空间中点线面的位置关系复习课件修改版
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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系PPT课件(人教版)
4.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是___直__线__B__C___.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 空间中两直线位置关系的判定
【例1】 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是___平__行___； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是___异__面___； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是__相__交____； ④直线AB与直线B1C的位置关系是___异__面___. 解析 根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填 “相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线 “平行”.所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而 C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直 线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.
或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作
过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有
无数条；而④，也有可能相交，所以错误.
思维升华
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线 与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免忽 视遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某 些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.
题型三 平面与平面的位置关系
【例3】 以下四个命题中，正确的命题有( A )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那 么这两个平面平行；
空间点直线平面之间的位置关系复习课PPT课件
空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
那么这两个角相等或互补．
异面直线的求法: 一作(找)二证三求
第26页/共34页
新课讲解 2.直线和平面的三种位置关系的画法
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
a a A a //
直线与平面平行或相交于一点统称 为直线在平面外！
记为 a
异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
第24页/共34页
b
第25页/共34页
上节回顾：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 一一一那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
返回
第12页/共34页
复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
o
b
相交直线 （有一个公共点）
文字语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β
图形语言
·P α
l
P
l
如果平面α和平面β有一条公共直线L ，则平面α和平面β相交 于L ，记作α∩β＝L
符号语言 P，P l,且Pl
作用：①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线第11上页/共．34页
那么这两个角相等或互补．
异面直线的求法: 一作(找)二证三求
第26页/共34页
新课讲解 2.直线和平面的三种位置关系的画法
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
a a A a //
直线与平面平行或相交于一点统称 为直线在平面外！
记为 a
异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
第24页/共34页
b
第25页/共34页
上节回顾：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 一一一那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
返回
第12页/共34页
复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
o
b
相交直线 （有一个公共点）
文字语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β
图形语言
·P α
l
P
l
如果平面α和平面β有一条公共直线L ，则平面α和平面β相交 于L ，记作α∩β＝L
符号语言 P，P l,且Pl
作用：①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线第11上页/共．34页
空间点、直线、平面之间的位置关系复习PPT优秀课件
异面直线a、b所成角θ的范围： π/2]
θ∈(0，
判断要准，决不能掉入陷阱
基础自测
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分 别是AB、AD、B1C1的中点.那么，正方体
的过P、Q、R的截面图形是( D )
A.三角形 C.五边形
B.四边形 D.六边形
变形要稳，决不能忙中出错
2.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，
变形要稳，决不能忙中出错
变式演练
3.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角
的余弦值为( D )
A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5
答案要全，决不能丢三落四
方法规律：
1.由公理2及公理2的推论结合公理1，可证明点线共面 问题，如例1及变式将立体几何问题转化为平面几何问 题.
F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线
OE和FD1所成角的余弦值等于( B )
A . 10 B . 15 C .4 D .2
5
5
53
思维导图：求异面直线所成的角：① 平移法：作辅助线找出异面直线所成 角，证明，利用余弦定理计算；②向 量法：建立直角坐标系，写出相关点 的坐标或直接用向量表示，求出夹角 的余弦值。注意异面直线所成角的范 围。
思维导图：共面问题→由a、l确定 平面α→证明b、c在平面α内。
证明：∵a∩l=A，∴直线a、l确定一个平面α；又a//b，则a、b 也确定一个平面β ，而平面α内与平面β都过直线a与直线a外一 点B，因此平面α与平面β为同一平面，因此bα，同理 cα， 因此直线a、b、c、l在同一平面内.
会做的一定要做对，该拿的分一定拿
2.利用公理3可证明点共线，线共点等问题.
空间中点线面的位置关系复习课件讲解
思维启迪
解析
探究提高
∵AC∩BD＝M，∴M∈平面
BDC1且M∈平面A1C，
∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M， ∴O∈C1M，即C1，O，M三点 共线．
题型分类·深度剖析
变式训练1 如图所示, 正方体ABCD— A1B1C1D1中，E、F分 别是AB和AA1的中 点．求证：
证明 (1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1.
