2019-2020学年上海市宝山区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)

上海市宝山区达标名校2019年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．32．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－13．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）4．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160B ．240C ．280D ．3205．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．606．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-7．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<8．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ）9．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） A ．3B ．2C ．4D ．2310．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．3C ．32D ．211．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．12．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

宝山区第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则A B =I ． 2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosx f x cosxsinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ． 5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ．7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L （*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m u r ()x y =，，n r ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=u r r（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x L ，，，为1210L ，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各 个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意26)t ∈，，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）(]02， （B ）(]12， （C ）[]12， （D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =L ，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．1宝山区第二学期期中高三数学教学质量监测试参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 11 12、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(120)E ，，，(011)F ，，，()111EF =--u u u r ，，，()1002AA =u u u r，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF u u u r与1AA u u u r 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅u u u r u u u ru u u ru u u r…… 6/ 3==，……7/ 注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故α=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =r，，，…………………10/ 设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF u u u r与n r 所成角为γ，则EF n sin cos EF n θγ⋅==⋅u u u r r uu u r r ………12/ =13/ 又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3arcsin θ∴=，即直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为3．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FHCD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE =HE tan EFH FH∠=， ………………………………………… 6/1== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=EF 与1AA所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小即为EFC ∠． ………………………………10/在Rt EFC ∆中，易得1EC FC ==，ECtan EFC FC ∠=……………………12/2==，………………13/ 又(0)2EFC π∠∈，，故EFC ∠=，即直线EF 与平面11AA B B所成角的大小为2arctan． ……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ……………2/当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则(A t，(B t -，，t t 42-=⋅．…………3/当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，11()A x y ，，22()B x y ，，由24()y x y k x t ⎧=⎨=-⎩消去x ，得0442=--kt y ky ，故121244y y k y y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，t t y y y y y y x x OB OA 41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………………………6/方法二：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y xx my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y m y y t+=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++u u u r u u u r221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+ 24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT ==， ……………………………8/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因x a a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m f n n ==，，……8/ 这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/故a 的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/ 故12k =．………………………………………………………………………………………4/ （2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/ 所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=L ；……………………7/ 当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++L 123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++L11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()2212n n n k S nn k -=-⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+ ⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/ ② 若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/ ③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m m m aa a a a +-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/ 综上，存在实数k 满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x x y -=+得1201x y y+=>-，解得11y -<<，………………2/ 1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/ （ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>L ，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =-211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>，又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/（3）存在．………………………………………………………………………11/ 不妨设a b c ≥≥．若2a c b +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-．故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/ 若2a c b +>，则2a a c b <+<，即220a b a b <⇔-<，又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/ 下证：上界15λ<不可能出现．假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时， d 22222213()()()55a b c a b c ac λλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/ 由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！． 综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

