数学试题答案及评分标准.doc

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（甘肃赛区预赛）试卷参考答案及评分标准一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。

请直接将答案写在题中的横线上）二、解答题（共6小题，满分80分。

要求写出解题过程）11.（13分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c cos sin 2A Bc B +=．（1）求C ∠的大小；（2）若a b +=，求sin A ．【解】：（1cos sin sin 2A BB C B +=，因为有sin 0B ≠sin .2A BC +=因为cos cos()sin2222A B CC π+=-=，2sin cos 222C C C =，因为sin02C≠，所以cos 22C =，因为(0,)C π∈，所以26C π=，从而.3C π=………………6分（2）因为3C π=，由余弦定理得222,c a b ab =+-将3()3c a b =+代入上式得2221()3a b a b ab +=+-，整理得222520a ab b -+=，解得2a b =或2.b a =①当2a b =时，c =，所以222222cos 02b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以2A π=.②当2b a =时，c =，所以222222cos 22b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以6A π=.所以1sin 2A =或1.…………………………13分12.（13分）如图，已知长方形ABCD 中，21AB AD ==，,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．【解】：（1）因为平面AMD ⊥平面ABCM ，2,1AB AD ==，M 是DC 的中点,，故AD DM =，取AM 的中点O ，连结有OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 中点N ，连接ON ，则ON AM ⊥，以O 为原点如图建立空间直角坐标系……………3分13.（13分）已知数列}{n a 中，12a =，且21()2n n n a a n N a *+=∈+．证明：（1）212n n a -≤；（2）12122244222n n na a a a a a +++<+++ ．【证明】：（1）由12a =，且212n n n a a a +=+，得0n a >，故1202nn n n a a a a +--=<+，则{}n a 为递减数列.11221112222n n n n n a a a a a a +==-≤-=+++，即112n n a a +≤，故21.2n n a -≤…………………………………6分（2）由12()2nn n n a a a n N a *+=-∈+，可得121223112224()2()()222n n n n na a a a a a a n a a a a a ++++=-+-++-+++ 1231n n a a a a na +=+++- ，21121()22n -<++++ 11221) 4.2n -=+-<（故有1212224 4.222n n na a a a a a +++<+++ ……………………………………13分14.（13分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第1n +次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第1n -，2n -，3n -，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n （n N *∈）次操作后，记甲盒子中黑球个数为n X ，甲盒中恰有1个黑球的概率为n a ，恰有2个黑球的概率为n b ．（1）求1X 的分布列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求n X 的数学期望.【解】：（1）由题意可知，X 1的可能取值为0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式可知：P （X 1＝0）＝122339⨯=，P （X 1＝1）＝1122533339⨯+⨯=，P （X 1＝2）＝212339⨯=，故X 1的分布列如下表：X 1012P295929………………3分（2）由全概率公式可知：P （1n X +＝1）＝P （n X ＝1）P （1n X +＝1|n X ＝1）+P （n X ＝2）P （1n X +＝1|n X ＝2）+P （n X ＝0）P （1n X +＝1|n X ＝0）＝1122()3333⨯+⨯P （n X ＝1）+2(1)3⨯P （n X ＝2）+2(1)3⨯P （n X ＝0）＝59P （n X ＝1）+23P （n X ＝2）+23P （n X ＝0），即：1522(1),933n n n n n a a b a b +=++--所以112,93n n a a +=-+所以1313(),595n n a a +-=--又a 1＝P （X 1＝1）＝59，所以，数列3{}5n a -是以135a -为首项，以19-为公比的等比数列，所以132121(()545959n n n a --=-⨯-=-，即：321(.559nn a =+⨯-………………8分（3）由全概率公式可得：P （1n X +＝2）＝P （n X ＝1）P （1n X +＝2|n X ＝1）+P （n X ＝2）P （1n X +＝2|n X ＝2）+P （n X ＝0）P （1n X +＝2|n X ＝0）＝21(33⨯P （n X ＝1）+11)3⨯（P （n X ＝2）+0×P （n X ＝0），即：12193n n n b a b +=+，又321(),559nn a =+⨯-所以112321[()]39559nn n b b +=+⨯+⨯-，所以111111111([()],5593559n nn n b b ++-+⨯-=-+⨯-又b 1＝P （X 1＝2）＝29，所以111121105599545b -+⨯-=--=（，所以111()0559nn b -+⨯-=，所以111()559nn b =-⨯-，所以()20(1)2 1.n n n n n n n E X a b a b a b =++⨯--=+=………………13分15.（13分）已知点F 是抛物线2:4C x y =与椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的公共焦点，椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）过点M 作C 的两条切线，记切点分别为,A B ，求△MAB 面积的最大值.【解】：（1）抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F （0，1），∴c ＝1．∵椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3，∴a +c ＝3，b 2＝a 2-c 2，解得a ＝2，b 2＝3，∴椭圆的方程为22143y x +=．………………5分（2）设M （x 0，y 0），则2222000031,3434y x y x +==-联立2224143x yy x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得3y 2+16y -12＝0，y ∈[-2，2]，解得y ＝23，∴y 0∈[-2，23），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），求导x 2＝4y ，可得12y x '=，∴切线MA ，MB 的方程分别为：y 214x -＝12x 1（x -x 1），y 224x -＝12x 2（x -x 2），可得x 1，x 2为方程t 2-2x 0t +4y 0＝0的两个不相等实数根．∴x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2＝4y 0，∴AB k ＝22210212*********x x x y y x x x x x x --+===--，∴直线AB 的方程为：y 214x -＝214x x +（x -x 1），化为y ＝214x x +x 124x x -，代入可得y ＝2x x -y 0，化为x 0x -2y -2y 0＝0，∴点M 到直线AB 的距离d＝2，|AB |，∴△MAB 面积S ＝12d |AB |＝2001|4|4x y -把2200334y x =-代入上式可得S＝20031|34|44y y --＝322001(12316)16y y --，∵y 0∈[2-，23），由t ＝12203y --16y 0＝2081003(33y -++，∴y 0＝2-时，t 取得最大值32．∴△MAB面积的最大值为………………13分16.（15分）已知函数()(2e )ln f x x x =-，其中e 2.71828= 为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若12,x x ∈（0，1），且21121212ln ln 2e (ln ln )x x x x x x x x -=-，证明：12112e 2e 1x x <+<+．【解】：（1）2e()(1ln )f x x x'=-+，因为y ＝2ex在（0，+∞）上是减函数，y ＝1ln x +在（0，+∞）上是增函数，所以()f x '在（0，+∞）上单调递减，又因为(e)0f '=，所以当x ∈（0，e ）时，()(e)0f x f ''>=，()f x 单调递增；当x ∈(e ，+∞)时，()(e)0f x f ''<=，()f x 单调递减．………………5分（2）证明：由题意，121212ln ln 2eln 2eln x x x x x x -=-，即121211(2e ln (2e )ln x x x x -=-，11221111(2e ln (2e )ln x x x x -=-，设111a x =，221a x =，则由1x ，2x ∈（0，1），得1a ，2a ∈（1，+∞），且f （1a ）＝f （2a ），不妨设12a a <，则即证122e 2e 1a a <+<+，由(2e)0f =及()f x 的单调性知，121e 2e a a <<<<，令()()(2e )F x f x f x =--，1＜x ＜e ，则()F x '＝()f x '+(2e )f x '-＝24e 2ln[(2e )](2e )x x x x ----，因为2(2e )e x x -≤，所以()F x '＞2224e 2ln e 0e--=，所以F （x ）在（1，e ）上单调递增，则F （x ）＜F （e ）＝0，所以f （x ）＜f （2e -x ），取1x a =，则11()(2e )f a f a <-，又12()()f a f a =，则21()(2e )f a f a <-，又12e a e ->，2e a >，且f （x ）在（e ，+∞）上单调递减，所以212e a a >-，即122e a a +>．从而12112e x x +>成立.………………10分下证122e 1a a +<+，①当21a e <+时，由1e a <得122e 1a a +<+，②当2e 12e a +≤<时，令()()(2e 1)G x f x f x =-+-，e 12e x +<<，则222e(2e 1)()()(2e 1)2ln[(2e 1)](2e 1)G x f x f x x x x x+'''=++-=---++-++，记2(2e 1)t x x =-++，e 12e x +≤<，又2(2e 1)t x x =-++在[e 1,2e)+上为减函数，所以2(2e,e e]t ∈+，2e(2e 1)2t +-在（2e ，e 2+e ）单调递减，ln t 在（2e ，e 2+1）单调递增，所以2e(2e 1)2t+--ln t 单调递减，从而()G x '在[e +1，2e ）上单调递增，又(2e)G '＝2e(2e 1)2e(2e 12e)++--2-ln 2e （2e +1-2e ）＝2e -1-ln 2e ，ln x ≤x -1，所以(2e)G '＞0，又(e 1)G '+＝2e(2e 1)(e 1)(2e 1e 1)+++---2-ln （e +1）（2e +1-e -1）＝e 1e 1-+ln(e 1)-+＜0，从而由零点存在定理得，存在唯一x 0∈（e +1，2e ），使得0()0G x '=，当0[e 1,)x x ∈+时，()G x '＜0()G x '＝0⇒()G x 单调递减；当0(,2)x x e ∈时，()G x '＞0()G x '＝0⇒()G x 单调递增；所以()G x ≤max {(e 1),(2e)}G G +，又(e 1)(e 1)(2e 1e 1)(e 1)(e)(e 1)ln(e 1)e G f f f f +=+-+--=+-=-+-，ln 1e x x ≤⇒ln x ≤e x ⇒ln(e 1)+≤e 1e+，所以e 11(e 1)(e 1)e 0e eG ++<--=-<，显然，G （2e ）＝f （2e ）-f （2e +1-2e ）＝0-0＝0，所以G （x ）＜0，即f （x ）-f （2e +1-x ）＜0，取x ＝2a ∈[e +1，2e ），则22()(2e 1)f a f a <+-，又12()()f a f a =，则12()(2e 1)f a f a <+-，结合22e 12e 1(e 1)e a +-<+-+=，1e a <，以及()f x 在(0,e)单调递增，得到122e 1a a <+-，所以122e 1a a +<+．综上，可得12112e 2e 1x x <+<+．………………15分。

