3-3球面上的几何

旧知回顾在上一讲中，我们主要讲了球面上的基本图形．我们认识了球面二面角和球面三角形．回想一下球面三角形的定义和性质．新课导入本讲我们在类比平面三角形有关性质的基础上，讨论球面三角形三边之间的关系、球面“等腰”三角形、球面三角形的周长以及球面三角形的内角和等等．教学目标知识与能力•感知球面三角形在现实中的应用．•认识球面三角形的性质．•了解球面三角形的基本内涵．过程与方法•通过观察，了解球面三角形和平面三角形的类比过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•让学生能够以类比的思想学习新的知识．•总结实际生活中大量存在的现象和规律．•培养合作交流意识．教学重难点•更深入地认识球面三角形．•了解球面三角形与平面三角形之间的异同点．•抓住球面三角形的特征，认识它的几何性质．一、球面三角形三边之间的关系在平面上，三角形满足：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．球面上是否也成立？AC BO图4-1由于引入三面角，对于球面上边与角的研究就转化为立体几何中角的研究．球面三角形的边对应三面角的面角，因此研究三面角中三个面角之间的关系．图4-2,假定为单位球面，那么O-ABC 是一个三面角．而且有,,.a BC BOCb CA COAc AB AOB ==∠==∠==∠A C B O 图4-2ab c O -ABCOC A Ba b在b 图中，我们可以证明.AOB BOC COA ∠+∠>∠再根据上述等式，得到.c a b +>这样可以得出：三面角中的两个面角之和大于第三个面角．对应到球面三角形中，就有：球面三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．二、球面“等腰”三角形类似平面三角形的两边相等，则对角相等．在球面三角形中，等边对等角，等角对等边；大角对大边，大边对大角．已知：在球面△ABC中，b=c求证:∠B=∠C ．动动脑ACBOBOACE DFab ccab图4-3三、球面三角形的周长在球面三角形中，每条边都小于大圆周长的一半，所以周长不会超过3/2个大圆周长．实际上，周长要小于大圆周长．具体的证明方法是应用球面上边角对等的关系来验证的．一个很重要的结论：球面三角形的周长小于大圆周长．四、球面三角形的内角和对于平面三角形，内角和等于180°．那么球面三角形的内角和是否也是一个定值呢？下面引入例题AOB C图4-4上图中，设A点表示地球的北极，B、C两点所在的曲线是赤道L A，其中，B点所在的经线是0°，C点所在经线是90°．AB、AC是两条经线，而经线与赤道平面垂直，所以∠BAC=π/2．由极与赤道的概念知道：ABC ACB ,2π∠=∠=因此三角形的内角和为3ABC ACB BAC .2π∠+∠+∠=>π说明球面上存在内角和大于180°的三角形．球面面积等于1/4上半球面面积（因为区域扫过了90°），也等于1/8球面面积，如果半径为r ，那么球面△ABC 的面积=22221134πr =πr =(π-π)r 822=(ABC +ACB +CAB -π)r .⨯∠∠∠探究如果再在赤道上取一点D，所在的经线是东经120°，这是球面△ABD的面积又会是多少？通过计算得：球面△ABD 面积2222125S 4r r ()r 633(ABD ADB DAB )r .=⨯π=π=π-π=∠+∠+∠-π一般的，球面△ABC的半径为r,则任意球面的面积=（A+B+C-π）r2，(A、B、C分别为角A、B、C的弧度数)，特殊的，若半径为1，则面积=（A+B+C-π）．通过例子说明球面三角形的内角和是大于180°的．这是球面几何与欧氏几何不同的重要特征之一．思考球面三角形的内角和是不是可以任意大？A CB O a b c 图4-5分析：由于球面三角形的内角所对应的边都小于大圆周长的一半，故每个内角都小于180°，所以内角和要小于540°，实际上，球面三角形的内角和要小于360°．课堂小结1. 球面三角形三边之间的关系；2. 球面“等腰”三角形；3. 球面三角形的周长以及球面三角形的内角和；。