上海市宝山区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.抛物线24x y 的焦点坐标为．2.已知tan 3 ，则tan 4．3.4.5.6.则这组数据的中位数为．7.8.9.由表中数据可得回归方程ˆˆy axb 中ˆ0.32a ，试预测当月销售单价为10.2221y a b（0a ，0b ），以双曲线的右顶点A 为圆心，A 与双曲线的一条渐近线交于M 、N 两点，若60MAN ，则双曲线的离心率为．11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O 的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描．假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地11n n A A B B ；假设2：视探照灯为点M ，且距离地面20米；假设3：探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆．当探照灯M 以某一俯角从1k k A A 侧扫描到1k k B B 侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环k S （1,2,3,k ）.由此，通过调整M 的俯角，逐次扫描形成扇环1S 、2S 、3S ．第一次扫描时，光斑的长轴为EF ，30OE 米，此时在探照灯M 处测得点F 的俯角为30 （如下右图）．记1k k k A A d ，经测量知180n A A 米，且 k d 是公差约为0.1米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕．12.t ，使得2a a 13.已知a .A 2a ．14.）.A 2315..A 若 .C 若l 16.数列 n a 中，n S 是其前n 项的和，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a ，则称数列 n a 为“某数列”．现有如下两个命题：①等比数列 2n为“某数列”；②对任意的等差数列 n a ，总存在两个“某数列” n b 和 n c ，使得n n n a b c .则下列选项中正确的是（）.A ①为真命题，②为真命题；.B ①为真命题，②为假命题；.C ①为假命题，②为真命题；.D ①为假命题，②为假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知222sin sin sin sin sin A C B A C ．（1）求角B 的大小；（2）若ABCa c 的最小值，并判断此时ABC 的形状．18.（1）（2）第20题图在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为12，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为12，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为35，若前一次没投进，则该次投进的概率为25．（1）求甲投篮3次得2分的概率；（2）若乙投篮3次得分为X ,求X 的分布和期望；（3）比较甲、乙的比赛结果．20.O 为坐标原点．（1）（2）（3）Q ．记P 的坐标．函数 y g x 的表达式为 sin g x x （0 ）．（1）若1 ，直线l 与曲线 y g x 相切于点,12，求直线l 的方程：（2）函数 y g x 的最小正周期是2 ，令 ln h x x g x x ，将函数 y h x 的零点由小到大依次记为12,,,,n x x x （1n ，n N ），证明：数列 sin n x 是严格减数列；（3）已知定义在R 上的奇函数 y f x 满足 2f x a f x （0a ），对任意 0,2x a ，当x a 时，都有 f x f a 且 1f a ．记 F x f x g x ， 12G x f x g x．当 时，是否存在12x x R 、，使得 124F x G x 成立？若存在，求出符合题意的12x x 、；若不存在，请说明理由．上海市宝山区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案1.1,0 2.21 3.45a4.25.26.5.77.08.49.6.110.33211.1512.8912.解：由已知得22||4||a a tb ，所以2223||84||0a tab t b 所以存在实数t ，使得不等式224163||0t t a 有解，则0 ，解得||a又因为2a b 且||1b，所以a 在b 方向上的数量投影是2，所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母的圆锥（如图）故由a 构成的空间几何体的体积21823913.A 14.A 15.C 16.C17.解：（1）由正弦定理得ac b c a 222..........................2分又由余弦定理得2122cos 222 ac ac ac b c a B ...............................4分因为B 是三角形内角，所以3B ....................................6分（2）由三角形面积公式3433sin 21sin 21ac ac B ac S ABC ..........................8分得4 ac .........................10分因为42 ac c a ，当且仅当2 c a 时取等号，........................12分所以c a 的最小值为4，此时ABC 为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱1OO 中，易知O AB 圆 ，从而AP 是P A 1在圆O 上的投影.....2分又AB 为圆O 的直径，可得AP BP .......................4分由三垂线定理，就得P A BP 1 .......................6分（2）延长PO 交圆O 于点Q ，连接BQ 、Q A 1、AQ ，易知AP BQ //，BQ A 1 （或其补角）即为所求的角..........................8分由题知2164112AA AA OA V 解得241 AA .................................10分BQ A 1 中，34,6,3211 B A Q A QB 由余弦定理得2134322364812cos 1BQ A .......................13分从而601 BQ A 所以异面直线AP 与B A 1所成角的大小为60................................14分19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率8321121213C p .................3分（2）由题意知X 的所有可能取值为6,4,2,0则 1339025550P X .................4分1231221328225525525525P X.................5分1321221238425525525525P X.................6分1339625550P X.................7分随机变量X 的分布为5096258425825090..................8分期望 98890246350252550E X.................9分（3）设甲三次投篮的得分Y ，则Y =6,4,2,0可求得随机变量Y 的分布为816834832810所以 3816834832810 Y E .............11分3381683483281022222 Y D ...........12分又可算得 25973509625842582509022222X D .......13分因为 Y E X E ，Y D X D 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分另解：设甲三次投篮的次数为 ，3,2,1,0 则 23213E 设甲的投篮得分为Y ，则 2 Y ，从而 322 E E Y E 20.解：（1）两条渐近线方程为0 y .............................1分1,2,1,221n n 设两条直线夹角为 ，则313312cos........................2分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为31...............................3分（2）设 0,1,,1111 y x y x P ，由已知得 0,101B A 、， ..................4分11,1y x PA ， 11,1y x PB ，则912121 y x PB PA 得102121 y x ..............................6分又点P 在双曲线上，有122121 y x 即122121 x y 从而10122121 x x 得421 x .又点P 是双曲线在第一象限的点，所以 4,121 x.10,123122121212121 x x x y x101，................................9分（3）椭圆C 中1,2 b a ，焦点在y 轴上，标准方程为1222x y ..................10分设 0,0,,2222 y x y x Q ，直线AP 的斜率为 0, k k 则直线AP 的方程为1 x k y 联立方程组12122x y x k y 得 02222222k x k xk 该方程的两根分别为1 和22222k k x同理可得22122k k x所以121 x x .........................12分记2121111y y S S POA222221y y S S QAB..........................13分则2522112124142221222122212221 x x x x y y S S 21251225222121x x当且仅当212122x x 即221 x 时取等号，.....................15分所以2221S S 的最小值为21 ，此时点P 的坐标为22，.................16分另解:1,12211 x y k x y k AQ AP 因为AQ AP k k ，所以112211 x y x y 即22221111x y x y 又 122121 x y ， 222212x y ，代入上式化简得11112211 x x x x ，整理得121 x x 21.解（1）1 时，()sin ,g x x 则'()cos g x x ..................1分从而'(cos 022k g..................3分所以直线l 的方程是1y ..................4分（2）由22，可知1 ，则()sin ln x x x x （0x ），.......................5分当()0h x 时ln sin x x x.......................6分①当01x 时，ln sin 0,0x x x ，此时函数()y h x 没有零点；.....................7分②当1x 时，因为2ln 1ln ()'x x x x ，可知ln x y x在 1,e 上严格增，在[,)e 严格减又sin y x 在[1,]2 上严格增，在[,]2e 严格减，所以[1,]x e 时，x y sin 在e x 时有最小值sin e ，x x y ln 在e x 时有最大值ln 1e e e因为1sin e e 所以ln sin x x x在[1,]e 上没有交点，即()sin ln h x x x x 在[1,]e 上没有零点.......................9分所以函数()y h x 的零点n x 满足12n e x x x ，.因为ln x y x 在[,)e 严格减，所以1212ln ln ln n nx x x x x x .又因为ln sin n n n x x x，所以数列{sin }n x 是严格减数列........................10分（3）因为 ()(2)(4)(4)f x f x a f x a f x a ，所以()y f x 是以4a 为周期的周期函数.................11分因为任意[0,2]x a ，当x a 时，都有()()f x f a 且()1f a ，所以当x a 时，()y f x 在[0,2]a 上有唯一的最大值1...............................12分由 得()sin g x x ，()()sin ,()()cos F x f x x G x f x x ................13分假设存在12x x R 、，使得12()()4F x G x 成立，即 1122()sin ()cos 4f x x f x x 成立故，当 14x a ka k Z 时，1()x 取得最大值1；当 122x m m Z时，1sin x 取得最大值1由422a ka m ，可知4182m a k ①时， 11max ()sin 2f x x ...................15分又因为()y f x 是奇函数，所以当x a 时，()f x 在[20]a ，上有唯一的最小值1 故，当 24x a na k Z 时，2()f x 取得最小值1 ；当 212x t t Z 时，2cos x 取得最小值1由412a na t ，可知2141t a n②时 22min ()cos 2f x x .....................17分若 1122()sin ()cos 4f x x f x x 成立，则由①②得41218241m t k n ，即(41)(41)(21)(82)m n t k 因为,,,m n k t Z ，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分。

