三项展开式问题—破解“四法”专题

2024年创新基层组织建设“四心”工作法破解街道社会治理难题随着城市化进程的不断加快，中国社会面临着越来越多的社会治理难题，尤其是在城市街道社区这一基层单位。

传统的治理模式已经不能完全适应新形势下的需求，因此创新基层组织建设成为当务之急。

2024年，一项名为“四心”工作法在一些地区开始尝试实施，旨在提升基层组织的领导力和执行力，从而更好地解决街道社会治理难题。

首先，我们需要了解“四心”工作法的具体内容。

这一工作法是指基层组织应该具备“服务之心、责任之心、创新之心、共建之心”，通过注重服务意识、明确责任分工、鼓励创新思维、强化共建共治机制，实现更高效的社会治理。

在实践中，这些“心”旨在引导基层组织向着更加健康、活跃、有活力的方向发展，提升社区居民的获得感和幸福感。

其中，“服务之心”是基层组织工作的首要任务。

相关部门和相关部门应该意识到自己的宗旨是为民服务，而不是仅仅执政。

通过打造服务型相关部门，提供更加贴心、高效的服务，可以增强居民对相关部门的信任度，增进社区的和谐稳定。

在基层组织建设中，建立起以人民为中心的服务理念是至关重要的一环。

其次，“责任之心”是确保基层组织工作落实到位的重要保障。

领导干部和工作人员要强化责任意识，承担起自己的职责和使命。

只有每个人都能够履行自己的职责，社区的各项事务才能得到妥善处理，社会秩序才能更加良性发展。

责任之心是基层治理的基础，也是基层组织提升治理能力的关键。

第三，“创新之心”是推动基层组织建设不断前行的动力源泉。

面对各种社会问题和挑战，基层组织必须不断创新工作方式和方法，与时俱进，才能更好地适应新形势下的需求。

创新之心需要组织内部注重创新意识和创新能力的培育，也需要相关部门提供更多的支持和资源保障。

只有不断创新，基层组织才能在社会治理中取得更大成就。

最后，“共建之心”是基层组织建设的价值追求。

社区治理不仅需要相关部门的引导和推动，更需要居民的参与和共建。

基层组织应该注重构建起多元参与、协作共治的机制，让每个社区成员都能够发挥自己的作用，共同建设美好的社区。

战胜三项式问题五妙法关于nb a )(+展开式的问题我们称之为二项式问题，那么考试中也经常会遇到关于nc b a )(++展开式的问题，即三项式问题，我们又该如何处理呢？思路一：转化为二项式法一：通过配方【例1】求321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 展开式中的常数项． 解：配方得63121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ， 其通项公式r r r r r r r x C x x C T --+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36661)1(1)(， 令3－r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项为20)1(3364-=-=C T ．法二：通过因式分解【例2】求(x 2＋x ＋1)8展开式中含x 5项的系数．解：∵))((12ωω--=++x x x x ，其中i i 23212321--=+-=ωω，， ∴8882)()()1(ωω--=++x x x x ．利用两个二项式定理相乘可知，展开式中含x 5项的系数为668558778448888338)()()()()()(ωωωωωω--+--+--C C C C C C338888448778558668)()()()()()(ωωωωωω--+--+--+C C C C C Cωωωω38487858686858784838C C C C C C C C C C ------=50426858784838=+-=C C C C C ．法三：将三项中的两项合并为整体，这样三项可并作两项再展开【例1】求321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 展开式中的常数项．解：332121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x 3223)2()2(13)2(131-+-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x ． 显然常数项为20)2()2(233-=-+-⨯⨯．法四：将三项中的两项合并为整体，然后用两次二项式的通项公式【例2】求(x 2＋x ＋1)8展开式中含x 5项的系数．解：∵(x 2＋x ＋1) 8＝[(x 2＋x )＋1] 8，∴其通项公式为r r r x x C T -++=8281)(，而紧接着它的通项又是k r k r r k k r k r r k x C C x x C C T ------+=='21688)8(2881， 其中0≤r ≤8，0≤k ≤8－r ，且r ，k ∈N ．令16－2r －k ＝5，讨论可得⎩⎨⎧==，，53k r 或⎩⎨⎧==，，34k r 或⎩⎨⎧==，，15k r 于是展开式中含x 5项的系数为504135834485538=++C C C C C C ．思路二：转化为若干个三项式的乘积法五：按照多项式展开的规则，利用组合数解决【例1】求321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 展开式中的常数项． 解：∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212121213x x x x x x x x ， 于是展开式中的常数项的产生有两类情况：一类是每个括号中都取常数－2，即(－2)3；一类是一个括号中取⎢x ⎢，还有一个括号中取x1，最后剩下的一个括号中取常数－2，即)2(1213-⨯C C ． ∴展开式中的常数项就是20)2()2(12133-=-⨯+-C C ．【例2】求(x 2＋x ＋1)8展开式中含x 5项的系数．解：∵(x 2＋x ＋1)8＝(x 2＋x ＋1)(x 2＋x ＋1)(x 2＋x ＋1)(x 2＋x ＋1)(x 2＋x ＋1)(x 2＋x ＋1)(x 2＋x ＋1)(x 2＋x ＋1)，于是展开式中含x 5项的产生有三类情况：第一类是两个括号中取x 2，还有一个括号中取x ，最后剩下的五个括号中都取常数1，即51628x C C ；第二类是一个括号中取x 2，还有三个括号中取x ，最后剩下的四个括号中都取常数1，即53718x C C ；第三类是五个括号中取x ，剩下的三个括号中都取常数1，即558x C ．∴展开式中含x 5项的系数就是5045837181628=++C C C C C ．总结：通过两道例题为载体，介绍了有关三项展开式问题的处理办法，总体来说就是两大思路、五种方法，可谓一题多解、玲琅满目，当然这些方法对于不同的三项式优劣程度不同，所以同学们还要“因题选法”．。

