初等数学研究课件

“新数”为何最初不被承认？
不能够测量 并非非有不可 不能够理解 逻辑基础不清楚
“新数”为何最终获得承认？
“因为在数学中和在其他场合一样，成功 是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.”
D.Hilbert《论无限》
算法合理性是“新数”获得承认的主要原因 算术到代数的演进加速了数系的形成 广泛的应用促进广泛的承认 “理想数” 的思想
例 证明 a·3=a+a+a 证明:
a·0=0 a·1=a·0+=(a·0)+a=0+a=a+0=a a·2=a·1+=(a·1)+a=a+a a·3=a·2+=(a·2)+a=a+a+a
运算律
定理2 对任何a, b, c∈N 有
①加法交换律
a+b=b+a
②加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
1.1 数系的扩充
“数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同
“数学史上这一系列事件的发生顺序是耐 人寻味的，数学家们并不是按照先整数、 分数，然后无理数、复数、代数学和微积 分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打 交道的．看来，他们进行逻辑化的工作是 极不情愿的．”
M.Kline 《数学——确定性的丧失》
数的概念产生于对实物的计量．在漫长的史前时代，人类 已经认识了抽象的自然数．
随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象 的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理 数”．
接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了 负数、无理数和复数．
到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追 求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四 元数、八元数等等．
这与0不是任何自然数的后继相矛盾。
除法
乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算— —除法。
定义4 设a，b∈N, b≠0, 若存在x∈N，使x·b=a，
则称x= a . b
根据定义，有
(a)b a

b
a
b

a
1
b
除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在
自然数集上除法不具有封闭性。
③加法相消律
若 a+b=a+c, 则 b=c.
若 b+a=c+a, 则 b=c.
④乘法交换律
a·b=b·a
⑤乘法结合律
(a·b)·c=a·(b·c)
⑥乘法相消律
若 a≠0, a·b=a·c, 则 b=c.
若 a≠0, b·a=c·a, 则 b=c.
⑦乘法对加法分配Байду номын сангаас a·(b+c)=a·b+a·c
1.2 数系的构造理论
1.2.1自然数的定义
自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻 画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有 运算和性质。
Peano公理陈述如下：
（1）0是自然数； （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ； （3）没有自然数的后继为0； （4）不同的自然数有不同的后继，即若a+= b+，则a= b； （5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该
属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。
例 设m ∈N, m≠0, 那么，必有n ∈N使得 n+=m
证明 设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的 后继. 设S={0}∪A. 显然, 0 ∈S. 若x ∈S, 由A的定义有x+ ∈A, 因而x+ ∈S . 由归纳公理知, S=N. 因此，若m ∈N, m≠0, 就必有m ∈A, 即存在n ∈N, 使得 n+=m. 该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。
数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无 理数要容易些．但是，历史有独特的自身发展 逻辑．
事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数 时，人们就已经在研究正的有理数与无理数， 甚至已经开始使用复数了．
“数系”的历史扩展途径 “数系”的逻辑扩展途径
新数产生的原因
数是抽象思维的产物．真正与实体直接相关的、用日 常生活经验可以获得的数，只有自然数．其他的数， 都需要进行理性思考才能获得．
加法
定义1 自然数集N上的二元运算“+”称为加 法，满足条件： (1)对任何a∈N ， a+0=a (2)对任何a, b∈N a+b+=(a+b)+
例 证明 2+3=5 证明：
2+0=2 2+1=2+0+=(2+0)+=2+=3 2+2=2+1+=(2+1)+=3+=4 2+3=2+2+=(2+2)+=4+=5
例 对任何a∈N ，证明0+a=a+0.
证明：利用数学归纳法证明
当a=0时，结论显然成立。 假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0 ，则当a=n+时
0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+= n++0 结论亦成立。
乘法
定义2 自然数集N上的二元运算“•”称为乘法， 满足条件： (1)对任何a∈N ， a•0=0 (2)对任何a, b∈N a•b+=(a•b)+a
根据定义，有
① (a-b)+b=a; ② a b ab 0
除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整 数集上减法不具有封闭性。
例 证明不存在x∈N，使得x+2=1成立. 证明：反证法
假使存在x∈N, 满足x+2=1, 则 (x+1)+=0+ x+1=0 (x+0)+=0 x+=0
(a+b)·c=a·c+b·c
代数结构
定理3 自然数集关于加法和乘法都是一个可交 换的半群，0是其零元，1是其单位元。 0的负元 是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有 负元和逆元。
减法
加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算— —减法。
定义3 设a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，则 称x=a-b.
例 证明不存在x∈N，使得x·2=1成立. 证明：反证法
假使存在x∈N, 满足x·2=1, 则 x+x=1
显然x≠0, 可设x=y+, 所以 y++y+=1
((y+y)+)+=0+ (y+y)+=0
这与0不是任何自然数的后继相矛盾。
自然数的序关系
定义5 对给定的a, b∈N, 若存在x∈N，使得 b=a+x, 则称a≤b, 或 b≥a.