2020年上海市宝山区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n <F (n )”时，由n =k 不等式成立，证明n =k +1时，左边应增加的项数是( )A. 2k−1B. 2k −1C. 2kD. 2k +12. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，记a ⃗ 与b ⃗ 所成的角为θ，下列四个条件中，使a⃗ |a⃗ |=b⃗ |b⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ //b ⃗B. θ=0C. θ=π2D. θ=π3. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√3xC. y =±√55xD. y =±√5x4. 已知向量a ⃗ =(1,−2,m2−2)，b ⃗ =(m,3，−m2−2)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则m 的值为( )A. 0B. −2C. 2D. ±2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A 中的元素满足x ≥2，若a ∉A ，则实数a 的取值范围是________．6. 圆x 2+y 2−4x =0的圆心坐标是______；半径为______．7. 过点(2,−2)的抛物线的标准方程是______ ．8. i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为______．9. 已知(ax −√x2)9的展开式中x 3的系数为94，常数a 的值为______ ． 10. 设关于x 、y 的不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0表示的平面区域为D ，已知点O(0,0)、A(1,0)，点M 是D 上的动点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则λ的取值范围是______． 11. 若两球体积之比为1:2，则其表面积之比是__________． 12. 方程∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32，x ∈(3,4)实数解x 为______ ． 13. 如图点O 是边长为1的等边三角形ABC 的边BC 中线AD 上一点，且|AO|=2|OD|，过O 的直线交边AB 于M ，交边AC 于N ，记∠AOM =θ， (1)则θ的取值范围为______ (2)1|OM|2+1|ON|2的最小值为______．14.从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则P(X≥2)的值为________．15.在无穷等比数列{a n}中，a1=√3，a2=1，则limn→∞(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)=______ ．16.点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线x−y−4=0的距离的最小值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.三棱锥P−ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．(1)求证AC⊥PD；(2)求三棱锥P−CDE的体积．(3)(理)求点P到面CDE的距离．18.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，设函数f(x)=12cos2x−√32sinxcosx+34.若△ABC满足：f(A)=12．(1)求∠A的大小；(2)若a=√7，c=1，求△ABC面积S的大小．19.某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)前n年总收入前n年的总支出−投资额72万元)(1)该厂从第几年开始盈利？(2)写出年平均纯利润的表达式．20.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．21.已知函数g(x)=1x⋅sinθ+lnx在[1,+∞)上为增函数．且θ∈(0,π)，f(x)=mx−m−1x−lnx (m∈R)(1)求θ的值；(2)若f(x)−g(x)在[1,+∞)函数是单调函数，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数学归纳法，属于基础题．由数学归纳法直接求解即可．【解答】解：由n=k不等式成立，即1+12+13+......+12k<F(k)，由n=k(k>1)不等式成立，等式左边有2k项，因此推证n=k+1时，左边应有2k+1项，因此应该增加的项数是2k，故选C．2.答案：B解析：解：若a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立，则表示a⃗与b⃗ 同向共线，即θ=0，故选：B．根据单位向量的定义以及向量相等的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量相等的等价条件是解决本题的关键．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．直接利用已知条件求出双曲线的a、b、c，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，∴c=4，b=2，∴a2=c2−b2=16−4=12，∴a=2√3，双曲线的方程为：x212−y24=1，所求的双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4.答案：B解析：【分析】本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量的坐标计算公式．根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0，解可得m的值，即可得答案．解析：解：根据题意，a⃗+b⃗ =(1+m,1,−4)，a⃗−b⃗ =(1−m,−5,m)，所以由(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，则有(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0所以m=−2；故选：B．5.答案：a<2解析：【分析】本题主要考查的知识点是元素与集合的概念，以及元素与集合的关系．根据集合A中的元素满足x≥2，a∉A，即可得到a的取值范围．【解答】解：由题意a不满足不等式x≥2，即a<2．6.答案：(2,0)；2解析：【分析】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标(2,0)和半径为2．【解答】解：圆x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，它的圆心坐标是(2,0)，半径等于2，故答案为：(2,0)；2．7.答案：y2=2x或x2=−2y解析：解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点(2,−2)代入可得a=2，故抛物线的标准方程为y2=2x②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点(2,−2)代入可得b=−2故抛物线的标准方程为x2=−2y故答案为：y2=2x或x2=−2y分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．8.答案：√13解析：【分析】本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数四则运算先化简，再求模长．【解答】解：由题意，可知：5−i 1+i =(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−6i1−i2=2−3i，∴|5−i1+i|=|2−3i|=√22+(−3)2=√13．故答案为√13．9.答案：4解析：解：(ax −√x2)9的展开式的通项为T r+1=C9r(ax)9−r(−√x2)r=(−√22)r a9−r C9r x3r2−9令3r2−9=3解得r=8∴展开式中x3的系数为916a∵展开式中x3的系数为94∴916a =94解得a=4故答案为4利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．10.答案：(√1010,1]解析： 【分析】考查不等式组表示平面区域的概念，能根据不等式组找出不等式组所表示的平面区域，数量积的计算公式，以及余弦函数的单调性，向量夹角的定义，数形结合解题的方法，属于中档题． 先画出不等式组所表示的平面区域D ，而由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |便可得到，λ=cos∠MOA ，所以求cos∠MOA 的取值范围即可，通过图形找出∠MOA 的变化过程，从而便可求得cos∠MOA 的变化范围． 【解答】解：由不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0得：{x ≥43,y ≥1,y ≤−3x +6,或{x ≥43,y ≤1,y ≥−3x +6. ∴平面区域D 如下图阴影部分所示：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得，λ=cos∠MOA ； 如图所示，若设直线x =43和y =−3x +6的交点为B ，则B 点坐标为(43,2)，所以|OB|=2√133，当M 点从B 点开始向x 轴靠近的过程中，∠MOA 不断减小，并减小到0，当∠MOA =0°时对应的λ的值达到最大值，而当M 从x 轴并在阴影部分远离x 轴时，∠MOA 又逐渐增大，可知∠MOA 的最大值(极限值)一定在直线y =−3x +6上取得，比较此极限值和M 在B 点对应的λ值即可求出λ的最小值． 当M 点在B 点时，cos∠MOA =432√133=2√1313； 当M 点在第四象限且在直线上时，设M(x,−3x +6)， 则cos∠MOA =√x 2+(−3x+6)2=√110+(36x 2−36x)，当x 趋近于正无穷时，cos∠MOA 趋近于√1010，∵2√1313>√1010， ∴λ的取值范围是(√1010,1]．故答案为：(√1010,1]．11.答案：1:√43解析：∵球的体积公式是V =43πR 3，两球体积之比是1:2，∴半径R 之比是1:√23，球的表面积公式是S =4πR 2，∴表面积之比是1:√43．12.答案：7π6解析：解：因为∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32， 所以√3cosxcosx −sinxcosx =√32，即√3×1 +cos2x2−12sin2x =√32， ∴tan2x =√3，∵x ∈(3,4) ∴2x =7π3，∴x =7π6故答案为：7π6．通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x =√3，再结合x 的范围，求出结果即可．本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．13.答案：[π3,2π3]；12解析：解：(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，MN 与AB 垂直，M 为AB 的中点，OM 取得最小值， 此时，θ最小，由cosθ=MO AO=12，可得θ=π3．当M 与B 重合时，此时，MN 垂直于AC ，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO =12，可得θ=2π3．综上可得，θ的取值范围为[π3,2π3].(2)由题意可得，AO =23AD =23×√32=√33；设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α．△ANO 中，由正弦定理可得ONsin30∘=AOsinα，解得ON =√36sinα．同理求得OM =√36Sin(2π3−α)．