第一编 集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言 记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ，且存在x 0∈B ，x 0∉A A B 或B A相等 集合A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的x ，x ∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示 运算 文字语言符号语言 图形语言 记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A素组成的集合4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：53．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(2019·浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0，则M ∪N ＝( ) A ．(0，e] B ．[－e ，＋∞) C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D ．[－e ，e]解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e ，∴M ＝[－e ，e]．N ＝(0，＋∞)，∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)．故选B. 2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, x ＋1，x 2－5x }，若－4∈A ，则实数x 的值为________． 解析：∵－4∈A ，∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.若x ＝1，则A ＝{0, 2，－4}，满足条件； 若x ＝4，则A ＝{0, 5，－4}，满足条件； 若x ＝－5，则A ＝{0，－4,50}，满足条件． 所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.2．已知a ＞0，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0，a 2}，则a 2＋b 2的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝4，即a ＝2或a ＝－2，因为a ＞0，所以a ＝2，故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4} ，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A ．8个 B ．4个 C ．3个D ．2个解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ，b ，c ，d ，e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个． 2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时， ∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2018·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.角度二：利用集合运算求参数3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，若P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，则实数a的值为()A．1 B．2C．12D．32解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，所以当a≤1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜1}，不符合题意；当a＞1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜a}，结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，可得a＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A，B，同时满足A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对(A，B)为“好集对”．这里有序集对(A，B)是指当A≠B时，(A，B)和(B，A)是不同的集对，那么“好集对”一共有()个()A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x∈Z|x2－6x＜0}，则(∁R A)∩B＝() A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁R A＝{x|x≤1或x≥4}，所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B，故排除D，又1,5∈∁R A,1，5∈B，故选C.2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为() A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－4)＝0}，则A∪B 的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A B为()A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A B ＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2}，N＝{x|－1＜x＜1}，则M∪N＝() A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选C法一：易知M＝{x|0≤x≤2}，又N＝{x|－1＜x＜1}，所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取x＝2，则2∈M，所以2∈M∪N，排除A、B；取x＝3，则3∉M,3∉N，所以3∉M∪N，排除D，故选C.2．(2019·浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由|x|＜2，可得－2＜x＜2，所以P＝{x|－2＜x＜2}，所以P∩Q＝[－1,2)．3．(2018·嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞0}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．∁R P⊆Q解析：选D由已知可得∁R P＝[1，＋∞)，所以∁R P⊆Q.故选D.4．(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则P的子集有________个．解析：集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N＝{2,4}，则P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个.答案：45．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，如图所示，所以m≥3.答案：[3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·杭州七校联考)已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|(x2－1)(x2－4)＝0}，则集合A∩B中的元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{－2，－1,1,2}，A∩B＝{－2,2}，故选B.2．(2019·浙江六校联考)已知集合U＝{x|y＝3x}，A＝{x|y＝log9x}，B＝{y|y＝－2x}则A∩(∁U B)＝()A．∅B．RC．{x|x＞0} D．{0}解析：选C由题意得，U＝R，A＝{x|x＞0}，因为y＝－2x＜0，所以B＝{y|y＜0}，所以∁U B＝{x|x≥0}，故A∩(∁U B)＝{x|x＞0}．故选C.3．(2019·永康模拟)设集合M＝{x|x2－2x－3≥0}，N＝{x|－3＜x＜3}，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M∪N＝R D．M∩N＝∅解析：选C由x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R.4．(2019·宁波六校联考)已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a ＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.5．(2018·镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ，N ＝{x |x ＜1}，则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞，2)．故选C.6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1,0}． 答案：{－1,0}7．(2018·嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁R B )＝________.解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}8．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________． 解析：由图可知，当y ＝－x 往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使z ＝x ＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝92.答案：(1)[2，＋∞) (2)929．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0}，其中m ∈R ，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0. (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}．当A ＝∅时，m ＝43，不符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． (2)由(1)知，B ＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时，m ＝43，符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，又因为A ∩B ＝∅，所以－2m ≥1或者m －4≤－2， 即m ≤－12或者m ≤2，所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，又因为A ∩B ＝∅，所以m －4≥1或者－2m ≤－2， 即m ≥5或者m ≥1，所以1≤m ＜43.综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.3．已知函数f (x )＝x －3－17－x的定义域为集合A ，且B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}，C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )＝x －3－17－x， 应满足x －3≥0，且7－x ＞0，解得3≤x ＜7， 则A ＝{x |3≤x ＜7}， 得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，而B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}， 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}，要使A ∪C ＝R ， 则有a ≥3，且a ＋1＜7，解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ，B 互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题 答案：B2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R ，则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β，如α＝π6，β＝π3，cos π6＞cos π3，而π6＜π3.