中职数学指数函数与对数函数

指数函数与对数函数

一、实数指数幂

一、实数指数幂：若是xn=a（n∈N且n＞1），则称x 为a 的n次方根。当n为奇数时，正数a的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根只有一个，记作na。当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，别离记作na，－na。它们可以写成±na的形式。负数没有 （填“奇”或“偶”）次方根。

例：填空：

（1）、（38）3= ；（38）3= 。

（2）338= ；33)8(= 。

（3）、445= ；44)5(= 。

巩固练习：

一、将下列各分数指数幂写成根式的形式：

（1）32a （2）53b（b≠0）

二、将下列各根式写成份数指数幂的形式：

（1）52a （2）351a（a≠0）

3、求下列幂的值：

（1）、（-5）0； （2）、（a-b）0； (3)、2-1； （4）、（47）4。

2、实数指数幂的运算法则

①、aa•＝a ②、aa＝a

③、)(a＝a ④、)(ab＝ba• ⑤、)(ba＝ba

例1：求下列各式的值： ⑴、21100 ⑵、328 ⑶323188•

例2：化简下列各式：

⑴、3aa ⑵、633333••

巩固练习：一、求下列各式的值：

⑴、433162

⑵、4482

⑶55325.042

二、化简下列各式：

⑴2)3(x

⑵232)(yx

⑶203532aaaa•••（a≠0）

二、幂函数

一、幂函数：形如xy（α∈Ｒ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。

例一、判断下列函数是不是是幂函数：

⑴、y＝4x ⑵、y＝3x ⑶、y＝21x

⑷、y＝x2 ⑸、s＝4t ⑹、y＝xx2)1( ⑺、y＝2x+2x+1

巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的概念域：

⑴、y＝x；⑵、y＝21x；⑶y＝1x；

⑷y＝2x；⑸y＝41x。

三、指数函数

一、指数函数：形如y＝xa （a＞0,且a≠1）的函数叫做指数函数，其中x为自变量，a为常数，指数函数的概念域为R。

例1：判断下列函数是不是指数函数？

(1)xy)3( (2)43xy （3）21xy

（4）xy52 (5) y＝x2 (6) y＝x)21(

二、指数函数性质归纳 函数 y＝xa（a＞1） y＝xa（0＜a＜1）

图

象

性

质 定义域 R

值域 (0，＋∞)

过定点 （０,１）

单调性

是R上的增函数

是R上的减函数 0 x y

y=1 y＝xa

（0＜a＜1） o

x 1 1 y

y＝x y=x-1 y=x2

0 y=1 y

x y＝xa

（a＞1）

例1：已知指数函数y=ax的图像过点（2，16）。

①求函数的解析式及函数的值域。 ②别离求当x=1，3时的函数值。

例2：判断下列函数在（﹣∞，﹢∞）上的单调性

①y=0.5x ②y=x31

四、对数

一、对数：若是ba＝N(a＞0，a≠1),那么b叫做以a为底N对数，记作㏒aN＝b，其中，a叫做对数的底数，简称底；N叫做真数。㏒aN读作:“以a为底N的对数”。

咱们把ba＝N叫做指数式，把㏒aN＝b叫做对数式。

二、对数式与指数式关系：

例1：将下列对数式改写成指数式：

（1）㏒381=4； （2）㏒5125=3；

例2：将下列指数式改写成对数式：

（1）、35=125，

（2）、4116=2

3、常常利用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。N(N＞0)的常用对数㏒10N可简记为lg N。

例如：㏒107可简记为 lg7

4、自然对数：以e为底的对数，这里e=2.718281…是一个无理数。N（N＞0）的自然对数㏒eN可简记为㏑N。 对数

底数 指数

ba＝N ㏒a N＝ b 真数 幂 例如：㏒e5可简记为㏑5

五、零和负数没有对数。

六、按照对数概念，可以证明：㏒a1=0；㏒aa=1（a＞0,且a≠1）

7、对数的运算性质：

（1）积的对数：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即

㏒a（MN）=㏒aM＋㏒aN

（２）商的对数：两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即

㏒aNM=㏒aM-㏒aN

（３）幂的对数：一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数，即

㏒abM＝b㏒aM 其中，a＞0，a≠1，M＞0，N＞0

例：求出下列各式的值：

一、㏒2（4×8） 二、㏒3（9×27） 3、㏒21664 4、㏒57525 五、3㏒24 六、㏒3219

五、对数函数

一、对数函数：函数logayx（0,a且1a）就是对数函数。是指数函数xya（0,a且1a）的反函数。

二、对数函数的图象和性质

Ｙ

Ｏ Ｘ

性质

对数函数logayx1a 01a

性质1.对数函数logayx的图像都在Ｙ轴的右方.

性质2.对数函数logayx的图像都通过点（1，0）

性质3.当1x时，0y； 当1x时，0y；

当01x时，0y. 当01x时，0y. 性质4.对数函数在0,上是增函数. 对数函数在0,上是减函数.

例1：求下列函数的概念域：

21logayx；（2）2log(4)ayx；（3）log4axyx

例2：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

（1）3log5和3log7; (2) 0.5log3和0.5log； （3）1log2a和1log3a，其中0,1aa

综合练习

一、下列各式中正确的是( )

A. 100 B.

74471aa C. 11-1-）（ D.

5511aa

二、下列等式中能够成立的是（ ）

A. 3339 B. 5515)(baba

C. 32322)(yxyx D. 3623)3(

3、设0b，化简式子61531222133)()()(abbaba的结果是（ ）

A. 1ab B. a C. 1a D. 1)(ab

4、在式子23)32(x中，x的取值范围是（ ）

A. Rx B. 32x C. 32x D. 32x

五、幂函数31xy必通过点（ ）

A. )2,2( B. )1,1(和)0,0( C. )21,21( D. )3,1(

六、幂函数3xy的奇偶性为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 减函数

7、下列函数中，为指数函数的是（ ）

A. xy1 B. xy2 C. xy D. )10(1aaayx且

八、计算212)4(的结果是

九、842422 , 32)833(

10、比较下列各题中两个实数的大小

（1）4-55151与 （2）5.3-522与

课后练习

一、选择题

一、函数123xyx的概念域是 （ ）

A.3{1}2xxx或 B.3{1}2xxx且 C.3{1}2xxx或 D.{1}xx

二、概念在R上的偶函数()fx，在(0,)上是增函数，则 （ ）

A．(3)(4)()fff B．()(4)(3)fff

C．(3)()(4)fff D．(4)()(3)fff

3、式子1241()162的值为 （ ）

A．-2 B．2 C．4 D．-4

4、式子2(lg5)lg2lg50•的值为 （ ）

A． 6 B．4 C．3 D．1

五、已知3412)(xxxf(x∈R,x≠43),则)2(1f的值为 ( ) A.107 B.53 C.53 D.107

六、已知()logafxx的图象过点(5,3)，则a （ ）

A．5 B．3 C．35 D．35

7、若14()162x，则的取值范围是 （ ）

A．24x B．42x C．42x D．24x

八、对于10a,给出下列四个不等式:

①)11(log)1(logaaaa ②)11(log)1(logaaaa

③ aaaa111 ④aaaa111

其中成立的是 ( )

A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④

九、已知20.3a，2log0.3b，0.32c，则下列正确的是 （ ）

A．abc B． cab C．cba D．bca