北师大版高中数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何2.3.1-3三垂线定理教学设计

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。

教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-=ABOAOB=-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的ba∙是一个数10=或0=b时,ba∙=02121yyxxba+=∙abba∙=∙)()()(bababa∙=∙=∙λλλcbcacba∙+∙=∙+)(数 量 积20≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ） A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)||||AC AB ++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2 空间向量基本定理学习目标1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量的坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示知识点二空间向量基本定理思考平面向量基本定理的内容是什么？答案如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理(1)空间向量基本定理(2)基底条件：三个向量a，b，c不共面．结论：{a，b，c}叫作空间的一个基底．基向量：基底中的向量a，b，c都叫作基向量．1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一 基底的判断例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的关系式是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC→B.MA →＝MB →＋MC→ C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项A ，由OM →＝x OA →＋y OB →＋z OC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →共面，故选C.(2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1(1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．2aB ．2bC ．2a ＋3bD ．2a ＋5c答案 D。

《三垂线定理》教学设计一、教学目标：1．认知目标：（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。

2．能力目标：通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.3．情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。

二、重点、难点：(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。

三、教材分析：“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。

它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义四、教法分析建立模型，启发引导，猜想论证，学习应用，发展能力五、教学过程设计与分析：节回顾旧知创设情景分析解决问题问题1 直线与平面垂直的定义教师提问式实施（教师补充说明：定义既是判定又是性质，并板书）如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直思维从问题开始,点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续问题2 直线与平面垂直的判定定理？( 学生回答后教师复述并板书)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面问题3 PO是平面α的斜线，O为斜足；PA是平面α的垂线，A为垂足；AO是PO在平面α内的射影.(1)如果a⊂α，a与PO的位置关系如何？为什么？(2)如果a⊂α，a与PO能垂直吗？谁能将以上问题写成一个命题？你能证明吗？(教师板书)好！根据刚才同学们的回答可知这是一个真命题，这就是我们这节课要学的一个重要定理，从而引入。

2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点) 2．掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)3．理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。

(难点) 知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示在给定的空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a ，存在唯一一组三元有序实数(x ，y ，z )，使得a ＝x i ＋y j ＋z k .我们把a ＝x i ＋y j ＋z k 叫作a 的标准正交分解，把i ，j ，k 叫作标准正交基．(x ，y ，z )叫作空间向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )，a ＝(x ，y ，z )叫作向量a 的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(x ，y ，z )，向量OP →的坐标也是(x ，y ，z )． 知识点二 投影(1)一般地，若b 0为b 的单位向量，称a ·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影．如图所示，向量a 在向量b 上的投影为OM ＝|a |cos 〈a ，b 〉．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．知识点三 空间向量基本定理(1)如果向量e 1、e 2、e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.(2)空间中不共面的三个向量e 1、e 2、e 3叫作这个空间的一个基底，a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3表示向量a 关于基底e 1、e 2、e 3的分解，e 1、e 2、e 3都叫作基向量．(3)当向量e 1、e 2、e 3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e 1＝i ，e 2＝j ，e 3＝k 时，a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3叫作a 的标准正交分解． 知识点四 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则：(1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和． (2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差． (3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)(λ∈R )，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．2．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．知识点五 空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则(1)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λ b ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0. |a |＝a 2＝x 21＋y 21＋z 21.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22.(a ≠0，b ≠0)考点一 空间向量的坐标表示例1 (1)设i ，j ，k 分别是x ，y ，z 轴正方向上的单位向量，若a ＝(3,7，－2)则a 关于i ，j ，k 的分解式为________．(2)设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位的正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别是________．(3)已知在如图2­3­3所示的棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则向量AE →的坐标为________，向量AF →的坐标为________，向量AC 1→的坐标为________．【名师指津】1．建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线．建系时，通常建立右手直角坐标系．2．空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是a ＝x i ＋y j ＋z k ⇔a ＝(x ，y ，z )考点二 空间向量的投影例2如图 所示，已知单位正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，(1)求向量CA ′→在CD →上的投影； (2)求向量CA ′→在DC →上的投影．【名师指津】求向量a 在向量b 上的投影，通常有两种方法：1．利用投影的计算公式求，a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，亦为a ·b|b |. 2．利用投影的几何意义求，如图，a 在b 上的投影为有向线段OM 的数量，正方向为向量b 的方向．例3.如图 ，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.【名师指津】对于基底e 1，e 2，e 3除了知道它们不共面外，还应明确：(1)用基底表示向量，要表示彻底，结果中只能含有e 1，e 2，e 3不能含有其他形式的向量； (2)用e 1，e 2，e 3表示向量，需要根据三角形法则，及平行四边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算进行变形，化简；(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了．练习1..如图2­3­6，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点三 空间向量的坐标运算例3(1)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(1,2，－1)，则a ＋b ＝________， 2a －b ________. (2)(2016·南宁高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值为________．(3)已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－2,2)，c ＝(－2,3，－1)，则a －b ＋2c ＝________. 考点四 数量积的坐标运算例4已知a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)， 求(1)a ·b ；(2)(2a －b )·(3a ＋b )． 【名师指津】空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键． 练习1本例条件不变，求(a ＋b )·(a －b )．考点五 利用坐标运算解决长度和夹角问题例5已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积． 【名师指津】1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化． 2．平行四边形面积的计算公式：S ▱ABCD ＝|AB →||AC →|2－AB →·AC→2.练习2．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求cos ∠BAC ；(2)求△ABC 中BC 边上中线的长度． 考点六 坐标形式下的平行与垂直问题例6已知空间三点A (－2,0,2)、B (－1,1,2)、C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【名师指津】向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．解决这种问题时要注意：①适当引入参数参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．练习3．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k . 课堂练习1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32．若向量a 、b 、c 是空间的一个基底，向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，那么可以与m 、n 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．2a3．O ，A ， B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A.12(c ＋b －a ) B ．12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D ．12(a ＋b ＋c )4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(0，－1,4)，则a ＋b ＝________.3b ＝________，a ·b ＝________. 5．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．。