1．公理的作用 公理1的作用是判断直 线是否在某个平面内； 公理2及其推论给出了 确定一个平面或判断 “直线共面”的方法；公 理3的作用是如何寻找 两相交平面的交线以及 证明“线共点”的理论依 据；平行公理是对初中 平行线的传递性在空间 中的推广．
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2．直线与直线的位置关系
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由 P∈CE，CE 平面 ABCD，得 P∈平面
(1)E、C、D1、F四点 共面； (2)CE、D1F、DA三线 共点．
ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．
边BC、CD的中点． ∴BC与AD是异面直线．
(1)求证：BC与AD是 (2)如图，连接AC，BD，
异面直线；
则EF∥AC，HG∥AC，
(2)求证：EG与FH相 因此EF∥HG；同理EH∥FG，
交．
则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是▱EFGH的对角线，
∴EG与FH相交． 动 画 展 示
空间点线面位置关系(复习)-PPT
• 2. 理解线面位置关系的含义， 能解决简单的证明推理问题 。 • 3. 培养空间想象能力、 逻辑思维能力。
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
Bl A
l
B
表示 基本性质
(√ )
一记
外一点有(
)条直线与已知直线平行.
外一点有(
)个平面与已知直线垂直.
外一点有(
)个平面与已知平面平行.
外一点有(
)条直线与已知平面垂直.
且只有一 且只有一 且只有一 且只有一
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
Bl A
l
B
表示 基本性质
(√ )
一记
外一点有(
)条直线与已知直线平行.
外一点有(
)个平面与已知直线垂直.
外一点有(
)个平面与已知平面平行.
外一点有(
)条直线与已知平面垂直.
且只有一 且只有一 且只有一 且只有一
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
8-2空间点直线平面之间的位置关系课件共104张PPT
过该点的公共直线
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
空间中点线面的位置关系复习课件修改版
方 法 与 技 巧
2．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和 平面内不经过该点 B 的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不 能共面，从而可得两线异面．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
思想方法·感悟提高
方 法 与 技 巧
【例 2】
11.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面 )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 C ．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面
易 错 分 析
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移 动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间 等角定理及推论可知， 异面直线所成角的大小与顶点位 置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或 中点)利用三角形求解．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
思想方法·感悟提高
失 误 与 防 范
1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常 见几何模型．
题型三 异面直线所成的角
思维启迪 解析
【1】 正方体 ABCD — A 1B 1C1D1 中，
探究提高
(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D
(1)求 AC 与 A 1D 所成角的大小； 所成的角，再计算．(2)可证A1C1 (2)若 E 、F 分别为 AB 、AD 的 与EF垂直． 中点，求 A 1C1 与 EF 所成角的 大小．
易 错 分 析
解 析
答 案
空间点线面位置关系(复习)ppt课件
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平 面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”， “有且只有”有时也说成“确定”．
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
B)
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重
合;
②两条直线可以确定一个平面; ③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内; ④若M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则M∈l. A.1 B.2 C.3 D.4
5．(2014· 广东高考)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满 足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是 A．l1⊥l4 B．l1∥l4 ( )
A,B,C三点不共线 ⇒有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
公理3
如果不重合的两 个平面有一个公 共点,那么它们 有且只有：
P ⇒ P
α∩β=l, 且P∈l
一条过这个点的公 共直线
• 2空间两条直线的位置关系:
①位置关系分类:
相交 平行 任何一个平面 ②基本性质4和等角定理:
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题________( ②④ 写出所有真命题的序号)．
空间点、直线、平面之间的位置关系PPT课件(人教版)
1234
2.若直线l∥平面α，直线a⊂α，则
A.l∥a
B.l与a异面
C.l与a相交
√D.l与a没有公共点
解析 若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l∥a或l与a异面， 故l与a没有公共点，故选D.
1234
3.(多选)两平面α，β平行，a⊂α，则下列四个命题正确的是 A.a与β内的所有直线平行
√B.a与β内无数条直线平行
9.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l， B∉l，C∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？ 证明你的结论.
解 平面ABC与平面β的交线与l相交. 证明如下： ∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线. 设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β， ∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点， 而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
8.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判 断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论. 解 a∥b，a∥β.证明如下： 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ， 由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ， ∵α∥β，a⊂α，b⊂β， ∴a，b无公共点. 又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点. 又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
解析 与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条； 与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个.