故选D.3．设a ，b 是向量，则命题“若a ＝－b ，则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |，则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·杭州高三四校联考)“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R)，则a2－1＜0，即－1＜a＜1，所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*)，则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*)，所以当k＞2时，a n＋1－a n＝k＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝k＞0即可，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a ＞0，b ＞0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＋1＞0，故不等式a ＋b ≥ab ＋1成立的充要条件是(ab ＋1)2≤(a ＋b )2，即a 2＋b 2≥a 2b 2＋1.显然，若a 2＋b 2≥a 2b 2＋1，则必有a 2＋b 2≥1，反之则不成立，所以a 2＋b 2≥1是a 2＋b 2≥a 2b 2＋1成立的必要不充分条件，即a 2＋b 2≥1是a ＋b ≥ab ＋1成立的必要不充分条件．2．(2019·浙江期初联考)若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b ＜－4解析：选D 对选项A ，若a ＝b ＝2，则|a |＋|b |＝2＋2≥4，不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B ，若a ＝4≥4，b ＝0，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C ，若a ＝2≥2，b ＝2≥2，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D ，由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4，但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，所以腰AD ，BC 是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l 垂直于两腰AD ，BC 时，l 垂直于ABCD 所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，所以B ⊆A .①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ； ③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}． 由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m －1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43. 答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2，可得x ＞1或x ＜－3，所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1b ，故充分性成立；当1a ＞1b 时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A. 3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0，则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1，则x ＜1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1，则x 2＜1. ∵p ：x 2＜1，则－1＜x ＜1.∴p 真，当x ＜1时，x 2＜1不一定成立，∴q 假，故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(5，＋∞) B ．[5，＋∞) C ．(－∞，5)D ．(－∞，5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }，∴a ≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0， 即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件，故选A.5．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”． 若c ＝0，结论成立．若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立． 故否命题为真命题． 答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确． 答案：②③8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜13，则有sin(α＋β)＜13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.2．在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋k ，n ∈Z ，k ＝0,1,2,3，则m ∈[k ]，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋k ，b ＝4n ＋k ，m ，n ∈Z ，且k ＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋k 1，b ＝4n ＋k 2，m ，n ∈Z ，k 1＝0,1,2,3，k 2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2)，若a －b ∈[0]，则k 1－k 2＝0，即k 1＝k 2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求x 的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2＜x ＜37}，B ＝{x |12＜x ＜146}，因为p 真q 假． 所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12}， 所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． 当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13；综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．3．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4解析：选A 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.6．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1命题点二 充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0， 所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1， 则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． 5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________． 解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求． 当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b .答案：1，－1(答案不唯一)3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题， 则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题． 由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0. 因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c . 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语 第一节 集 合本节主要包括2个知识点：1.集合的概念与集合间的基本关系；2.集合的基本运算.突破点(一) 集合的概念与集合间的基本关系[基本知识]1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于AA B 或B A相等 集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集∅B 且B ≠∅[基本能力]1．判断题(1)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( )(2)已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ＝B ＝C .( ) (3)任何集合都有两个子集．( ) 2．填空题(1)已知集合A ＝{0,1，x 2－5x }，若－4∈A ，则实数x 的值为________．(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．(3)集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为________．(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________.[全析考法]集合的概念与集合间的基本关系1.(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2．判断集合间关系的常用方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系[典例](1)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(2)(2018·兰州模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A(3)(2018·湖南长沙一中月考)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0][易错提醒](1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．(2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．[全练题点]1．(2018·河北邯郸一中调研)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B ＝()A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2}C．{0,2,4} D．{1,2}2．已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，则集合C的真子集的个数为()A．3 B．7C．8 D．153．