2015年08月10日279460025的高中数学组卷解析(1)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含解析）一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B I =（）ð（ ） (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}【答案】B 【解析】试题分析：{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B I =（）ð,故选B. 考点：集合运算2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C 【解析】试题分析：由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选C.考点：程序框图.4.设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A.考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D ) 2213y x -= 【答案】D考点：圆与双曲线的性质.6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【解析】试题分析：由相交弦定理可18,33CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=⨯⇒== 故选A. 考点：相交弦定理7. 已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.8. 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为 (A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5【答案】A考点：函数与方程.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 ． 【答案】-i 【解析】试题分析：()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 考点：复数运算.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【解析】试题分析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= .考点：1.三视图；2.几何体的体积.11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点：导数的运算法则.12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4 【解析】试题分析：()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==考点：基本不等式.13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o点E 和点F 分别在线段BC 和CD上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．【答案】2918【解析】试题分析：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 考点：平面向量的数量积.14. 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】π2【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.三、解答题：本大题共6小题,共80分.15. （本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】（I ）3,1,2；（II ）（i ）见试题解析；（ii ）35【解析】 试题分析：（I ）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II ）（i ）一一列举,共15种；（ii ）符合条件的结果有9种,所以()93.155P A ==. 试题解析：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点：分层抽样与概率计算.16. （本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值； （II ）求cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a =8,15sin 8C =（II ）15316. 【解析】考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.17. （本小题满分13分）如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA PAB =AC =3,125,7BC AA ==,,127,BB = 点E ,F 分别是BC ,1AC 的中点. （I ）求证：EF P 平面11A B BA ； （II ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB .（III ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.【答案】（I ）见试题解析；（II ）见试题解析；（III ）30o . 【解析】 试题分析：（I ）要证明EF P 平面11A B BA , 只需证明1EF BA P 且EF ⊄ 平面11A B BA ；（II ）要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥；（III ）取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt△11A NB 中,由11111sin ,2A N AB N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30o. 试题解析：（I ）证明：如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点,所以1EF BA P ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA , 所以EF P 平面11A B BA .（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA P 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B =I ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角18. （本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323n n S n =-+【解析】 试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项；（II ）用错位相减法求和.试题解析：（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .（II ）由（I ）有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L两式相减得()()2312222122323,nnnn S n n -=++++--⨯=--⨯-L所以()2323nn S n =-+ .考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.19. （本小题满分14分） 已知椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为55,（I ）求直线BF 的斜率；（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . （i ）求l 的值；（ii ）若75||sin PM BQP Ð,求椭圆的方程. 【答案】（I ）2；（II ）（i ）78；（ii ）22 1.54x y += 【解析】 试题分析：（I ）先由55c a = 及222,a b c =+得5,2a c b c ==,直线BF 的斜率()020b b k c c -===--；（II ）先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQ λ=7.8M P P Q M Q x x x x x x -===-（ii ）先由75||sin =9PM BQP Ð得=||sin BP PQ BQP Ð=1555||sin 73PM BQP?,由此求出c =1,故椭圆方程为221.54x y += 试题解析：（I ）(),0F c - ,由已知55c a = 及222,a b c =+ 可得5,2a c b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===-- .（II ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,（i ）由（I ）可得椭圆方程为22221,54x y c c+= 直线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx += 解得53P c x =- .因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q c x = .又因为PM MQ λ= ,及0M x = 得7.8M P PQ MQ x x x x x x λ-===- （ii ）由（i ）得78PM MQ=,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,又因为75||sin =9PM BQP Ð,所以=||sin BP PQ BQP Ð=1555||sin 73PM BQP?. 又因为4223P P y x c c =+=-, 所以2254550233c c BP c c ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此5555,1,c c == 所以椭圆方程为221.54x y += 考点：直线与椭圆.20. （本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调性；（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证：1321-43a x x <-+.【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞；（II ）见试题解析；（III ）见试题解析. 【解析】试题解析：（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.。

