1 自选题目：
1、设G是一个群，证明：（1）在G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数；
（2）在G中，阶等于2的元素的个数与G的阶有相反的奇偶性。
2、证明：6阶交换群是循环群
3、设NG，且:2,GN证明NG。
4、设M，N是群G的正规子群，证明：
（1）MNNM；
（2）MN是G的正规子群；
（3）若MN,.MNeMNN那么与同构，且mn=nm,mM,n
5、设p是一个素数，G是p的方幂阶的群，试证G的非正规子群的个数一定的p的倍数。
6、证明148阶群G不是单群。
7、设p是素数，则2p阶群G是Abel群。
8、设G是2pq阶群，p，q为不同素数。证明：G不是单群。
9、设1G，2G分别为1n，2n阶循环群，证明：1221GGnn.
10、若群中元素a的阶为m，元素b的阶为n，则当abba且,1mn时，有
abmn，即abab.
11、设群中元素a的阶为n，证明,,staasntn.
12、设H，G是群的两个正规子群，且二者的交为e，证明：H与G中的元素相乘时可换.
2 13、设H是包含在群G的中心内的一个子群，证明：当GH是循环群时，G是交换群.
14、证明：3n时2n个3轮换123,12412n是nA的一组生成元。
15、证明：同构意义下，6阶群只有6与3S.
16、设p为素数，证明：2p阶群G为Abel群.
17、若G是由a , b生成的群，且bba32a=e ，4,3ba，证明：G为Abel群。
18、设f：G→H是群同态，若g是G的一个有限阶元。试证: f(g)的阶整除g的阶。
19、证明：任意一个群G，都不能被它的两个真子群覆盖。
20、设M◁G , N◁G。若M∩N={e},证明：NMab,,有.baab
代 数 发 展 简 史
一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，
而历史却能给我们智慧。
傅鹰
数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，
人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori
0、引言
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。 阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．
数学中的抽象代数及其应用
在现代数学领域中，抽象代数是一门研究代数结构的学科。它以代数系统的广义概念为基础，通过研究各种代数结构及其性质，来揭示数学本质的一门学科。本文将探讨抽象代数的基本概念、理论及其在实际应用中的重要性。
一、群论
群论是抽象代数的基础，它研究的是集合上的一种代数运算——群运算。群是一个集合和一个运算的组合，满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个条件。通过研究群的性质及其变换规律，群论为其他分支提供了坚实的基础。
群论的应用非常广泛，尤其在密码学领域中起着重要的作用。群论的概念和性质为密码学提供了理论基础，通过利用群论中的数论运算，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储安全。
二、环论
环论是抽象代数中的另一个重要分支，它研究的是环这种代数结构及其性质。环是一个集合，配以两个二元运算——加法和乘法，并且满足一定的条件。环论的研究主要集中在环的性质、理论和相关结构上。
环论在数论、代数几何、图论等领域有广泛的应用。例如，在数论中，环论可以用来研究数的整除性、同余关系等性质；在代数几何中，环论可以用来研究代数簇的结构和性质；在图论中，环论可以用来研究图的生成树、哈密顿路径等问题。
三、域论
域论是抽象代数的又一个重要分支，它研究的是域这种代数结构及其性质。域是一个包含加法和乘法两个运算的集合，并且满足一系列条件，如交换律、结合律、存在加法和乘法的单位元及其逆元等。
域论在代数几何、密码学、编码理论等领域中有广泛应用。在代数几何中，域论为研究代数簇和其上的函数提供了基础；在密码学中，利用域论中的有限域概念可以设计出高效且安全的密码算法；在编码理论中，域论可以用来研究纠错码和解码算法。
四、线性代数
线性代数是抽象代数的一个重要应用领域，它研究的是向量空间及其上的线性变换。线性代数的主要内容包括线性方程组、矩阵理论、特征值与特征向量等。
线性代数在计算机图形学、量子力学、信号处理等领域中有广泛的应用。在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维空间中的图形；在量子力学中，线性代数被用来描述量子态和量子测量；在信号处理中，线性代数可以用来研究信号的表示和变换。
抽象代数课程东北师大数学与统计学院杨志善
第五周需要掌握的内容
1.循环群的结构.
2.循环群与Abel群.
3.群的同构.
4.群的直积.
第五周习题
1.证明实数加群R与正实数加群R+同构.
2.设G是一个群.证明:映射σ:x→x−1是G到G的同构映射当且仅
当G是Abel群.
3.设群G=G
1×G
2,G=G
1′×G
2.证明:G
1∼=G
1′.
4.设群G是其子群G
1与G
2的直积,即
G=G
1×G
2.
证明:G/G
1∼=G
2,G/G
2∼=G
1.
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