考生须知: 厦门市2007年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学试题（试卷满分: 150 分; 考试时间：120分钟） 1. 解答的内容一律写在答题卡上， 考生不得擅自带走• 2. 作图或画辅助线要用 0.5毫米的黑色签字笔画好. 一、选择题（本大题共 7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有 一个选项是正确的） 下列计算正确的是 A . — 3X 2 = — 6 B. — 1— 1 = 0 已知点 A （— 2, 3）,则点A 在 A .第一象限 B .第二象限 下列语句正确的是 A.画直线AB = 10厘米 C.画射线OB = 3厘米 下列事件，是必然事件的是 A. 掷一枚均匀的普通正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是B. 掷一枚均匀的普通正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数C. 打开电视，正在播广告 D •抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面 1.2. 3. 4.6. 7. 否则以0分计算.交卷时只交答题卡，本卷由考场处理, C. ( — 3)2= 6 C.第三象限D. 2 -1 = 2 D.第四象限B.画直线 D.延长线段AB 到点C,使得BC = AB I 的垂直平分线 方程组丿x + y = 5, 的解是,2x — y = 4.X= 3, x = 3, x =— 3, x =— 3, A .彳 B . C .丿D. \ly = 2. w=— 2.j= 2. 丁=— 2.5. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形下列两个命题：①有一个内角是60° ,那么这个等腰三角形一定是等边三角形 .则以下结论正确的是A.只有命题①正确B.只有命题②正确C.命题①、②都正确D.命题①、②都不正确小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地 .后来 小宝借来一副质量为 6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地 .小宝的体重可能是 A. 23.2 千克B. 23千克C. 21.1 千克D. 19.9 千克二、填空题（本大题共 10小题，每小题4分，共40分） 9.已知/ A = 50°，则/ A 的补角是 计算15 车序号1 2 3 4 5 6 车速（千米/时） 85 100 90 82 70 82 不等式2x — 4> 0的解集是 ________ . _______ 一名警察在高速公路上随机观察了 6辆车的车速，如下表所示: 则这6辆车车速的众数是 _______________ 千米/时. 已知图1所示的图形是由6个大小一样的正方形拼接而成的，此图形能否折成正方体 _________ （在横线上填“能”或“否”）. 已知摄氏温度（C ）与华氏温度「F ）之间的转换关系是： 5摄氏温度=9 % （华氏温度—32）.若华氏温度是68 F, 则摄氏温度是 C . 已知在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°，直角边 AC 是直角边 BC 的2倍，贝U sin / A 的值 是 如图2,在平行四边形 ABCD 中，AF 交DC 于E ,交BC 的延长线于F ，若/ DAE = 20° , / AED = 90°，则/ B = __________ 度；若E C = 1，AD = 4厘米，则CF = _____________ 厘米. AB 3 在平面直角坐标系中， O 是坐标原点•点P （m , n ）在反 图2 、 k 厂 比例函数y = X 的图象上.若m = k , n = k — 2,则k = ____________ ;若m + n = ,2k, OP = 2, k 且此反比例函数 y = -满足：当x > 0时，y 随x 的增大而减小，则 k =—— X 解答题（本大题共 9小题，共89分） 2 “ 2 ——1 V + X （本题满分8分）计算X 一 十J 厂+ 1. x x （本题满分8分）一次抽奖活动设置了如下的翻奖牌，如果你只能有一次机会在 字中选中一个翻牌，（1）求得到一架显微镜的概率；9个数（2）请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是2 9.10. 11. 12. 13. 14.15. 16. 17. 三、 18. 19.1 2 3 4 5 6 789翻奖牌正面一架 两张 谢谢显微镜球票 参与 一张 一副 一张 唱片 球拍 唱片 两张 一张 一副 球票唱片球拍翻奖牌反面(本题满分8分)已知：如图3, AB 是O O 的弦，点(1) 若/ OAB = 35°,求/ AOB 的度数； (2) 过点C 作CD // AB ,若CD 是O O 的切线，求证：点C 是AB 的中点.21. (本题满分9分)某种爆竹点燃后，其上升的高度h (米)和时间t (秒)符合关系式1h = v o t — 2g t 2 ( O v t W 2),其中重力加速度 g 以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以 V o = 20 米/秒的初速度上升， (1) 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2) 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明 理由. 22. (本题满分10分)已知四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O.现给出四个条件：①AC 丄BD :②AC 平分对角线 BD :③ AD // BC :④ / OAD = Z ODA.请你以其中的三个 条件作为命题的题设，以“四边形 ABCD 是菱形”作为命题的结论，(1 )写出一个真命题，并证明；(2 )写出一个假命题，并举出一个反例说明.23. (本题满分10分)已知：如图4，在厶ABC 中，D 是AB 边上的一点，BD > AD ，/ A =Z ACD ，(1)若/ A =Z B = 30 °，BD =3,求 CB 的长；(2 )过D 作/ CDB 的平分线 DF 交CB 于F ，C若线段AC 沿着AB 方向平移，当点 A 移到点D 时，F判断线段AC 的中点E 能否移到线段 DF 上，并说明理由. ______________________________ADB20. 图3图424. (本题满分12分)已知抛物线的函数关系式：y= x2 3+ 2( a —1) x+ a2-2a (其中x是自变量)，(1)若点P(2，3)在此抛物线上，①求a的值；②若a> 0，且一次函数y= kx+ b的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式(只需写一个，不必写出过程) ；(2)设此抛物线与x轴交于点A (x1, 0)、B (x2, 0).若xi^^3< x2，且抛物线的顶点3在直线x= 4的右侧，求a的取值范围.25. (本题满分12分)已知：如图5, PA、PB是O O的切线，A、B是切点，连结OA、OB、OP,(1)若/ AOP = 60°,求/ OPB 的度数；A(2 )过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点,判断直线CD与O O的位置关系，并说明理由①若/ COP = Z DOP，求证：AC = BD;②连结CD，设△ PCD的周长为I，若I = 2AP,图526. (本题满分12分)已知点P (m, n) ( m>0)在直线y= x+ b (0< b< 3)上，点A、B4 2 2在x轴上(点A在点B的左边)，线段AB的长度为3匕，设厶FAB的面积为S,且S=?b 2+ 3b，3(1 )若b = 2，求S的值；(2 )若S= 4，求n的值；(3)若直线y= x + b ( 0< b< 3)与y轴交于点C,A PAB是等腰三角形，当CA // PB时，求b的值.厦门市2007年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 选项A BDD AC C、选择题（本大题共 7小题，每小题3分，共21分）二、填空题（本大题共 8. 3. 9. 130 度. 10小题，每小题4分，共40 分）10.5.11. x >2.12.82千米/时.13. 台匕 冃匕.14. 20 C .15.5 16. 70 度2厘米.17.3; 2.三、解答题（本大题共 （本题满分8分） 2 , 2 解:匸1X + X x 9小题，共89分） 18. 2 2x — 1 x • ~~2~7~■x x + x 19. （本题满分 (1)解:8分) ]9.20. (x — 1)( x + 1) x — 1 + 1=x.x(x + 1) + 1解：••• 0A = OB ,” 1 分 •• / OAB = Z OBA . ” 2 分 • • / OAB = 35° , ” 3 分 •• / AOB = 110°. ”4 分（2）证明：连结0C ,交AB 于E .(1) 如得到“一副球拍”或得到“两张球票”或 “一架显微镜或谢谢参与” . （2）解：得到 （本题满分8分）CD 是O 0的切线, ••• 0C 丄 CD .CD // AB , • / OEB = Z OCD . • 0E 丄AB . •/ 0A = OB ,• △ AOB 是等腰三角形,OE 是等腰三角形 AOB 顶角的平分线.•••点C 是AB 的中点.21.(本题满分9分)(1)解：由已知得，15 = 20t — |x 10X t 2,整理得，t 2 — 4t + 3= 0.解得，h= 3, t 2= 1当t =3时，不合题意，舍去• •当爆竹点燃后1秒离地15米.2(2)解：由题意得， h =- 5t + 20t.20•顶点的横坐标t =-莎)=2.2或：h =— 5( t — 2) + 20•顶点的横坐标t = 2.