余弦定理的六种证法

余弦定理的10种证明方法一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1CAB图2-1DCAB点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2DBACβα图3DBAC即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+-- 由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.xy图4BA(O)C即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C e 交于点,D E ,延长AB 交C e 于F ,延长AC 交C e 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.bcosA absinAc-bcosAac-bcosAbsinA图7-2图7-1DE DABCC B余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.b ac2bcosA-cb-a bb图5GDE FCAB c b aa 图6F EDCBA。

余弦定理的八种证明方法研究背景：2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。

目的意义：用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。

内容摘要：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。

成果展示：一余弦定理的内容对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质a²= b²+ c²- 2·b·c·cosAb²= a²+ c²- 2·a·c·cosBc²= a²+ b²- 2·a·b·cosC二证明方法方法一：平面几何法∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c²=a·a+2a·b+b·b ∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ再拆开，得c^2=a²+b²-2*a*b*cosC方法二：勾股法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC²=AD²+DC²b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=(sinB*c)²+a²-2ac*cosB+(cosB)²*c²b²=(sinB²+cosB²)*c²-2ac*cosB+a²b²=c²+a²-2ac*cosB方法三：解析法在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）∵BC=abc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=2(S△ACQ+S△PBC)=c², 同理，ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²,ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b².联立三个方程，bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=c²（1）ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²（2）ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b²（3）易得余弦定理方法八：物理法设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框，其电流长度为I。

证明余弦定理的方法余弦定理是三角学中的一个重要定理，用于求解三角形的边长或角度。

它可以通过几何方法或代数方法来证明。

下面将以几何方法为例，详细介绍如何证明余弦定理。

假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a、b、c，而角A、B、C的对边分别为a、b、c。

要证明余弦定理，我们需要根据几何性质来推导。

首先，我们可以在三角形ABC内部构造一个高（垂直于底边BC），并以h表示这个高的长度。

然后，我们将底边BC延长到一点M，使得AM与对边a垂直相交。

这样，我们可以得到两个小三角形：MBC和AMC。

根据勾股定理，我们可以得到以下两个等式：1. BM²= BC²- CM²（1）2. AM²= AC²- CM²（2）接下来，我们要考虑如何将h表示为a、b、c的函数。

我们发现，三角形ABC 的面积可以用三条边以及高h来表示，即S = (1/2)×a×h = (1/2)×b×h = (1/2)×c×h。

由此可得到以下等式：3. a×h = 2S（3）4. b×h = 2S（4）5. c×h = 2S（5）现在，我们可以通过将等式（3）、（4）和（5）代入等式（1）和（2）中，来推导出余弦定理。

将（3）代入（1）得到BM²= BC²- (2S/a)²，即BM²= BC²- (4S²/a²)。

同样地，将（4）代入（2）得到AM²= AC²- (4S²/b²)。

接下来，我们要观察AMC，通过它我们可以使用余弦公式来推导余弦定理。

根据余弦公式，我们有cos(∠AMC) = (AC²+ AM²- CM²) / (2×AC×AM)。

余弦定理的八种证明方法1. 平面解析几何证明：设平面内三角形ABC，其中$\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{a}$，$\\overrightarrow{BC}=\\mathbf{b}$，$\\overrightarrow{CA}=\\mathbf{c}$，则有以下关系：$$\\begin{cases}\\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\cd ot (\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\\\ \\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\cdot (\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\\\\\|\\mathbf{c}\\|^2=\\mathbf{c}\\cdot \\mathbf{c}\\end{cases}$$将这三个式子展开并简化运算，再利用向量的数量积展开，得到余弦定理的表达式。

2. 向量证明：设向量$\\mathbf{a}$和$\\mathbf{b}$的夹角为$\\theta$，则有向量$\\mathbf{a}-\\mathbf{b}$的模长为$\\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|=\\sqrt{\\|\\mathbf{a}\\|^2+\\|\\mathbf{b}\\|^2-2\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|\\cos\\theta}$，再利用向量的数量积展开，即可得到余弦定理的表达式。

3. 平面三角形面积证明：设平面内三角形ABC，其三边长度分别为$a$，$b$，$c$，其对应的高分别为$h_a$，$h_b$，$h_c$，则有以下关系：$$\\begin{cases}S=\\frac{1}{2}bh_a\\\\ S=\\frac{a\\sin C}{2}=\\frac{b\\sinA}{2}=\\frac{c\\sin B}{2}\\end{cases}$$将这两个式子联立并消去$S$，再利用正弦定理展开，得到余弦定理的表达式。