∴1|OM|2+1|ON|2=36sin 2(2π3−α)3+36sin 2α3=12×1−cos(4π3−2α)2+12×1−cos2α2=12−6[cos(4π3−2α)+cos2α]=12−6(12cos2α−√32sin2α)=12−6cos(2α+π3).由(1)可得π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，可得π6≤2α≤π2， ∴π2≤2α+π3≤π+5π6，−√32≤cos(2α+π3)≤0，故当2α+π3=π2时，cos(2α+π3)取得最大值为0，12−6cos(2α+π3)取得最小值为12−0=12，故答案为：12．(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，θ最小，由cosθ=MO AO，可得θ的值．当M 与B 重合时，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO ，可得θ的值，从而求得θ的取值范围．(2)先求得AO =23AD 的值，设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α.△ANO 中，由正弦定理求得ON =√36sinα，同理求得OM =√36Sin(2π3−α)，计算1|OM|2+1|ON|2=12−6cos(2α+π3).由π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，求得α的范围，利用余弦函数的定义域和值域求得12+6cos(2α+π3)的最小值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，余弦函数的定义域和值域，属于难题．14.答案：12解析： 【分析】本题考查古典概率的计算，属基础题．P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)，由此利用古典概型概率计算公式能求出结果． 【解答】解：从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球， 用X 表示摸出的黑球个数， 则P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=C 32C 31C 63+C 33C 63=12．故答案为12．15.答案：3√32解析：解：公比q =√3，q 2=13．∴则lim n→∞(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1)=a 11−q 2=√31−13=3√32．故答案为：3√32． 利用无穷等比数列的求和公式即可得出．本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：2√2解析：因为点P 是曲线y =x 2−lnx 上任意一点，则点P 到直线x −y −4=0的距离的最小值是在点P 的切线与该直线平行的时候，由y′=2x −1x =1⇒x =1(负值x =−12舍去)，所以点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线x −y −4=0的距离为d =1−1−4√12+12=4√2=2√2．17.答案：(1)证明：取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，又面PAC ⊥面ABC ，∴PO ⊥面ABC ，连OD ，则OD//BC ，则DO ⊥AC ， ∴AC ⊥面POD ，∴AC ⊥PD.(2)解：V P−CDE =V D−PCE ，∵E 为PB 中点，∴S △PCE =12S △PBC ，V D−PCE =12V D−PBC =12V P−DBC =14V P−ABC ，即V P−CDEVP−ABC=14．易求得V P−ABC =16√33，故V P−CDE =4√33． (3)解：(理)∵面PAC ⊥面ABC ，且AC ⊥BC ， ∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，又E 为PB 中点，∴CE =12PB =12√PB 2+BC 2=2√2，同理得CD =2√2，又DE =12PA =2，∴S △CDE =√7 ∵V P−CDE =13S △CDE ⋅ℎ，∴ℎ=4√217所以，点P 到面CDE 的距离为4√217解析：(1)取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，证明AC ⊥面POD ，然后说明AC ⊥PD ． (2)通过V P−CDE =V D−PCE ，求出S △PCE =12S △PBC ，利用V P−CDEVP−ABC=14.求解几何体的体积即可．(3)证明BC ⊥面PAC ，求出CE ，CD ，通过几何体的体积求解点P 到面CDE 的距离． 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，点到平面的距离的求法，考查计算能力．18.答案：解：(1)化简得，由f(A)=12，可得，则又A∈(0,π )，所以．(2)在△ABC中，由余弦定理可知，求得b=3，则．解析：此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，求出的值，结合∠A的范围，即可确定出A的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，把a，c，cos A的值代入求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积S．19.答案：解：(1)依题意，根据f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元，可得f(n)=50n−[12n+n(n−1)2×4]−72=−2n2+40n−72，由f(n)>0，即−2n2+40n−72>0，解得：2<n<18，由于n为整数，故该厂从第3年开始盈利；(2)年平均纯利润f(n)n =−2n+40−72n=40−2(n+36n).解析：(1)通过f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元即可列出表达式，进而解不等式f(n)>0即得结论；(2)通过年平均纯利润为f(n)n，直接列式即可．本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题．20.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b2+2a2=1，解得{a=2b=√2 c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+m x22+y24=1，整理，得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由△=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+2|x1−x2|=√62√8−m2，设d为点A到直线BC的距离，则d=√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|，∴S△ABC=12|BC|⋅d=√24√m2(8−m2)．∵√m2(8−m2)≤m2+8−m22=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解△ABC的面积的最大值．21.答案：解：(1)求导得到g′(x)=−1sinθx2+1x≥0在x≥1时成立∴1x ≥1sinθx2∴1≥1sinθ⋅x∵θ∈(0,π)∴sinθ>0∴sinθx≥1∴sinθ=1θ=π2(2)(f(x)−g(x))′=m+m−1x2−1x+1x2−1x=m+mx2−2x使其为单调∴ℎ(x)=m+mx2−2x=mx2−2x+mx2，在x≥1时m=0时ℎ(x)<0恒成立．m≠0时对于ℎ(x)=mx2−2x+mx2，令K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解因为[1,+∞)上函数为增函数，所以m>0时对称轴x=1m所以使K(1)≥0则成立所以m−2+m≥0所以m≥1m<0时使K(1)≤0所以m≤1综上所述m≥1或m≤0解析：(1)先对函数g(x)进行求导，根据g′(x)≥0在x≥1时成立可得1x ≥1sinθx2，根据θ∈(0,π)可知sinθ>0，所以sinθ=1求得θ的值．(2)对函数f(x)−g(x)进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0 成立m不等于0时对于ℎ(x)可变为K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K(1)≥0则成立的条件求得m的范围．m<0时，使K(1)≤0，所以m≤−1.综合可得答案．本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．。

2019-2020年高三二模数学试题 含答案一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合{}{}221,,0,1<<=-=x x B a A ，若，则实数的取值范围是 2．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为 ． 3．在等差数列中，已知则 ．4．若，是直线的倾斜角，则= ．（用的反正切表示） 5．设（i 为虚数单位），则 ．6．直角坐标系内有点A （2，1），B （0，2），将线段绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为 ．7.已知平面向量，若，则8．设，行列式34210231D -=xa 中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则a= ．9．某学生参加3门课程的考试。

假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为，，且不同课程是否取得合格水平相互独立。

则该生只取得一门课程合格的概率为 ．10．已知是椭圆上的一点，为椭圆的左、右焦点，则的最小值为 ． 11．已知是等差数列，设．某学生设计了一个求的算法框图（如图），图中空白处理框中是用的表达式对赋值，则空白处理框中应填入：←____________．12．不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为13．平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y ，已知点，点M 是直线30(1)kxykk上的动点，的最小值为 ．14．当为正整数时，用表示的最大奇因数，如，设(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+，则数列的前项和的表达式为 ．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ） （A ） 若, , 则； （B ）若, , 则 ； （C ）若, , 则 ； （D ） 若, , 则 ；16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ） （A ）笛卡儿—解析几何； （B ）帕斯卡—概率论；（C ）康托尔—集合论；（D ）祖暅之—复数论；（第11题图）17．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中真命题是（ ） (A) 若总有成立，则数列是等差数列(B) 若总有成立，则数列是等比数列 (C) 若总有成立，则数列是等差数列(D) 若总有成立，则数列是等比数列 18．方程的正根从小到大地依次排列为，则正确的结论为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）19．已知向量()()wx a b wx a sin 3,1,1,cos 1+=+=（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥是的中点，是的中点，点在上，且满足（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。

