒贝格积分的定义) 设E 是一个勒贝格可测集, ()m E <∞ , )(x f 是定义在E 上的勒贝格可测函数,又设)(x f 是有界的,就是说存在实数1 及u ,使得()f E ⊂(1,u ) ．在[1,u ]中任取一分点组D ，1 = 0l < 1l < …< n l = u ,记)(D δ=nk ≤≤1max (k l -1-k l ) ,k E = E (1()k k l f x l -≤<) 1{()}k k x E l f x l -=∈≤≤ ,并任取k ξ∈k E (我们约定,当k E =Φ时, f (k ξ)()0k m E =) ,作和)()()(1k nk km f D S E =∑=ξ,如果对任意的分法与k ξ的任意取法,当()D δ→0时, ()S D 趋于有限的极限J ,则称J 为)(x f 在E 上关于勒贝格测度的积分,记作J =dx x f E )(⎰．注 1 从定义2.1和定义2.2可以看出，它们的主要区别是：R 积分是将给定函数的定义域划分而产生的，而L 积分是划分函数的值域而产生的．除了上面的定义之外，R 积分与L 积分还有其他形式的定义.2.2 R 积分与L 积分的确界式定义定义2.3[]2(100106)P - （黎曼积分的定义） 设()f x 在[,]a b 上有界，T 表示[,]a b 的任一分划，这里n 为任一自然数，可随Ｔ而不同．设i M ,i m 分别表示()f x 在[1,i i x x -]上的上、下确界,(1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、,(,)S T f =1n i i i M x =∆∑,(,)s T f =1ni i i m x =∆∑，分别称为()f x 关于分划T 的大和数与小和数，这里1,()bi i i ax x x f x dx -∆=-⎰=inf (,)TS T f ，()sup baTf x dx =⎰(,)s T f ，分别叫做()f x 在[,]a b 上的达布上积分与下积分．这里上、下确界是对[,]a b 的一切可能分划T 而取的．如果()baf x dx ⎰＝()baf x dx ⎰，（一般只有()baf x dx ⎰≥()baf x dx ⎰),则称()f x 在[,]a b 上Ｒ可积，并称此共同值为()f x 在[,]a b 上的R 积分，记为()b af x dx ⎰．定义 2.4[]2(100106)P - (勒贝格积分的定义) 设()f x 是可测集E （mE <∞）上的有界函数，记sup ()ii x E B f x ∈=，inf ()ii x E b f x ∈=，则1(,)ni ii S D f B mE==∑，1(,)ni ii s D f b mE==∑，()inf (,),EDf x dx S D f =⎰()sup (,)EDf x S D f =⎰，分别称为()f x 在E 上的Ｌ上、下积分，如果()()EEf x dx f x dx =⎰⎰，则称()f x 在E 上Ｌ可积，则称此共同值为()f x 在E 上的Ｌ积分，记为()Ef x dx ⎰．注 2 上述定义中的D 为可测集E 的可测分划，,i i D E E =⋃为可测集.3 L 积分与R 积分的比较3.１ 从可积函数的范围来看，L 积分比R 积分广泛L 可积函数的范围比 R 积分广,主要体现在 L 积分蕴涵了R 积分,有下述定理． 引理 1[]1(91)P 若()f x 是定义在[],a b 上的有界函数,则()f x 在[],a b 上是 R 可积的充要条件是()f x 在[],a b 上的不连续点集是零测度集．定理 1[]1(92)P 定义在有限区间[],a b 上的函数若为 R 可积,则必 L 可积,且积分值相等．即()()()()bbaaR f x dx L f x dx =⎰⎰．证明 由题设及引理 1, ()f x 在[],a b 上几乎处处连续,因此()f x 是[],a b 上的有界可测函数,([,])f L a b ∈． 其次对[],a b 的任意分划T :a = 123n x x x x <<<⋅⋅⋅< = b,根据 L 积分的可加性质有1[,],1()()i i na b i f x dx f x dx x x-⎡⎤⎣⎦==∑⎰⎰．记i M ,i m 分别为()f x 在[]1,i i x x -上的上、下确界,得11,()()i i i i i i m f x dx M x x x x --⎡⎤⎣⎦-≤≤⎰, (1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、，从而可知1111()()()()nnii ii i i Ii i m f x d x M x xx x --==-≤≤-∑∑⎰，于是上式两端对一切分划T 各取上下确界立即得到()()bIaf x dx f x dx =⎰⎰，这说明()f x 在[],a b 上的 R 积分与L 积分是相等的.反之L 可积的函数未必 R 可积．例1 2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理点为有理点，在区间[]0,1上不是R 可积的，却是L 可积的．这是因为除了点1x =外,闭区间[]0,1上的其余点都是间断点,即它在一正测度集上间断,所以它不是 R 可积的．但因为()f x 有界可测,所以这个函数是 L 可积的．3.2 从某些极限交换过程来看，L 积分较R 积分优越对R 积分来说，关于积分列求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分号交换顺序，这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强，然而关于L 积分，对函数列的要求就宽得多.定理 2[4](38)P (黎曼积分中的极限交换过程)若函数列{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛,且每一项都连续,则lim ()bn a n f x dx →∞⎰=lim ()bn an f x dx →∞⎰.