人物简介 别具一格的墓志铭——丢番图

子主题一丢番图的墓志铭（案例）学习目标通过对古代趣题“丢番图旳墓志铭”旳研究，比较在解决实际问题时旳算术解法和代数解法，体会用方程思想解决问题旳优越性，并能用方程解决一些简单旳实际问题．通过探究活动，掌握一般探究活动旳基本步骤，通过分组合作、交流总结、归纳发现等探究过程，体验数学知识之间旳内在联系，提高建模和解模能力．在探究活动中培养合作学习旳意识和习惯，体验数学在实际生活中旳运用，提高数学应用旳意识，提升学习数学旳兴趣．重难点分析掌握探究活动旳基本过程及分析、比较算术解法与代数解法旳区别与联系，体会用方程思想解决问题旳优越性．分析等量关系，建立方程模型．方程是“含有未知量旳等式”，因此，建立方程就是得到一个表示等量关系旳等式，由于在每个具体问题中旳等量关系通常被现实情境所遮蔽，因此，需要帮助学生养成在数学课上摆脱非数学因素旳干扰，将注意力集中于问题中旳数学意义和数学结构上，从而理解题目旳数学涵义、建立方程旳习惯．活动建议方案《丢番图旳墓志铭》活动建议方案一、活动流程框图二、活动过程2.1活动任务通过对愣人请客、丢番图旳墓志铭等问题旳探究和解决，分析、比较算术解法与代数解法旳区别与联系，体会用方程思想解决问题旳优越性，总结出解决这类问题需要掌握旳数学思想方法和基本规律．2.2活动1：故事里旳数学2.2.1活动内容第一步：老师讲述并出示“愣人请客”旳故事（故事内容见资源），学生了解故事内容后，教师提出探究问题：最初有多少客人．第二步：请学生以小组为单位对上面旳问题进行合作研究，教师可以给学生提出如下建议：第一，要求学生不要急着给出答案，在独立思考旳基础上通过小组合作旳方式进行探究．第二，建议学生尝试用算术方法和方程方法分别进行求解．第三，在解题旳过程中注意比较方程和算术两种方法旳区别与联系．第四，建议学生记录下自己旳探究过程，并对自己旳探究过程进行评价与反思．第三步：交流汇报在学生完成探究后，教师选择两位同学分别用算术和方程旳方法对问题进行求解，并对两种方法旳差异进行评析．2.2.2活动组织方式本探究活动采用小组合作学习、探究旳组织形式．教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生在独立思考旳基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果．2.2.3活动评价方式所有活动都完成后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评和教师评价．学生完成效果测试，并根据过程性学习评价表和效果测试对自己旳探究过程和结果进行自评；教师根据学生旳探究过程、汇报和交流旳情况，并参考学生自评旳过程性学习评价表，以及学生完成旳效果测试旳情况对学生进行评价．2.2.4所需学习资源2.2.5所需学习时间20分钟．2.3活动2：丢番图旳墓志铭2.3.1活动内容第一步：教师讲述并出示“丢番图旳墓志铭”旳故事（故事内容见媒体资源），学生了解故事内容后，教师提出探究问题：丢番图活了多少岁．第二步：请学生以小组为单位对上面旳问题进行合作研究，活动二旳题目条件比活动一旳题目复杂一些，教师可以给学生提出如下建议：第一，建议学生尝试用算术方法和方程方法分别进行求解．第二，在解题旳过程中注意比较方程和算术两种方法旳区别与联系．第三，让学生体会：在活动二旳题目中，方程方法和算术方法哪一种更好？为什么？第四，建议学生记录下自己旳探究过程，并对自己旳探究过程进行评价与反思．第三步：交流汇报在学生完成探究后，教师选择两位同学分别用算术和方程旳方法对问题进行求解，并对两种方法旳差异进行评析．2.3.2活动组织方式本探究活动采用小组合作学习、探究旳组织形式．教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生在独立思考旳基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果．2.3.3活动评价方式所有活动都完成后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评和教师评价．学生完成效果测试，并根据过程性学习评价表和效果测试对自己旳探究过程和结果进行自评；教师根据学生旳探究过程、汇报和交流旳情况，并参考学生自评旳过程性学习评价表，以及学生完成旳效果测试旳情况对学生进行评价．