更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x>”是“12 log(2)0x+<”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、13π+ B、23π+C、123π+ D、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且（a-b）⊥（3a+2b），则a与b的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A、s≤34B、s≤56C、s≤1112D、s≤1524更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【答案】C【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此11111 24612S=++=（此时6k=）还必须计算一次，因此可填1112s≤，选C.【考点定位】程序框图.8．已知直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C：224210x y x y+--+=的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （）A、2B、42C、6D、210【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-UB 、(,1)(1,)-∞-+∞UC 、(2,0)2)-UD 、(,2)2,)-∞+∞U 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．532xx⎛+⎪⎝⎭的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】二项式定理13．在V ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.【答案】6【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 解析一．填空题：（70分）1. 已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B U 中元素个数为_____5______。

因为{}12345A B =U ，，，，，所以A B U 中元素个数为5个。

2. 已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数是__6________。

因为1(4+6+5+8+7+6=66x =），所以平均数为6. 3. 设复数z 满足234z i =+，（i 是虚数单位），则z 的模是。

设z a bi =+，则22()234a b abi i -+=+，由22324a b ab ⎧-=⎨=⎩解得21a b =±⎧⎨=±⎩，故z ==4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为______7__________。

112233441,1,3,45,77,97S I S I S I S I S ==→==→==→==→=输出5. 袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为_______56_________。

任取2只球颜色相同的概率为22241=6C P C =同，则5=6P 异。

6. 已知向量(2,1)a =r ，(1,2)b =-r ，若(9,8),(,)ma nb m n R +=-∈r r ，则m n -的值为_____3-_____。

因为2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，所以25m n =⎧⎨=⎩3m n ⇒-=- 7. 不等式224x x -<的解集为__(1,2)x ∈-_____________。

由于 ()2x f x =单调递增，所以原不等式等价于2212x x x -<⇒-<<8. 已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_________3_________。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）理科数学试题解析1．解析6074151332i i i i i i ⨯+===⋅=-，其共轭复数为i .故选A . 评注考查复数的四则运算及共轭复数的概念. 2．解析设这批米内夹谷x 石，则281534254x =，得153428169254x ⨯=≈石.故选B .评注 考查用样本估计总体.3．解析由条件知37C C n n =，得10n =.奇数项的二项式系数和为101922-=，故选D . 评注 考查二项式系数及二项式系数和.4．解析由正态分布的性质知正态分布2(,)N ξμσ~中,x μ=为密度曲线的对称轴，σ越小密度曲线越“高廋”，由图知1212,μμσσ<<. 由图（1）得121()()P Y P Y S μμ-=，A 错； 由图（2）得212()()P X P X S σσ-=，B 错；当20t μ<时，由图（3）得1()()2P X t P Y t >, 当2t μ>时，由图（4）得10()()2P X t P Y t <<<, 从而()1()1()()P X t P X t P Y t P Y t =->-=,故选C . 评注 考查正态分布密度曲线的特征.5．解析由柯西不等式知22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++++++，当且仅当存在常数K 使得1(1)i i a Ka i +=时取等号. 若12,,,n a a a 成等比数列，则存在常数1=()K q q为公比使得1(1)i i a Ka i +=，即p q ⇒；当i =0a 时，1(1)i i a Ka i +=，此时12,,,n a a a 不成等比数列，即q 不能推出p ，故选A .评注考查等比数列的判定、柯西不等式及充分条件与必要条件等知识.6．解析()f x 是R 上的增函数，当1a >时，若0x >，则ax x >，()()f ax f x >，()0g x <； 若0x =，则ax x =，()()f ax f x =，从而()0g x =；若0x <，则ax x <，()()f ax f x <， 从而()0g x >.故选B.评注考查函数的单调性、分段函数等知识及分类讨论的思想方法. 7．解析123,,p p p 依次为如图所示的三个图形的面积，观察知，选B .也可作如下的计算： 由图（1）得11117=12228p -⨯⨯=；由图（2）得21113=122224p -⨯⨯⨯=；由图（3）得111312211111ln 2=1d ln 222222p x x x ⨯+=+|=+⎰. 三个值比较得231p p p <<，故选B .评注 考查不等式表示的平面区域、几何概型及定积分的计算.8．解析2222221222()()()()()()a b a m b m b b m m b a e e a a m a a m a a m +++++--=-=++++， 当a b >时，22120e e -<，12e e <；当a b <时，22120e e ->，12e e >.故选D . 评注 考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的基本方法.图1图2图39．解析如图，集合B 有25个元素(点)（构成中间的正方形），{(0,0),(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A =--.当11(,)(0,0)x y =时，121222(,)(,)x x y y x y ++=，共25个点； 当11(,)(1,0)x y =-时，左边增加5个点；当11(,)(0,1)x y =，11(,)(1,0)x y =，11(,)(0,1)x y =-时，上 面、右边、下面各增加5个点.则A B ⊕中元素中共有254545+⨯=个点，故选C . 评注考查集合与计数原理的相关知识，属新定义题型. 10．解析解法一：由已知可得，12t <，223t <112223t ⇒<；334t <113334t ⇒<；445t <114445t ⇒<.)11111133332223341,2,,34,⎡⎫⎡⎫⎡⎫⎡⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭=,而11111133344434,,455,3⎡⎫⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭=. 当5n =时，556t <115556t ⇒<.但1135536363<⇔<，所以11555,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭11343,5⎡⎫=⎪⎢⎪⎢⎣⎭∅ 所以正整数n 的最大值是4.故选B .解法二：由[]1t =，2[]2t =，…，5[]5t =，得21t <①，232t <②，343t <③，454t <④，565t <⑤，前4个不等式之间无矛盾，即存在t 同时满足①②③④.由②③得5612t <，与⑤矛盾，所以正整数n 的最大值是4.故选B . 评注 考查归纳推理与不等式的性质. （一）必考题（11～14题）11．解析因为，所以0OA AB ⋅=，即()0OA OB OA ⋅-=，22239OA OB OA OA ⋅====，故填9.评注考查向量垂直的条件、平面向量的线性运算及向量的模与数量积的运算. 12.解析2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+=2(1cos )sin 2sin |ln(1)|sin 2|ln(1)|x x x x x x +--+=-+，()f x 的零点个数即函数sin 2y x =与函数|ln(1)|y x =+的交点个数，因为(sin 2)'2cos2x x =，1(ln(1))'1x x +=+， 所以0(sin 2)'2cos02x x =∣==，(ln(1))'1x x =0+⎪=，又5πln(1)14+>， OA AB ⊥所以函数sin 2y x =与函数|ln(1)|y x =+的草图如图所示，两个函数图像有2个交点，所以函数()f x 有2个零点.评注考查诱导公式，二倍角的正弦、余弦公式，函数的零点及导数的几何意义等知识. 13．解析 在△ABC 中，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC=︒︒，即BC =，在Rt △BCD 中，因为30CBD ∠=︒，BC =tan30CD BC ︒==，所以CD =. 评注考查正弦定理在测量中的应用.14．解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为222(1)()x -+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为22(1)(2x +y -=. （2）在22(1)(2x +y --=中，令0x =得1),1)A B , 因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1===.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-==，1)NB MA NAMB+=+=.所以正确结论的序号是 ①②③.评注考查圆的标准．．方程的求法，三角函数的定义和同角公式.（二）选考题15．解析因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线.由切割线定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =.由△△PAB PCA ∽，所以12AB PB AC PA ==.