上海市宝山区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.已知复数z 满足2020(1)24z ii +=-(其中，i 为虚数单位)，则z =2.函数arcsin(1)y x =+的定义域是3.计算行列式的值，0123=4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴与虚轴长度相等，则2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程是5.已知无穷数*2,(3)n na n N =∈-，则数列{}n a 的各项和为 6.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其地面半径为 7.某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0r np p e ⋅=，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r = （精确到1％） 8.已知1()2nx x-的展开式的常数项为第6项，则常数项为 9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是10.已知方程210()x tx t R ++=∈的两个虚根是12,x x，若21x x -=t =11.已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是12.已知平面向量,,a b e 满足1,1,1,4e a e b e a b =⋅=⋅=--=，则a b ⋅的最小值是二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.抛物线24y x =的准线方程是 （ ）A.2x =-B. 1x =-C.18y =-D. 116y =-14.若函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为 （ ）A.1B. 1-C.3D. 3-15.用数学归纳法证明*135(1)(21)(1),nnn n n N -+-+⋅⋅⋅+--=-∈成立。

上海市宝山区2020届高三二模数学试卷一：填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.已知复数z 满足()2020124z i i +=-（其中，i 为虚数单位），则z =______. 【答案】12i - 【解析】 【分析】根据复数乘方运算法则41n i =*()n N ∈可得结果.【详解】因为()2020124z i i +=-，所以45052424121()2i iz i i --===-+， 故答案为：12i -【点睛】本题考查了复数的乘方运算公式41n i =*()n N ∈，属于基础题.2.函数()arcsin 1y x =+的定义域是______. 【答案】[]2,0- 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果. 【详解】由111x -≤+≤得20x -≤≤， 所以函数()arcsin 1y x =+的定义域是[]2,0-. 故答案为：[]2,0-【点睛】本题考查了反正弦函数的定义域，属于基础题. 3.计算行列式的值，0123=______. 【答案】2- 【解析】 【分析】根据行列式的计算公式计算可得答案.【详解】0123=03122⨯-⨯=-, 故答案为：2-【点睛】本题考查了二阶行列式的计算，属于基础题.4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的实轴与虚轴长度相等，则C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程是______. 【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据实轴与虚轴的定义可得a b =，根据双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意得22a b =，即a b =，所以C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程是b y x x a =±=±.故答案为：y x =±【点睛】本题考查了双曲线的实轴，虚轴，渐近线，属于基础题. 5.已知无穷数列()23n na =-，*n N ∈，则数列{}n a 的各项和为______.【答案】12- 【解析】 【分析】用定义可得数列{}n a 是首项为23-，公比为13-的等比数列，利用公式11a S q =-计算可得答案.【详解】因为()23n na =-，所以12233a ==--， 1121(3)23(3)n n nna a ++-==--，所以数列{}n a 是首项为23-，公比q 为13-的等比数列， 所以数列{}n a 的各项和为121311213a S q -===--+.故答案为：12-【点睛】本题考查了无穷等比数列的各项和的公式，属于基础题. 6.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为______. 【答案】23【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据256rr πππ+=可解得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则底面周长为2r π，底面积为2r π， 侧面展开图扇形的半径为56，弧长为2r π，扇形的面积为1552266r r ππ⨯⨯=， 所以256r r πππ+=，解得23r =. 故答案为：23【点睛】本题考查了圆锥的表面积，考查了扇形的面积公式，属于基础题.7.某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0r np p e ⋅=，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r =______.（精确到1%） 【答案】25% 【解析】 【分析】依题意列出方程714.86 2.58r e =⨯，改为对数式后，利用计算器可解得结果. 【详解】依题意有714.86 2.58r e =⨯，所以714.865.762.58re =≈， 所以7ln5.76 1.75r ≈≈，所以25%r =. 故答案为：25%【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了利用计算器求近似值，属于基础题.8.已知12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为第6项，则常数项为______. 【答案】638- 【解析】 【分析】根据第6项为常数项，由通项公式可得10n =，再由通项公式即可解得结果. 【详解】由通项公式得5556511()2n n T T C x x -+==⋅⋅-=55101()2n n C x --⋅为常数项， 所以100n -=，即10n =，所以556101()2T C =-638=-. 故答案为：638-【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是______. 【答案】710【解析】 【分析】记3名男医生分别为,,A B C ，2名女医生分别为,a b ，利用列举法列出所有基本事件，得到所有基本事件的种数和所求事件包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】记3名男医生分别为,,A B C ，2名女医生分别为,a b ，则从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫的所有基本事件为：(,)A B ，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(,)B C ，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，(,)a b 共10种，其中至少有1位女医生的有(A,a)，(A,b)，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，(,)a b 共7种， 根据古典概型的概率公式可得选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是710.故答案为：710. 【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，使用列举法是解题关键，属于基础题. 10.已知方程210x tx ++=（t R ∈）的两个虚根是1x ，2x ，若212x x -=则t =______. 【答案】2±【解析】 【分析】根据虚根成对定理可设1x a bi =+，2x a bi =-(),a b ∈R ，代入212x x -=可解得22b =±，根据韦达定理可得122x x a t +==-，22121x x a b =+=，将22b =±代入可解得22a =±，22t a =-=±. 【详解】因为方程210x tx ++=（t R ∈）的两个虚根是1x ，2x ， 所以240t =-<，解得22t -<<，由虚根成对定理可设1x a bi =+，2x a bi =-(),a b ∈R ，所以122x x a t +==-，22121x x a b =+=，因为212x x -=||2a bi a bi +-+=所以|2|2bi =2b =， 所以22112a b =-=，所以2a = 所以22t a =-=±，满足22t -<<， 故答案为：2±【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理，复数的模长公式，属于基础题.11.已知O是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y为平面区域212x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则⋅OAOM的取值范围是______.【答案】[]0,2【解析】【分析】因为⋅OA OM(1,1)(,)x y x y=-⋅=-+，令目标函数为z x y=-+，作出可行域，根据图形得到最优解即可得到结果.【详解】因为⋅OA OM(1,1)(,)x y x y=-⋅=-+，令目标函数为z x y=-+，作出可行域，如图：由图可知，最小值最优解为(1,1)，最大值最优解为(0,2)，所以02z≤≤，即⋅OA OM的取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，考查了线性规划求函数的最值，属于基础题.12.已知平面向量,,a b e满足||1e=，1a e⋅=，1b e⋅=-，||4a b-=，则a b⋅的最小值为_____【答案】-4 【解析】 【分析】 设(1,0)e =，11(,)ax y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-可求12,x x ，再代入||4a b -=，可得1223y y =±21221(3)4a b y y y ⋅=-+=-，从而可求出最小值. 【详解】设(1,0)e =，11(,)ax y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-得：1211x x =⎧⎨=-⎩，又||4a b -=，则22216a a b b -⋅+=，解得：1223y y =±22122221123(3)4a b y y y y ⋅=-+=-+±=-，故a b ⋅的最小值为-4. 故答案为：-4.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查了向量在几何中的应用，建立坐标系表示出每个向量是常用的基本手段，属中档题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.抛物线24y x =的准线方程是（ ） A. 2x =- B. 1x =-C. 18y =-D. 116y =-【答案】D 【解析】 【分析】 将抛物线方程化标准形式，可得18p =，进一步可得准线方程. 【详解】由24y x =可得214x y =，所以18p =， 所以准线方程为1216p y =-=-. 故选：D【点睛】本题考查了抛物线方程的标准形式，考查了抛物线的准线方程，属于基础题.14.设函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线4x π=对称，则a 的值为()3 B. 3C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴可知()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，代入可求得结果. 【详解】()f x 关于直线4x π=对称 ()02f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭，则sin 0cos0sincos22a a ππ+=+1a经检验，满足题意，本题正确选项：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，在已知对称轴的情况下，通常采用特殊值的方式来进行求解.15.用数学归纳法证明()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-，*n N ∈成立.