(2018·河北衡水中学调研)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是()A．5 B．4C．3 D．24．(2018·成都模拟)已知集合A＝{x∈N|1<x<log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为()A．(8，＋∞) B．[8，＋∞)C．(16，＋∞) D．[16，＋∞)5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．突破点(二)集合的基本运算[基本知识]1．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集 A ∩BA ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }集合的补集 若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[基本能力]1．判断题(1)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )(2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x >0，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1x ≤0.( )(3)设集合U ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁U B )＝{1}．( ) 2．填空题(1)(2018·浙江模拟)已知集合P ＝{x ∈R |0≤x ≤4}，Q ＝{x ∈R ||x |<3}，则P ∪Q ＝________. (2)(2018·安徽合肥模拟)已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∩B ＝________. (3)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝________.(4)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝________.[全析考法]集合的交集或并集[例1] ，则P ∩Q ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{2,3}D ．{1,2,3}(2)(2018·山东菏泽模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2，B ＝{x |x 2<1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |－1<x <2} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <1 D ．{x |－1<x <1}[方法技巧] 求集合交集或并集的方法步骤交、并、补的混合运算[例2] (1)(2018·山东临沂模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}(2)(2018·湖北黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1<x <1}[方法技巧]解决交、并、补混合运算的一般思路(1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn 图法解决，此时要搞清Venn 图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．集合的新定义问题－N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎦⎤－94，0 B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [方法技巧]解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．[全练题点]1.[考点一](2018·长春模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)2.[考点二](2018·广州模拟)若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩∁U B＝()A．{x|1<x<2} B．{x|0<x≤1}C．{x|0<x<1} D．{x|1≤x<2}3.[考点一](2018·潍坊模拟)若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B ＝()A．(2,4] B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4]4.[考点三](2018·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为() A．15 B．16C．20 D．215.[考点三]如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A B为()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，35．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}6．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A BD ．B A2．(2018·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2018·广雅中学测试)若全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．5．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．对点练(二)集合的基本运算1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]2．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{0，－1}3．(2018·中原名校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝()A．(2,3]B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．[1,2)D．(－∞，0)∪[1，＋∞)4．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}5．(2018·河北正定中学月考)已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P ∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝()A．－5 B．5C．－1 D．16．(2018·唐山统一考试)若全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}7．已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞，4]8．已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1,4,7}为()A．M∩(∁U N) B．∁U(M∩N)C．∁U(M∪N) D．(∁U M)∩N[大题综合练——迁移贯通]1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．2．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．3．(2018·江西玉山一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点：1.命题及其关系；2.充分条件与必要条件.突破点(一)命题及其关系[基本知识]1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[基本能力]1．判断题(1)“x2＋2x－3<0”是命题. ()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()2．填空题(1)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．(2)命题“若x>1，则x>0”的否命题是______________________________________．(3)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________________________________________________________________________．(4)有下列几个命题：①“若a>b，则1a>1b”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．[全析考法]命题的真假判断[例1]下列命题中为真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝y D．若x<y，则x2<y2[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2](1)(2018·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．[全练题点]1.[考点一]下列命题中为真命题的是()A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点C．互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集2.[考点二](2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③3.[考点一、二](2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3 B．2 C．1 D．04.[考点一、二]有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．突破点(二)充分条件与必要条件[基本知识]1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p 2.p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B[基本能力]1．判断题(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( ) (3)“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的必要不充分条件．( ) 2．填空题(1)若x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的____________条件． (2)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”成立的________条件． (3)在△ABC 中，A ＝B 是tan A ＝tan B 的________条件．(4)设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)[全析考法]充分条件与必要条件的判断[例1] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．根据充分、必要条件求参数范围[例2] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[全练题点]1.[考点一](2018·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x －1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.[考点二]已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]3.[考点一](2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.[考点一](2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.[考点二](2018·河北石家庄模拟)已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件2．