又••• 一 5V 0,二抛物线开口向下.•在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升•22.(本题满分10 分)(1)真命题：如图，已知四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O.若平分对角线BD , AD // BC ,则四边形ABCD 是菱形.证明：•/ AD // BC ,• / CBO =Z ADO .•/ AC 垂直平分 BD , • Rt △ AOD 也 Rt △ COB . • AD = BC .•四边形ABCD 是平行四边形.(2)假命题1:已知四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O.若AC 丄BD , AC 平分对 角线BD ，/ OAD = Z ODA ，则四边形 ABCD 是菱形. 反作等腰直角三角形 ABD ，/ A = 90°,以BD 为一边，作等边三角形 BCD ，连结AC 、BD 交于点O. 贝U AC 丄BD , AC 平分对角线 BD ，/ OAD = Z ODA”9分•/ AC 丄 BD , 四边形ABCD 是菱形.AC 丄 BD , ACD3分但四边形ABCD不是菱形. ，，10分假命题2 :已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AC丄BD, AD // BC, / OAD = Z ODA，则四边形ABCD是菱形. ”6分反例：作等腰直角三角形AOD，/ AOD = 90° .延长DO至B, AO至C,取OB = OC (OB M OD ).连结AB、BC、CD ,贝U AC 丄BD , AD // BC,/ OAD = Z ODA. ,, 9 分则四边形ABCD是等腰梯形，不是菱形•，，10分假命题3:已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AC平分对角线BD , AD // BC，/ OAD = / ODA，则四边形ABCD是菱形. ”6分反例：作等腰三角形AOD ( OA = OD，/ AOD丰90°).延长DO至B，AO至C，取OB= OC= OA = OD.连结AB、BC、CD，贝U AD 丰 AB，AC 平分对角线BD，AD // BC，/ OAD = / ODA. ,,9分则四边形ABCD是矩形，不是菱形.5510分23.(本题满分10分)(1)解：•/ /A =/ ACD = 30°，CF ••• / CDB = 60° . ,, 1 分E又T/ B = 30°，A D B• / DCB = 90° . ,, 2 分亠亠BC在Rt△ BDC 中，cosB = BD，553分厂血3BC —BD •cosB — 3 •—.v2 2554分(2)解: •/ / CDB — / A +/ ACD，且DF 是/ CDB 的平分线，• 2 / FDB —2/ A，• / FDB —/ A. •AC // DF.5分方法 1 T / FDB =/ A，/ B =/ B，△ BDF s\ BAC.DF = BDAC = BA.BD > AD, DF 1> —AC 2BD、1 -- 〉_BA 2•/ E是AC的中点，•AE >1.即DF > AE.点E可以移到线段DF上.10分方法2:记点M为线段AB的中点，T BD >AD,点M在线段BD上.过M作MN // AC交BC于N./ BMN = / A,Z B =Z B,△ BMN BAC.BN = BM = 1BC = BA = 2N是BC的中点.MN // AC, AC// DF MN // DF.点N在线段BF上.点M在线段BD上,••• MN v DF.••• M为AB的中点，N是BC的中点，AE v DF.•••点E可以移到线段DF上.方法3:记点M为线段AB的中点，T BD > AD,”8分MN = AE.”9分”10分点M在线段BD上.过M作MN // AC交BC于N. / BMN = / A,Z B =Z B,△BMN BAC.MN = BM = 1AC = BA = 2.1E 为 AC 的中点，••• MN = 2AC = AE.MN // AC , AC // DF , 点M 在线段BD 上， MN BM 彳DF BD MN v DF. AE v DF.点E 可以移到线段DF 上.方法4:如图，延长 DF 至G ,使得DG = AC.•四边形ADGC 是平行四边形. • CG // AB.•••/ CGF =Z FDB ，/ GCF = Z FBD .△ CFG BFD. GF = CG FD = DB . CG = AD , AD v DB.即 計• GF + FD v 2F D. • DG > 2.1 FD > 2AC.又••• E 是AC 的中点,24.(本题满分12分)(1 ［① 解：由题意得，3=4 + 2( a — 1) X 2 + a — 2a,”1 分 整理得，a 2+ 2a — 3= 0. ”2 分 解得，a 1=— 3, a 2= 1.”4 分9 / 12MN // DF.9分 10分CG DB v 1.• FD > AE.点E 可以移到线段DF 上. 9分 10分②解：y = x — 2.、.22(2)由题意得，x + 2( a — 1) x + a — 2a = 0解得，X 1 = — a , X 2 = — a + 2.解得一-,/3 v a v 2 — /3.3 1• 3 — a >4,解得 a v 4.3 I I1 8• S^- • AB • n , • -x- • n = 4.X 1< 3 v X 2,—a v” ：3 v — a + 2.可以解得顶点坐标为(1 — a , — 1).11分10分△ OCP ^A ODP.CP = DP.•/ FA 、PB 是O O 的切线， • FA = PB. .AC = BD.② 证明 1:连结 CD.•/ l = 2AP , PA = PB ,CD = AC + BD.•/ OA = OB ,且/ OAC = Z OBD = 90° .•/ OC 1 = OC , DC 1= DC , OD = OD , ••• △ OCDOCD.10 / 1225. 12分(本题满分12分)(2)① 证明：•••/ COP =Z DOP ，/ CPO = Z DPO , PO = PO ,(1).将厶OAC 绕点O 逆时针旋转，使点 A 与B 重合. 记点C 的对称点为 C 1,. AC = BC 1,OC = OC 1.vZ OAC =Z OBD = 90°,•••点 C 1在PB 的延长线上.过O 作OE 丄CD , E 是垂足.即0E 是点0到直线CD 的距离, 112 X CD® 2 X CD &0B = OE.直线CD 与O O 相切.证明 2:过 O 作 OE 丄CD.设 OE = d , CE = x, DE = y.2 A —2 , A —22_122 , . -.22d = AC + AO — x , d = BD + AO — y ,••• AC 1 4— BD 2+ y 2— x 2= 0”8 分••• ( AC + x)( AC — x) = (BD + y)( BD — y)l = 2AP , FA = PB , • x + y = AC + BD.”9 分AC — x = y — BD.• ( AC + x)( y — BD) = (BD + y)( BD — y). (y — BD) (AC + x + BD + y )= 0.• ( AC + x + BD + y )M 0, - -y — BD = 0.BD = y.• d = AO. •直线CD 与O O 相切.26.(本题满分12分)32 9 23 (1)解：• b = -，• S = x + x-23 4 3 2=5 =2.” 2 2 2 (2)解：• S = 4,• 4 = 3b + 3b.• b 2 + b — 6 = 0. 解得 b =— 3 (舍去)，b = 2.• AB 的长度为3.4 1 1 ，2 3n = 3.2 2 1⑶解：• S = 3b 2 + 3b , S = 2 •丨 AB| • n ,11分 12分10分11分 12分1分2分 3分4分5分 6分31 42 2 2 2 • §b • n = 3b + 3b. ■/ b z 0,n = b + 1. /• m + b = b + 1./• m = 1.P (1, b +1)过P 作PD 垂直x 轴于点D ，则点D (1 , 0). 4 1PD — AB = b + 1 — 3b = 1 — 3b. ” 8 分 1■/ 0 v b v 3,二 1 — §b > 0.”9 分••• PD > AB. •/ PA > PD , PD >AB ,「. PA > PD > AB ，即 PA >AB. •••PA 工 AB.同理 PB z AB”10 分2 2••• △ PAB 是等腰三角形，• PA = PB. • A (1— 3b , 0), B (1+ -b , 0)方法 1：v CA // PB ,••• / OAC =Z DPB ,• Rt △ AOC s Rt △ BDP.23• 4b — b — 3 = 0. •- b = 1 或 b = — 4 (不合题意，舍去)b = 1.方法2:延长PA 交y 轴于点C 1,v PA = PB ,/ CAO = Z PBA =Z PAB =Z OAC 1• OC 1= OC ,• C 1 (0, — b ).设直线 PA 的解析式为：y = kx +1. "k + t = b + 1, "k = 2b + 1, 则有* 解得，’L. t =— b. L_t =— b.•直线PA 的解析式为：y = (2 b + 1)x — b.” 11分/ 2 2--0 = (2 b +1) (1 — 3b )— b.•- 4 b — b — 3 = 0.3CO = OA PD = DB1 — 3b11分3b12分Rt △ AOC 也 Rt △ AOC .•- b= 1或b=—4 (不合题意，舍去).•b= 1. ”12分。

