北师大版九年级数学下册二次函数的图象与性质第四课时课件
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《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第4课时)-北师大版九年级数学下册
解：(1)把点P(-2，3)代入y=x2+ax+3，得3=(-2)2-2a+3，解得a=2，
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(-1，2)． (2)①n=11． ②2≤n<11．
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
7．抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐
标为-1，则一次函数y=(a-b)x+(a+b)的图象大致是 ( D )
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的性质
1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是 ( A )
A．(-1，8) B．(1，8) C．(-1，2) D．(1，-4)
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(-1，2)． (2)①n=11． ②2≤n<11．
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
7．抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐
标为-1，则一次函数y=(a-b)x+(a+b)的图象大致是 ( D )
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的性质
1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是 ( A )
A．(-1，8) B．(1，8) C．(-1，2) D．(1，-4)
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
并写出开口方向、顶点坐标、对称轴．
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
(0,1)，当x≥0时，y随x的增大而增大，
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(4)》公开课课件.ppt
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y0.02x2 25 0.9x10 y0.02x2 25 0.9x10
0.02 x 225 2 0 1.
Y/m
且左右两条钢缆关于 y轴对称,
10
右边的钢缆的表达式为:
桥面 -5 0 5
x/m
y 0 .02 x 2 25 2 0 1 .
y0.02x2 25 0.9x1.
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数3(x-1)2+2的图象.
怎样直接作出 y3x26x5
函数y=3x2-6x+5 3x2 2x5
提取二次项系数
的图象?
3
1.配方:
老师提示:
3x22x1153配系方数绝:加对上值再一减半去的一平次方项
它的顶点 2ba,是 4a4cab2.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1 .y2x2 1x2 1;32.y 5x28x0 3;19
3.y2x1x2; 4 .y 3 2 x 1 2 x .
2
做一做
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示 而且左右两条抛物线关手y轴对称．
y0.02x2 25 0.9x10
Y/m
10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
2.2.4北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
九年级数学(下)第二章《二次函数》
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;
北师大版九年级下册二次函数的图象与性质 课件(20张)
列表
v
100 00 240 4106 6306 8604 100
0 8 32 72 128 200
新知探究 合作探究：
都在S轴的右侧（答案 不唯一）.
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比刹车距离相差
多少米？你是怎么知道的？ 解：如图，S=S雨-S晴
=36(m).
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
3.在某一个雨天，有一个司机在限速为30km/h的路口停了下来，这时过来一 个警察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为32m,你认为他
y=x²
新知探究
做一做: 在下列平面直角坐标系中， 作出y=-x²及y=-2x²的图象.
x -2 -1 0 y=-2x2 -8 -2 0 y=-x2 -4 -1 0
12 -2 -8 -1 -4
问题：它们与二次函数y=x²和 y=2x²的图象又有什么异同？
y y=2x12 0
y=x2
8
6
4
2
-4 -2 O 2 4 x
y=-2x2
y=-x2
新知探究
【解析】
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2 抛物线 向上
抛物线 向上
y=x2 y=-2x2 抛物线 向下 y=-x2 抛物线 向下
y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0）
新知探究
北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图像与性质课件
二次函数性质总结
二次函数的增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而 减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
二次函数的最大值和最小值
当 $a > 0$ 时，二次函数有最小值，且最小值为顶点的纵 坐标；当 $a < 0$ 时，二次函数有最大值，且最大值为顶 点的纵坐标。
THANKS
感谢观看
$B(2,0)$ 和 $C(3,4)$，求该二次 函数的解析式。
例题2
已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ ，求该函数图像的顶点坐标和对称 轴方程。
例题3
已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ ，判断该函数图像与 $x$ 轴的交点 情况。
解题思路与方法总结
01
对于已知图像上三个点的二次函数求解析式问题，可以通过设一般式或交点式 进行求解，利用待定系数法确定系数。
02
当函数图像沿y轴向上（下）平移 h个单位时，函数表达式中的y替 换为y+h（y-h）。
对称变换规律
当函数图像关于x轴 对称时，函数表达式 中的y替换为-y。
当函数图像关于原点 对称时，函数表达式 中的x和y分别替换为 -x和-y。
当函数图像关于y轴 对称时，函数表达式 中的x替换为-x。
伸缩变换规律