那么，“当1n =时，命题成立”是“对*n N ∈时，命题成立”的（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义可得结论.【详解】“当1n =时，命题成立”不能推出“对*n N ∈时，命题成立”， “对*n N ∈时，命题成立”可以推出“当1n =时，命题成立”，所以“当1n =时，命题成立”是“对*n N ∈时，命题成立”的必要不充分/ 故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x ，2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则函数()(),00,0f x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（ ）A. 是偶函数，且在()0,∞+上单调递减B. 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增C. 是奇函数，且单调递减D. 是奇函数，且单调递增【答案】A 【解析】 【分析】利用()f x 是定义在R 上的奇函数，根据偶函数的定义可得()g x 为偶函数，设120x x >>，则120x x ->，根据()()2112120x f x x f x x x -<-可得2112()()0x f x x f x -<，所以121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=0<，根据定义可得函数()g x 在()0,∞+上单调递减.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以当0x ≠时，()()()()---===--f x f x g x g x x x，当0x =时，()()0g x g x -==， 所以x ∈R 时，恒有()()g x g x -=，即()g x 为偶函数， 当0x >时，()()f x g x x=，设120x x >>，则120x x ->， 由()()2112120x f x x f x x x -<-可知2112()()0x f x x f x -<， 则121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=， 因为120,0x x >>，所以120x x >， 又2112()()0x f x x f x -<，所以12()()0gx g x -<，即12()()<g x g x ，由减函数的定义可知，函数()g x 在()0,∞+上单调递减. 故选：A【点睛】本题考查了利用定义判断函数奇偶性，考查了利用定义判断函数的单调性，属于基础题.三.解答题（本大题共5题，共76分）17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点.（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为33111ABC A B C -的高（2）若12C C =，求二面角111D B C A --的大小 【答案】（1）6（2）17【解析】 【分析】（1）求出底面积后，根据棱柱的体积公式可求得棱柱的高；（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果.【详解】（1）由题意，求得3BC =， 所以11322ABC S AC BC =⨯=△ 由133V S CC =⨯=柱 解得16CC =.（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立如图所示的坐标系：则132D ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()13,2B ，()10,0,2C ， 11322DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，113,22DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11C B D 的法向量为(),,n x y z =，则由1100DB n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得340340x z x y z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则4x =，0y =，所以，平面11C B D 的一个法向量为()4,0,1n =， 平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1m =， 记二面角111D B C A --为θ，则cos 001160117n m n mθ⋅===++⋅++⋅，所以17θ=【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，考查了二面角的向量求法，正确建立空间直角坐标系是求二面角的关键，属于中档题.18.已知函数()()2x f x ωϕ=+，()2g x x ω=，0>ω，[)0,ϕπ∈，它们的最小正周期为π（1）若()y f x =是奇函数，求()f x 和()g x 在[]0,π上的公共递减区间D （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-，求()h x 的最大值【答案】（1）,42D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）()max 6h x =【解析】 【分析】（1）根据周期求出2ω=，根据()y f x =是奇函数，求出0ϕ=，再求出()f x 和()g x 在[]0,π上的递减区间，然后求其交集即可得到结果； （2）将点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()0h x =，可得6π=ϕ，再化简()h x 得()h x =623x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得最大值. 【详解】（1）由2||T ππω==，以及0>ω得2ω=， 又()y f x =是奇函数，所以(0)f =20ϕ=，所以k ϕπ=，k Z ∈， 又[)0,ϕπ∈，所以0ϕ=，在[]0,π上，()22f x x =的递减区间是13,44D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ()22g x x =的递减区间是10,2D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以12,42D D D ππ⎡⎤=⋂=⎢⎥⎣⎦.（2）()()2sin 2cos 2h x x x ϕ=++⎤⎦，把点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭2sin cos 033ππϕ⎤⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即1sin 32πϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又因为[)0,ϕπ∈，2,333πππϕ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，所以36ππϕ-=-，所以6π=ϕ， 所以()132sin 2cos 26sin 2262h x x x x x π⎫⎤⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭623x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因而()max 6h x =【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式，考查了函数的奇函数性质，考查了函数的单调性，考查了函数的零点，考查了函数的最值，属于中档题.19.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个. （1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个 【解析】 【分析】（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案； （2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为q (1)q >，根据题意列式260606080013q q ++≥-，可得3711302q ≥，再求出60q 和260q 即可得到答案. 【详解】（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，所以今年一共建设基站12113120.249.22⨯⨯+⨯=万个， 所以今年底全国共有基站1349.2+62.2=万个.（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为q (1)q >，则260606080013q q++≥-，即272760q q+-≥，解得3711302q≥-，所以37160603018130q≥⨯-≈万个，2237116060()302q≥⨯-547≈万个.所以2021年至少新建181万个基站，2022年至少新建547万个基站オ能完成计划.【点睛】本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于中档题.20.已知直线l：y kx m=+和椭圆Γ：22142x y+=相交于点()11,A x y，()22,B x y（1）当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l的方程（2）点)2,1C在Γ上，若0m=，求ABC面积的最大值：（3）如果原点O到直线l23，证明：AOB为直角三角形.【答案】（1）2y x=+（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程可得,A B的坐标，可得弦长||AB，求出点C到直线AB的距离。

2020年上海市宝山区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）1．已知复数z 满足z （1+i 2020）＝2﹣4i （其中，i 为虚数单位），则z ＝ ． 2．函数y ＝arcsin （x +1）的定义域是 ． 3．计算行列式的值，|0123|= ．4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的实轴与虚轴长度相等，则C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是 ． 5．已知无穷数a n =2(−3)n ，n ∈N ∗，则数列{a n }的各项和为 ． 6．一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为 ．7．某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由p 0变化为p ，并且满足方程p =p 0e r⋅n ，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r ＝ （精确到1%）． 8．已知(x −12x)n的展开式的常数项为第6项，则常数项为 ． 9．某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是 ．10．已知方程x 2+tx +1＝0（t ∈R ）的两个虚根是x 1，x 2，若|x 2−x 1|=2√2，则t ＝ ． 11．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1）．若点M （x ，y ）为平面区域{x +y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →⋅OM →的取值范围是 ．12．已知平面向量a →，b →，e →满足|e →|=1，a →⋅e →=1，b →⋅e →=−1，|a →−b →|=4，则a →⋅b →的最小值为 ．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．抛物线y ＝4x 2的准线方程是（ ） A ．x ＝﹣2B ．x ＝﹣1C ．y =−18D ．y =−11614．若函数f （x ）＝sin x +a cos x 的图象关于直线x =π4对称，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3D ．−√315．用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n （2n ﹣1）＝（﹣1）n n ，n ∈N *成立．