2025年1月“八省联考”考前猜想卷02数学·参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678CBAAADBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDACABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．240或384013．214．(20,e ⎤⎦四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

15．（13分）【详解】（1）学生甲恰好答对3道题有以下两种情况：第一种情况是学生甲答对A 组的2道题和B 组的1道题，其概率21122112C 13229P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；...........................................................................（2分）第二种情况是学生甲答对A 组的l 道题和B 组的2道题，其概率21222211C 13329P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．故学生甲恰好答对3道题的概率12211993P P P =+=+=．.............................................（5分）（2）由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4．22211(0)113236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211222212111(1)C 111C 13323226P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222211222121221113(2)11C 1C 132********P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22211(4)329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，...........................................................................................（9分）由（1）可知1(3)3P X ==，则X 的分布列为X01234P1361613361319故1113117()0123436636393E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．............................................................（13分）16．（15分）【详解】（1）证明：由三棱柱的性质可知11//CC AA ．因为1AA ⊥平面ABC ，所以1CC ⊥平面ABC ．因为AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥．........................................................................（2分）因为D 为AB 的中点，且ABC V 是等边三角形，所以CD AB ⊥．因为1,CD CC ⊂平面1CC D ，且1= CC CD C ，所以AB ⊥平面1CC D ．.....................................................................................................（6分）（2）取11A B 的中点1D ，连接1DD ．由题意可得1,,DB DC DD 两两垂直，故以D 为坐标原点，1,DB DC DD，的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则()()()()()()111,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,0,1,0,3,0,3,3A B C D A C --，故()()()()112,0,0,1,3,3,1,0,3,0,3,0AB AC DA DC ===-=．...................................（8分）设平面1ACD 的法向量为()111,,n x y z =，则111130,30,n DA x z n DC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令13x =，得()3,0,1n = ．设平面1ABC 的法向量为()222,,m x y z =，则2122220,330,m AB x m AC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令23y ()3,1m =- ．设平面1ACD 与平面1ABC 所成的锐二面角为θ，则10cos 20102n m n m θ⋅=⨯即平面1ACD 与平面1ABC 1020............................................（15分）17．（15分）【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-，所以在点1,1处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：()10a x y a --+=；..........................................................................................（4分）（2）函数()ln f x x a x =-定义域为0,+∞，()1a x a f x x x'-=-=..........................（6分）当0a ≤时，'≥0，此时()f x 在0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时在(0,)a 上'<0，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞上'>0，()f x 在(,)a +∞单调递增，综上：0a ≤时，()f x 的递增区间为0,+∞，无递减区间；0a >时，()f x 的递减区间为(0,)a ，递增区间为(,)a +∞；..........................................（9分）（3）由（2）可知，当0a >时，()ln 0f x x a x =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而00ln 0x a x -=，则000(1ln xa x x =≠，否则方程不成立），所以即证000ln 11x x x ->，化简得00ln 10x x -->，................................................................（11分）令000()ln 1g x x x =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，00()g x '<，所以0()g x 在0,1单调递减，当01x >时，0()0g x '>，所以0()g x 在1,+∞单调递增，...........................................（13分）所以()()010g x g ≥=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．...................................................................................................（15分）18．（17分）【详解】（1）设动圆的半径为r，圆222:(16F x y -+=的圆心2F ，半径4R =，显然点1(F 在圆2F 内，则214MF R r MF =-=-，于是12124MF MF F F +=>，因此动点M 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，.................................（2分）长半轴长2a =，半焦距c =，则短半轴长1b ==，所以轨迹C 的方程为2214x y +=.........................................................................................（4分）（2）（i ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(4,)T m ，由（1）知(2,0)A -，(2,0)B ，显然112AP k y x +=，()0426AQ AT m m k k -===--，而1122BP BTy m k k x ===-，则1122y m x =-.（7分）21111211112623(2)3(4)AP AQy y y y m k k x x x x ⋅=⋅=⋅=++--，又221114x y +=，即2211)1(44y x =-，所以21211(4)143(4)12APAQx kk x -⋅==--，为定值............................................................................（11分）（ii ）由2244x ty nx y =+⎧⎨+=⎩消去x 得222(4)240t y tny n +++-=，22222244(4)(4)16(4)0t n t n t n ∆=-+-=+->，由（i ）得122122224,44y y y y tn n t t -+=-=++，又112AP AQ k k ⋅=-，......................................（14分）则()()()()()1212122212121212222222y y y y y y x x ty n ty n t y y t n y y n ⋅==+++++++++++()()222222222244142241616124244n n t t n n n n n t n t t --+===-+++-⋅-++++，解得1n =，满足0∆>，因此直线PQ 的方程为1x ty =+，所以直线PQ 过定点(1,0).................................................................................................（17分）19．（17分）【详解】（1）由11a =，且{}n a 为“2数列”，得12+-=n n a T ，即12+=+n n a T ，...........（2分）则211223=+=+=a T a ，3212222135=+=+=+⨯=a T a a ，4312322213517=+=+=+⨯⨯=a T a a a ，54123422213517257=+=+=+⨯⨯⨯=a T a a a a ．.............................................................（5分）（2）设数列的公比为()0q q >，由2-=n n G Tn b ，得2log =+n n n G T b ，....................................................................................（6分）即212123log ni n i n n G a a a a a b ====+∑LL ，则1211231211log ++++===⋅⋅⋅⋅⋅+∑n n i n n n i G a a a a a a b ．两式相减得()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=⋅⋅⋅⋅⋅-+-，即()21123121log n n n a a a a a a q ++=⋅⋅⋅⋅⋅-+．因为{}n a 是首项为2的“k 数列”，所以1+-=n n a T k ，....................................................（8分）即1231+⋅⋅⋅⋅⋅=-n n a a a a a k ，所以()()211121log n n n a a k a q +++=--+，即()121log n k a k q ++=+对任意的*n ∈N 恒成立．因为2112=+=+=+a T k a k k ，()32122234a T k a a k k k k =+=+=++=+，则()()22321log 1log k a k q k a k q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，即()()()()2212log 134log k k k q k k k q ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩，解得1k =-，2q =．.........................................................................................................（11分）又由21121log =+a a b ，即2142log =+b ，得14b =，所以12n n b +=．检验可知1k =-符合要求，故数列的通项公式为12n n b +=．..................................（12分）（3）因为{}n a 为“k 数列”，所以1+-=n n a T k ，即1123+=⋅⋅⋅⋅⋅+n n a a a a a k 对任意的*n ∈N 恒成立，因为11a >，0k >，所以211=+>a a k ．再结合11a >，0k >，21a >，反复利用1123+=⋅⋅⋅⋅⋅+n n a a a a a k ，可得对任意的*n ∈N ，1n a >．设函数()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-．.....................................................................（15分）由()0f x '=，得1x =．当1x >时，'<0，所以()f x 在1,+∞上单调递减．所以当1x >时，()()ln 110f x x x f =-+<=，即()ln 11x x x <->．又1n a >，所以ln 1n n a a <-．可得11ln 1<-a a ，22ln 1<-a a ，⋅⋅⋅，ln 1n n a a <-，累加可得1212ln ln ln ++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+-n n a a a a a a n ，即()12ln n n a a a S n ⋅⋅⋅⋅⋅<-，即ln <-n n T S n ，所以ln >+n n S T n ．.............................................................................................................（17分）。