一球面上的正弦定理和余弦定理-人教A版选修3-3 球面上的几何教案一、教学目标1.理解球面三角形基本概念，熟悉球面上的正弦定理和余弦定理；2.能够运用球面上的正弦定理和余弦定理解决实际问题。

二、教学重难点1.熟悉球面三角形的基本概念；2.熟悉球面上的正弦定理和余弦定理，并能够正确运用。

三、教学内容1.球面三角形的基本概念；2.球面上的正弦定理和余弦定理；3.球面上的实际问题。

四、教学过程1. 球面三角形的基本概念•定义球面三角形、球面角；•讨论球面三角形相似。

2. 球面上的正弦定理和余弦定理•介绍球面上的正弦定理和余弦定理；•讲解球面上的正弦定理和余弦定理的公式以及推导过程。

3. 球面上的实际问题•运用球面上的正弦定理和余弦定理解决实际问题；•练习球面上的正弦定理和余弦定理的应用题目，并分析解题思路。

五、教学方法1.讲解：通过讲解的方式介绍球面三角形基本概念、球面上的正弦定理和余弦定理的公式以及推导过程；2.练习：通过练习解题的方式练习球面上的正弦定理和余弦定理的应用题目，并分析解题思路。

六、教学评估1.提问：通过提问检查学生对球面三角形基本概念、球面上的正弦定理和余弦定理的理解；2.练习：通过练习解题的方式检查学生掌握球面上的正弦定理和余弦定理的应用能力。

七、教学资源人教A版选修3-3《球面上的几何》课本八、教学总结在教学过程中，学生需要理解球面三角形的基本概念，掌握球面上的正弦定理和余弦定理，能够灵活运用于各种实际问题。