目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点. 求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

行测图形推理之四三四四口诀一、四大特性：考生在一拿到题目的时候,要首先判断题目有没有以下4种特性。

特性一：对称性，有两种情况，一是图形本身具有的轴对称性和中心对称性。

二是格子的对称,比如5+1(题干为5个格子，加上答案的1个格子)、4+1（题干为4个格子,加上答案的1个格子).可以从中间划线,两边的格子形成左右对称。

特性二:封闭性，有封闭和开发两种。

特性三:曲直性,有完全由曲线构成的图形和完全由直线构成的图形两种。

特性四：立体性，这个非常简单，就是平面图形和立体图形的区别.二、三大基本题型：题型一：“数量"题型：标志是同种图形数量的变化。

比如题目中有几根线、几个面、几个点、几个角,几种图形（种数)等等。

题型二：“位置"题型：标志是图形形状数量上不变，只是位置变化。

比如，图形在图中上下移动，旋转等。

题型三：“样式"题型：有两种,一是图形形状部分变化(与位置题的区别);二是样式遍历,也叫做样式守恒.三、四个需要注意的问题：这四个问题都是在解题中需要特别注意的,一旦出现其中一种情况，就要非常敏捷地捕捉到。

题型一：内外，内外分开看,用于有内外两层的图形。

题型二:字母，变化有三种，一是字母顺序,二是封闭曲直性，三是笔画数。

题型三：汉字，也有三种变化，一是结构，比如上下、左右、中间等;二是笔画；三是含有同一种部分，比如“旁"、“站”都含有一个“立”字.题型四：阴影,就是出现黑白的情况。

四、四种热点题型：有四种题型比较热门，专门提出来给大家进行介绍，希望大家要重视：题型一：平面移动题,把平面图形的几个组成部分拆开，拼成一些新的图形，判断哪个选项是原来的图形。

题型二：六面骰子题，就是把一个6面的骰子拆开成平面，然后问组合在一起是什么样子，本来一个骰子只有3面可以被人看到,所以考察的是空间组合后三个面的关系.这个题考了很多年，考的可能性很大。

题型三:部分拼图题，就是给考生4个部分，然后问这4个部分拼在以一起是什么图形.题型四：线段组合题,告诉一些线段,然后问这些线段可以拼成什么图形，选项用4幅图表示.和平面拼图的差异是，拼图是按把原图拆分成几个更小的图形,线段组合是把原图拆成线段。