故填12. 评注考查切割线定理.16．解析 因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11t t x t y t -+⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，消去t 得224y x -=.联立方程组2234x y y x -=⎧=⎪⎨⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=-⎪⎩，即22A ⎛ ⎝⎭，22B ⎛- ⎝⎭，故AB ==评注 考查极坐标方程、参数方程与普通方程的转化与两点间的距离. 17.解析（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知 ()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()π5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()sin f x x =的对称中心为()π,0,k k ∈Z .令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ,23k k θ=-∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6. 评注考查“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数图像的平移变换，三角函数的性质等知识.18．解析（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n na nb -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++，① 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得，221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故nT 12362n n -+=-. 评注考查等差数列、等比数列通项公式和错位相减法求数列的前项和. 19．解析 解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . 而DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 而PB ⊂平面PBC ，所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥，DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB ∠，DEF ∠，EFB ∠，DFB ∠. （2）如图1，在平面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线. 由（1）知，PB ⊥平面DEF ，所以PB DG ⊥.π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><n又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PD PB P =，所以DG ⊥平面PBD .故BDF ∠是平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角， 设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+， 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则2πtantan 133BD DPF PDλ=∠==+=, 解得2λ=. 所以122DC BC λ==. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =. 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -. 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =， 于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF .因为(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB ∠，DEF ∠，EFB ∠，DFB ∠..图(1) 图(2)（2）由PD ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量； 由（1）知，PB ⊥平面DEF ，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.F P ED CBAG若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3， 则π1cos32||||BP DP BPDP λ⋅===⋅，解得λ=. 所以1DCBC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =. 评注考查四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，及二面角的求法. 20.解析（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪⎩①目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+， 当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，图3()图2()图1()当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973P p =--=-=.评注考查线性规划，分布列、均值与二项分布. 21.解析（1）设点(,0)(||2)D t t ，00(,),(,)N x y M x y 依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（2）（i ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482△OPQ S =⨯⨯=. （ii ）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d 和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214△OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k =⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441△OPQk m S k k +==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141△OPQ k S k k +==+>--；当2104k <时，2224128()8(1)1414△OPQ k S k k +==-+--.因为2104k <，则20141k <-，22214k -， 所以228(1)814△OPQ S k =-+-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，△OPQ S 的最小值为8.综合（i ）（ii ）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 评注考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系以及函数最值的求法. 22.解析（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-. 当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n =，得111e n n +<，即1(1)e n n+<. ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ① 下面用数学归纳法证明①.（i ）当1n =时，左边=右边2=，①成立. （ii ）假设当n k =时，①成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+. 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.教育11 / 11 所以当1n k =+时，①也成立.根据（i ）（ii ），可知①对一切正整数n 都成立. 即()11*22(1),n n nb b b n n a a a =+∈N . （3）由nc 的定义，①，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得 123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()n n a a a a a a a a a ++++ 111131212312112()()()()2341n n b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++++++⨯⨯⨯+ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <. 评注考查导数的应用，数学归纳法，基本不等式与数列的相关知识.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为_______.解析：{}5,4,3,2,1=⋃B A ，故答案5 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 解析：66678564=+++++，故答案63.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.解析：设z=a+bi,，则()i bi a 432+=+化为i abi b a 43222+=+-，所以⎩⎨⎧==-42322ab b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ，所以z 的模为522=+b a ，故答案54.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.解析：第一次：S=1+2=3，I=1+3=4；第二次：S=3+2=5，I=4+3=7；第三次：S=5+2=7，I=7+3=10；因为10>8，所以程序结束，故S=75.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2-1，=b ，若()()R n m b n a m ∈-=+,89，，则m-n 的值为______. 解析：因为()()R n m b n a m ∈-=+,89，，所以⎩⎨⎧-=-=+8292n m n m ，所以352-=-⎩⎨⎧==n m n m ， S ←1 I ←1While I<8 S ←S+2 I ←I+3 End While Print S7.不等式224x x-<的解集为________.解析：因为224x x-<，所以()()2102102222<<-<-+<--<-x x x x x x x ，，，，故解析为()21，-8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 解析：()[]()()3757152711271tan tan 1tan tan tan tan ==⨯-+=++-+=-+=αβααβααβαβ，故答案3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