东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测初二数学参考答案及评分标准 2024.1一、 选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BABCDBCDAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.三角形的稳定性 12. 1x ≠- 213.(2)y x y - 14.答案不唯一，如BC=EF 等 15.24︒ 16.2024 1217.518.90,11 三、解答题(本题共54分,19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分)19. 答案：画图 --------2分 ∵OM=OC=CM ， --------3分 ∴△MOC 为等边三角形.∴∠COM=60° --------4分 ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC=30°. ∵OD 平分∠COM ， ∴∠COD=∠DOB=30°. ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.20.1'(5,1)3(2)15B （）图略，分图略，每个图分分,,,,.4..15ABE ACD AB AC A A AE AD A D AD AE BD EC AB AC BE AC B C ==∴∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆∠=∆∴∠=2分，1.证明：在和中，分≌分213122.24223(2)2(2)(2)(21(1)(2)3(2)(2)114211=-53x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭⎡⎤++=-⨯⎢⎥-++-⎣⎦-+=⨯-+-=-=-解：分）(x-2)分分当时，原式分3121212-121 3.2.322-102.5x x x x x x x x x x =+--=-+=-=-≠=-23.解：方程两边都乘，得解得：分检验：当时，.4分所以分式方程的解是分22222224.-3(5)(1)=x 21521224143+2x=2241422-14=10.5x x x x x x x x x x x ++++-+++=+-∴+-=⨯-（）分分分25. 解：设B 品牌篮球单价为x 元，则A 品牌篮球单价为（2x ﹣48）元，…… 1分 由题意，可得：960072002-48x x=…… 2分 解得：x ＝72. …… 3分经检验，x ＝72是所原方程的解. …… 4分所以A 品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．…… 5分 答：A 品牌篮球单价为96元，B 品牌篮球单价为72元．22226.(1)627=3)(9)2(2)67-323)(31)4320)7()6(443)(552)6x x x x x x x x x y x y x y x y +--+-=-++++-=+++-（分（分（）（分27. (1)如图，∠BCF=1902︒-α ------------ 2分（2）连接AM、AE∵AB=AC, ∠ABC=60°,BD=BE, ∠BDE=60°∴△ABC是等边三角形、△DBE是等边三角形.∴BA=BC BE=BD ∠ABC=∠EBD=60°∴∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD即∠DBC=∠EBA∴△DBC≌△EBA ----------- 3分∴∠EAB=∠DCB=60°∴∠EAB=∠ABC∴AE∥BC ----------- 4分∴∠AEM=∠FMC, ∠EAM=∠AMC∵点A关于BC的对称点是点F,∴AM=FM .∠AMC=∠FMC. ----------- 5分∴∠AEM=∠EAM∴EM=AM.∴EM=FM. ----------- 6分② AD=2BM ----------- 7分 28.（1）①()1,2-，()1,2-……2分； ②依题意得，点C 位置如图所示……3分设点(),C x y易证()OCM CBN AAS ≅,BN CM x CN OM y ∴====()5,3B53x y y x +=⎧∴⎨-=⎩ 解得1,4.x y =⎧∴⎨=⎩()1,4C ∴……5分（2）31t -≤≤-……7分。

2014年安徽省初中毕业学业考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1、（—2）×3的结果是（ ）A 、—5B 、1C 、—6D 、6 2、x 2·x 3=（ ）A 、x 5B 、x 6C 、x 8D 、x 9 3、如图，；图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）4、下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）A 、a 2+1B 、a 2—6a+9C 、x 2+5yD 、x 2—5y 5、某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x （单位：mm ）的数据分布如右表，则棉花纤维长度的数据在8≤x ＜32这个范围的频率为（ ）棉花纤维长度x 频数 0≤x ＜8 1 8≤x ＜16 2 16≤x ＜24 8 24≤x ＜32 6 32≤x ＜403A 、0.8B 、0.7C 、0.4D 、0.26、设n 为正整数，且n ＜65＜n+1，则n 的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、87、已知x 2—2x —3=0，则2x 2—4x 的值为（ ）A 、—6B 、6C 、—2或6，D 、—2或308、如图，Rt ΔABC 中，AB=9，BC=6，∠B=900，将ΔABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A 、35 B 、25C 、4D 、5 9、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）10、如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满足：（1）点D 到直线l 的距离为3，（2）A 、C 两点到直线l 的距离相等，则符合题意的直线l 的条数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11、据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为12.某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= 13.方程2124--x x =3的解是x= 14.如图， 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF=21∠BCD ，（2）EF=CF ；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15、计算：25—3-—（—π）0+201316、观察下列关于自然数的等式：（1）32—4×12=5 （1）（2）52—4×22=9 （2）（3）72—4×32=13 （3） ……根据上述规律解决下列问题：CB D A FA E D CB（1）完成第四个等式：92—4×（ ）2=（ ）； （2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性。