二次函数的顶点坐标 $(- frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$ 与一元二次方程的解有密切关系，当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，顶点在x轴下方，方程有两个不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，顶 点在x轴上，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，顶点在x轴上方，方程无实根。
二次函数图像与性质(共44张PPT)
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1
下册第2章第4课时 二次函数的图象与性质-北师大版九年级数学全一册课件
知识点四：抛物线y＝ax2―左上―右下――平平―移移→抛物线y＝a(x－h)2＋k
a决定开口方 h，k决定平移的
方法提示
向
方向
a>0，
h>0，向 右 平移 由a，h，k的符号，画
开口向 上 a<0， 开口向 下
k>0，向 上 平移 出y＝a(x－h)2＋k的大 h<0，向 左 平移 致图象，即可确定它 k<0，向 下 平移 的五要素
第4课时 二次函数的图象与性质(3)
B.y＝3x ＋2 2 第4课时 二次函数的图象与性质(3)
第4课时 二次函数的图象与性质(3) 第4课时 二次函数的图象与性质(3)
第4课时 二次函数的图象与性质(3)
C.y＝3(x－2)2 第4课时 二次函数的图象与性质(3)
第4课时 二次函数的图象与性质(3) 第4课时 二次函数的图象与性质(3)
知识点二：抛物线y＝ax2―左―右―平―移→抛物线y＝a(x－h)2
a决定开口方向 h决定平移的方向 方法提示
a>0，
h>0，
开口向 上 向 右平移
由a，h的作用，画 出y＝a(x－h)2的大
a<0，
h<0，
致图象，即可确定
开口向 下 向 左 平移 它的五要素
2.将抛物线 y＝3x2
第4课时 二次函数的图象与性质(3)
知识要点
知识点一：画函数 y＝a(x－h)2 的图象，研究其性质
抛物线
y＝a(x－h)2
开口方向
a＞0，开口向 上 a＜0，开口向 下
顶点坐标 ( h ， 0 )
对称轴
直线 x＝h
函数的最值
a＞0，当 x＝h 时，y 最小值＝0 a＜0，当 x＝h 时，y 最大值＝0
北师大版九年级数学下册 (二次函数的图象与性质)二次函数教学课件(第4课时)
二次函数的图象与性质
第4课时
复习旧知
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y=2(x－1)2 －3
(2)y=－0.5(x+3)2
(3) y = 3(x+2)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？
新知讲解
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质, 你能
2
(4) y x 1 2 x .
直线x=1.25
直线x= 0.5
5
5
,
4
1
,
2
9
8
9
4
课堂练习
6．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解
解：y=ax²+bx+c a x 2
b
x c
a
2
2
2
b
b
b
a x 2
x
c
2a
2a
2a
b
4ac b 2
a x
2a
4a
2
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形
新知讲解
如何用描点法画二次函数y=2(x－1)2+3的图象？
第4课时
复习旧知
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y=2(x－1)2 －3
(2)y=－0.5(x+3)2
(3) y = 3(x+2)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？
新知讲解
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质, 你能
2
(4) y x 1 2 x .
直线x=1.25
直线x= 0.5
5
5
,
4
1
,
2
9
8
9
4
课堂练习
6．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解
解：y=ax²+bx+c a x 2
b
x c
a
2
2
2
b
b
b
a x 2
x
c
2a
2a
2a
b
4ac b 2
a x
2a
4a
2
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形
新知讲解
如何用描点法画二次函数y=2(x－1)2+3的图象？
2019版九年级下册初三数学北师大版全套课件第2章二次函数第4课时二次函数的图象与性质3
巩固提高
6.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x﹣h)2(a≠0)
的图象可能是( )
D
A.
B.
C.
D.
7.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且
经过点(0,1)的是( ) C
A.y=(x﹣2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x﹣2)2﹣3 D.y=(x+2)2﹣3
巩固提高
8.如图,关于抛物线y=(x﹣1)2﹣2,下列说法错误 的是( ) D A.顶点坐标为(1,﹣2) B.对称轴是直线x=1 C.开口方向向上 D.当x＞1时,y随x的增大而减小
变式练习
1. 请在同一坐标系中画出二次函数①
,②
的图象.说出两条抛物线的位置关系,指出②的
开口方向、对称轴和顶点.
①向左平移两个单位得到②; ②的开口方向向上,对称轴是 x=2,顶点坐标为(2,0).
精典范例
例2:将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移1个单 位,向下平移2个单位得到( ) C A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=(x﹣1)2﹣3 D.y=(x2+b的图象过点
(0,1),则b的值为
.0
巩固提高
12.已知函数y=﹣3(x﹣2)2+9. (1)当x= 2时,抛物线有最大值,是 ; 9 (2)当x <时2 ,y随x的增大而增大; (3)该函数图象可由y=﹣3x2的图象经过怎样的平 移得到？ (4)求出该抛物线与x轴的交点坐标; (5)求出该抛物线与y轴的交点坐标.
9.设二次函数y=(x﹣3)2﹣4图象的对称轴为直线 l,若点M在直线l上,则点M的坐标可能是( ) A.(1,B0) B.(3,0) C.(﹣3,0) D.(0,﹣4)
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那是怎样的平移呢？ 只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
y=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为 配方式或顶点式
函数y=ax²+bx+c的顶点式
y ax2 bx c
a x2 b x c a a
a
x2
b
x
b
2
b
2
c
a 2a 2a a
a
y 0.0225x2 0.9x 10
y/m
10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的 ？与同伴交流. 分 析 ： 可 以 将 函 数 y=0.0225x2+0.9x+10 配 方 , 求 得 顶 点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
10
右边的钢缆的表达式为 :
桥面 -5 0 5
x/m
y 0.0225x 202 1.
y 0.0225x2 0.9x 10.
