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新课标理科数学第八章第八节曲线与方程

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2019高三数学人教A版理一轮课件：第8章 第8节 曲线与

2019高三数学人教A版理一轮课件：第8章 第8节 曲线与


A．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝2(x≠± 2)
(1)D (2)D [(1)如图， 设 P(x， y)， 圆心为 M(1,0)． 连接 MA， PM， 则 MA⊥PA， 且|MA|＝1，
(对应学生用书第 144 页)
直接法求轨迹方程
→ → → → 设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF， 当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程. 【导学号：97190301】
[解] 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， → → → → ∵PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)· (1，－y0)＝0，∴x0＋y2 0＝0. → → 由MN＝2MP得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
[解析] 对于(2)，由方程得 x(x＋y－1)＝0，即 x＝0 或 x＋y－1＝0，所以方 程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于 (4)，曲线 y＝ x是曲线 x＝y2 的一部分，错误．
[答案](1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知点
1 F4，0 ，直线
x－x0＝－2x0， ∴ y＝2y0，
x0＝－x， 即 1 y0＝ y， 2
y2 ∴－x＋ ＝0，即 y2＝4x. 4 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.
[规律方法]
用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数
方程，但要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化 简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.
[跟踪训练]
(1)设点 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点， PA 是圆的切线， 且|PA| ) B．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2
曲线与方程 课件(人教版)

曲线与方程 课件(人教版)


即xy11＝＝22yx.，
又因为 x12＋(y1－3)2＝9， 所以 4x2＋4(y－32)2＝9， 即 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)． [一点通] 求曲线的方程的常用方法及特点
动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关 直接法 系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式
就得到曲线的轨迹方程 动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再 定义法 确定其中的基本量
所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
法二：(定义法) 如图所示，因为 Q 是 OP 的中 点，所以∠OQC＝90°，则 Q 在以 OC 为直径的圆上，故 Q 点的轨迹方
程为 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)． 法三：(代入法) 设 P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得x＝x21， y＝y21，
则点M(2,1)
()
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：将M点的坐标代入直线l、曲线C的方程验证可知
点M在直线l上，也在曲线C上．
答案：B
4．如果曲线 ax2＋by2＝4 过 A(0，－2)，B(12， 3)，则 a＝ ________，b＝________. 解析：曲线过 A(0，－2)，B(12， 3)两点， ∴A(0，－2)，B(12， 3)的坐标就是方程的解．
[例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关 系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间 的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝ 0之间的关系． [思路点拨] 按照曲线的方程与方程的曲线的定义进 行分析．
8.8 曲线与方程(精品课件)

8.8 曲线与方程(精品课件)


3.方程y 9 x2 表示的曲线是( )
(A)抛物线的一部分
(B)双曲线的一部分
(C)圆
(D)半圆
【解析】选D.因为 y 9 x2 , ∴y≥0, ∴x2+y2=9(y≥0)表示一个半圆.
4．(2012·河源质检)已知点 F(14，0)，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点．若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线 交于点 M，则点 M 的轨迹是( )
解法 2：因为点 M 在线段 PF1 的垂直平分线上，所以|MF1| ＝|MP|，即 M 到 F1 的距离等于 M 到 l1 的距离．
此轨迹是以 F1(－1,0)为焦点 l1：x＝1 为准线的抛物线，轨迹 方程为 y2＝－4x.
[点评] 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合 某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程， 若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线 的定义列出等式，化简求得方程．
用直接法求轨迹方程 【例2】已知点M，N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足PM PN 6， 求点P的轨迹方程. 【解析】以点M，N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点， 建立平面直角坐标系，则M(-3,0)，N(3,0),设P(x,y)， 则 PM =(-3-x,-y),PN =(3-x,-y),PM PN=(-3-x,-y)·(3-x,y)， 又因为PM PN=6, 所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6， 化简整理得：x2+y2=15.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
3.圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到__一__个_定__点__的距离与它到_一__条__定__直_线___的距离
高中数学新课标人教A版选修2：曲线与方程 课件