2011年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．选B．【解析】∵{}0M x x=>，{}01N x x=<<，∴M N N=．2．选A．【解析】1112ω-===-⎝⎭⎝⎭．3．选A．【解析】两圆的圆心分别为12(0,0),(2,2)C C，则1220120C Ck-==-，线段12C C的垂直平分线l的斜率为1-，中点为()1,1，于是l的方程为1(1)y x-=--，即20x y+-=．4．选D．【解析】设1AF m=，则22A F m=，12F F=，∴12123F FeAF AF==+．5．选B．【解析】22160(20505040)4.233 3.841(2050)(4050)(2040)(5050)K⨯⨯-⨯=≈>++++．6．（文科）选C．【解析】平移后的函数解析式为1cos263y xππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭1cos24xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以4Tπ=．（理科）选C．【解析】平移后的函数解析式为1cos24y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据对称轴的意义由()124x n nππ-=∈Z22x nππ⇒=+，所以2xπ=是平移后的函数图象的一条对称轴．7．选C．【解析】若a b⊥，由bβ⊥，得aβ⊂或a∥β，又aα⊥，从而αβ⊥；若αβ⊥，由aα⊥，可得aβ⊂或//aβ，而bβ⊥，于是a b⊥．8．选C．【解析】由已知01n m<<<，则22m n>，所以③错；在同一坐标系中作出2,3x xy y==的图象可知①可能成立；在同一坐标系中作出23log,logy x y x==的图象可知②可能成立．9．（文科）选A ．【解析】∵x ∈R ，且()()()xx f x e e f x ----=-=-．（理科）选A ．【解析】易知()f x 的定义域为R ，而()()ln10f x f x -+== ∴()()f x f x -=-．10．选B ．【解析】设此长方体的长，宽，高分别为,,a b c ，球的半径为r ，根据题意有222384ab ac bc ++= …①，444112a b c ++=…②，由①②得222400a b c ++=，因为此长方体各顶点在同一个球面上，故其体对角线的长就是这个球的直径，于是()22224002a b c r ++==，故10r =．11．选C ．【解析】由()()f a f b =，得2222a b -=- …①当a b <≤时，22a b >≥2，∴2222a b ->-≥0，∴2222a b ->-，与①不符；当a≤0b <<时，由①得2222a b -=-，224a b +=>2ab ，∴02ab <<；当0a b <<时，222b a <<，22022a b <-<-，∴2222a b -<-，与①不符．综上，02ab <<．12．选C ．【解析】过抛物线2y x =的焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点11(,)M x y ，延长线段MF 交直线14x =-于点N ，则114x >，直线MF 的方程可设为14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时点N 的坐标为11,42k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴NF =111144MF x =-=+111144x x ⎫-=+⎪⎭，∴)2121144x k==∴212MF k +=∴2112MF NF +==．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．填(1)2n n +．【解析】由已知得414181273a q a -===，3q =，∴13n na q a +==∴113133log log log 1n n n n n na b b a a a +++-=-==，131log 1b a ==，∴n b n =，n S =(1)2n n +． 14．（文科）填45．【解析】表示直线220x y +-=上的点(),x y 到原点的距离，其最小值为原点到该直线的距离5d ==，∴22x y +的最小值为245d =．（理科）填576．【解析】()3322324576A A A =．15．（文科）填122x ≤<．【解析】依题意知0213x ≤-<． （理科）填01a <<．【解析】1()a x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，当(,0]a ∈-∞时，函数()y f x = 在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意；当(0,)a ∈+∞，()y f x =在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是减函数，max 1()ln 0f x f a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，∴01a <<．16．填()0,2．【解析】根据题意及平行四边形法则，易知01,01x y <<<<，若点P 在BC边上，由三点共线的充要条件，知1x y +=．又点P 在ABC ∆内，故01x y <+<．这样，问题转化为在约束条件01,01,01x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩下，求目标函数2z x y =+的取值范围问题．所以2x y +的取值范围是()0,2． 三、解答题（共6小题，共70分） 17．（Ⅰ）∵cos (3)cos b C a c B =-由正弦定理得，sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-∴sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=，即s i n ()3s i n B C A B+=，sin 3sin cos A A B =，∵sin 0A >，sin 0B >，∴1cos 3B =，∴sin 3B ==． …6分（Ⅱ）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，而2b =，a c =，1cos 3B =∴2222422cos 3b a a B a =-=，∴2443a =，23a =，∴211sin sin 22ABC S ac B a B ∆=== …12分 18．（文科）记这4条没被污染的罗非鱼分别为,,,a b c d ，2条被污染的罗非鱼分别为,e f ．则选取罗非鱼的所有可能结果为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15．（Ⅰ）记 “从这6条鱼中，随机地抽出2条，恰有1条鱼汞超标”为事件A ，可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df 基本事件数为8．∴()815P A =；…6分 （Ⅱ）记“至多有1条鱼汞超标”为事件B ，“2条鱼都汞超标”为事件C ，其可能结果为ef ，故()115P C =，∴()()114111515P B P C =-=-=. …12分（理科）（Ⅰ）记“15条鱼中，随机地抽出3条，恰有1条鱼汞超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ⋅==. …4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率为51153P ==，则 ()21231222339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …8分（Ⅲ）依据条件，η服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，η的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()35103150,1,2,3k kC C P k k C η-===.∴2445012319191991E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或由公式Mn E Nη=，得1E η=）…12分19．（Ⅰ）取BC 的中点O ，连接,OA OD ，∵AB AC =，∴BC OA ⊥∵BCD ∆是正三角形，∴BC OD ⊥，又OA O D O =∴BC ⊥面AOD ，∴AD BC ⊥ …6分（Ⅱ）（文科）由（Ⅰ）的证明过程知平面AOD 将四面体ABCD 分成两个相同的三棱锥，在AOD ∆中，12OA OB BC ===AD =，sin 60OD BD =︒=∴222cos 2OA OD AD AOD OA OD +-∠==⋅，sin AOD ∠=∴1sin 24AOD S OA OD AOD ∆=⋅⋅∠=∴112236ABCD B AOD AOD V V S OB -∆==⋅⋅⋅= …12分 （理科）在AOD ∆中，2OA =，AD =sin 602OD BD =︒=∴222cos 23OA OD AD AOD OA OD +-∠==-⋅，sin 3AOD ∠=，设点D 到平面ABC 的距离为h ，则()sin 1h OD AOD π=⋅-∠=， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(,,)x y z =n 是平面ACD 的一个法向量，而()0,,AD CD ⎫==⎪⎪⎝⎭则0z x y -=-=⎪⎩，令z =1y =，1x =-，∴(1,1=-n，又22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设AB 与平面ACD 所成角为θ，则sin cos ,AB AB ABθ⋅=<>==n n n 45θ=︒． …12分 20．（Ⅰ）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为(,)M x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，且122x x x +=，122y y y +=，于是 2222x y a b +=2122()4x x a +2122()4y y b ++=2222112212122222222214x y x y x x y y a b a b a b ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭12122222124x x y y a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…① 由22OA OBb k k a ⋅=-，即212212y y b x x a⋅=-⇒1212220x x y y a b += …②由①②得22221x y +=，则点M 的轨迹方程为22221x y +=…6分（Ⅱ）（文科）由已知 2211221x y a b +=，…③，2222221x y a b += …④，212212y y b x x a⋅=- …⑤．（1）当AB x ⊥轴，即12x x =时，由③④得12y y =-，再由⑤得2211220x y a b-=∴12x x ==，12y y =-=，此时12022x x x +==±，12002y y y +==，即,0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 直线AB的方程为2x a =±. （2）当AB 不垂直于x 轴，即12x x ≠时，由③④得，22221212220x x y y a b --+=即1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++= …⑥由⑥得直线AB 的斜率2121221212y y x x b k x x y y a -+==-⋅-+ ∴直线AB 的方程为：1y y -=212212x x b y y a +-⋅+1()x x - …⑦由⑦变形得12112122()()()()0x x x x y y y y a b+-+-+=，并结合①⑤得 121222()()1x x x y y ya b+++= …⑧，而1202x x x +=，1202y y y += …⑨ 由⑧⑨得0022221x x y y a b +=，又情形（1）也符合 0022221x x y ya b+=． 故所求直线AB 的方程为0022221x x y ya b+=． …12分 （理科）设以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 为圆心的圆P 的半径为r ，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则该圆P 的方程为22200()()x x y y r -+-= 直线,OA OB 的方程分别为1y k x =，2y k x =． ∵直线OA 与圆P相切，∴r =，即2221100(1)()k r k x y +=-，则2222201001()20r x k x y k r y -++-= …③同理 22222020020()20r x k x y k r y -++-= …④由③④知12,k k 是关于t 的一元二次方程222220000()20r x t x y t r y -++-=的两个实数根，∴220r x -≠，∴22012220r y k k r x -=-，又2122b k k a =-，∴2222r y r x --22b a =- ∴222200220r x r y a b --+=，即 2222002222x y r r a b a b+=+， 又点00(,)P x y 在椭圆上，即2200221x y a b +=，∴22221r r a b+=，即22222a b r a b =+，故该圆的半径为22a b+． …12分 21．（文科）（Ⅰ）已知()x f x e =，则()x f x e '=，∴曲线()x f x e =在点(),a a e 处的切线斜率a k e =∴所求切线l 的方程为()a a y e e x a -=-，即a a a y e x e ae =+- …① …4分 （Ⅱ）切线l 与曲线()ln g x x =相切，设切点为()11,ln x x ，又()1g x x'=同理曲线()ln g x x =在点()11,ln x x 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=- 即111ln 1y x x x =+-…② 由①②得()()1113ln 14a a a e x e ae x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，由⑶⑷得1a ae ae a -=-- …⑤ 令() 1.aaF a ae e a a =---∈R ，所以()1 1.aaaaF a e ae e ae '=+--=-当0a ≤时，()0F a '<，又0a >时，()F a '单调递增，()10F '>，由零根定理知在区间()0,1之间有一个根α，使()0F α'=. ∴其中0∵()()()()2211202130,230120F F e F e F e --⎧=-<⎧-=->⎪⎪⎨⎨=->-=-<⎪⎪⎩⎩ 由a 为()0F a =的一个解∴a 的值是()2,1--与()1,2范围的一个. …12分 （理科） （Ⅰ）[]()()()1xF x ef x f x -''=--，由于()()f x f x '-≤1，所以()()1f x f x '--≤0，于是()0F x '≤，即()F x 在[)0,+∞上单调递减.因此()F x ≤(0)(0)11F f =+=， ∴max ()1F x =； …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()F x ≤1，即[]()1x e f x -+≤1()f x ⇔≤1xe -令[]()1()x G x e f x -=-，则[]()()1(x G x e f x f x -''=--+由于()()f x f x '-≤1，所以()()1f x f x '-+-≤0，于是()G x '≤0， 即()G x 在[0,)+∞上单调递减，因此()G x ≤(0)1(0)1G f =-= 即[]1()xef x --≤1()f x ⇔≥(1)x e --于是x ∀≥0，有()f x ≤1xe -． …12分22．（Ⅰ）连接BF ，∵AF 是圆O 的直径，DE 与圆O 切于点F ，∴AF DE ⊥，又点B 在圆O 上，∴90ABF ∠=︒，AFB D ∠=∠，又AFB ACB ∠=∠， ∴ACB D ∠=∠，而ACB ∠是四边形BDEC 的一个外角∴,,,B C D E 四点共圆； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ACB D ∠=∠，ABC E ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆，∴AB AEAC AD=，即AB AD AC AE ⋅=⋅． …10分23．（Ⅰ）由4y t =得2216y t =，而24x t =，∴24y x =，它表示抛物线； …3分 （Ⅱ）设直线AB 和CD 的倾斜角分别为α、β，则直线AB 和CD 的参数方程分别为2cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ …① 和 2cos ,2sin .x t y t ββ'=+⎧⎨'=+⎩ …② 把①代入24y x =中，得 22sin (4sin 4cos )40t t ααα+--= …③依题意知sin 0α≠且方程③的判别式2216(sin cos )16sin 0ααα∆=-+>∴方程③有两个不相等的实数解1t ，2t ，则 1224sin t t α-= …④ 由t 的几何意义知1PA t =，2PB t =∴1224sin PA PB t t α⋅==…⑤ ，同理24sin PC PD β⋅= …⑥ 由PA PB PC PD ⋅=⋅ 知24sin α24sin β=，即22sin sin αβ= ∵0≤,αβπ<，∴απβ=-，∵AB CD ⊥，∴90βα=+︒或90αβ=+︒ ∴直线AB 的倾斜角4πα=或34π，∴1AB k =或1AB k =- 故直线AB 的方程为y x =或40x y +-=． …10分 24．∵110a a ++->，对于a ∀∈R ，不等式()11()a a f x ++-≥4a 恒成立⇔()f x ≥411a a a ++-恒成立，只需()f x 不小于411a a a ++-的最大值．∵11a a ++-≥(1)(1)a a ++-2a =0> ，当且仅当()()11a a +-≥0，即a ≥1时取等号，故4(1)(1)a a a ++-≤422a a=，即411a a a ++-的最大值为2，∴根据题意有1x x ++≥2 …①当1x <-时，①可化为1x x ---≥2，解得x ≤32-； 当1-≤0x <时，①可化为1x x -++≥2，解得x ∈∅；当x ≥0时，①可化为1x x ++≥2，解得x ≥12．综上，x ≤32-或x ≥12． …10分以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．。