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一)命题及其关系1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是() A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数2．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x≠0，则x＋1x≥2；②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．5．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.对点练(二)充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2018·浙江名校联考)一次函数y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<03．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>16．(2018·广东梅州质检)已知命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”，且綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，则实数m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(0,1)7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 本节主要包括2个知识点： 1.简单的逻辑联结词；2.全称量词与存在量词.突破点(一) 简单的逻辑联结词[基本知识]命题p ∧q 、p ∨q 、綈p 的真假判定p q p ∧q p ∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真简记为“p ∧q 綈p 与p 真假相反”．[基本能力]1．判断题(1)命题“5>6或5>2”是假命题．( )(2)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 真q 假．( ) 2．填空题(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________．(2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是______________________________．(3)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．[全析考法]含逻辑联结词命题的真假判断[例1] (2017·山东高考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数[例2] x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．[方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．[全练题点]1.[考点一](2018·山西临汾一中等五校联考)已知命题p ：∀x ≥4，log 2x ≥2；命题q ：在△ABC 中，若A >π3，则sin A >32.则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨q2.[考点一](2018·广西陆川模拟)已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是()A．“p∨q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“綈p”为真命题D．“綈q”为假命题3.[考点二]设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．4.[考点二]已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y ＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．突破点(二)全称量词与存在量词[基本知识]1．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃名称全称命题特称命题形式结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)[基本能力]1．判断题(1)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(2)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()2．填空题(1)(2018·东北育才检测)已知命题p：∀x∈R，e x－x－1>0，则綈p是________________________．(2)命题p 的否定是“对∀x ∈(0，＋∞)，x >x ＋1”，则命题p 是________________________________．(3)命题“存在实数x，使x >1”的否定是_______________________________________．(4)若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[全析考法]全(特)称命题的否定[例1] (1)(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2(2)命题“∃x 0∈R ,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ,2 x 0≥12或x 20≤x 0 B ．∀x ∈R ,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R ,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R ,2 x 0≥12且x 20≤x 0[方法技巧]对全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．全(特)称命题的真假判断[例2]下列命题中为假命题的是()A．∀x∈R，e x>0 B．∀x∈N，x2>0C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin πx02＝1[方法技巧]全(特)称命题真假的判断方法全称命题(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可特称命题要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题根据全(特)称命题的真假求参数[例3](2018·昆明模拟)由命题“存在x0∈R，使x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．[方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[全练题点]1.[考点一]“∀x∈R,2x－12x<1”的否定为()A．∀x∈R,2x－12x≥1B．∀x∈R,2x－12x≤1C．∃x0∈R,2x0－12x0>1D．∃x0∈R,2x0－12x0≥12.[考点一、二](2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>03.[考点二]以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，1x>2 4.[考点二]已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a 2≥0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∧(綈q )5.[考点三]若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n2．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R ,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 简单的逻辑联结词1．(2018·衡阳质检)已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1>0.则下面结论正确的是( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．p 是假命题2．(2018·开封模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，命题p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 43．(2018·河北武邑中学双基测试)设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <1或a >2}B ．{a |0<a <1或a ≥2}C ．{a |1<a ≤2}D ．{a |1≤a ≤2}4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．5．已知命题p ：f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式x 2－2x >m －1的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．对点练(二) 全称量词与存在量词1．(2018·黑龙江鸡西月考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋4≤0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋4≥0B ．对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋4>0C ．存在x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋4>0D ．存在x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋4≤02．(2018·山东临沂期中)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－2”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －2B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －2C ．∃x 0∈(0，＋∞)，使得ln x 0≠x 0－2D ．∃x 0∉(0，＋∞)，使得ln x 0＝x 0－23．命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真4．(2018·福州质检)命题“∃x 0∈R ，使得f (x 0)＝x 0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，都有f (x )＝xB ．不存在x 0∈R ，使f (x 0)≠x 0C ．∀x ∈R ，都有f (x )≠xD ．∃x 0∈R ，使f (x 0)≠x 05．(2018·九江调研)下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－16．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x ＋1.则关于f (x )，g (x )的语句为假命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )>g (x )B ．∃x 1，x 2∈R ，f (x 1)<g (x 2)C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝g (x 0)D ．∃x 0∈R ，使得∀x ∈R ，f (x 0)－g (x 0)≤f (x )－g (x )7．若命题p ：存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则实数a 的取值范围是________．[大题综合练——迁移贯通]1．给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．2．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R ,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．3．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．。