高中数学新课标人教A版选修2：曲线与方程 课件


3．已知△ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD| ＝3，则顶点 A 的轨迹方程为___________________． 解析：设 A(x，y)，由题意可知 Dx2，2y. ∵|CD|＝3，∴x2－52＋2y2＝9， 即(x－10)2＋y2＝36， 由于 A，B，C 三点不共线， ∴点 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0， ∴点 A 的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)． 答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
圆，故选 A．
答案：A
2．已知 A(－2,0)，B(1,0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是________．
解析：由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设 P(x，y)，则 x＋22＋y2
＝2 x－12＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．
第八节 曲线与方程
[备考领航]
课程标准解读
关联考点
核心素养
1.了解方程的曲线与曲线的方 程的对应关系．
2.了解解析几何的基本思想和 利用坐标法研究几何问题的 基本方法．
3.能够根据所给条件选择适当 的方法求曲线的轨迹方程
1.直接法求轨 迹方程．
2.定义法求轨 迹方程．
3.代入法求轨 迹方程
1.数学运算． 2.数学抽象
[提醒] (1)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P0(x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)＝0；
(2)“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的 点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件．
[逐点清]
1．(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若
第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版课件

第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版课件


[练一练]
(2013·中山模拟)平面上有三个点
A(－2，y)，B0，2y，C(x，y)，若
uuur AB
uuur ⊥ BC ，则动点 C 的轨迹方程为________．
uuur 解析：AB
＝2，－2y，uBuCur
＝x，2y，由
uuur AB
⊥
uuur BC
，得
(2)过点 D(0，－2)作直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，设 N 是过
点0，－147且平行于
x
轴的直线上一动点，满足
uuur ON
uuur uuur ＝OA＋OB
(O 为
原点)，问是否存在这样的直线 l，使得四边形 OANB 为矩形，若存在，
求出直线 l 的方程；若不存在说明理由．
若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝2 3. 若 l 的倾斜角不为 90°，由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则||QQMP||＝rR1，可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：
y＝k(x＋4)．由 l 与圆 M 相切得
1|3＋k|k2＝1，解得
设 N(x0，y0)，由ON ＝OA＋OB得 y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)－4 ＝11＋6k42k2－4＝－147，即 N 点在直线 y＝－147上，
故存在四边形 OANB 为矩形，直线 l 的方程为 y＝±2x－2.
[类题通法] 代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征 是：点 P 的运动与点 Q 的运动相关，且点 Q 的运动有规律(有方程)， 只需将 P 的坐标转移到 Q 的方程中，整理即可得 P 的轨迹方程．
[针对训练]
已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A，
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第8节 曲线与方程课件 理 新人教版

高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第8节 曲线与方程课件 理 新人教版

意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x，y)＝0 ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y) F1x，y＝0， 方程组 ＝0，则C1，C2的交点坐标即为________F__2_x_，__y_＝___0__的 实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点．
[谨记通法] 1．直接法求轨迹方程的2种常见类型 类型1：题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入 即可得出方程． 类型2：题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利 用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽 视，如“题组练透”第3题易漏λ≠0，x≠±1. 2．讨论曲线类型参数分段的2个标准 (1)二次项系数为0的值； (2)二次项系数相等的值．
1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念， 前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 (包括范围)．
2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性 与纯粹性”的影响．
[小题纠偏]
1．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且
以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_______．
考点二 定义法求轨迹方程 常考常新型考点——多角探明
[典例引领] 已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2 ＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右 半轴的交点为A. (1)求轨迹T的方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不 在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点， 并求出该定点的坐标．
高考数学总复习 88曲线与方程课件 理 新人教A版

