2018年秋九年级数学上册3.4.1相似三角形的判定第1课时利用平行截相似练习湘教版
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3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
[3.4.1 第1课时利用平行截相似]
一、选择题
1．如图K－21－1所示，DE∥BC，且D是AB的中点，下列说法错误的是( )
图K－21－1
A．△ADE∽△ABC
B．△ADE与△ABC的相似比为1∶2
C．E是AC的中点
D．△ADE与△ABC的相似比为2∶1
2．如图K－21－2，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
图K－21－2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图K－21－3，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，则图中相似三角形的对数为( )
图K－21－3
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．如图K－21－4，已知菱形BEDF和△ABC，且点E，D，F分别在AB，AC，BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，则菱形BEDF的边长为________．
图K－21－4
5．如图K－21－5，在▱ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似的三角形有________对．
图K－21－5
三、解答题
6．如图K－21－6所示，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)求证：OA2＝OE·OF.
图K－21－6
7探究与应用型问题(1)小明遇到一个问题：如图K －21－7①所示，AD 是△ABC 的角平分线．求证：BD CD ＝
AB
AC
.
图K －21－7
他通过思考发现：过点B 作BE ∥AC 交AD 的延长线于点E ，通过证三角形相似，可以解决问题(如图K －21－7②)．请证明：BD CD ＝AB AC
.
(2)请你利用上述结论，解决下列问题：
如图K －21－7③，四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，AC 与BD 相交于点O .
① AO OC ＝________；②OD
CD
＝________．
1．[答案] D
2．[解析] C ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，
∴△AEF ∽△BCF ，△AEF ∽△DEC ， ∴与△AEF 相似的三角形有2个．
3．[解析] D ∵BP ∥DF ，∴△ABP ∽△AED ；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，
BC ∥AD ，∴△CDF ∽△BEF ，△EFB ∽△EDA ；同理，△CDF ∽△AED ，△CDF ∽△ABP ，△ABP ∽
△BEF .故选D.
4．[答案] 20
3
cm
[解析] 设菱形BEDF 的边长为x cm. ∵四边形BEDF 是菱形， ∴DE ∥BC ， ∴△AED ∽△ABC ， ∴AE AB ＝DE BC
.
∵AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ， ∴AE ＝(15－x )cm ， ∴
15－x 15＝x 12，解得x ＝20
3
. 5．[答案] 5
[解析] 图中相似三角形有△ABC ∽△CDA ，△AGE ∽△ABC ，△AFE ∽△CBE ，△BGE ∽△BAF ，△AGE ∽△CDA 共5对．理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，
AB ＝CD ，∠D ＝∠ABC ，∴△ABC ≌△CDA ，∴△ABC ∽△CDA .∵GE ∥BC ，∴△AGE ∽△ABC ∽△CDA ，∵GE ∥BC ，AD ∥BC ，∴GE ∥AD ，∴△BGE ∽△BAF .∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE .故答案
是5.
6．证明：(1)∵EC ∥AB ，∴∠EDA ＝∠DAB . 又∵∠EDA ＝∠ABF ，
∴∠DAB ＝∠ABF ， ∴AD ∥BC .
又∵DC ∥AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形． (2)∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ， ∴OA OE ＝OB OD
. ∵AD ∥BC ， ∴△OBF ∽△ODA ， ∴OB OD ＝OF OA ，∴OA OE ＝OF
OA
，
∴OA 2
＝OE ·OF .
7解：(1)证明：∵BE ∥AC ，BE 交AD 的延长线于点E ，∴△BDE ∽△CDA ，∠E ＝∠DAC ，∴BD CD ＝BE AC
.又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠E ＝∠DAC ＝∠BAD ，
∴BE ＝AB ，∴BD CD ＝AB
AC
.
(2)①13 ②32。