那么，“当n ＝1时，命题成立”是“对n ∈N *“时，命题成立”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2都有x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＜0，则函数g(x)={f(x)xx ≠00x =0（ ） A ．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减 B ．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增C ．是奇函数，且单调递减D ．是奇函数，且单调递增 三.解答题（本大题共5题，共76分）17．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2AC ＝2，D 是AB 的中点． （1）若三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为3√3，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高； （2）若C 1C ＝2，求二面角D ﹣B 1C 1﹣A 1的大小．18．已知函数f （x ）=√2sin(wx +φ)，g(x)=√2coswx ，w ＞0，φ∈[0，π)，它们的最小正周期为π．（1）若y ＝f （x ）是奇函数，求f （x ）和g （x ）在[0，π]上的公共递减区间D ； （2）若h （x ）＝f （x ）+g （x ）的一个零点为x =−π6，求h （x ）的最大值．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个． （1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）20．已知直线l ：y ＝kx +m 和椭圆Γ：x 24+y 22=1相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程． （2）点C(√2，1)在Γ上，若m ＝0，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l 的距离是2√33，证明：△AOB 为直角三角形．21．定义：{a n }是无穷数列，若存在正整数k 使得对任意n ∈N *，均有a n +k ＞a n （a n +k ＜a n ）则称{a n }是近似递增（减）数列，其中k 叫近似递增（减）数列{a n }的间隔数． （1）若a n =n +(−1)n ，{a n }是不是近似递增数列，并说明理由； （2）已知数列{a n }的通项公式为a n =1(−2)n−1+a ，其前n 项的和为S n ，若2是近似递增数列{S n }的间隔数，求a 的取值范围；（3）已知a n =−n2+sinn ，证明{a n }是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知复数z 满足z （1+i 2020）＝2﹣4i （其中，i 为虚数单位），则z ＝ 1﹣2i ． 【分析】由i 得乘方运算得：i 2020＝1，进而直接求出z ． 解：∵i 2020＝1，∴1+i 2020＝2，则由z （1+i 2020）＝2﹣4i 得2z ＝2﹣4i ，即z ＝1﹣2i ， 故答案是1﹣2i ．2．函数y ＝arcsin （x +1）的定义域是 [﹣2，0] ．【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足﹣1≤x +1≤1，解出x 的范围即可． 解：要使y ＝arcsin （x +1）有意义，则﹣1≤x +1≤1， 解得﹣2≤x ≤0，∴该函数的定义域为[﹣2，0]． 故答案为：[﹣2，0]．3．计算行列式的值，|0123|= ﹣2 ．【分析】根据|a bc d |=ad −bc ，计算|0123|即可． 解：|0123|=0×3﹣1×2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的实轴与虚轴长度相等，则C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是 y ＝±x ．【分析】利用已知条件求出a ＝b ，然后求解渐近线方程即可．解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的实轴与虚轴长度相等，可得a ＝b ，则C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是：y ＝±x ． 故答案为：y ＝±x ． 5．已知无穷数a n =2(−3)n ，n ∈N ∗，则数列{a n }的各项和为 −12． 【分析】求出a 1和d ，由此可求出无穷等比数列各项的和． 解：a n ＝2×（−13）n ，首项为−23，公比为−13，∴数列{a n }的各项和为S =−231+13=−12，故答案为：−12．6．一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为23．【分析】利用圆锥的表面积计算公式即可得出． 解：如图所示，设底面半径为r ， 则πr 2+πr ×56=π， 解得r =23， 故答案为：23．7．某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由p 0变化为p ，并且满足方程p =p 0e r⋅n ，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r ＝ 25% （精确到1%）．【分析】由题意知，p 0＝2.58，p ＝14.86，n ＝7，代入p =p 0e r⋅n ，求解得答案． 解：由题意知，p 0＝2.58，p ＝14.86，n ＝7， 代入p =p 0e r⋅n ，得14.86＝2.58•e 7r ， ∴e 7r =14.862.58≈5.76，则7r ＝ln 5.76，得r =ln5.767≈0.25． 则增长率r ＝25%． 故答案为：25%． 8．已知(x −12x )n 的展开式的常数项为第6项，则常数项为 −638 ． 【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 解：已知(x −12x )n 的展开式的通项公式为 T r +1=C n r •(−12)r •x n ﹣2r，令n ﹣2r ＝0，求得n ＝2r ．∵常数项为第6项，故有r ＝5，n ＝2r ＝10，则常数项为C 105•(−12)5=−638，故答案为：−638． 9．某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是710．【分析】基本事件总数n =C 52=10，选出的2位医生中至少有1位女医生包含的基本事件个数m =C 31C 21+C22=7，由此能求出选出的2位医生中至少有1位女医生的概率．解：某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫， 基本事件总数n =C 52=10，选出的2位医生中至少有1位女医生包含的基本事件个数m =C 31C 21+C22=7，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是p =m n =710． 故答案为：710．10．已知方程x 2+tx +1＝0（t ∈R ）的两个虚根是x 1，x 2，若|x 2−x 1|=2√2，则t ＝ ±2√3 ． 【分析】根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，并且满足韦达定理，可直接表示出|x 2−x 1|=2√2，解方程求出t 的值．解：由已知，设两个虚根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝﹣t ，x 1x 2＝1， ∴|x 1−x 2|=√|(x 1+x 2)2−4x 1x 2|=√|t 2−4|=2√2， 解得t =±2√3．经检验，t =±2√3符合题意． 故答案为：±2√3．11．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1）．若点M （x ，y ）为平面区域{x +y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →⋅OM →的取值范围是 [0，2] ．【分析】先画出满足约束条件{x +y ≥2x ≤1y ≤2的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入OA →⋅OM →分析比较后，即可得到OA →⋅OM →的取值范围． 解：满足约束条件{x +y ≥2x ≤1y ≤2的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x＝1，y＝1时，OA→⋅OM→=−1×1+1×1＝0当x＝1，y＝2时，OA→⋅OM→=−1×1+1×2＝1当x＝0，y＝2时，OA→⋅OM→=−1×0+1×2＝2故OA→⋅OM→和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．12．已知平面向量a→，b→，e→满足|e→|=1，a→⋅e→=1，b→⋅e→=−1，|a→−b→|=4，则a→⋅b→的最小值为﹣4．【分析】根据条件可设e→=(1，0)，a→=(m，n)，b→=(p，q)，根据a→⋅e→=1，b→⋅e→=−1即可得出a→=(1，n)，b→=(−1，q)，然后根据|a→−b→|=4即可得出（n﹣q）2＝12，从而可求出nq≥﹣3，这样即可求出a→⋅b→的最小值．解：∵|e→|=1，∴设e→=(1，0)，a→=(m，n)，b→=(p，q)，∴a→⋅e→=m=1，b→⋅e→=p=−1，∴a→=(1，n)，b→=(−1，q)，∴a→−b→=(2，n−q)，且|a→−b→|=4，∴4+（n﹣q）2＝16，∴（n﹣q）2＝12，∴（n+q）2＝（n﹣q）2+4nq＝12+4nq≥0，解得nq≥﹣3，∴a→⋅b→=−1+nq≥−4，∴a →⋅b →的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．抛物线y ＝4x 2的准线方程是（ ） A ．x ＝﹣2B ．x ＝﹣1C ．y =−18D ．y =−116【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程． 解：由题意，抛物线的标准方程为x 2=14y ， ∴p =18，开口朝上， ∴准线方程为y =−116； 故选：D ．14．若函数f （x ）＝sin x +a cos x 的图象关于直线x =π4对称，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3D ．−√3【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出θ的值，利用正切函数的性质进行转化求解即可．解：f （x ）＝sin x +a cos x =√a 2+1（sin x •√a 2+1+cos x •√a 2+1），设cos θ=√a +1，sin θ=a√a +1，则tan θ＝a ，即f （x ）=√a 2+1sin （x +θ）， ∵f （x ）的图象关于直线x =π4对称， ∴π4+θ＝k π+π2，k ∈Z ，则θ＝k π+π4，k ∈Z ，∵a ＝tan θ＝tan （k π+π4）＝tan π4=1，故选：A ．15．用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n （2n ﹣1）＝（﹣1）n n ，n ∈N *成立．那么，“当n ＝1时，命题成立”是“对n ∈N *“时，命题成立”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要【分析】“当n ＝1时，命题成立”是“对n ∈N *“时，命题成立”的归纳的基础，没有它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对n ∈N *“时的命题成立．反之成立． 解：用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n （2n ﹣1）＝（﹣1）n n ，n ∈N *成立． 那么，“当n ＝1时，命题成立”是“对n ∈N *“时，命题成立”的归纳的基础，没有它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对n ∈N *“时的命题成立． 由“对n ∈N *“时，命题成立”，显然包括n ＝1成立．∴“当n ＝1时，命题成立”是“对n ∈N *“时，命题成立”的必要不充分条件． 故选：B ．16．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2都有x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＜0，则函数g(x)={f(x)xx ≠00x =0（ ） A ．