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二次根式定义解读我们知道：一般地,形如a )0(≥a 的式子叫做二次根式，而a )0(≥a 也表示a 的算术平方根，所以可得,0≥a )0(≥a 。
这里要注意的是两个非负数：a 是非负数，被开方数是非负数，那么它们在实际问题中有什么作用呢？1。
条件)0(≥a 的作用:列不等式,可求被开方数中，字母的取值范围.例1 当a -11++a 有意义时，a 的取值范围是 . 析解：此式中含有二次根式，被开方数为非负数，得,0≥-a含有分式，分母不为零，得01≠+a , a 的取值应使以上二式都成立,∴据题意得⎩⎨⎧≠+≥-010a a 解得：,0≤a 且1-≠a .例2 1212+x 有意义，则x 的取值范围是 。
解：法一 据题意得:012>+x ,12->x ，当x 取任意实数时,上式都成立，∴x 的取值范围是全体实数。
法二：∵,02≥x ∴112≥+x ,即x 取任意实数，被开方数都是正数，原式都有意义,∴x 的取值范围是全体实数。
点评：此题看似简单,学生却极易出错,错误原因往往是对法一中的12->x 不会处理，不知道解到此步，应得结论，却接着往下解,从而得出荒谬的结论.【小结】数学表达式中的条件,往往是列方程或列不等式的依据，从而求出所含字母的取值范围。
2。
0≥a 的作用：表示非负数，往往与也表示非负数的绝对值、偶次幂同时出现于同一题目中。
例3 若32-+y x 与1-xy 互为相反数,则22y x += .解:据题意得， 32-+y x +1-xy =0,∴⎩⎨⎧=-=-+01032xy y x ， ∴⎩⎨⎧==+132xy y x ，∵xy y x y x 2)(222++=+, ∴12)32(222⨯++=y x ，1022=+y x .例4 若a a 21)12(2-=-，求a 的取值范围？ 解：∵2)12(-a 0≥，∴021≥-a ， 解得：21≤a 。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
八年级数学下册12.1二次根式二次根式大小比较的常
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二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．
1．根式变形法．
【例1】比较35与53的大小．
【解】将两个二次根式作变形得35＝5×32＝45，52×3＝53＝75；
∵75＞45；∴75＞45，即35＜53．
【解后评注】本解法依据是：当a＞0，b＞0时，①a＞b，则a＞b；
②若a＜b，则a＜b．
2．平方法．
【例2】比较32与23的大小．
【解】（32）2＝18，（23）2＝12．
∵18＞12；∴32＞23．
【解后评注】本法的依据是：当a＞0，b＞0 时，如果a2＞b2，则a＞b，如果a2＜b2，则a ＜b．
另外根式的无理数大小的比较往往可采用：分母有理化法、分子有理化法、等式的基本性质法、作差比较法、求商比较法等多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．
1。
第十二章二次根式一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成2232 。
二、二次根式的性质：★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，st（t≠0，x3都是代数式注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。
如2x+3＞3x-5是关系式。
列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
四、二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
五、二次根式的乘法法则a ．b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
二次根号“”的来历
1220年意大利数学家斐波那契使用R作为平方根号．十七世纪法国数学家笛卡尔在他的《几何学》一书中第一次用“root(方根)的第一个字母“r”变来，上面的短线是括线，相当于括号．
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