即y 0.0225x2 0.9x 10.
因此,其顶点坐标为: 20,1.
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m .
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的 最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x2 42 40x 202 202 4000 桥面 -5 0 5
x/m
9
0.0225x
202
400 9
0.0225x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
体位左(当(右4a)c平 b移2 >|0时2ba 向|个上单平位移,再;当沿4对ac 称b2 <轴0时整,体向上下(平下移)平)得移到| 4a的c4ab. 2 |个单
4a
4a
练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1 y 5 x 12 ; 2y 2x2 4x 1; 3y 3x2 6x 2; 4y x 1x 2; 5y 3x 3x 9.
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算 的？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y 0.0225x2 0.9x 10
0.0225x 202 1.
且左右两条钢缆关于y轴对称,
y 0.0225 x2 0.9x 10
y/m
练习
2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间 t(s)的关系可以用公式表示,经过多长时间,火箭到达它 的最高点？最高点的高度是多少？
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
这个结果通常称为求 顶点坐标公式.
顶点坐标公式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线 : x b . 2a
它的顶点是
b 2a
,
4ac 4a
第二章
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时
回顾 复习
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－3)2 －5 (2)y= －0.5(x+1)2
(3) y = 3(x+4)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎 样的平移得到.
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
4a
4 0.0225
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1. 由此可知钢缆的最低点
同理,右边抛物线的顶点坐标为: 20,1. 到桥面的距离是1m.
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m.
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么？
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小；在对
称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左
侧,y都随x的增大而增大；在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: ((31))对位称置轴不不同同.(2:)分顶别点是不直同线:分x 别 是b 和y2ba轴, 4a.c4ab2 和(0,0).
(4)最值不同:分别是
4ac 4a
b2
和0.
2a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整
b2
.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1y 2x2 12x 13; 2y 5x2 80x 319;
3y 2 x 1 x 2;
2
4y 32x 12 x.
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称．
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
由顶点坐标公式
b 2a
,
4ac b2 4a
得:
y/m
10
b 0.9 20, 2a 2 0.0225
桥面 -5 0 5
x/m
4ac b2 4 0.022510 0.92 1.
y 0.0225x2 0.9x 10.
y=3x2-6x+5
y=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为 配方式或顶点式
函数y=ax²+bx+c的顶点式
y ax2 bx c
a x2 b x c a a
a
x2
b
x
b
2
b
2
c
a 2a 2a a
a
y 0.0225x2 0.9x 10
y/m
10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的 ？与同伴交流. 分 析 ： 可 以 将 函 数 y=0.0225x2+0.9x+10 配 方 , 求 得 顶 点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
10
右边的钢缆的表达式为 :
桥面 -5 0 5
x/m
y 0.0225x 202 1.
y 0.0225x2 0.9x 10.
即y 0.0225x2 0.9x 10.
因此,其顶点坐标为: 20,1.
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m .
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的 最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x2 42 40x 202 202 4000 桥面 -5 0 5
x/m
9
0.0225x
202
400 9
0.0225x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
体位左(当(右4a)c平 b移2 >|0时2ba 向|个上单平位移,再;当沿4对ac 称b2 <轴0时整,体向上下(平下移)平)得移到| 4a的c4ab. 2 |个单
4a
4a
练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1 y 5 x 12 ; 2y 2x2 4x 1; 3y 3x2 6x 2; 4y x 1x 2; 5y 3x 3x 9.
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算 的？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y 0.0225x2 0.9x 10
0.0225x 202 1.
且左右两条钢缆关于y轴对称,
y 0.0225 x2 0.9x 10
y/m
练习
2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间 t(s)的关系可以用公式表示,经过多长时间,火箭到达它 的最高点？最高点的高度是多少？
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
这个结果通常称为求 顶点坐标公式.
顶点坐标公式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线 : x b . 2a
它的顶点是
b 2a
,
4ac 4a
第二章
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时
回顾 复习
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－3)2 －5 (2)y= －0.5(x+1)2
(3) y = 3(x+4)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎 样的平移得到.
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
4a
4 0.0225
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1. 由此可知钢缆的最低点
同理,右边抛物线的顶点坐标为: 20,1. 到桥面的距离是1m.
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m.
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么？
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小；在对
称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左
侧,y都随x的增大而增大；在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: ((31))对位称置轴不不同同.(2:)分顶别点是不直同线:分x 别 是b 和y2ba轴, 4a.c4ab2 和(0,0).
(4)最值不同:分别是
4ac 4a
b2
和0.
2a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整
b2
.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1y 2x2 12x 13; 2y 5x2 80x 319;
3y 2 x 1 x 2;
2
4y 32x 12 x.
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称．
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
由顶点坐标公式
b 2a
,
4ac b2 4a
得:
y/m
10
b 0.9 20, 2a 2 0.0225
桥面 -5 0 5
x/m
4ac b2 4 0.022510 0.92 1.
y 0.0225x2 0.9x 10.