相似三角形的性质
一、引言
相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义
1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）
2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）
那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质
1.对应角相等
相似三角形的一个基本性质是对应角相等。这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例 相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等
相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等
相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等
相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方 相似三角形的面积比等于相似比的平方。例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
1 相似三角形的性质
基础闯关全练
1. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,那么它们的对应中线之比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
2. (2014重庆模拟)已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=8,则△DEF中EF边上的中线DN=________.
3. 两个相似三角形的相似比为2∶5,已知其中一个三角形的一条中线的长为10,那么另一个三角形对应的中线的长是________.
4. 已知:△ABC∽△A'B'C',AB=4 cm,A'B'=10 cm,AE是△ABC的一条高,AE=4.8
cm.求△A'B'C'中对应高线A'E'的长.
5. (2013山东泰安中考)如图27-2-2-1,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.
(1)求证:AC2=AB·AD;
(2)求证:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
图27-2-2-1
6. 若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶ 2 7. 如果两个相似三角形对应高之比是9∶16,那么它们的周长之比是( )
A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9
8. (2015四川自贡富顺一模)两个相似三角形对应中线的比为2∶3,周长的和是20,则这两个三角形的周长分别为( )
A.8和12 B.9和11 C.7和13 D.6和14
9. (2015四川广安月考)已知△ABC的三边长分别为4,3,6,与它相似的△DEF的最小边长为12,则△DEF的周长为( )
A.39 B.26 C.52 D.13
10. 两个相似三角形的相似比为2∶5,它们周长的差为9,则较大三角形的周长为________.
共7页 第1页
相似三角形的性质
要点一、相似三角形的性质
1. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：
ABCA'B'C'
类似地，我们还可以得到：
相似多边形周长的比等于相似比.
2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCABCBCADkBCkADSkSBCADBCAD△△
ABCA'B'C'DD'
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
要点二、相似三角形中对应线段的比
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
共7页 第2页 一、典型例题
类型一、相似三角形的性质
1.如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：
①△ABD∽△CAD；
②AB：AC=DF：AF．
举一反三:
【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.
2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
EDABCF
举一反三：
【变式】已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：2，则CD：AB= ，S△COB：S△COD= ．
共7页 第3页 3.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，求EH的长?
《相似三角形的性质》教案
古浪县裴家营职业中学 哈玉梅
教学目标
知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．
过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力．
情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识．
教学重点
相似三角形性质定理的理解与运用．
教学难点
探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题．
教学过程
一、温故知新
1、相似三角形的判断方法：
2、相似三角形的基本性质：
问题：三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等,如果两个三角形相似，那么这些几何量之间有什么关系呢？
引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系．
二、学习新知：
问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？
探究1：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′对应高AD和A′D′．AD和A′D′的比是多少？
探究2：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应中线、对应角平分线的比各是多少?
图1
结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比．
探究3：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比．
思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′对应高AD和A′D′．
21212ABCABCBCADSBCADkkkSBCADBCAD
结论：相似三角形面积比等于相似比的平方．