第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎨⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎨⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B . 考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为 .解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：（5，6］考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． [解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C.(2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1] [变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎨⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． (2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B. (2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A.[答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，100D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅， 所以⎩⎨⎧2a －1≥1，a －1≥12a ，解得a ≥1.[课时跟踪检测]1．(2019·福州质量检测)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{2,6} B ．{3,6} C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x<2，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2. 7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．712C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为 ________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．(1)分别求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁U B＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁U B)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1， 当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p 非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1， 则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1. 可知非q ⇒非p ，非p非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， 所以{1－m ＝－2，＋m ＝10，解得{m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8. 故实数m 的取值范围为[3,8)． 答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q) B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C. 考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例] 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，则mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是真命题时，则Δ＝m 2－4<0，－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得{m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.所以m 的取值范围为(－2,0)． 答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)． 答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]． 答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴xx －1>0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”． 2．下列命题中，假命题的是( ) A ．∀x ∈R,21－x >0B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a 的图象经过第四象限D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立． 3．(2019·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R,2x >0，则非p ：∃x 0∈R,2x0<0 C ．命题“若a >b >0，则1a <1b ”的逆命题是真命题D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b ，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)解析：选C 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4. 8．下列命题为假命题的是( ) A ．存在x >y >0，使得ln x ＋ln y <0B ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C ．∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立D ．已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，则α∥β解析：选C 对于A 选项，令x ＝1，y ＝1e ，则ln x ＋ln y ＝－1<0成立，故排除A.对于B 选项，“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C 选项，根据幂函数y ＝x α，当α<0时，函数单调递减，故不存在x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立，故C 错误．对于D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，可过n 作一个平面与平面α相交于直线n ′.由线面平行的性质定理可得n ′∥n ，再由线面平行的判定定理可得n ′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D ，选C.9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是非p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“非q ”同时为假命题，则 x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3， 因为“非q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3＜x ＜－1， 由题意，得x ＝－2. 答案：－211．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则非p 是非q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p ：a ≥0，非q ：a 2≤a ，即0≤a ≤1.因为{a |0≤a ≤1}{a |a ≥0}，所以非p 是非q 的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(非p )∧(非q)；④(非p )∨q. 其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题，非p 为假命题． ∵f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，非q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(非p )∧(非q)为假命题，(非p )∨q 为假命题． 答案：②③④13．设t ∈R ，已知命题p ：函数f (x )＝x 2－2tx ＋1有零点；命题q ：∀x ∈[1，＋∞)， 1x－x ≤4t 2－1.(1)当t ＝1时，判断命题q 的真假； (2)若p ∨q 为假命题，求t 的取值范围．解：(1)当t ＝1时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ＝0，1x －x ≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q 为真命题． (2)若p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题． 当p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1； 当q 为真命题时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ≤4t 2－1，即4t 2－1≥0， 解得t ≤－12或t ≥12，∴当q 为假命题时，－12<t <12，∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12.。

第一章集合与常用逻辑用语1.集合与元素(1)概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（2）集合中元素的特征：1确定性：作为一个集合，必须是确定的2互异性：集合中的元素必须是互异的3无序性：集合与其中元素的排列顺序无关（3）元素与集合的两种关系：（属于）（不属于）（4）集合的分类：有限集，无限集，空集（5）常用的数集及其表示符号名称非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号N N+N＊Z Q R （6）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）2.集合间的基本关系关系自然语言符号表示图示子集集合 A 中的任意一个元素都在集（或A）A BB BA 合B 中（即 x A，则 x B）真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B A BBA 中至少有一个元素不在集合 A 中等集集合 A ，B 中的元素完全相同或集A=BA（B）合 A，B 互为子集交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有 A ∩B={x ｜x∈A B元素组成的集合A，且 x ∈B}并集由所有属于集合 A 或属于集合 B A ∪B={x ｜x∈A B的元素组成的集合A，或 x∈B}补集由全集 U 中不属于集合 A 的所有U A={x ｜x∈U，UA且 x≠A} ．元素组成的集合3.集合间基本关系的几个结论（1）空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集（2）任何一个集合都是它本身的子集， A A。

