《材料力学》公式

1材料力学公式汇总

一、应力与强度条件

1、拉压 []

max

maxN

Aσσ

=≤

横截

2、剪切 []

maxQ

Aττ

=≤

受剪

挤压 P

Aσσ

⎡⎤=≤

⎣⎦挤压

挤压挤压

挤压投

3、

圆轴扭转[]

max

maxmaxTT

PPMM

IWρ

ττ⎛⎞⎛⎞

==≤ 4、平面弯曲 ①[]

max

n

maxnM

Wσσ

=≤

②[]

max

maxmaxnz

zM

y

Iσσ+

++

=≤

[]

max

maxmaxnz

zM

y

Iσσ−

−−

=≤

③[]

ττ

≤

⋅=

bISQ

z*

max zmax

max

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠5、斜弯曲

[]

ny

nz

max

nzny

maxM

M

WWσσ

=+≤；

6、拉(压)弯组合

[]

max

maxn

nMN

AWσσ

=+≤;[]

maxmax

znzMN

y

AIσσ+

++

=+≤;[]

nz

maxmax

zMN

y

IAσσ−

−−

=−≤.

注：“5,6”两式仅供参考.

7、轴向拉压斜截面上应力：2

cos;sin2

2αασ

σσατ

==横

横α

8、圆轴弯扭组合： ①第三强度理论[]222

22

nn

n22

eq3

nn4xoyxozT

TMMM

MM

WWσστσ++

+

=+==≤

②第四强度理论[]222

22

nnT

nT22eq4

nn0.75

0.75

3xoyxozMMM

MM

WWσστσ++

+

=+==≤

9、圆轴拉(压)弯扭组合：①第三强度理论 []2

2

2

eq31(1)

8nT

nD

MNM

Wα

σσ⎛⎞

+

=++≤

⎜⎟

⎝⎠

②第四强度理论 []2

2

2

eq41(1)

0.75

8nT

nD

MNM

Wα

σσ⎛⎞

+

=++≤

⎜⎟

⎝⎠

二、变形及刚度条件

１、拉压 ∑

∫

===Δ

LEAxx)

N

EALN

EANL

Ld(

ii

２、扭转 ()

()弧度；

T

TiiT

pppMxdx

MLML

GIGIGIΦ==Σ=∫0

180

pT

LGIθ

πΦ

==⋅

（

m/D

）

３、弯曲

(1)积分法:()

'''

()();()()()d;()()dd.

nnnEIyxMxEIyxEIxMxxCEIyxMxxxCxDθ

===+=+∫∫∫

+

边界条件：铰支：挠度为零；固支：挠度和转角都为零。

材料力学重点及其公式

材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。

外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力

截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力： dAdPAPpAlim0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。

杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限b破坏，塑性材料在其屈服极限s时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：3ns，bbn，强度条件：maxmaxAN，等截面杆 ANmax

轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：lll1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：ll，APAN。横向应变为：bbbbb1'，横向应变与轴向应变的关系为：'。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 E，这就是胡克定律。E为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EANll

静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。

1.2.2 位移计算的一般公式 （一）位移计算的一般公式 利用虚功原理求结构位移需要两个状态：实际位移状态和虚设力状态。

要求的位移是由给定

的荷载、温度变化和材料胀缩、支座移动和制造误差等因素引起的，以此作为结构的实际位

移状态；再虚设一个恰当的力状态，即在所求位移处沿所求位移方向加相应的单位荷载，让

虚设力在实际位移上作功，

利用虚功方程即可求得所求位移。这种计算位移的方法称为单位

荷载法。

利用单位荷载法，由虚功方程（1-3）可得平面杆件结构位移计算的一般公式

(1-4)

式中：和、、——虚设单位荷载引起的支座反力和微段上的内力；

和、、——实际位移状态中支座位移和微段上的变形。

公式（1-4）适合静定结构和超静定结构、弹性体系和非弹性体系在各种因素下产生的位移

计算。

【注意】采用单位荷载法求结构位移，应注意以下几点：

（1）每假设一个虚拟状态，只能求出一个未知位移；

（2）所加的单位荷载应与所求位移相对应；

（3）虚设单位荷载的指向可以任意假定，结果为正，说明所假设单位荷载方向与实际位移

方向相同；结果为负，则说明与实际位移相反。

（二）荷载作用下的位移计算公式

计算荷载作用下的位移时，式（1-4）中的应变、、0是由荷载引起的，可按

下列顺序求出：

荷载——内力——应力——应变 下面列出在荷载作用下，静定结构的单位位移的具体计算步骤：

（1）根据荷载情况，求出结构各截面的弯矩、剪力、轴力。

（2）根据内力，求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变：

（1-5a）

（1-5b）

（1-5c）

式中：E和G分别为材料的弹性模量和剪切弹性模量：A和I

分别是杆件截面的面积和惯性

矩。EI

、GA、EA分别是杆件截面的抗弯、抗剪、抗拉刚度；是剪应力分布不均匀系数。

（3）将式（1-5）代入式（1-4），即得到在荷载作用下的位移计算公式

（1-6）

须指出：上式（1-6）只适用于线弹性平面杆系结构。

关于内力的正负号可规定如下：

1 材料力学重点及其公式

材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。

外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力

截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力： dAdPAPpAlim0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。

杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限b破坏，塑性材料在其屈服极限s时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：3ns，bbn，强度条件：maxmaxAN，等截面杆 ANmax

轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：lll1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：ll，APAN。横向应变为：bbbbb1'，横向应变与轴向应变的关系为：'。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 E，这就是胡克定律。E为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EANll

静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。