高考数学总复习 88曲线与方程课件 理 新人教A版


(2)根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一 环. 应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几 何等式，再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何 等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求 得的方程是最简单的形式．
2．在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏解的 错误，为此解题时应注意以下三点：①注意动点应满足的某 些隐含条件；②注意方程变形是否同解；③注意图形可能的 不同位置或字母系数取不同值时的讨论．
(4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与 这条直线 平行 的两条直线．
(5)平面内到两定点 F1，F2 距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹是以两定点 为焦点， 2a 为长轴长的椭圆．
(6) 平 面 内 到 两 定 点 F1 ， F2 距 离 差 的 绝 对 值 为 定 值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，实轴长为 2a 的双曲线．
设 P 点坐标为(x0，y0)，则有：||3x0－＋x10||＝||3x0－－x10||，
解得：x0＝53，又因
x20＋3y20＝4，解得
y0＝±
33 9.
故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时 P 点
坐标为(53，
933)或(53，－
33 9 ).
综合应用 [例 5] 已知点 C 为圆(x＋1)2＋y2＝8 的圆心，点 A(1,0)， P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且M→Q·A→P＝0，A→P ＝2A→M.
代入ax22＋by22＝1 中得，2x＋a2 c2＋2by22＝1，
即x＋a22c2＋by22＝1，它是一个椭圆． 44
答案：B
【数学课件】曲线与方程

【数学课件】曲线与方程

上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
直线l与椭圆 x 2 + y 2 = 1相交于不同两点
42
A、B，在线段AB上取点Q，使|PA|·|QB|
＝|QA|·|PB|，求证：点Q总在某定直线
上.
y
QA P
B
O
x
例6 设点F为椭圆C：x 2 + y 2 = 1 43
的右焦点，点N(4，0)，线段AB为椭圆的 一条垂直于x轴的动弦，直线AF与BN交于 点M. （1）求证：点M恒在椭圆C上； （2）求△AMN面积的最大值.
例4 如图，已知点A（－3，0），
B（3，0），点C、D为圆x2＋y2＝25上两
相异动点，且满足CB⊥CD.若点P在线段
CD上，且∠PAD＝∠PBC，求点P的轨迹方
程.
y
【解题要点】
C
建坐标系，设动点 D P
坐标→选择方法求 轨迹方程→确定x，
AO B
x
y的取值范围.
考点2 轨迹思想的应用 例5 (08·安徽卷)过点P(4，1)的动
9.4 曲线与方程
知识梳理
t
p
பைடு நூலகம்


1 2

5730
1.方程的曲线与曲线的方程：
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x， y)＝0的解；
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标 的点都在曲线C上.
新课标理科数学第八章第八节曲线与方程

新课标理科数学第八章第八节曲线与方程


能
图形等几何特征，后者仅是指代数方程．
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新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自
考
主 落
1．(人教A版教材习题改编)方程(2x＋3y－1)( x－3 －
体 验
实 ·
1)＝0表示的曲线是(
)
· 明
固 基
A．两条直线
B．两条射线
考 情
础
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
【解析】 由(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0，得
自
【解】 如图所示，以AB，OD
高 考
主 落
所在直线分别为x轴、y轴，O为原
实 点，建立平面直角坐标系．
体 验 ·
·
固
∵动点P在曲线C上运动且保持
明 考
基 础
|PA|＋|PB|的值不变．且点Q在曲线C
情
上，
∴|PA|＋|PB|＝|QA|＋|QB|＝
2 22＋12＝2 5，
典
例
且|PA|＋|PB|＞|AB|＝4，
明 考
基 础
以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x、y，其方程 情
不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．
因为S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
典 例 探
≤12|PF1||PF2|≤12a2.
课 后
究
· 提 知
∴△F1PF2的面积不大于12a2，③正确．
作 业
能
【答案】 ②③
· 明
固
基 个方程是该曲线的方程吗？
考 情
础
【提示】 不一定是．因为只满足“曲线C上点的坐标
都是方程F(x，y)＝0的解”说明这条曲线可能只是方程所表
高考数学 第八章第八节曲线与方程课件 理 新人教A版

