10-5几何概型

第10章 第5节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC ，∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14 B.13 C.12 D.23答案：D解析：假设在扇形中∠AOC ＝∠BOC ′＝15°，则∠COC ′＝60°，当射线落在∠COC ′内时符合题意，故所求概率为P ＝60°90°＝23.2．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A. 14B. 34C. 716D. 916答案：D解析：如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S4，作PG⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝14.又易知符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任一位置，所以所求的概率P ＝S △AEF S △ABC ＝916.3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A. 112B. 38C. 116D. 56答案：C解析：到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的“长度”等于5，试验的全部结果构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P (A )＝580＝116.4．[2012·广东肇庆]在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 23答案：C解析：由sin x ＋3cos x ≤1得2sin(x ＋π3)≤1，即sin(x ＋π3)≤12.由于x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈[π3，4π3]，因此当sin(x ＋π3)≤12时，x ＋π3∈[5π6，4π3]，于是x ∈[π2，π]．由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为 P ＝π－π2π－0＝12.5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38答案：C解析：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127，应选C. 6．[2012·东北三校一模]已知实数a ，b 满足－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为( )A. 14B. 12 C. 23 D. 34答案：C解析：y ′＝x 2－2ax ＋b ，当方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个不同实根，即a 2>b 时，函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值点，如图，阴影部分面积为2＋a 2d a ＝2＋13a 3| 1－1＝83，所以函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为S 阴影S 正方形ABCD ＝834＝23，故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为__________． 答案：13解析：根据几何概型概率的计算公式，可得所求概率为1－02－(－1)＝13，故填13.8．关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若从区间[0,6]中随机取两个数a 和b ，则方程有实根且a 2＋b 2≤36的概率为________．答案：π8解析：由题意知，判别式Δ＝4a 2－4b 2≥0，又∵a 和b 为非负数，∴a ≥b ，则a 和b 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2≤36a ≥b0≤a ≤60≤b ≤6，作出此不等式组表示的区域为图中阴影部分所示，又易知阴影部分的面积为45360×π×62＝9π2，故所求概率P ＝9π26×6＝π8.9．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案：23解析：先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min 的概率．解：设事件A ＝{候车时间不超过3 min)．x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后一辆公共汽车来到的时刻为t ，如图所示，乘客必然在(t －5，t ]来到车站，t －5<x ≤t ，欲使乘客的候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以P (A )＝35＝0.6.11. 如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上，是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 答：所求弦长不超过1的概率为1－32. 12. 已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0，内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为x ＝2ba，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1. ∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5. ∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为三角形部分，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.。

答案
2．小题热身 (1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小 球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ()
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率
依次为 P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，所以 P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故
第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布
第6讲 几何概型
[考纲解读] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重 点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一．预测 2021 年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合； ②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容．题型为客观 题，试题难度不大，属中、低档试题.
任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证
明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC＝15°，在梯形
ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形 CDE 中(阴影部分)的概
率是( )
3
3
A. 2
B.4
2
2
C.3
D. 2
答案
解析 在直角三角形 EBC 中，a＝ccos15°，b＝csin15°，则 P＝SS梯△形CADBCED＝12a12＋c2b2＝c2cos15°c＋2 sin15°2＝1＋s1in30°＝23.
3
2
A.10
B.3
3
4
C.5
D.5
解析 由题意，得 f(x0)≥0，即－x20＋2x0＋8≥0，解得{x0|－2≤x0≤4}， 所以由长度的几何概型可得概率为 P＝64－ －－ －42＝35.

为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行
过程中始终保持与正方体6个表面的距离
均A.2大47 于1，称其为“安全B.19飞行”，则蜜蜂
“4安全飞行”的概率为( 1 )
C.9
D.27
解析：蜜蜂如果能“安全飞行”，则蜜蜂飞行过程中应在一个中心
与原正方体中心重合，且在棱长为 1 的正方体内，该正方体的体积 V1＝ 13＝1，而原正方体的体积 V＝33＝27，故所求概率 P＝VV1＝217.
【思想方法】 转化与化归思想在几何概 型中的应用
【典例】 (2012年高考辽宁卷)在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形， 邻A.16边长分别等于线段ABC.13 ，CB的长，则该
矩2形面积大于20 cm2的概4 率为( )
C.3
D.5
【解析】 设 AC＝x，则 BC＝12－x，所以 x(12－x)＝20，解得 x
电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小 波周末不在家看书的概率为________．
[解析] 设 A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则 P(D) ＝1－π122－π π142＝1136.
[答案]
13 16
1．(2013 年太原模拟)若实数 a，b 满足 a2＋b2≤1，则关于 x 的方程
x2－ax＋34b2＝0 有实数根的概率是(
)
1
1
A.6
B.4
1 C.3
D．1
解析：由原方程有实根得a2－3b2≥0⇔(a－ b)(a＋b)≥0，则整个基本事件空间可用点 (a，b)所在图形的面积来度量，为以原点 为圆心，以1为半径的圆，事件“方程有 实根”可用不等式组对应平面区域的面积

(4)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订 甲和乙两种报纸”，事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订” “只订甲报纸” “只订乙报纸” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥 事件．(10 分) (5)由(4)的分析， 事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能， 故事件 C 与事件 E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件．(12 分)
25
题型3 · 互斥事件与对立事件的概率
解析： 一次射击不够8环的概率：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.
题型分类 ·典例研析
题型1 · 互斥与对立事件的判断
例1某城市的电信运营商有甲、乙两种电子报纸供居民们订阅，记事件A为 “只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”， 事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不 是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. ． 思路点拨：分析各个事件中的子事件，然后看各个事件是否有交集，确定 是否互斥，若互斥再分析它们的并集，确定是否对立．
A∩B(或 AB)
A∩B＝∅ A∩B＝∅且 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)＝1
பைடு நூலகம்
对立事件
4. 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 1 0 ． ． P(A)＋P(B) ． ． (2)必然事件的概率 P(E)＝ (3)不可能事件的概率 P(F)＝ (4)互斥事件概率的加法公式 ①若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝ ②若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝ 1－P(B) ．