2015年全国统一高考数学试卷（文科）(新课标I)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2015新课标I文）已知集合A=｛x|x=3n+2,n∈N｝，B={6,8,10，12，14},则集合A∩B中元素的个数为（）A． 5 B． 4 C． 4 D． 2解：A={x｜x=3n+2，n∈N｝=｛2，5，8,11，14，17,…｝，则A∩B={8，14｝，故集合A∩B中元素的个数为2个,故选：D．2．（2015新课标I文）已知点A（0，1），B（3，2）,向量=（﹣4，﹣3），则向量=(）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4) D． (1,4）解：由已知点A（0，1）,B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==(﹣7，﹣4）；故答案为:A．3．(2015新课标I文）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C． 2﹣i D． 2+i解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：C．4．（2015新课标I文）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(）A．B．C．D．解：从1,2，3，4，5中任取3个不同的数,有（1，2,3）,（1,2，4），（1,2，5)，（1,3，4），(1,3，5),(1，4，5）（2，3，4）,（2,3,5）,（2，4，5），(3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数,故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C5．(2015新课标I文)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点,则｜AB｜=（）A． 3 B． 6 C． 9 D． 12解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c,0）与抛物线C：y2=8x的焦点(2，0）重合，可得c=2，a=4,b2=12,椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由,解得y=±3，所以a（﹣2,3),B（﹣2，﹣3）．｜AB|=6．故选：B．6．（2015新课标I文）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1。

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|32A x x n ==+，}n N ∈，{6B =，8，10，12，14}，则集合A B 中元素的个数为( ) A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】1E ：交集及其运算 【专题】5J ：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：{|32A x x n ==+，}{2n N ∈=，5，8，11，14，17，}⋯， 则{8AB =，14}，故集合AB 中元素的个数为2个，故选：D ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，则向量(BC = ) A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)【考点】9J ：平面向量的坐标运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段AB ，然后由BC AC AB =-求之．【解答】解：由已知点(0,1)A ，(3,2)B ，得到(3,1)AB =，向量(4,3)AC =--， 则向量(7,4)BC AC AB =-=--； 故选：A ．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．3．（5分）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则(z = ) A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【考点】5A ：复数的运算 【专题】5N ：数系的扩充和复数【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得1z -，进一步求得z ． 【解答】解：由(1)1z i i -=+，得21(1)11i i i z i i i+-+-===--， 2z i ∴=-．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为() A ．310B ．15C ．110D ．120【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【专题】5I ：概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种，其中只有(3，4，5)为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为110． 故选：C ．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．5．（5分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则||(AB = ) A ．3B ．6C ．9D ．12【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合；KI ：圆锥曲线的综合【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A ，B 坐标，即可求解所求结果． 【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点(,0)c 与抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)重合，可得2c =，4a =，212b =，椭圆的标准方程为：2211612x y +=，抛物线的准线方程为：2x =-，由22211612x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =±，所以(2,3)A -，(2,3)B --．||6AB =．故选：B ．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π=，解得16r π=，故米堆的体积为21116320()5439ππ⨯⨯⨯⨯≈，1斛米的体积约为1.62立方，∴3201.62229÷≈， 故选：B ．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10(a =) A ．172B ．192C ．10D ．12【考点】83：等差数列的性质【专题】11：计算题；4O ：定义法；54：等差数列与等比数列 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， 118743814(4)22a a ⨯⨯∴+⨯=⨯+， 解得112a =． 则101199122a =+⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈ 【考点】HA ：余弦函数的单调性 【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间．【解答】解：由函数()cos()f x x ωφ=+的部分图象，可得函数的周期为2512()244πω=-=，ωπ∴=，()cos()f x x πφ=+．再根据函数的图象以及五点法作图，可得42ππφ+=，k z ∈，即4πφ=，()cos()4f x x ππ=+． 由224k x k πππππ++剟，求得132244k x k -+剟，故()f x 的单调递减区间为1(24k -，32)4k +，k z ∈，故选：D ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的(n = )A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】EF ：程序框图【专题】5K ：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：第一次执行循环体后，12S =，14m =，1n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，14S =，18m =，2n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，18S =，116m =，3n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，116S =，132m =，4n =，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，132S =，164m =，5n =，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，164S =，1128m =，6n =，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，1128S =，1256m =，7n =，满足退出循环的条件； 故输出的n 值为7， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）已知函数1222,1()(1),1x x f x log x x -⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩…，且f （a ）3=-，则(6)(f a -= )A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-【考点】3T ：函数的值【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用 【分析】利用分段函数，求出a ，再求(6)f a -． 【解答】解：由题意，1a …时，1223α--=-，无解； 1a >时，2log (1)3a -+=-，7α∴=，117(6)(1)224f a f --∴-=-=-=-．故选：A ．【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为)r 组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620π+，则(r = )A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】!L ：由三视图求面积、体积 【专题】5Q ：立体几何【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+， 又该几何体的表面积为1620π+， 22541620r r ππ∴+=+，解得2r =，故选：B ．