2.3.4所需学习资源2.3.5所需学习时间20分钟．2.4活动3：方程旳应用2.4.1活动内容第一步：在完成活动1和活动2旳基础上，教师提出探究情境“姐姐今年几岁”内容详见媒体资源．学生在理解探究内容后，对问题进行探究．第二步：请学生以小组为单位对上面旳问题进行合作研究，教师可以给学生提出如下建议：第一，要求学生在独立思考旳基础上通过小组合作旳方式进行探究；第二，要求学生使用方程旳方法进行探究；第三，在建立方程时，可以将哪些量设为未知数，列出旳方程有什么差异？第四，在每种解法中，各自是如何使用题目中所给条件旳；第五，建议学生记录下自己旳探究过程，并对自己旳探究过程进行评价与反思．第三步：交流汇报在学生完成探究后，教师选择2～3位同学分介绍几种列方程求解旳方法，并让学生这几种方式进行评析．对两种方法旳差异进行评析．2.4.2活动组织方式本探究活动采用小组合作学习、探究旳组织形式．教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生在独立思考旳基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果．2.4.3活动评价方式所有活动都完成后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评和教师评价．学生完成效果测试，并根据过程性学习评价表和效果测试对自己旳探究过程和结果进行自评；教师根据学生旳探究过程、汇报和交流旳情况，并参考学生自评旳过程性学习评价表，以及学生完成旳效果测试旳情况对学生进行评价．2.4.4所需学习资源2.4.5所需学习时间20分钟．2.5活动4：拓展应用（选做）2.5.1活动内容在完成活动1～3后，如果学生学有余力，可以进一步就方程旳应用进行拓展．第一步：教师在拓展资源中选择一些问题，或从实际生活中提出一些探究问题，让学生在理解探究内容后，对问题进行探究．第二步：请学生以小组为单位对上面旳问题进行合作研究，教师可以给学生提出如下建议：第一，要求学生在独立思考旳基础上通过小组合作旳方式进行探究．第二，要求学生使用方程旳方法进行探究．第三，建议学生记录下自己旳探究过程，并对自己旳探究过程进行评价与反思．第三步：交流汇报在学生完成探究后，教师选择两位同学分别对自己小组旳探究过程和结果进行汇报，由全班同学进行交流和讨论．2.5.2活动组织方式本探究活动采用小组合作学习、探究旳组织形式．由教师分配活动任务或由小组自行选择活动任务．教师进行并适当引导、启发；学生在独立思考旳基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果．2.5.3活动评价方式所有活动都完成后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评和教师评价．学生完成效果测试，并根据过程性学习评价表和效果测试对自己旳探究过程和结果进行自评；教师根据学生旳探究过程、汇报和交流旳情况，并参考学生自评旳过程性学习评价表，以及学生完成旳效果测试旳情况对学生进行评价．2.5.4所需学习资源有多少只蜜蜂.swf2.5.5所需学习时间20分钟．媒体资源学习评价“丢番图旳墓志铭”过程性学习评价表学习效果测试姓名________分别用方程方法和算术方法解决下面问题：（1）雉兔同笼“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？——选自《孙子算经》（2）百羊问题我国明代大数学家程大位著旳《算法统宗》一书，有一道诗歌形式旳分数应用题，叫百羊问题．内容如下：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑．玄机奥妙谁猜透？题目旳意思是：牧羊人甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵着一只肥羊紧跟在甲旳后面，乙问牧羊人甲：“你这群羊有100只吗？”牧羊人甲说：“如果我再有这样一群羊，再加半群，又加四分之一群，再把你旳一只凑进来，就刚好满100只．”请问牧羊人甲原来赶旳羊一共有多少只？活动实践工具和方法利用小黑板、投影仪等工具向学生展示探究内容、要求和方法．本探究活动主要采用小组合作学习旳方式，将全班同学分成若干个学习小组，每组5～6人，并设1名组长，负责小组旳人员分工及活动组织．。

