高考调研 · 考调研 · 新课标高考总复习
题型三 直线与抛物线的位置关系
1
例3 A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB.
2
求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
3
求证:直线AB恒过定点;
4
求弦AB中点P的轨迹方程;
5
求△AOB面积的最小值.
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【答案】 2
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【解析】 如图点A在抛物线y2=4x的内部, 由抛物线的定义可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|, 其中|MH|为M到抛物线的准线的距离. 过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B, 则|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4, 当且仅当点M在M1的位置时等号成立. 此时M1点的坐标为(1,2). 探究1 (1)“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径.
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题型二 抛物线的标准方程 例2 (1)求下列各抛物线的方程: 顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,且经过点M(-2,-4); 顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点Q(m,-3)到焦点的距离等于5. 【解析】 1)设抛物线方程为y2=mx或x2=ny(m≠0,n≠0), 则(-4)2=m(-2)或(-2)2=n(-4)⇒m=-8或n=-1,∴所求抛物线 的方程为y2=-8x或x2=-y.
探究3 1.解决直线与抛物线问题时,要注意以下几点:
因为(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,故满足y=2px1,y=2px2;