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则(a = ) A ．1-B ．1C ．2D ．4【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用【分析】先求出与2x a y +=的反函数的解析式，再由题意()f x 的图象与2x a y +=的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数()f x 的解析式，问题得以解决． 【解答】解：与2x a y +=的图象关于y x =对称的图象是2x a y +=的反函数， 2log (0)y x a x =->，即2()log g x x a =-，(0)x >．函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于y x =-对称， 2()()log ()f x g x x a ∴=--=--+，0x <，(2)(4)1f f -+-=， 22log 2log 41a a ∴-+-+=，解得，2a =， 故选：C ．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = 6 ． 【考点】89：等比数列的前n 项和【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由12n n a a +=，结合等比数列的定义可知数列{}n a 是12a =为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：12n n a a +=，∴12n na a +=， 12a =，∴数列{}n a 是12a =为首项，以2为公比的等比数列，11(1)2(12)22126112n n n n a q S q +--∴===-=--，12128n +∴=， 17n ∴+=， 6n ∴=．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．14．（5分）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = 1 ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，f '（1）31a =+，而f （1）2a =+，切线方程为：2(31)(1)y a a x --=+-，因为切线方程经过(2,7)， 所以72(31)(21)a a --=+-， 解得1a =． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力． 15．（5分）若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………，则3z x y =+的最大值为 4 ．【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．【解答】解：由约束条件20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(1,1)B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3114⨯+=． 故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(0A ，．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为【考点】KC ：双曲线的性质【专题】11：计算题；26：开放型；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F '是左焦点，则APF ∆周长|||||||||A F A P P F A F A P P F=++=++'+ ||||2(AF AF A +'+…，P ，F '三点共线时，取等号），直线AF '的方程为13x =-与2218y x -=联立可得2960y +-=，P ∴的纵坐标为APF ∴∆周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P 的坐标是关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）设90B =︒，且a ，求ABC ∆的面积． 【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理 【专题】58：解三角形【分析】2()sin 2sin sin I B A C =，由正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出． ()II 利用()I 及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：2()sin 2sin sin I B A C =， 由正弦定理可得：10sin sin sin a b c A B C k===>， 代入可得2()2bk ak ck =， 22b ac ∴=， a b =，2a c ∴=，由余弦定理可得：222222114cos 12422a a a a cb B ac a a +-+-===⨯． ()II 由()I 可得：22b ac =， 90B =︒，且a =2222a c b ac ∴+==，解得a c == 112ABC S ac ∆∴==．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若120ABC ∠=︒，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -【考点】LE ：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY ：平面与平面垂直 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC ⊥平面BED ； （Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可． 【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形， AC BD ∴⊥，BE ⊥平面ABCD ，AC BE ∴⊥，则AC ⊥平面BED ， AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ；解：（Ⅱ）设AB x =，在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，得A G G C==，2xGB GD ==，BE ⊥平面ABCD ，BE BG ∴⊥，则EBG ∆为直角三角形，12EG AC AG ∴===，则BE ==，三棱锥E ACD -的体积311632V AC GD BE =⨯==解得2x =，即2AB =， 120ABC ∠=︒，22212cos 44222()122AC AB BC AB BC ABC ∴=+-=+-⨯⨯⨯-=，即AC ==在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE EC ED ==， AE EC ⊥，EAC ∴∆为等腰三角形，则22212AE EC AC +==， 即2212AE =， 26AE ∴=，则AE ，∴从而得AE EC ED ===EAC ∴∆的面积11322S EA EC =⨯=⨯=，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF AD ⊥于F ，则AE ，112122AF AD ==⨯=，则EF =EAD ∴∆的面积和ECD ∆的面积均为122S =⨯，故该三棱锥的侧面积为3+【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：)t 和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1i y i =，2，⋯，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中i w =，8118i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：()i 年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1(u 1)v ，2(u 2)..(n v u ⋯ )n v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【考点】BK ：线性回归方程 【专题】5I ：概率与统计【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w ，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决；（Ⅲ）()i 年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可， ()ii 求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于108.8ˆ681.6d==， ˆˆ56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+， 因此y 关于x的回归方程为ˆ100.6y=+ （Ⅲ）()i 由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y的预报值ˆ100.6576.6y=+， 年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯-=，()ii 根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.620.12z x x =+-=-+，13.66.82==时，即当46.24x =时，年利润的预报值最大． 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON =，其中O 为坐标原点，求||MN ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算；9J ：直线与圆的位置关系 【专题】26：开放型；5B ：直线与圆【分析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为1y kx =+，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点(0,1)A 的直线方程：1y kx =+，即：10kx y -+=． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标(2,3)，半径1R =．