证 设f 为函数列{()}n f x 在[,]a b 上的极限函数,所以f 在[,]a b 上连续,从而n f ,(1,2,3)n =⋅⋅⋅与f 在[,]a b 上都可积.因为在[,]a b 上()nf f n →→∞→,故对任给正数ε,存在N ,当n N >时,对一切[,]x a b ∈,都有()()n f x f x -ε<.再根据定积分性质,当n N >时,有()()bbn aaf x dx f x dx -⎰⎰=()()bn af x f x dx -⎰()()bn af x f x dx ≤-⎰()b a ε≤-,定理得证.注 3 这个定理意在指出函数列在R 积分意义下必须一致收敛,极限运算与积分运算的顺序才可以交换.在L 积分意义下，函数列的极限运算与积分运算换序要宽的多，体现在以下定理.定理 3[5](138)P (勒维定理)设可测集E 上可测函数列{()}n f x 满足下面的条件120()();f x f x ≤≤≤⋅⋅⋅lim ()().n n f x f x →∞=则()n f x 的积分序列收敛于()f x 的积分;()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰.证 把序列化为级数的情形,令1()()()n n n u x f x f x -=-,0,()0.n N f x ∈= 有()Ef x dm ⎰=11(()())n n En f x f x dm ∞-=-∑⎰=11lim(()())rn n Er n f x f x dm -→∞=-∑⎰=11lim(()())rnn Er n fx f x dm -→∞=-∑⎰=lim()r Er f x dm →∞⎰.在这里利用积分的线性并需要假设一切()r f x 均可积,但当出现了r f 不可积时,可以直接看出,所要证明的等式两边都成为∞.所以定理得证.注 4 在勒维定理中,并未假设()f x 的可积性,但当极限limn En f dm →∞⎰存在为有限时,可以断定f 可积.(因若f 不可积,将有lim n En f dm →∞⎰=∞.)注 5 从勒维定理可以看出,它的条件与定理2对比简单多了. 定理 4[5](139)P (勒贝格控制收敛定理)设可测函数列{()}n f x 满足下述条件: ()n f x 的极限存在, lim n →∞()n f x =()f x ,且有可积函数()g x 使()n f x ≤()g x , 那么, ()f x 可积且有()lim ()n EEn f x dm f x dm →∞=⎰⎰．说明 控制收敛定理是应用非常广泛，它在函数论、微分方程与概率论中是极为重要的工具．控制收敛定理的创立显示出 L 积分理论的极大优越性．与勒维定理相比它不再要求{()}f x 非负可测.证明 构造()g x +()n f x ≥0 由引理 2得()()lim ()()lim ()()n n E En n g x f x dm g x f x dm →∞→∞+≤+⎰⎰，即()()()n g x f x +dm ≤()lim ()n E En g x dm f x dm →∞+⎰⎰， ()lim ()EEn f x dm f x dm →∞≤⎰⎰． （1）另一方面构造()g x -()n f x ≥0，由引理 2得()()lim ()()lim ()()n n E En n g x f x dm g x f x dm →∞→∞-≤-⎰⎰，左边=()Eg x ⎰ - ()Ef x dm ⎰，右边=()Eg x ⎰+lim ()n En f x dm →∞⎰=()E g x ⎰- lim ()n En f x dm →∞⎰，所以()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰，即()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰， （2）由（1）（2）lim ()n En f x dm →∞⎰≤()Ef x dm ⎰≤lim ()n En f x dm →∞⎰，所以()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰．注 6 在控制收敛定理中()g x 可以取常数M ，这是因为mE <+∞时，EMdm <+∞⎰．例2 求[0,2lim()n R →∞⎰分析()n f x =在[0,2]上不一致收敛,故在R 积分中该题无法计算,而在 L 积分中|()n f x ≤≤3,满足勒贝格控制收敛定理,所以此题可在 L-积分中意义下讨论.解 因为()n f x 在[0,2]上连续,故()n f x 在[0,2]上R 可积,从而L 可积且[0,2()R =⎰[0,2()L ⎰|()n f x |≤≤所以 由控制收敛定理[0,2lim n →∞⎰=[]0,2n ⎰,又[0,2lim n →∞⎰1,01,12x x x ≤≤⎧⎨<≤⎩,所以[0,2lim()n R →∞⎰=[0,2lim()n L →∞⎰=121dx xdx +⎰⎰=35122+=． 定理 5 (法杜定理)设()n f x 是可测集E 上的非负可测函数列,则lim ()lim ()nn E En n f x dm f x dm →∞→∞≤⎰⎰.注 7 法杜定理中对函数列所加的条件比较简单,主要是非负列这一条件,这时函数列的极限与积分列的极限都不一定存在,假如两个极限都存在,定理中的下极限自然应改为极限.注 8 定理2到定理5,从多个方面论述了极限的交换过程必须严格按照函数列的性质进行选择.并可以综合得出结论,即 L 积分要比R 积分的条件宽泛,3.3 从积分的条件上看，L 积分较R 积分广泛 L 积分比R 积分优越的第三方面体现在微积分基本定理()()()baf x dx f b f a '=-⎰这一公式上.数学分析中通常在()f x 有连续导数的假定下牛顿-莱布尼茨公式成立,或者将条件减弱些,但总要求()f x '为 R 可积才行,一般情况下,当()f x '存在时未必有牛顿-莱布尼茨公式．