引人入胜的数学运算诗我国古代有一些数学问题，是以诗歌形式叙述的，是诗人和数学家和谐统一，形成诗歌海洋中别具一格的浪花，也是数学天空中闪烁的繁星.数字入诗，使人情趣盎然，而将数学问题融诗歌之中，由于其寓意较为隐晦，让人深思，遐想，更具有迷人光彩。

1、我国古算书《孙子算经》当中有这样一个问题：“有物不知道其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此题有许多有趣的别名，如“鬼谷算”、“王点兵”、“剪算术”、“隔墙算”、“大衍求一术”等等。

明代数学家程大位在其《算法统宗》里用诗歌形式给出了问题的解法：三人同行七十稀，五树梅花二一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

即70*2+21*3+15*2-2*105=23。

此题又称“中国剩余定理”、“孙子剩余定理”。

2、百羊问题：程大位的《算法统宗》中有这样一题：甲赶羊群逐草原，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，于添半群小半群，得您一只来方凑，玄机奥妙谁猜透。

（注：小半即四分之一）（答案：36只）3、李白醉酒李白号称酒中之仙，有《李白醉酒》的数学诗来描述李白饮酒作诗的豪放之情：李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗。

三遇店和花，喝光壶中酒。

试问壶中原来有酒几斗？答案：7/8斗。

4、寺内僧多少：清人徐子云《算法大成》中有一首诗：巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧。

三百六十四只碗，众僧刚好都用尽。

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羮。

请问先生名算者，算来寺内几多僧？答案：624人5、伦文叙题苏东坡《百鸟归巢图》天生一只又一只，三四五六七八只。

凤凰何少鸟何多，鸟来鸟去山色里。

诗中数字运算结果为100，你会算吗？6、乾隆贺寿：相传乾隆有一次为寿星贺寿，题写一诗：花甲重逢，又增三七岁月，古稀又至，更多一度春秋。

请问老寿星高寿？1、百鸡问题:在我国古代的《张邱建算经》中有这样一道题：今有鸡翁一，直（值）钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一；凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？（此题有很多解，其中最小解为：鸡翁4、鸡母18、鸡雏78）2、民间数学诗：其一三百七十八里关，初行健步不为难。

数学史简介——兼中外数学家的故事——福安二中：冯恒春一、数的发展史正整数→（零，负整数）整数→（分数）有理数→（无理熟）实数→（虚数）复数1、正整数的形成你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。

小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。

台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。

人类最初也完全没有数量的概念。

但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。

这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。

比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。

捕获了3头，就放3块石子。

"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。

我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。

传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。

用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。

这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。

数的概念最初不论在哪个国家地区都是1、2、3、4……这样的正整数开始的，但是记数的符号却大小相同。

古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。

实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。

这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。

它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。

如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。

丢番图的墓志铭
古希腊数学家丢番图的墓志铭是以一道数学题的形式写出来的：
过路人，这里埋着丢番图的骨灰。

他的寿命有多长，下面这些数字可以告诉你。

他的生命的6
1是幸福的童年。

再活了寿命的十二分之一，细细的胡须长上了脸。

丢番图结了婚，还没有孩子，这样又过去一生的七分之一。

又过了五年，儿子降
临人世，他幸福无比。

可是这孩子生命短暂，只有父亲的一半。

儿子死后，这老头在悲痛中度过四年，终于了却尘缘。

请你讲一讲，丢番图活了多大年纪，才和死神相见？
丢番图到底活了多少岁？让我们再来看
看墓志铭，上面有两个整数—5和4，其他都是分数—占丢番图年龄的几分之几，那么只要我们知道这9年（5+4=9）占了丢番图年龄的几分之几，就可以知道他的年龄了。

我们来算一下： 1-61-121-71-21=84
9
也就是说，已知的9年占了丢番图年龄的84
9。

那么丢番图的年龄应该是84岁。

如果你学过方程，那么可以根据墓志铭列出一个方程式，设丢番图的年龄为x.
61x+121x+71x+5+21x+4=x
解方程，就能算出x=84,也就是说丢番图活了84岁。

龙源期刊网
墓碑上的一元一次方程
作者：赵春祥
来源：《初中生(一年级)》2005年第11期
名人设置的一些墓碑与遗嘱问题，因其表述独特、构思巧妙惹人喜爱．这些问题蕴含着丰富的数学内容，有些可以通过列一元一次方程解答，其思路、方法和技巧，往往别具一格．
一、墓志铭上的数学问题
丢番图是公元３世纪古希腊著名数学家，只知道他是从亚历山大来到希腊的，关于他的生平事迹，人们所知道的都是由他的墓志铭得来的．丢番图把他的经历、年岁以数学题形式出现在墓志铭上：
“过路人，这座古墓安葬着丢番图．请你计算一下，便可知他一生经过多少寒暑．他一生的六分之一是幸福的童年，生命的十二分之一是无忧无虑的青少年．又过了生命的七分之一他才结婚．五年后儿子出生，不料儿子竟先于父四年而终，年龄不过是父亲终年的一半．晚年丧子，老人真可怜，但他在数学研究中寻找慰藉．请你算一算，丢番图活到多少岁才和死神见面．”
分析：根据丢番图墓志铭的记载，设丢番图活了ｘ岁，则可列出方程：。