高二数学试题参考答案及评分标准(理科)一、选择题：(每小题5分，满分50分)CDBAD CBDCA二、填空题：(每小题5分，满分25分)11.真 12.90 13.③④三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16.解：∵直线3470x y +-=的斜率为34-，∴直线l 的斜率为34-. ………(3分)设直线l 的方程为34y x b =-+，令0y =，得43x b =；令0x =，得y b =. ………(7分)由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是24，∴142423S b b =⋅||⋅||=，解得6b =±， ………(10分)∴直线l 的方程是364y x =-±(或34240x y +±=). ………(12分)17.证明：⑴(必要性)∵⊿ABC 三个内角成等差数列，不妨设这三个内角依次为B B B αα-+，，，由()()180B B B αα-+++= ，得60B = ，∴⊿ABC 有一个内角等于60 . …………(5分)⑵(充分性)若ABC ∆有一个内角为60 ，不妨设60B = ，则180601202A C B +=-== ， ∴A B B C -=-，∴三个内角A B C ，，成等差数列. …………(10分) 综合⑴⑵得，⊿ABC 三个内角成等差数列的充要条件是有一个内角等于60 . …………(12分) (说明：混淆了必要性与充分性，或未注明必要性与充分性，扣4分) 18.证明：⑴∵BC ABE ⊥平面，AE ABE ⊂平面，∴AE BC ⊥.又∵BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面，∴AE BF ⊥. …………(3分) ∵BF BC B = ， ∴AE BCE ⊥平面.又∵BE BCE ⊂平面，∴AE BE ⊥． …………(6分) ⑵取DE 的中点P ，连接PA PN ，.∵点N 为线段CE 的中点，∴PN ∥DC ，且12P N D C =. …………(8分)又∵四边形A B C D 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM ∥DC ，且12AM DC =，∴PN ∥AM ，且P N A M =， ∴四边形A M N P 是平行四边形，∴MN ∥AP . …………(10分) ∵AP ⊂平面D A E ，M N ⊄平面D A E ，∴MN ∥平面D A E ． …………(12分) 19.解：∵O M O N C M C N ==，，∴OC 垂直平分线段MN . ……………(4分)∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =，∴212t t =，解得2t =或2t =-. ……………(8分)⑴当2t =时，圆心C 的坐标为(2，1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==<C 相交，符合题意.⑵当2t =-时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==>直线与圆C 相离，不符合题意.………………(11分)综合⑴⑵得，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=. ………………(12分) 20.解：⑴如图，取AB 的中点E ，则//DE BC . ∵BC AC ⊥，∴DE AC ⊥.∵1A D ⊥平面ABC ，∴分别以1DE DC DA ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，得()01 0A -，，，()0 1 0C ，，，()2 1 0B ，，，()10 0 A t ，，，()10 2 C t ，，.由21130AC BA t ⋅=-+=，得t =…………(3分)设平面1A AB 的法向量为()1111n x y z =，，.∵(10 1AA = ，，()2 2 0AB = ，，，∴11111110220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩. 设11z =，可得)1n =……………(5分)∴点1C 到平面1A AB的距离111AC n d n ⋅==||||. ……………(7分)(2)再设平面1ABC 的法向量为()2222n x y z =，，.∵(10 1CA =- ，，()2 0 0CB = ，，，∴212222020n CA y n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩. 设21z =，可得()20n =， ……………(9分)∴121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅ ，……………(11分)根据法向量的方向可知，二面角1A ABC --. …………(13分) 21.解：⑴根据题意得22121914ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2243.a b ⎧=⎨=⎩，. …………(2分)∴椭圆C 的方程为 22143x y +=. …………(5分)⑵由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得 222(34)84120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 交于两点，∴0∆>，得22430k m -+> (*)设点A 、B 的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，， 则212122284123434km m x x x x k k -+=-⋅=++，. ………………(8分) ∵11A A AB ⊥，∴110A A A B ⋅=. 又∵点1A 的坐标为1(2 0)A ，，∴1212(2)(2)0x x y y --+=， 即1212(2)(2)()()0x x kx m kx m --+++=，221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=， ∴222224128(1)(2)()403434m km k km m k k-+⋅+--++=++，化简并整理得2271640m km k ++=， 解得2m k =-，或27m k =-，均满足条件(*). ………………(12分)当2m k =-时，:(2)l y k x =-，所过的定点为(2，0)，与1A 重合，不合题意.当27m k=-时，2:()7l y k x=-，所过的定点为(27，0)，符合题意.综上所述，直线l经过定点(27，0). ………………(14分)命题人：和县一中贾相伟含山二中王冲审题人：庐江中学汪京怀。