1234
综合运用
1.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是
√A.相交
C.直线在平面内
B.平行 D.平行或直线在平面内
空间点、线、面的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
2.多面体中找截面的几种方法 (1)直接法:有两点在多面体的同一个面上,连接这两点即为多面体与截面的交线,找截 面实际就是找交线的过程. (2)延长线法:若直线相交,但在多面体中未体现,可以通过作延长线的方法找到交点,然 后借助交点找到交线. (3)平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可 以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线. (4)空间向量法:建立空间直角坐标系,利用线面平行与垂直,通过计算,确定截面与多面 体各棱的交点,连接各交点即得截面多边形.
∴BM= 7 >2=EN,
即BM≠EN. 又∵点M、N、B、E均在平面BED内, ∴BM,EN在平面BED内,又BM与EN不平行,∴BM,EN是相交直线,故选B.
答案 B
即练即清
1.(多选)下列选项正确的是 ( AD ) A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B.过空间中任意三点有且仅有一个平面 C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行 D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l
=
6 a.
2
在△C1BP中,cos∠PBC1= BP2 BC12 C1P2 = 3 ,(解三角形,利用余弦定理的推论求解)
∴∠PBC1=
6
,即直线PB与AD21B所P成 B的C1 角为
2
.
6
故选D.
解法二 以点D为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(1,1,2),D1(0,0,2),从而 PB=(1,1,
A.
B.
C.
D.
2
3
4
6
解析 解法一 如图所示,连接BC1,C1P,
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中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 易知 A1D∥B1C，从而 B1C 与 AC 所
大小．
成的角就是 AC 与 A1D 所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60°.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
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题型三
异面直线所成的角
【例 1】 正方体 ABCD—
要点梳理
难点正本 疑点清源
2．直线与直线的位置关系
异面直线不能错 误地理解为不
(1)位置关系的分类
在某一个平面 内的两条直线
共面直线
平行 相交
异面直线：不同在 任何 一个平面内
就是异面直 线．
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过 空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b， 把 a′与 b′所成的锐角(或直角) 叫作 异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.
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题型三
异面直线所成的角
【例 1】 正方体 ABCD—
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
求异面直线所成的角常采用“平移
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； 线段法”，平移的方法一般有三种类
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②范围：0，π2. 3．直线与平面的位置关系有 平行、
相交 、 在平面内 三种情况． 4．平面与平面的位置关系有 平行 、
相交 两种情况． 5．平行公理
平行于同一条直线 的两条直线互相 平行．
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大小．
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题型三
异面直线所成的角
【例 1】 正方体 ABCD—
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
解 (1)如图所示，连
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； 接 B1C，由 ABCD—
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 A1B1C1D1 是正方体，
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易错警示
11.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
【例 2】 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面
D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
(2) 如 图 所 示 ， 连 接
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； AC、BD，在正方体
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 大小．
ABCD—A1B1C1D1 中 ， AC⊥BD ，
AC∥A1C1， ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点，
则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于
( C)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析 如图，可补成一个正方体，
∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°. 即 BA1 与 AC1 成 60°的角．
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异面直线所成的角
【1】 正方体 ABCD—
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； 所成的角，再计算．(2)可证A1C1
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 与EF垂直．
中点，求 A1C1 与 EF 所成角的
1．公理的作用 公理 1 的作用是判断直 线是否在某个平面内； 公理 2 及其推论给出了 确定一个平面或判断 “直线共面”的方法；公理 3 的作用是如何寻找两 相交平面的交线以及证 明“线共点”的理论依据； 平行公理是对初中平行 线的传递性在空间中的 推广．
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D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面
易错分析
解析
答案
温馨提醒
由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、 线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种 位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．
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6．定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角 相等或互补 .
2．正确理解异面直线的 定义：异面直线不同 在任何一个平面内， 没有公共点．不能错 误地理解为不在某一 个平面内的两条直线 就是异面直线．
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易错警示
11.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
【例 2】 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 型：利用图中已有的平行线平移；
中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 利用特殊点(线段的端点或中点)作
大小．
平行线平移；补形平移．计算异面
直线所成的角通常放在三角形中
进行.
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变式训练 1 直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，
数学 北(理)
§8.3 空间点、直线、平面 之间的位置关系
第八章 立体几何
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1．平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一 个平面内，那么这条直线上所有的点都 在这个平面内． 公理 2：经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面．(即可以确定一个平 面) 公理 3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有 一条 通过 这个点的公共直线．