1<，k <<过点(0,1)A 的直线与圆22:(2)(3)1C x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设1(M x ，1)y ；2(N x ，2)y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为1y k x =+，代入圆C 的方程22(2)(3)1x y -+-=， 可得22(1)4(1)70k x k x +-++=， 1224(1)1k x x k +∴+=+，12271x x k =+， 212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++2222274(1)12411111k k k k k k k k +++=++=+++， 由2121221248121k k OM ON x x y y k++=+==+，解得1k =， 故直线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=． 圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以||2MN =．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．21．（12分）设函数2()x f x e alnx =-． （Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2()2f x a aln a+…．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E ：利用导数研究函数的最值【专题】26：开放型；53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当0a …时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出； （Ⅱ）设导函数()f x '在(0,)+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值0()f x ，只要最小值大于22a alna+，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）2()x f x e alnx =-的定义域为(0,)+∞， 2()2x af x e x∴'=-． 当0a …时，()0f x '>恒成立，故()f x '没有零点， 当0a >时，2x y e =为单调递增，ay x=-单调递增，()f x ∴'在(0,)+∞单调递增，又f '（a ）0>，假设存在b 满足02a b ln <<时，且14b <，f '（b ）0<，故当0a >时，导函数()f x '存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数()f x '在(0,)+∞上的唯一零点为0x ， 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0()x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在0(0,)x 单调递减，在0()x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ， 由于02020x ae x -=， 所以00022()222a f x ax aln a aln x a a=+++…． 故当0a >时，2()2f x a aln a+…．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若OA =，求ACB ∠的大小．【考点】9N ：圆的切线的判定定理的证明 【专题】5B ：直线与圆【分析】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由射影定理可得关于x的方程2x =x 值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥， 在RT ABC ∆中，由已知可得DE DC =，DEC DCE ∴∠=∠， 连接OE ，则OBE OEB ∠=∠，又90ACB ABC ∠+∠=︒，90DEC OEB ∴∠+∠=︒， 90OED ∴∠=︒，DE ∴是O 的切线；（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得AB =BE 由射影定理可得2AE CE BE =，2x ∴=42120x x +-=，解方程可得x =60ACB ∴∠=︒【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题． 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．【考点】4Q ：简单曲线的极坐标方程 【专题】5S ：坐标系和参数方程【分析】（Ⅰ）由条件根据cos x ρθ=，sin y ρθ=求得1C ，2C 的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入240ρ-+=，求得1ρ和2ρ的值，结合圆的半径可得22C M C N ⊥，从而求得△2C MN 的面积2212C M C N 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为：22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=． （Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=，求得1ρ=，2ρ=12||||MN ρρ∴=-=2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N ==．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题． 六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【考点】5R ：绝对值不等式的解法 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >，即|1|2|1|1x x +-->， 即112(1)1x x x <-⎧⎨---->⎩①，或1112(1)1x x x -<⎧⎨+-->⎩…②，或112(1)1x x x ⎧⎨+-->⎩…③．解①求得x ∈∅，解②求得213x <<，解③求得12x <…． 综上可得，原不等式的解集为2(3，2)．（Ⅱ）函数12,1()|1|2||312,112,x a x f x x x a x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--=+--⎨⎪-++>⎩剟， 由此求得()f x 的图象与x 轴的交点A 21(3a -，0)， (21,0)B a +，故()f x 的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点(,1)C a a +， 由ABC ∆的面积大于6，可得121[21](1)623a a a -+-+>，求得2a >．故要求的a 的范围为(2,)+∞．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2015年高中数学解析几何组卷一．选择题（共16小题）1．（2013秋•七里河区校级期末）直线l过点A（3，0）和点B（0，2），则直线l的方程是2．（2014秋•平阳县校级期末）圆C1：（x+1）2+（y+4）2=16与圆C2：（x﹣2）2+（y+2）2=93．（2012秋•浙江校级月考）已知两点A（2，m）与点B（m，1）之间的距离等于，4．（2011•漳浦县校级模拟）已知集合M={（x，y）|x+y=1}，N=[（x，y）|x﹣y=1}，则M∩N6．（2011•东莞模拟）已知直线l：x+2y+k+1=0被圆C：x2+y2=4所截得的弦长为4，则k是7．（2014•天津学业考试）若，则直线=1必不经过（）8．（2014春•益阳校级期末）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆9．（2012秋•定西期末）抛物线y2=4x，经过点P（3，m），则点P到抛物线焦点的距离等B10．（2011•西安模拟）方程所表示的曲线为（）11．（2012•荆州区校级模拟）设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={x|x2﹣y=0，x，•铜仁市模拟）已知双曲线的离心率为，则双曲12．（201514．（2014•湖南二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线15．（2014•和平区校级模拟）过抛物线y2=﹣8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两2217．（2014秋•邗江区校级期中）方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是．18．双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为．19．（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．20．（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．21．（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．22．（2015•北京校级模拟）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）．（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）23．（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确命题的序号都填上）24．（2015•浦东新区一模）若直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零），则下列命题正确的是．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为．三．解答题（共6小题）25．（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．26．（2015春•保定期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，（1）求直线AC的方程；（2）求点B的坐标（x0，y0）；（3）求△ABC的面积．27．（2015春•海淀区期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．28．（2015•杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．29．（2015春•宁波校级期中）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x1，y1），M（x2，y2）．（Ⅰ）若y1•y2=﹣8，求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．30．（2010•安徽）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．2015年高中数学解析几何组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2013秋•七里河区校级期末）直线l过点A（3，0）和点B（0，2），则直线l的方程是2．