2018-2019学年河北省安平中学高二上学期期末考试数学试题(理)(实验班)

高二上学期期末考试数学试题

1 河北省安平中学2018-2019学年

高二上学期期末考试（理）（实验班）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．设复数z=1+i，i是虚数单位，则+（）2=（ ）

A．1﹣3i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

3．命题“∃x0∈（0，），cosx0＞sinx0”的否定是（ ）

A．∃x0∈（0，），cosx0≤sinx0 B．∀x∈（0，），cosx≤sinx

C．∀x∈（0，），cosx＞sinx D．∃x0∉（0，），cosx0＞sinx0

4．设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a8=32,则S11的最小值为（ ）

A.222 B.244 C.22 D.44

5．已知向量，满足•（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（ ）

A． B． C． D．

6．如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（ ）

A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.7

7．已知sin（）=，则cos（2）=（ ） 高二上学期期末考试数学试题

2 A．﹣ B．﹣ C． D．

8．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（ ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

9．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（ ）

A．1 B．2 C．t D．2t

10．已知实数x，y满足条件|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则2x+y的最大值为（ ）

A．3 B．5 C．7 D．9

11.设函数fx在R上可导,2'23,fxxfx则1f与1f的大小关系是( )

A.(1)1ffB.()ff11C.(1)1ffD.不确定

12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，

且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）

A． B．1 C． D．2

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共4题每题5分满分20分）

13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为 ．

14．已知正四面体ABCD的棱长为l，E是AB的中点，过E作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为 ．

15.若函数2()2lnfxxx在其定义域内的一个子区间(1,1)kk内不是单调函数,则实数k的取值范围是 高二上学期期末考试数学试题

3 16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是

．

三．解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每题12分)

17．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC的面积的最大值．

18．设函数，数列{an}满足，n∈N*，且n≥2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对n∈N*，设，若恒成立，求实数t的取值范围．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD； 高二上学期期末考试数学试题

4 （Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；

（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．

20．已知函数f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数 f（x）在点（1，f（1））处切线方程；

（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范围．

21．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．

22．已知函数f（x）=ex﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；

（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，． 高二上学期期末考试数学试题

5

高二上学期期末考试数学试题

6 参考答案

1-12、BABBD CABAC BA

13.18

14.

15.

16. （0，]

17.【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，

∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，

∴cosA===，

∴A=．

（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，

∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，

此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，

故△ABC的面积的最大值为：．

18.【解答】解：（1）依题意，an﹣an﹣1=（n≥2），

又∵a1=1，

∴数列{an}是首项为1、公差为的等差数列，

故其通项公式an=1+（n﹣1）=；

（2）由（1）可知an+1=，

∴=（﹣），

∴

=（﹣+﹣+…+﹣）

=， 高二上学期期末考试数学试题

7 恒成立等价于≥，即t≤恒成立．

令g（x）=（x＞0），则g′（x）=＞0，

∴g（x）=（x＞0）为增函数，

∴当n=1时取最小值，

故实数t的取值范围是（﹣∞，]．

19.

【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DN．

∵M，N是PB，PC的中点，

∴MNBC，又ADBC，

∴MNAD，

∴四边形ADNM是平行四边形，

∴AM∥DN，又AM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AM∥平面PCD．

（II）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PA⊥AC．

∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC，

∴AC=，∠DCA=∠BCA=45°，

又BC=2，∴AB==．

∴AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB．

又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，

∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ACM，

∴平面ACM⊥平面PAB．

（III）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥AD．

以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（﹣，，）（a＞0）．

∴=（1，1，0），=（﹣，，），=（1，1，﹣a）． 高二上学期期末考试数学试题

8 设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则．

∴．令x=1得=（1，﹣1，）．

∴cos＜＞==．

∵PC与平面ACM所成角为30°，

∴=．解得a=．

∴|PA|=．

20.【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，则f′（1）=e﹣1．

而f（1）=e，∴所求切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1；

（Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，

∴g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．

⇔ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．

即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．

令F（x）=．

则F′（x）=，

设G（x）=， 高二上学期期末考试数学试题

9 则G′（x）=对任意x∈（0，+∞）恒成立．

∴G（x）=在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0．

∴x∈（0，1）时，G（x）＜0，x∈（1，+∞）时，G（x）＞0，

即x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，

∴F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴F（x）≥F（1）=1．

∴t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．

21.【解答】解：（Ⅰ）∵，c=1，a2=b2+c2，

∴=b，

∴椭圆C的方程为：．

（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，显然不成立．因此可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，

∴，，

由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，

∵，

∴，

∴﹣2=，

∵1≤λ≤2，∴∈，

∴0≤，