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m)x2＋y2＝m2－1表示的曲线是
()
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：原方程可化为m2y－2 1－mx＋2 1＝1， ∵m>1，∴m2－1>0，m＋1>0. ∴表示焦点在y轴上的双曲线．
答案： D
2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，若动点P满足 PA·PB＝2，则动点P的
[自主解答] (1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)． 所以 MA＝(－x，－1－y)， MB＝(0，－3－y)， AB ＝(x，－2)． 再由题意可知( MA＋ MB)·AB＝0， 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0 所以曲线C的方程为y＝14x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝14x2－2上一点， 因为y ′＝12x，所以l的斜率为12x0. 因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)， 即x0x－2y＋2y0－x20＝0.
解：(1)设N(x，y)，P(0，b)， ∵ PM ＋ PN ＝0，∴M(－x,2b－y)． ∵M在x轴上，∴2b－y＝0，∴y＝2b. ① 又∵ PF ·PM ＝0，∴PF⊥PM. ∴y－x b·－ba＝－1.∴x＝ba2. ② 由①②可得y2＝4ax(也可用作直线l′：x＝－a，运用抛 物线的定义得出)．
()
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点 (2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案： D
4．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多 一个单位长度，则动点P的轨迹方程为________．
人教课标版《曲线与方程》PPT精品课件1

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建系 设点 列式
B M A
化简
证明
例2:长为2a(a是正常数)的线段AB的两端点A,B分别在 互相垂直的两条直线上滑动,求线段AB中点M的轨迹.
建系 设点 列式
分别以两条互相垂直的直线为坐标 轴，建立如图所示直角坐标系，
y B
M
O
Ax
化简
证明
例2:长为2a(a是正常数)的线段AB的两端点A,B分别在 互相垂直的两条直线上滑动,求线段AB中点M的轨迹.
例2:长为2a(a是正常数)的线段AB的两端点A,B分别在 互相垂直的两条直线上滑动,求线段AB中点M的轨迹.
解法二：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴， 建立如图所示直角坐标系，
设M的坐标为(x，y)，A(m，0)，B(0，n).
由M是AB的中点得：
y B
M
x
m 2
0
y
0
2
n
m 2x
n
建系 设点 列式 化简 证明
分别以两条互相垂直的直线为坐标 轴，建立如图所示直角坐标系，
设M的坐标为（x，y）.
y B
M
因为△AOB是直角三角形，M为斜 O
Ax
边AB的中点，则： 1
OM＝ AB＝a
2
即
x2 y2 a 有无其它解法？
化简得： x2 y2 a2
所以，动点M的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆.
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【把握高考】高三数学最新专题课件 第八章 8.8曲线与方程及圆锥曲线的综合应用人教版选修