在教学中，老师应该注重激发学生的学习兴趣、引导学生思考，充分利用教学资源和教学手段，提高教学效果。

同时，教师还要及时评估学生的学习情况，帮助学生克服困难，提高学习成绩。

旧知回顾我们在平面上除了学习直线和角之外，还学习三角形．图3-1新课导入这次课学习球面上的基本图形极和赤道球面二角形球面三角形教学目标知识与能力•感知球面上的基本图形．•认识各种基本图形的特点．•掌握球面三角形的性质．过程与方法•通过观察学习球面三角形的定义过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•注意让学生从以前所学的知识中体会新的知识．•了解新旧知识的相识点和不同点．•培养合作交流意识．教学重难点•球面三角形的概念．•球面三角形与平面三角形的异同点．•会解简单的几何题．一、极与赤道大家熟知，地球上有南极、北极、赤道．我们在球面几何中同样引入“极”、“赤道”的概念．ONL 图3-2N图3-2中，设N 为地球上的北极点， O 为球心，半径ON 垂直于赤道 所在的平面，即过O 且垂直于地球半径ON 的平面截地球球面所得的大圆是地球的赤道．N L在球面上任取一点A ，垂直于半径OA 的平面截球面得到大圆L A ，此时把A 叫极点（简称极），大圆L A 为以点A 为极点的赤道圆（简称赤道）． O NL 图3-3NAAL结论对于球面上任意一点，均可以得到与它对应的一个赤道;对于球面上的赤道，可以得到与它对应的两个极点．探究由概念看出，极与赤道有着对应关系，那么两者之间除此之外，是否还有其他紧密的联系？想一想分析：如果球的半径为R ，那么极点A 与赤道上任一点B 的距离为 ，（即 圆的周长），如下图所示：2R ONL A图3-4B由上面分析可知：1、球面上与点A 的距离为 的点必在赤道L A 上．2、球面上任一点A 都对应它的一个赤道L A ，那么该点到赤道的距离均为 ．2Rπ2R π二、球面二角形AOB C'A图3-5OBC'AA图3-6由图3-5知，球面角∠BAC 的两边AB 、AC 延长后交于A ´，所组成的图形ABA ´C 成为球面二角形．又称（月形）．把 、 称为球面二角形的边，球面角 是球面二角形的夹角． 'ABA 'ACABAC例1 如图3-6，已知球面角 ，求证：月形ABAC ´的面积等于球面面积的倍．BAC α∠=2απ证明：将月形ABAC ´中的一条边ACA ´在球面上由右向左旋转到边ACA ´的位置，则边ACA ´扫过整个球面，边ACA ´旋转了一周，故球面可以看作是球面角为的月形． 2π若球面角 ，那么月形ABAC ´的面积等于球面面积的 倍．BAC α∠=α2π所以，月形ABAC ´面积= ．22α4πr =2αr 2π⨯三、球面三角形１、球面三角形ＡＢＣO ＣＢＡ图3-７图3-８前者是平面上的三角形，它是三条线段首位顺次相接构成的封闭图形．完全类似，可以把球面上的三条“直线”（三条大圆的圆弧）首位顺次相接的封闭图形是球面三角形．（如图３-８）思考如何度量球面△ABC的边和内角？AC BO图3-9如图，连接球心O与A、B、C三点，由球面角的定义及度量可知，球面△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C可分别由二面角B-OA-C、A-OB-C、B-OC-A度量．如果设 （ 均为弧度），那么球面△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别为：． ∠∠∠AOB =α,BOC =β,COA =γ,,,AB r BC r CA r αβγ===αβγ其中r 为球的半径．若r=1,则AB = ，BC =，CA = ． αβγ2、三面角无论是测边长还是内角，都要连接球心与球面三角形的顶点（图3-9），如果延长上图中的三条线段OA、OB、OC 使其成为射线，这三条射线构成三个平面，把这样的图形叫做三面角（图3-10），记为O-ABC．AC BO图3-10O点为三面角的顶点，OA、OB、OC 称为它的棱，∠AOB，∠BOC，∠COA称为它的面角．相邻两面构成的二面角是三面角的二面角，一个三面角有三个二面角．综上，球面△ABC的三个内角对应于三面角O-ABC的三个二面角，三条边对应三面角O-ABC的三个面角．下面对应关系球面△ABC 三面角O-ABC 内角二面角边面角我们可以利用三面角的知识研究球面三角形．在球面上找到A 、B 、C 关于球心O 的对称点A ´、B ´、C ´,以对称点为顶点构成的球面三角形△A ´B ´C ´，成为球面三角形△ABC 的对顶三角形（图3-11）．3、对顶三角形 AC BO图3-11'C 'A 'B 两个对顶的球面三角形关于球心对称4、球极三角形 对于任意球面△ABC ，假设与BC 边所在大圆对应的极点为A ´、A ˝，与边AC 所在大圆对应的极点为B ´、B ˝，与边AB 所在大圆对应的极点为C ´、C ˝． O'B ''B 'C ''C 'A ''AAB C 图3-12上图中点A´与A，B´与B、C´与C，在同一个半球面内，称球面△A´B´C´为球面△ABC的极对称三角形，简称球极三角形.思考如果球面△A´B´C´是球面△ABC 的极对称三角形，那么球面△A´B´C´的极对称三角形是什么？球面△A´B´C´的极对称三角形是球面△ABC．总结：球面△A´B´C´与它的球极△ABC 互为极对称三角形．动动脑球面三角形与球极三角形之间还有其他关系吗？假定球面为单位球面，有下面结论：若球面△ABC的极对称三角形是△A´B´C´，且它们的内角（单位：弧度）与边长分别为∠A、∠B、∠C，a，b，c和∠A´、∠B´、∠C´，a´，b´，c´那么'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C课堂小结1. 球面三角形2. 三面角3. 对顶三角形4. 球极三角形。

3.球面几何知识的应用-人教B版选修3-3 球面上的几何教案一、教学目标1.掌握球面上的基本概念和基本定理。

2.能够进行球面上的测量，求解球面上的图形的周长、面积等相关内容。

3.熟练掌握球面上的几何知识的应用，能够运用所学知识解决现实生活和工程问题。

4.增强学生对于几何形状的理解和感性认识，培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点1.球面上的基本概念和基本定理。