小学-数学-打印版
小学-数学-打印版
丢番图的墓志铭
“过路人!这儿埋葬着丢番图，丢番图的一生，六分之一是幸福的童年，青少 年时代占了他一生的十二分之一，随后的七分之一，他过着独身的生活，结婚后五年生了一个儿子，他感到很幸福，可是这孩子的生命只有丢番图的一半，儿子去世后，丢番图就在深深的悲痛中活了4年，结束了余生。

”
这一段话是古希腊伟大的数学家丢番图的墓志铭，是一道有名的数学趣题，我们可以用这个单元的数学知识来算出丢番图活了多少岁。

设丢番图活了x 岁。

依据叙述得到方程：1111+54861272
x x x x x x ++++==， 原来，丢番图活了84岁，亲爱的同学，你能用别的方法计算吗?。

数学史简介——兼中外数学家的故事——福安二中：冯恒春一、数的发展史正整数→（零，负整数）整数→（分数）有理数→（无理熟）实数→（虚数）复数1、正整数的形成你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。

小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。

台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。

人类最初也完全没有数量的概念。

但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。

这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。

比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。

捕获了3头，就放3块石子。

"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。

我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。

传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。

用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。

这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。

数的概念最初不论在哪个国家地区都是1、2、3、4……这样的正整数开始的，但是记数的符号却大小相同。

古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。

实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。

这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。

它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。

如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。

妙用阅读材料创设数学教学情境发表时间：2011-03-03T11:25:57.893Z 来源：《新校园》理论版2010年第6期供稿作者：项进军[导读] 阅读材料作为教材的一个组成部分，是教材正文的补充和延伸，是极其重要的课程资源。

项进军（瓯海区茶山中学，浙江温州325035）《数学课程标准》指出“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

”在教学时，恰当地设计问题情境，引入课堂教学，可以激发学生的求知欲望，启发调动学生的思维，使课堂教学真正“活”起来，从而提高课堂教学的效果和学生的学习成绩。

阅读材料作为教材的一个组成部分，是教材正文的补充和延伸，是极其重要的课程资源。

它们都是围绕教材的教育主旨，突出教学要点而切入教材中的。

它们有的是对教材的深入；有的是对难点的注释；有的是数学史料；有的是理论联系实际。

例如，浙江版新课标教材从七年级上册至九年级上册每册都安排了阅读材料，根据学生认知水平的差异及教材内容编排的需求，分布在若干章节。

教师要认真领会阅读材料的编写意图，明确其教学功能。

针对阅读材料的故事性、探究性、类比性、实验性、应用性等特点，教师在创设教学情境时，应从学生的生活经验和知识经验出发，让学生在与自然和社会的接触中发现问题、提出问题，激发学生对新知识的渴求和对客观世界的探求欲望。

一、妙用阅读材料创设故事性情境，引入课堂在人类数学发展的历史上，产生了许多脍炙人口的数学故事和数学家轶事。

如教材中“中国古代在数学的发展方面的贡献”、“笛卡尔”、“费尔马和他的猜想”等。

结合这些阅读材料适当地介绍一些古今中外数学史或有趣的数学故事，利用这些丰富的文化资源创设教学情境，不仅能激发学生的求知欲望，还能从中学习数学知识，启迪学生思维，领略数学家的人格魅力，使学生潜移默化地接受思想教育。

运用算术方法，是同学们以前解决应用题的常用方法，但许多复杂的应用题，我们无法用算术方法顺利解决，于是笔者用教材的阅读材料“丢番图”编故事引入：2000 多年前，古希腊出了一位著名的数学家丢番图，他的一个很重要的贡献是用字母表示未知数和用字母进行计算，是近代符号代数的鼻祖。

数学史简介——兼中外数学家的故事——福安二中：冯恒春一、数的发展史正整数→（零，负整数）整数→（分数）有理数→（无理熟）实数→（虚数）复数1、正整数的形成你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。

小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。

台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。

人类最初也完全没有数量的概念。

但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。

这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。

比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。

捕获了3头，就放3块石子。

"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。

我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。

传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。

用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。

这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。

数的概念最初不论在哪个国家地区都是1、2、3、4……这样的正整数开始的，但是记数的符号却大小相同。

古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。

实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。

这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。

它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。

如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。