第九章 立体几何初步
第九章 立体几何初步
1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与 一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)_曲__线__上__点__的__坐__标__都__是__这__个__方__程__的__解__； (2)_以__这__个__方__程__的__解__为__坐__标__的__点__都__是__曲__线__上__的__点__， 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲 线．
第九章 立体几何初步
解：方法一：设 P(x，y)， 则P→A＝(－1－x，－y)，P→B＝(1－x,4－y)， 故由P→A·P→B＝4⇒(－x－1)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4， 即 x2＋(y－2)2＝32. 所以 P 的轨迹是以 C(0,2)为圆心，以 3 为半径的圆．
因为点Q是点P关于直线y＝2(x－4)的对称点， 所以动点Q的轨迹是一个以C0(x0，y0)为圆心，半径为 3的圆， 其中C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线y＝2(x－4)的对称 点， 即直线y＝2(x－4)与CC0垂直，且过CC0的中点，
答案：A
第九章 立体几何初步
3．已知A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点 作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是
()
A．y2－4x82 ＝1(y≤－1)
B．y2－4x82 ＝1
C．y2－4x82 ＝－1 解析：由椭圆的定义：
D．x2－4y82 ＝－1
|AC|＋|AF|＝2a＝|BC|＋|BF|.
【案例1】 若曲线l上的点的坐标满足f(x，y)＝0，
则下列说法正确的是
()
A．曲线l的方程是f(x，y)＝0
B．方程f(x，y)＝0的曲线是l
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直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆
D．抛物线
【解析】 由已知：|MF|＝|MB|，根据抛 物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的 抛物线．
【答案】 D
【解析】 设动点M(x，y)是曲线C上任意一点． 依题意，曲线C的方程为
（x＋1）2＋y2 · （x－1）2＋y2 ＝a2.∵a＞1，故原点坐 标不满足曲线C的方程，故①错误．
如图8－8－3，ADB为半圆，AB为半圆直径， O为半圆圆心，且DO⊥AB，Q为线段OD的 中点，已知|AB|＝4，曲线C过Q点，动点P 在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不 变．
建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方 程．
【解】 如图所示，以AB，OD 所在直线分别为x轴、y轴，O为原 点，建立平面直角坐标系．
【提示】 不一定是．因为只满足“曲线C 上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”说明 这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部 分，而非整个方程的曲线．
2．动点的轨迹与轨迹方程含义相同吗？
【提示】 不同．前者为图形包括轨迹的 形状、方程、图形等几何特征，后者仅是
1．(人教A版教材习题改编)方程(2x＋3y－1)( x－3 －
离的最小值．
如图8－8－2，圆O：x2＋ y2＝16，A(－2，0)，B(2， 0)为两个定点．直线l是圆 O的一条动切线，若经过A、 B两点的抛物线以直线l为 准线，求抛物线焦点的轨
【思迹路方点程拨】． 设抛物线的焦点为F，由抛物线定义和圆
的切线性质，可得|AF|＋|BF|＝8，从而点F的轨迹是椭圆
得(x，y)＝(m， 3 m)＋(n，－ 3 n)＝(m＋n， 3 m－
3n)．
1．解答本题(2)时，根据
x＝m＋n
y＝ 3m－
3n 利用第(1)问的
结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键．
2．如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直
线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成
含x，y的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹方
第八节 曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲 线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实 数解建立了如下关系这：个方程的解
(1)曲线上点的坐标都是______曲__线__上__的__点_． (2)以这个方程的解为坐标的点方都程是的曲线
____________．那么这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做____________．
∵动点P在曲线C上运动且保持 |PA|＋|PB|的值不变．且点Q在曲线C 2 5，
且|PA|＋|PB|＞|AB|＝4，
(2012·辽宁高考)如图8－8－4，动圆C1：x2＋y2＝t2，
移动，且O→A·O→B＝－12，O为坐标原点， 动点P满足O→P＝O→A＋O→B.
(1)求mn的值； (2)求动点P的轨迹方程，并说明它表 示什么曲线？
【尝试解答】 (1)由O→A·O→B＝(m， 3m)·(n，－ 3n) ＝－2mn.
得－2mn＝－12，∴mn＝14. (2)设P(x，y)(x＞0)，由O→P＝O→A＋O→B，
，又当点F与点A、B在一条直线上时，不合题意，故应除
去两点．
1．解答本题时，易忽视点(－4，0)和(4， 0)不合要求，致使答案错误．
2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间 的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物 线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹 类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的 方法叫做定义法，其关键是准确应用解析 几何中有关曲线的定义．
P→M·P→N＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】 ∵P→M·P→N＝0，∴PM⊥PN， ∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
【答案】 A
3．(2013·余姚模拟)已知点F(
1 4
，0)，直线l：x＝－
1 4
，
点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝
{M|p(M)}．
f(x，y)＝0
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程
_______________，并化简．
(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都 在曲线上．
以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x、y，其方程 不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．
因为S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
≤12|PF1||PF2|≤12a2.
∴△F1PF2的面积不大于12a2，③正确．
【答案】 ②③
如图8－8－1所示，A(m， 3 m)和
B(n，－ 3 n)两点分别在射线OS，OT上
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为 F2(x，y)＝0，则C1、C2的交点坐标即为__方__程__组____
F1（x，y）＝0 ___F_2_（__x_，__y） ___＝__0__的实数解． 若此方程组__无___解___，则两曲线无交点．
1．在“方程的曲线与曲线的方程”的定义 中，若只满足“曲线C上点的坐标都是方程 F(x，y)＝0的解”，那么这个方程是该曲线 的方程吗？
1)＝0表示的曲线是( A．两条直线 C．两条线段
) B．两条射线 D．一条直线和一条射线
【解析】 由(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0，得
2x＋3y－1＝0或 x－3＝1，
∴2x＋3y－1＝0或x＝4(x≥3)表示一条直线和一条射 线．
【答案】 D
2．若M、N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足
程的方法称为直接法．
3．求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增
解，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
(2013·梅州质检)在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足 M→B ∥ O→A ，
M→A·A→B＝M→B·B→A，M点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距