第4课时 二次函数(一)

第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标．2．会利用对称性画出二次函数的图象．重点通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标．难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．一、创设情境,引入新课我们已经发现,二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象,可以由函数y＝2x2的图象先向________平移________个单位,再向________平移________个单位得到,因此,可以直接得出：函数y＝2(x－3)2＋1的开口________,对称轴是____________,顶点坐标是________．那么,对于任意一个二次函数,如y＝－x2＋3x －2,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗？二、探究问题,形成概念例1 通过配方,确定抛物线y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图．解y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x2－2x)＋6＝－2(x2－2x＋1－1)＋6＝－[2(x－1)2－2]＋6＝－2(x－1)2＋8因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x＝1,顶点坐标为(1,8)．由对称性列表：x …－2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－2x 2 ＋4x ＋6… －10 0 6 8 6 0 －10 …描点、连线,如图所示． 回顾与反思：(1)列表选值时,应以对称轴直线x ＝1为中心,函数值可由对称性得到．(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点．探索：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴____________,顶点坐标____________．例2 已知抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在坐标轴上,求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0；(2)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0.解 y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9＝(x －a ＋22)2＋9－（a ＋2）24,则抛物线的顶点坐标是[a ＋22,9－（a ＋2）24],当顶点在y 轴上时,有a ＋22＝0,解得a ＝－2；当顶点在x 轴上时,有9－（a ＋2）24＝0,解得a ＝4或a ＝－8.所以,当抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是－2,4,8.三、练习巩固1．函数y ＝x 2－2x ＋3的图象的顶点坐标是( )A ．(1,－4)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(0,3)2．抛物线y ＝－14x 2＋x －4的对称轴是( ) A ．直线x ＝－2 B ．直线x ＝2C ．直线x ＝－4D ．直线x ＝43．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( )A ．ab>0,c>0B ．ab>0,c<0C ．ab<0,c>0D ．ab<0,c<04．把抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是( )A．y＝－2(x－1)2＋6 B．y＝－2(x－1)2－6 C．y＝－2(x＋1)2＋6 D．y＝－2(x＋1)2－6四、小结与作业小结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－b2a,顶点坐标是(－b2a,4ac－b24a)．作业1．布置作业：教材P18“练习”中第1,2,3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴．为了使学生能在较复杂的题中顺利应用配方法,教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成,并来讨论做题思路．这样这个重点和难点也就自然地得到了突破．。

6.2 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与性质教学目标 【知识技能】1.经历求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标的过程.2.能通过配方法把二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)化成y=a(x-h)2+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并掌握二次函数的性质. 【数学思考与问题解决】通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)等过程，让学生从中学会探索新知识的方式、方法. 【情感态度】经历求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合的数学思想方法. 【重点难点】重点：通过配方法把二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)化成y=a(x-h)2+k(a ≠0)的形式，求对称轴和顶点坐标.难点：二次函数性质的综合应用. 教学过程 一、复习回顾1.写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴. (1)y=2x 2；(2)y=3(x-1)2；(3)y=-x 2+1；(4)y=3(x-2)2+3.2.填空：(1)x 2+6x+______=(x+______)2； (2)x 2-25x+______=(x-______)2； (3)x 2+6x-9=(x+______)2+______； (4)x 2-5x+8=(x-25)2+______. 二、情境引入不画出图象，你能直接说出函数y=-21x 2+x-25的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?三、问题探究问题1 (1)将函数y=x 2-12x+42写成y=a(x-h)2+k 的形式，并确定这个抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.说明：①复习回顾第2题学生不难完成，对有困难的学生要给予引导. ②指出这种求抛物线顶点坐标的方法叫做配方法.并指出与用配方法解一元二次方程的异同点.(2)根据解题方法，解决情境引入中的问题.问题2 你能根据上面的方法写出抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标、对称轴和二次函数的性质吗?说明：先让学生独立完成，然后小组交流，形成共识.最后教师给出解答.y=ax 2+bx+c=a(x 2+a b x)+c=a(x 2+a b x+(a b 2)2-(a b 2)2+c=a(a b 2)2+ab ac 442-.所以顶点坐标为(-a b 2，a b ac 442-)，对称轴为直线x=-a b2；若a>0，则抛物线的开口向上，当x>-a b 2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x<-ab2时，函数值y 随x 的增大而减小，当x=-a b 2时，函数值y 取最小值a b ac 442-；若a<0，则抛物线的开口向下，当x>-a b 2时，函数值y 随x 的增大而减小，当x<-ab2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x=-a b 2时，函数值y 取最大值abac 442-.这就是二次函数y= ax 2+bx-c 的图象特征与性质.问题3 请你画出二次函数y=-2x 2+4x+6的图象. (学生讨论合作完成)解：y=-2x 2+4x+6=-2(x 2-2x)+6=-2(x 2-2x+1-1)+6=-2［(x-1)2-1］+6=-2(x-1)2+8.因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8). 由对称性列表：描点、连线，如图所示.说明：(1)列表选值时，应以对称轴直线x=1为中心，间距要适当，函数值可由对称性得到.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.思考：画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，应注意什么?四、巩固练习1.基础练习.(1)抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是直线x=______.(2)二次函数y=2x2-2x-1的图象的顶点是______，当x______时，y随x的增大而减小.(3)教材第18页练习第1、2题(1)(3).(4)教材第18页练习第3题(2)(4).2.拓展练习.(1)开口向下的抛物线y=(m2-2)x2+2mx+1的对称轴经过点(-1，3)，则m=______.(2)已知抛物线y=x2-(a+2)x-9的顶点在坐标轴上，求a的值.五、本课小结本节课你有哪些收获?(1)教师引导学生从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大(小)值及平移规律等总结.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的画法.六、作业必做题1.教材第18页练习第2题(2)(4).2.教材第18页练习第3题(1)(3). 选做题3.当a>0时，求抛物线y=x 2+2ax+1+2a 2的顶点所在的象限.4.已知抛物线y=x 2-4x+h 的顶点在直线y=-4x+1上，求抛物线的顶点坐标. 板书设计二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质 说出抛物线y=-21x 2+x-25的开口方向、对称轴和顶点坐标. y=ax 2+bx+c=a(x 2+a bx)+c =a ［x 2+a b x+(a b 2)2-(ab 2)2］+c=a ［(x+a b 2)2-224a b］+c=a(x+a b 2)2+a b ac 442二次函数y=ax 2+bx+c 的图象特征： 1.开口方向： 2.对称轴： 3.顶点坐标： 4.升降：二次函数y=ax 2+bx+c 的性质：。

