高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2
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1 2.3.2 平面与平面垂直的判定
问题导学
一、面面垂直的判定
活动与探究1
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1．
求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)．
迁移与应用
1．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．
2．在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．
证明面面垂直有两种基本方法：①定义法：先作(或找)出二面角的平面角，再证明该角是90°；②判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．
二、求二面角的大小
活动与探究2 2
四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．
(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．
迁移与应用
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1－AB－C的平面角是__________；二面角C1－BD－C的平面角是__________，其正切值为__________．
2．在三棱锥S －ABC中，SA⊥平面ABC，BC⊥AC，则二面角S－BC－A的平面角是__________．
求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，再求出角的大小．
三、线面垂直与面面垂直的综合应用
活动与探究3
如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又二面角P－CD－B为45°． 3
(1)求证：AF∥平面PEC；
(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．
迁移与应用
1．过一条直线和一个平面垂直的平面有( )
A．一个
B．无数个
C．一个或无数个
D．0个
2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．
证“面面垂直”转化为“线面垂直”，证“线面垂直”转化为“线线垂直”，即线线垂直→线面垂直→面面垂直．
当堂检测
1．下列命题中
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．对于直线a，b，c和平面α，β，已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α与β的位置关系是( )
A．α⊥β B．α∥β
C．α∩β＝l D．不确定
3．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．
5．在四面体A－BCD中，BD＝2a，其余棱长均为a，则二面角A－BD－C的大小为__________． 4
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．两个半平面 二面角的棱 二面角的面 α－AB－β P－AB－Q α－l－β P－l－Q
2．垂直于l 射线OA和OB 直二面角
预习交流1 (1)提示：0°≤θ＜180°
(2)提示：二面角α－l－β的平面角∠AOB满足的条件是：
①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l．
(3)提示：根据等角定理，二面角的平面角的大小与在棱上选取的点的位置无关．
3．直二面角
预习交流2 提示：90°
4．垂线 a⊥α，a⊂β，则α⊥β
预习交流3 提示：要证明两个平面垂直，只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直，并证明即可．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：要证明平面A1EC⊥平面ACC1A1，只需在平面A1EC内找一条线与平面ACC1A1垂直．
证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF12AA1．
又BE12AA1，
∴GFBE．
∴EF∥GB．
∵△ABC是等边三角形，
∴BG⊥AC．
∴EF⊥AC．又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BG．
∴EF⊥AA1．
∵AC∩AA1＝A，∴EF⊥平面ACC1A1．∵EF⊂平面A1EC，
∴平面A1EC⊥平面ACC1A1．
迁移与应用 1．3
2．证明：∵PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD， 5
∴PA⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．∵PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．
活动与探究2 思路分析：(1)证明面PAD⊥面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．
解：(1)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD．PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
又CD⊂平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
∴二面角A－PD－C平面角的度数为90°．
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA．
∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意∠BAD＝90°，
∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°．
(3)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA．
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－PA－C平面角的度数为45°．
迁移与应用 1．∠C1BC ∠C1OC 2 2．∠SCA
活动与探究3 思路分析：(1)取PC中点G，可证AF∥EG；(2)证明AF⊥平面PCD，则EG⊥平面PCD，可得平面PEC⊥平面PCD．
证明：(1)取PC的中点G；连接EG，FG．∵F是PD的中点，
∴FG12CD．又AE12CD，
∴AEFG．∴四边形AEGF是平行四边形．∴AF∥EG．
又AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC．
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．又∵CD⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥AF，CD⊥PD．
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，即∠PDA＝45°．
又∵PA⊥AD，F是PD中点， 6 ∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，
∴AF⊥平面PCD．
∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD．
∵EG⊂平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD．
迁移与应用 1．C
2．证明：如图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF．因为F为ABCD对角线AC与BD的交点，所以F为AC的中点．
又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，所以EF∥SC．又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．
【当堂检测】
1．B 2．D 3．C 4．垂直 5．90°