空集只有一个子集，即它本身。

（3）集合的子集和真子集具有传递性：若A B，B C，则A C；若A B，B C，则A C（4）含有 n 个元素的集合有2n个子集，有2n -1 真子集，有2n -1 非空子集，有2n-2个非空真子集。

4.逻辑联结词（1）命题：可以判断真假的语句叫命题。

正确的叫真命题，错误的叫假命题。

第2课时补集及综合应用一、全集❶1．定义：假如一个集合含有所探讨问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集．2．符号表示：全集通常记作________．微点拨❶全集是一个相对概念，会因探讨问题的不同而改变．如在实数范围内解不等式，全集为实数集R；在整数范围内解不等式，全集为整数集Z.二、补集❷定义文字语言对于一个集合A，由全集U中________的全部元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作________符号语言∁U A＝________________图形语言定义(1)∁U A⊆U；(2)∁U U＝∅，∁U∅＝U；(3)∁U(∁U A)＝A；(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁ U A)＝∅【即时练习】1．已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则∁U M＝( )A．∅B．{a，c} C．{b，d} D．{a，b，c，d}2．设全集为U，M＝{0，2，4}，∁U M＝{6}，则U＝( )A．{0，2，4，6}B．{0，2，4}C．{6}D．∅3．已知全集U＝{0，1，2}，且∁U A＝{2}，则A＝________．微点拨❷(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不行分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁U A表示一个集合，且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的全部元素组成的集合，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(4)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．第2课时补集及综合应用一、1．全部元素2．U二、不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}[即时练习]1．解析：∁U M＝{b，d}．故选C.答案：C2．解析：U＝{0，2，4，6}．答案：A3．解析：因为全集U＝{0，1，2}，且∁U A＝{2}，则A＝{0，1}．答案：{0，1}。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算一、集合的基本概念1、集合：一些元素组成的总体，我们把研究对象统称元素。

2．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；3．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.4．常见数集的符号表示：集合的三种表示方法：列举法、描述法、二、集合间的基本关系1．子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.2．真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.3．相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.4．空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的快速求解法一个含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．三、集合的基本运算1．集合间的两个等价转换关系(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A2．集合间运算的两个常用结论： (1)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )； (2)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．基 础 自 测1．已知集合A ＝{0,1}，则下列式子错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆AD ．{0,1}⊆A2．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |x ＞－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}3．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{x ∈Z |1＜x ＜4}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ＝M C ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝(1,4)4．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 BDCD考 点 突 破一、集合的基本概念：(1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m ，－3}，若3∈A ，则m 的值为________． 二、集合间的基本关系： (1)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.(2)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．三、集合的基本运算：(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)(2)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【答案】(1)C(2)－3 2【答案】(1)1(2)(－∞，3]【答案】(1)A(2)D第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．3．如果p与q不能相互推出，则p是q的既不充分又不必要条件．基础自测1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝32．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π43．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】 A C B考点突破一、四种命题的关系及真假判断(1)命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a＞0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价． 二、充分条件与必要条件的判定(1)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件(2)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 三、充分条件与必要条件的应用（1）设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1)C (2)②④ 【答案】 (1)C (2)A 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断常见词语的否定形式1．全称量词与全称命题(1)“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．三、含有一个量词的命题的否定基础自测1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1B．¬p：∀x∈R，sin x≥1C．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1D．¬p：∀x∈R，sin x＞1【答案】 C2．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题【答案】 D3．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－x20－1≥0C．∀x∈N*，log2x＞0D．∃x0∈R，cos x0＞x20＋2x0＋3【答案】 B4．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．【答案】[－22，22]考点突破一、含有逻辑联结词的命题的真假判断(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④(2)已知命题p，q，“¬p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A二 、全称命题、特称命题的真假判断（1）下列命题中是假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x ＞sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R,3x ＞0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 三、含有一个量词的命题的否定写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.(1)¬ p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题，这是因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．(2)¬ q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)¬ r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0成立．(4)¬ s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.。

第一章集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示 A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示 {x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . 5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）； 空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅A ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B =， 所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．32 B ．31 C ．16 D ．15【答案】D【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣， 其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ) ． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒ q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 p 是q 的充分不必要条件 p ⇒ q 且q ⇏ p p 是q 的必要不充分条件 p ⇏ q 且q ⇒ pp 是q 的充要条件p ⇔ qp是q的既不充分也不必要条件p ⇏q且q ⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔A B；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B A；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题形式语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。