二次函数与幂函数1.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x ）＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式:f(x)＝a(x－m)2＋n（a≠0）。

③零点式:f（x)＝a（x－x1）（x－x2)(a≠0）。

（2）二次函数的图像和性质解析式f（x)＝ax2＋bx＋c（a>0)f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0)图像定义域（－∞，＋∞)（－∞,＋∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减；在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增;在x∈错误!上单调递减对称性函数的图像关于x＝－错误!对称2.幂函数（1）定义:形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图像比较（3)幂函数的性质①幂函数在（0,＋∞）上都有定义;②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点（1，1）和（0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α〈0时，幂函数的图像都过点（1,1）,且在（0，＋∞)上单调递减。

【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是错误!。

（×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈R，不可能是偶函数.( ×）(3）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.（√)(4)函数y＝2x 12是幂函数。

( ×)（5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。

( √)（6）当n〈0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数。

（×）1.已知a，b，c∈R，函数f（x)＝ax2＋bx＋c。

若f（0)＝f（4)〉f(1），则（）A.a>0,4a＋b＝0B.a〈0，4a＋b＝0C.a>0,2a＋b＝0 D。

a〈0，2a＋b＝0答案A解析因为f（0）＝f(4)〉f（1)，所以函数图像应开口向上，即a>0,且其对称轴为x＝2，即－错误!＝2，所以4a＋b＝0，故选A.2.已知函数f(x）＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是（）A.错误!B.错误!C。

第4课时二次函数y=a （x-h ）2+k 的图象与性质满招损，谦受益。

《尚书》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】会画出y=a(x-h)2+k 这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.一、情景导入，初步认知上一节课，我们已经了解到，函数y=a(x-h)2的图象，可以由函数y=ax2的图象左右平移所得，那么y=a(x-2)2+2的图象，是否也可以由函数y=ax2平移得到呢？y=a(x-h)2+k 的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21-12y x =（），21-1-22y x =（），并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察三个图象之间的关系.【归纳结论】由抛物线212y x =向右平移一个单位可得到抛物线21-12y x =（），再向下平移2个单位可得到21-1-22y x =（）. 探究2:请依据探究1中的发现，说说拋物线y=a(x-h)2+h 是由拋物线y=ax2通过怎样的平移得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【归纳结论】二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+h 中k 的值；左右平移，只影响h 的值.在y=a(x-h)2+h 中：（1）当a>0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h ；（3）顶点坐标为（h ，k ）.【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.拋物线y=-3(x-2)2+4的开口方向对称轴、顶点坐标分别为（）A.开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,4)B.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，4)C.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）D.开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）解析：根据y=a(x-h)2+k 的性质可得出结果.答案：D2.把拋物线212y x =向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得拋物线为（ ）解析：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)+k中k的值；左右平移，只影响h的值.答案：B【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2.4”中第1题的(1)、(3)、(4)、(5)小题和第3题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

5.6 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质（1）学习目标：1．会画二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；学习重点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质学习难点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质教学过程：一．自主探究探究点一：二次函数y=ax2+k的图象与性质自主探究：在同一直角坐标系画出二次函数y＝－12x2,y＝－12x2＋1，y=-12x2－1的图象，并通过观察图象探究以下问题：（1）它们的开口方向与开口大小相同吗？（2）它们的顶点坐标和对称轴分别是什么？（3）它们之间能通过平移得到吗？有什么平移规律吗？（1）列表：x …－4－3－2－10 1 2 34…y＝－12x2……y＝－12x2+1y＝—12x2-1 ……根据它们的图象，填写下表：小结：（1）抛物线y=ax 2+k 与y=ax2有什么位置关系？与同学交流。

（22探究点二：二次函数y ＝a （x-h ）2的图象性质自主探究：请你在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2， y ＝ (x ＋1)2 ，y ＝ (x －1)2，通过图象探究以下问题：（1） 三个函数图象的开口方向与大小相同吗？（2） 三个函数图象的顶点坐标，对称轴分别是什么？ （3） 函数y ＝ (x ＋1)2 与y ＝ (x －1)2的图象能否通过y ＝x 2的图象平移得到？如果能，该怎样平移？你能总结出从函数y ＝x 2的图象到函数y ＝ (x-h)2的图象的平移规律吗？描点并画图．1．观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y＝x2y＝ (x＋1)2y＝ (x－1)2适时小结：二次函数y=a（x-h）2有哪些性质？二、整理知识点1.函数图象开口方向顶点对称轴最值增减性y=ax2+ka﹥0a﹤0 y=a(x-h)2a﹥0a﹤02．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是________不同．三、巩固训练1．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．2．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．3．将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．4．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．昌乐外国语学校九年级数学导学案设计人：张玉进审核人：杜荣国审批人：四、达标检测1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则 m＝__________，n＝___________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。