2.对于球面上的测量进行规范化、标准化处理。

3.熟悉应用球面几何解决实际问题，加强练习分析问题、整合问题和解决问题的能力。

三、教学内容及流程3.1 球面上的基本概念和基本定理1.球面上的基本概念–球面：由一个圆在空间绕着圆的一条直径旋转形成的几何图形，该直径被称为球的轴线，该圆被称为球的截面–球的重心：球的轴线中心点–圆弧：球面上的弧，球面上的任何一条弧都可以当做一个圆的一部分–曲率半径：球面上的曲面与切平面之间的距离的倒数2.球面上的基本定理–任意两点之间的最短距离是弧长，两点之间在球面上的距离等于它们之间的圆心角所对应的弧长。

–一条弦等分原点的圆周，那么该圆周就是最小的。

–一条轨迹线上的两点，其连线始终与地面保持相同的倾斜角度。

3.2 球面上的测量1.规范测量单位在球面上进行测量时，距离的国际单位是弧度，1弧度=57.3度，用角度测量球面上的距离是错误的，应该使用弧长进行度量。

2.测定球面上的周长和面积为了测量球的周长和面积，需要进行角度度量，并根据半径大小进行计算。

3.3 熟练掌握球面上几何知识的应用1.应用实例分析通过实际案例，来练习教材中所讲的内容，帮助学生能够运用所学知识解决现实生活和工程问题。

四、教学方法及学生活动安排1.讲授法：针对教材内容进行讲解，让学生了解掌握球面上的基本概念和基本定理。

2.活动法：组织学生，在幻灯片或教学板上完成相关实例，检验学生掌握的知识和技能。

3.实践法：引导学生实际操作球面的测量过程，巩固所学知识和技能。

3.1.球面的基本概念-苏教版选修3-3 球面上的几何教案1. 背景介绍本教案是苏教版选修3-3中，第三单元“球面上的几何”中的第一节课“球面的基本概念”所编制的。

根据苏教版选修3-3的教学要求，本单元的教学目标主要为：1.掌握球与球面、球面的基本要素及球面上几何元素的概念；2.了解球面上对线的关系，能够进行球面上线段、角的运算，达到解决具有一定实际意义的问题的能力；3.理解球面的唯一性，能够应用所学知识进行分析与证明。

本教案重点围绕第一节课的教学目标展开，将同步具体分析教学内容和教学方法。

2. 教学目标1.理解球面、球面上的基本要素以及球面上的几何元素的概念；2.掌握球面上线段、角的度量单位及球面上对线的关系；3.能够应用所学知识解决具有一定实际意义的问题；4.提高学生的空间观念和综合运用能力。

3. 教学内容1.球面和球面上的基本要素；2.球面上的几何元素以及它们的度量单位；3.球面上的对称、垂线等概念；4.球面上的运算。

4. 教学方法1.自主学习法：让学生先通过教科书、网络等渠道先了解有关球面、球面上的基本要素、度量单位和几何元素等基本知识；2.体验式教学法：通过竖插球或者橡皮等实物模拟球面，让学生亲身感受球体的形态以及球面上各种几何元素的变化；3.抛铅锤法：通过实践让学生亲自量取球面上的距离，借此体验球面上各种几何元素的度量单位；4.参照图片法：通过各种图像，让学生感受得到球面上各种几何元素的对称、垂线等关系；5.互动游戏法：通过各种教学游戏，多角度让学生掌握所学知识，提高学生的义务参与意识和团队协作精神。

5. 教学步骤第一步：了解球面和球面上的基本要素1.1 让学生了解球面的定义，通过画图形、实物等方式感受球面的形态。

1.2 让学生了解球面的基本要素（球心、半径、直径、面积、周长、弧、弦、切线、法平面等），并通过实物、图片、电子课件等方式展示。

第二步：了解球面上的几何元素和它们的度量单位2.1 让学生了解球面上的各种几何元素（线段、角、面积、周长、弧度等），并通过实物、电子课件等形式展示。