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减 B ．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增C ．是奇函数，且单调递减D ．是奇函数，且单调递增 【分析】根据题意即可得出f(x)x在（0，+∞）上单调递减，并可得出g （x ）是偶函数，从而得出正确的选项．解：∵对任意两个不相等的正数x 1，x 2都有x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＜0，∴函数f(x)x在（0，+∞）上单调递减，又f （x ）是R 上的奇函数， ∴f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴g （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减． 故选：A ．三.解答题（本大题共5题，共76分）17．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2AC ＝2，D 是AB 的中点． （1）若三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为3√3，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高； （2）若C 1C ＝2，求二面角D ﹣B 1C 1﹣A 1的大小．【分析】（1）由已知求出三棱柱的底面积，结合体积列式求高；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面C 1B 1D 的法向量与平面A 1B 1C 1 的法向量，再由两法向量所成角的余弦值求解二面角D ﹣B 1C 1﹣A 1的大小．解：（1）由∠ACB ＝90°，AB ＝2AC ＝2，得BC =√3，∴S △ABC =12AC ×BC =12√3．由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为3√3，得S △ABC ×CC 1=√32×CC 1=3√3，解得CC 1＝6．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高为6；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则D （12，√32，0），B 1（0，√3，2），C 1（0，0，2）． DB 1→=(−12，√32，2)，DC 1→=(−12，−√32，2)． 设平面C 1B 1D 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅DB 1→=−x +√3y +4z =0n →⋅DC 1→=−x −√3y +4z =0，取z ＝1，得n →=(4，0，1)． 平面A 1B 1C 1 的法向量m →=(0，0，1)． 记二面角D ﹣B 1C 1﹣A 1的大小为θ，则cos θ=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=√17=√1717． ∴二面角D ﹣B 1C 1﹣A 1的大小为arccos √1717．18．已知函数f （x ）=√2sin(wx +φ)，g(x)=√2coswx ，w ＞0，φ∈[0，π)，它们的最小正周期为π．（1）若y＝f（x）是奇函数，求f（x）和g（x）在[0，π]上的公共递减区间D；（2）若h（x）＝f（x）+g（x）的一个零点为x=−π6，求h（x）的最大值．【分析】（1）依题意，可得ω＝2，φ＝0，进而得出函数f（x）及函数g（x）的解析式，由此分别求出它们在[0，π]上的单调递减区间，再取交集即可；（2）h(x)=√2[sin(2x+φ)+cos2x]，把点(−π6，0)代入化简可得sin(φ−π3)=−12，结合题意可得φ=π6，进而求得h（x）的最大值．解：（1）由T=2πω=π，得ω＝2，又y＝f（x）是奇函数，故φ＝0，在[0，π]上，f(x)=√2sin2x的递减区间是D1=[π4，3π4]，g(x)=√2cos2x的递减区间是D2=[0，π2 ]，∴D=D1∩D2=[π4，π2]；（2）h(x)=√2[sin(2x+φ)+cos2x]，把点(−π6，0)代入得√2[sin(−π3+φ)+cos(−π3)]=0，即sin(φ−π3)=−12，∴φ−π3=−π6+(−1)k kπ，k∈Z，得φ=π6，∴h(x)=√2[sin(2x+π6)+cos2x]=√6(12sin2x+√32cos2x)=√6sin(2x+π3)，∴h(x)max=√6．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）【分析】（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个，取出S12，加上13得答案；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，由题意列式求得q ，然后求解第二项与第三项得答案．解：（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个． 则计划2020年新建基站数为S 12=12×3+12×112×0.2=49.2． 故2020年全国共有基站13+49.2＝62.2万个；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为q （q ＞0）． 由60+60q +60q 2＝800﹣13，得q 2+q −72760=0． 解得：q ≈3（q ＞0）．∴2021年至少建60×3＝180万个，2022年至少建60×9＝540万个才能完成计划． 20．已知直线l ：y ＝kx +m 和椭圆Γ：x 24+y 22=1相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程． （2）点C(√2，1)在Γ上，若m ＝0，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l 的距离是2√33，证明：△AOB 为直角三角形．【分析】（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得左焦点和上顶点的坐标，由截距式方程可得所求直线方程；（2）可得直线y ＝kx ，联立椭圆方程可得A ，B 的长，由点到直线的距离公式可得C 到AB 的距离，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；（3）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，结合向量垂直的条件：数量积为0，计算可得证明．解：（1）椭圆Γ：x 24+y 22=1的a ＝2，b ＝c =√2，可得椭圆Γ的左焦点（−√2，0）和上顶点（0，√2）， 则直线l 的方程为−√2+√2=1，即为y ＝x +√2；（2）由m ＝0可得直线l 的方程为y ＝kx ，联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得x 2=41+2k2，y 2=4k21+2k2，则|AB |＝2√41+2k2+4k21+2k2=√2√1+2k，C 到AB 的距离为d =|√2k−1|√1+k ，则△ABC 面积为12•√2k−1|√1+k 2•4√1+k 2√1+2k 2=2√1+2k 2−2√2k 1+2k2=2√1−2√2k 1+2k 2， 显然k ＜0时，上式取得最大值，由−2√2k 1+2k 2=2√2(−2k)+1−k≤√22√2=1， 当且仅当k =−√22时，上式取得最大值1，则三角形ABC 的面积的最大值为2√2；（3）证明：联立{y =kx +mx 2+2y 2=4可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4＝0， 由A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）可得 x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−41+2k2，由原点O 到直线l 的距离是2√33， 可得√1+2k 2=2√33，即为3m 2＝4+4k 2， 则OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ） ＝（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 ＝（1+k 2）•2m 2−41+2k 2+km •（−4km 1+2k2）+m 2=11+2k2（2k 2m 2+2m 2﹣4﹣4k 2﹣4k 2m 2+m 2+2k 2m 2）=11+2k2（3m2﹣4﹣4k 2）＝0，可得OA →⊥OB →，则△AOB 为直角三角形．21．定义：{a n }是无穷数列，若存在正整数k 使得对任意n ∈一、选择题*，均有a n +k ＞a n （a n +k＜a n ）则称{a n }是近似递增（减）数列，其中k 叫近似递增（减）数列{a n }的间隔数． （1）若a n =n +(−1)n ，{a n }是不是近似递增数列，并说明理由； （2）已知数列{a n }的通项公式为a n =1(−2)n−1+a ，其前n 项的和为S n ，若2是近似递增数列{S n }的间隔数，求a 的取值范围；（3）已知a n =−n2+sinn ，证明{a n }是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数． 【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列． （2）利用数列的S n =1−(−12)n1+12+an 和S n+2−S n =a n+1+a n+2=−(−12)n+1+2a ＞0，进一步确定a 的范围． （3）利用由a n +k ＜a n 得：−n+k 2+sin(n +k)＜−n2+sinn ，即k ＞2[sin （n +k ）﹣sin n ]，进一步利用赋值法的应用求出结果． 解：（1）数列{a n }是近似递增数列，由于a n+3−a n =n +3+(−1)n+3−[n +（﹣1）n ]＝3﹣2（﹣1）n ＞0， 或a n+2−a n =n +2+(−1)n+2−[n +(−1)n ]=2＞0， 即a n +3＞a n ，或a n +2＞a n ． 所以：数列{a n }是近似递增数列， （2）由题意得：S n =1−(−12)n1+12+an =23[1−(−12)n ]+an ，或S n+2−S n =a n+1+a n+2=−(−12)n+1+2a ＞0，即a ＞(−14)×(−12)n 恒成立．令c n =(−14)×(−12)n ，则(c n )max =c 1=18， 即a 的取值范围是（18，+∞）．（3）由a n +k ＜a n 得：−n+k 2+sin(n +k)＜−n2+sinn ， 即k ＞2[sin （n +k ）﹣sin n ]①，由于n 和k 为正整数，所以sin n 和sin （n +k ）均取不到±1．所以k ＝4时，上式恒成立，即数列{a n }是近似递减数列，4是它的间隔数． 当k ＝3时，当n ＝5时，2[sin （5+3）﹣sin5]≈3.9＞3，故不等式①成立． 当k ＝2时，当n ＝5时，2[sin （5+2）﹣sin5]≈3.23＞32故不等式①不成立． 当k ＝1时，当n ＝5时，2[sin （5+1）﹣sin5]≈1.36＞1，故不等式①不成立． 所以4是它的最小间隔数．。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．42．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x AB ∈”是“()x A B ∈”的必要条件3．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅4．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C 13D 226．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥7． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．310．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．5224+ D ．911．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±12．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。