（2014秋•平阳县校级期末）圆C1：（x+1）2+（y+4）2=16与圆C2：（x﹣2）2+（y+2）2=9=3．（2012秋•浙江校级月考）已知两点A（2，m）与点B（m，1）之间的距离等于，|AB|=4．（2011•漳浦县校级模拟）已知集合M={（x，y）|x+y=1}，N=[（x，y）|x﹣y=1}，则M∩N=6．（2011•东莞模拟）已知直线l：x+2y+k+1=0被圆C：x2+y2=4所截得的弦长为4，则k是==27．（2014•天津学业考试）若，则直线=1必不经过（）8．（2014春•益阳校级期末）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆9．（2012秋•定西期末）抛物线y2=4x，经过点P（3，m），则点P到抛物线焦点的距离等B10．（2011•西安模拟）方程所表示的曲线为（），﹣﹣=11．（2012•荆州区校级模拟）设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={x|x2﹣y=0，x，12．（2015•铜仁市模拟）已知双曲线的离心率为，则双曲由离心率的值，可设，可得的值，进而得到渐近线方，，则得本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出13．（2015春•玉溪校级期末）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）．B．C．．，或解：原方程等价于：有14．（2014•湖南二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线15．（2014•和平区校级模拟）过抛物线y2=﹣8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两﹣+2=2+22a=b=，，e=．又离心率是双曲线的离心率为17．（2014秋•邗江区校级期中）方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3．+=1表示椭圆，则解：方程+18．双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为16．∵双曲线上一点=161619．（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．±，结合条件可得=，即可得到解：双曲线±，由题意可得=．故答案为：积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．，×（等腰梯形的面积为：﹣=1.221．（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．的坐标，可得，利用×）：﹣±x±，，=，×（﹣=．故答案为：．22．（2015•北京校级模拟）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）=1．（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）设椭圆方程为：解：设椭圆方程为：=1故答案为：=123．（2015•闸北区一模）关于曲线C：=1，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线y=x轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是②④．（注：把你认为正确命题的序号都填上）：：，方程变为：24．（2015•浦东新区一模）若直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零），则下列命题正确的是（1）（2）（3）．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为．（）或（）或三．解答题（共6小题）25．（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．，，，程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0，（1）求直线AC的方程；（2）求点B的坐标（x0，y0）；（3）求△ABC的面积．﹣，的面积为27．（2015春•海淀区期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．（Ⅰ）依题意得的方程为．，则即得．得．．，即．，即．的斜率为，．．，28．（2015•杨浦区一模）如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：，可得，解得即可．，点CDF1=与基本不等y=（由数形结合知的方程为+和．，点，化为（，=CDF1==t=SCDF1=t=，即n=时，y=（==x29．（2015春•宁波校级期中）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，过点G（p，0）作直线l交抛物线C于A，M两点，设A（x1，y1），M（x2，y2）．（Ⅰ）若y1•y2=﹣8，求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N．求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．=30．（2010•安徽）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．（Ⅰ）设椭圆方程为+e==|x+，得，∴）代入，有的方程为y=的角平分线所在直线上任一点，则有+。

…………______…………绝密★启用前2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{|12},{|03},A x x B x x =-<<=<<则A B ⋃=（ ） A ． ()1,3- B ． ()1,0- C ． ()0,2 D ． ()2,3 【答案】A【解析】因为{|12}A x x =-<<, {|03}B x x =<<,所以{|13}.A B x x ⋃=-<<故选A.考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算.视频 2．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ． 4- B ． 3- C ． 3 D ． 4 【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=,故选D. 考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.视频3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）试卷第2页，总15页……外……………线…………○……※※请※※※线……内……………线…………○……A ． 逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ． 2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ． 2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ． 2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解视频4．已知()1,1a =-, ()1,2b =-,则()2a b a +⋅=（ ） A ． 1- B ． 0 C ． 1 D ． 2 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得2112a =+=, 123,a b ⋅=--=-所以()222431a b a aa b +⋅=+⋅=-=.故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.视频5．设 是等差数列 的前 项和,若 ,则 A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】 ，，选A.视频6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）…○…………○…………订…………○…………线…………○……：________班级：___________考号：_________…○…………○…………订…………○…………线…………○……1B.7 1C.6 1D.5【答案】D【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的56,剩余部分体积是正方体体积的15,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.视频7．已知三点A (1,0)，B (0， )，C (2， ，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ． 3C ．D ． 43【答案】B【解析】试题分析：△ABC 外接圆的圆心为⎛ ⎝⎭，选B.考点：圆心坐标视频8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,试卷第4页，总15页……○…………………线…………○※※请※※不……○…………………线…………○执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：本题主要考查程序框图及更相减损术. 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒=,故2112a a q ==,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.视频 10．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A ． 36πB ． 64πC ． 144πD ． 256π 【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为R,则△AOB 面积为212R ,三棱锥O ABC -体积最大时,C 到平面AOB 距离最大且为R,此时313666V R R ==⇒=,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.………装…………○………订…………○………________姓名：___________班：___________考号：___________………装…………○………订…………○………视频11．设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ． 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ． 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ． 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】试题分析： ()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立，∴，∴，∴的范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为A. 