数学评分标准(此答案只供参考)一年级：一、口算：每小题0.2分二、填空；三、判断题按要求每空给分。

四、计算题第3小题每空0.5分，第4小题列式和计算结果各占0.5分。

其余按要求每空给分。

五、看图列式：列式和计算结果各占2分。

三年级：一、填空：第8小题：涂一涂占0.5分，比一比占0.5分。

其余按要求给分。

二、判断题，三、选择题，按要求给分。

四、计算：第2题用竖式计算：①②③小题计算占2.5分，横式写结果0.5分，④⑤计算占2分，验算1.5分，横式写结果0.5分。

五、实践操作：1、填空各1.5分，写原因2分。

2、能画出正确的长方形4分，涂对颜色占4分。

六、解决问题：1、（18+17）×3……..2.5分=35×3……………..3.5分=105（人）………..4.5分(结果和单位各占0.5分)答:………………5分2、520×5……………2.5分=2600(千克)……….4分(结果1分,单位0.5分)3吨=3000千克………5分2600千克＜3000千克……5.5分答:………………………….6分3、9×40－72…………..3分=360－72……………..4分=288(千克)……………5.5分(结果1分,单位0.5分)答：……………………..6分4、(1) 10－3×3…………..1分=10－9………………1.5分=1(元)……………….2.5分(结果0.5分,单位0.5分)答：…………………….3分(2)328＋203……………2.5分=531(元)………………. 3.5分550－531…………….4.5分=19(元)…………………5.5分答：…………………..6分(注：2个单位共占0.5分)一、填空题：注意第7小题答案不唯一，其余按各题要求给分。

二、第二题选择、第三题判断按要求给分。

四、计算：3、笔算：没带★号的，每小题3分，其中竖式计算2.5分，横式写结果0.5分。

太原五中2023—2024学年度第二学期阶段性检测数学试题参考答案及评分标准第9题选对一个选项得2分，选对两个选项得4分，全部选对得6分，有错选得0分；第10题和11题选对一个选项得3分，全部选对得6分，有错选得0分.三、填空题12.-2 13．132 14.()2312++，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)解：(1)当x =32时，a ⃗ =(2,32)，因为b ⃗ =(1,2)，所以a ⃗ ⋅b⃗ =5， ………………………………2分 |b⃗ |=√ 5， ………………………………2分 所以a 在b ⃗ 上的投影向量的模为|a ⃗ ⋅b ⃗ ||b ⃗|=√ 12+22=√ 5． ………………………………2分 (2)因为向量a ⃗ =(2,x)，b ⃗ =(1,2)且a ⃗ //b ⃗ ，所以2×2=1×x ，解得x =4， ………………………………2分 即a =(2,4)，c ⃗ =(1,3)，所以a⃗ ⋅c ⃗ =14， ………………………………1分 |a ⃗ |=2√ 5， ………………………………1分 |c ⃗ |=√ 10， ………………………………1分所以cos〈a⃗,c⃗ 〉=a⃗⋅c⃗|a⃗|×|c⃗|=√ 22+42×√ 12+32=7√ 210．所以a与c夹角的余弦值为7√ 210．………………………………2分16.(本小题15分)解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由已知条件可得，直角梯形的高BC=CD−AB=√ 3=圆锥的底面圆半径=圆柱的底面圆半径，圆柱的高为2√ 3，圆锥的高为√ 3，母线长为√ 6，………………………………3分(1)其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积=2π×√ 3×2√ 3+12×2π×√ 3×√ 6+π(√ 3)2=12π+3√ 2π+3π=(15+3√ 2)π．………………………………6分(2)其体积V=圆柱体积−圆锥体积=π(√ 3)2×2√ 3−13×π(√ 3)2×√ 3=6√ 3π−√ 3π=5√ 3π．………………………………6分17.(本小题15分)解：(1)由a→⊥b→，得a→⋅b→=(cosC+cosB)(cosC−cosB)+sinA(sinC−sinA)=0，……2分化简得sin2B−sin2C=sin2A−sinAsinC由正弦定理，得b2−c2=a2−ac，即a2+c2−b2=ac，所以cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.…………4分因为0<B<π，所以B=π3.…………2分(2)由(Ⅰ)知B=π3，又由b=√ 21，b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=21，①…………2分由a+c=9，得(a+c)2=a2+c2+2ac=81，②．由①②得，ac=20，…………3分所以S=12acsinB=5√ 3．…………2分18.(本小题17分)证明：(1)∵ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，又AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴AB//面PCD ， …………2分 ∵面PAB ∩面PCD =l ，AB ⊂面PAB ∴l//AB ． …………2分(2)取PA 中点M ，连接BM ，EM ，则EM = //12AD ，又∵BF = //12AD ，∴EM = //BF ，∴四边形BFEM 为平行四边形，∴EF//BM ，∵EF ⊄面PAB ，BM ⊂面PAB ，∴EF//面PAB ． …………6分 (3)存在G ，使FG//面ABE ，PG GD=3. …………2分取AD 中点N ，连接FN ，NG ，则FN//AB ，FN ⊄面ABE ，AB ⊂面ABE ，∴FN//面ABE ，又∵FG//面ABE ，FN⋂FG =F ，FN ，FG ⊂面FNG ， ∴面FNG//面ABE ，且面PAD⋂面ABE =AE ，面PAD⋂面FNG =NG ， ∴AE//NG ，又∵N 为AD 中点，∴G 为ED 中点， ∴EG =GD ，又PE =ED ，∴PG GD=3. …………5分19.(本小题17分) 解：(1)在△ABO 中，由余弦定理得AB 2=OA 2+OB 2−2OA ⋅OB ⋅cosα=1+4−2×1×2×12=3，即AB =√ 3，…………2分于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=3+2√ 3；…………1分(2)因为OB⋅AC+OA⋅BC≥AB⋅OC，且△ABC为等边三角形，OB=1，OA=2，…………2分所以OB+OA≥OC，所以OC≤3，即OC的最大值为3，…………1分取等号时∠OBC+∠OAC=180°，所以cos∠OBC+cos∠OAC=0，不妨设AB=x，则x2+1−92x +x2+4−94x=0，解得x=√ 7，…………2分所以cos∠AOC=9+4−72×2×3=12，所以∠AOC=60°；…………2分(3)在△ABO中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cosα=5−4cosα，所以AB=√ 5−4cosα，0<α<π，…………2分于是四边形OACB的面积为S=S△AOB +S△ABC=12OA⋅OB⋅sinα+√ 34AB2=sinα+√ 34(5−4cosα)=sinα−√ 3cosα+5√ 34=2sin(α−π3)+5√ 34，…………3分当α−π3=π2，即α=5π6时，四边形OACB的面积取得最大值为2+5√ 34．所以，当B满足∠AOB=5π6时，四边形OACB的面积最大，最大值为2+5√ 34．…………2分。