然而在 L 积分中对有界函数来说这一困难是不存在的,在()f x 是有限值但无界的情形只要是L 可积的,基本定理仍是成立的．例32,0;()0,0;2,0;x f x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩在[2,2]-上是R 可积的，但函数()f x 不存在原函数．例4函数221212sin cos ,0()0,0x x f x x x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩存在原函数221sin ,0(),0,0x x F x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩但()f x 在[1,1]-上不是Ｒ可积，因为221cos x x在[1,1]-上无界．除了以上情况下面的几个定理也从不同方面论证了在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越.定理 6[6](100101)P - 设()f x 是[,]a b 上勒贝格可积,则其不定积分是绝对连续函数. 定理 7[6](100101)P - 设()f x 是[,]a b 上勒贝格可积,则存在绝对连续函数()F x ,使得()F x '=()f x 几乎处处于[,]a b 有定义(只需[,]()()a x F x f t dt =⎰).定理 8[6](100101)P - ()F x 是[,]a b 上的绝对连续函数,几乎处处有定义的()F x '在[,]a b 上勒贝格可积,且()F x =[,]()()a x F a F t dt '+⎰.即()F x 总是[,]a b 上勒贝格可积函数的不定积分.由定理7可以得到一个重要事实,即在勒贝格积分范围内积分再微分则还原.由定理6和定理8可以看出绝对连续函数的重要性,完全可以标志不定积分,定理8是牛顿-莱布尼茨公式的推广.注 9 由上可见勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越.４ L 积分与R 积分的应用R 积分与L 积分各有自己的优势和价值．在计算连续函数的积分,解决古典问题中质量、重心、面积问题时, R 积分要比L 积分简便, 优越．例5[7](254255)p - (在计算面积问题时R 积分简便)计算由内摆线33cos ,sin x a t y a t ==绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积．解 由曲线关于y轴的对称性及公式（as =⎰），得3204sin S a ππ=⎰＝242012sin cos at tdt ππ⎰＝2125a π． L 积分是积分发展史上的一次革命,它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化,从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透,促进了其它学科的发展,特别是三角级数和函数序列方面．概率论,泛函分析等学科也受到L 积分的积极影响．例6[]10 (级数方面L 积分的应用)求积分10ln(1)x dx x -⎰解 当01x <<时2ln(1)1()2nx x x x x x n -=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅11n n x n -∞==-∑，于是10ln(1)x dx x -⎰1101()n n x dx n-∞==-∑⎰ (1) 此时,上式右边是R 积分,它可以理解为L 积分,由于1n x n-在[0,1]上非负可测,所以11110011()n n n n x x dx dx n n --∞∞--=∑∑⎰⎰ (2) (2)式右边是L 积分,可理解成R 积分,,由R 积分计算有1120111n n n x dx n n-∞∞-==-∑∑⎰故10ln(1)x dx x -⎰22116n n π∞==-=-∑ 注 10 这里(2)式是用L 积分理论证明的,如果用通常R 积分理论,需验证11n n x n-∞=∑在[0,1]上一致收敛,这里是不可能的,因为在1x =处,此级数发散.此外,L 积分作为纯粹数学研究的产物,后来在热学,统计力学,控制论等自然学科得到深刻而重要的应用．参考文献：[1] 刘晓辉,刘文菡.勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J].河北:新余高专报,2006[2] 程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].第二版.北京：高等教育出版， 2003[3] 汪秀荣.从黎曼积分,勒贝格积分看积分理论的发展[J].广西:广西师范学院报,1996[4] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 第三版. 北京：高等教育出版,2004[5] 郑维行.实变函数与泛函分析概要[M].第三版.北京：高等教育出版社， 2005[6] 潘学锋.浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别[J].新疆:自然科学报,2007[7] 张喜堂.实变函数论的典型问题与方法[M].武汉：华中师范大学出版社，2004[8] 夏道衍.实变函数论与泛函分析[M].北京：高等教育出版，1994[9] 周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2007[10] Ssks.Theory of the Integral Warszawa,1933[11] 曹广福.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2000[12] Frank Ayres,Jr.Ph.D.Elliott Mendelson,Ph.D.《CALCULUS》，Higher Education Press,2000。