考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21f x f x >-可转化为，解绝对值不等式即可．视频试卷第6页，总15页…………订…………○※请※※不※※※答※※题※※…………订…………○第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题12．已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a= ． 【答案】-2【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=-.考点：本题主要考查利用函数解析式求值.视频13．若x,y 满足约束条件,则z=2x+y 的最大值为 ．【答案】8【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）． 由z=2x+y 得y=﹣2x+z ， 平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最大， 此时z 最大．由，解得，即A （3，2）将A （3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y ， 得z=2×3+2=8．即z=2x+y 的最大值为8． 故答案为：8．………○…………线…………○……校:_________………○…………线…………○……考点：简单线性规划．视频14．已知双曲线过点(，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2214x y -= 【解析】依题意，设所求的双曲线的方程为()()22x y x y λ+-=. 点(M 为该双曲线上的点，(444λ∴=+-=.∴该双曲线的方程为： 224x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=. 视频15．已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ． 【答案】8 【解析】可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.试卷第8页，总15页………………考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 三、解答题16．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ． （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）30. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）由诱导公式可得()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（Ⅰ）知2s i n s iB C ∠=∠, 所以tan 30.B B ∠=∠= 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠. （Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠= 所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2s i n s i n B C ∠=∠, 所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.视频17．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图…○…………装……………线…………○……学校:___________姓名：_________…○…………装……………线…………○……B 地区用户满意度评分的频率分布表（Ⅰ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可） B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：试卷第10页，总15页………………装……………订…………○…※请※※不※※要※※在※※※内※※答※※题※※………………装……………订…………○…估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（II ）由直方图得()A P C 的估计值为0.6,()B P C 的估计值为0.25.,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.试题解析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 记B C 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为,()B P C 的估计值为,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计.视频18．如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上， 114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．……○…………装…………○…………订…………○……校:___________姓名：___________班级：___________考号……○…………装…………○…………订…………○……（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）． （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97或79【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作垂足为M,则18EM AA ==,,,因为E H G F是正方形,所以,于是因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97（79也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点(在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【答案】（1）22184x y += （2）12OM k k ⋅=-试卷第12页，总15页…装…※※要※…装…【解析】试题分析：22421,a b=+=求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.k x kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++于是1,2M OM M y k x k==- 12OM k k ⇒⋅=-.试题解析：解：22421,a b=+=解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=.（Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠, ()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入2222184x y +=得()222214280.k x kbx b +++-=故12222,,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k==-即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.视频20．已知 . (1)讨论 的单调性；(2)当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围. 【答案】(1) 在单调递增，在单调递减.（2） .【解析】试题分析：（Ⅰ）由,可分 , 两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当 时 在 无最大值,当 时 最大值为因此.令 ,则 在 是增函数,当 时, ,当 时 ,因此a 的取值范围是 . 试题解析：………装…………○………………________姓名：___________班级：______________………装…………○………………（Ⅰ） 的定义域为 ,,若 ,则 , 在 是单调递增；若 ,则当时 ,当时 ,所以 在单调递增,在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时 在 无最大值,当 时 在取得最大值,最大值为 因此.令 ,则 在 是增函数, ,于是,当 时, ,当 时 ,因此a 的取值范围是 .考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.视频21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.（Ⅰ）证明；（Ⅱ）若AG 等于圆O 半径,且,求四边形EBCF 的面积.【答案】（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明EFBC ,可证明,AD BC ⊥ AD EF ⊥；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF 的面积转化为△ABC 和△AEF 面积之差来求. 试题解析：（Ⅰ）由于△ABC 是等腰三角形, ,AD BC ⊥所以AD 是CAB ∠的平分线,又因为圆O 与AB,AC 分别相切于E,F,所以AE AF =,故AD EF ⊥,所以EFBC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE AF =, AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为圆O 的弦,所以O 在AD 上,连接OE,OF,则OE AE ⊥,由AG 等于圆O 的半径得AO=2OE,所以○…○…30OAE∠=,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为AE=,所以4,2,A O O E==因为2,OM OE==12DM MN==所以OD=1,于是AD=5,AB=所以四边形DBCF的面积为(221122⨯-⨯=⎝⎭考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.视频22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1,:{,x tcosCy tsinαα==（t为参数,且0t≠）,其中0απ≤<,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:.C Cρθρθ==（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.【答案】（Ⅰ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：（Ⅰ）把2C与3C的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y+-=,220x y+-=,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线1C极坐标方程为(),0,Rθαρρ=∈≠进一步求出点A的极坐标为()2sin,αα,点B的极坐标为(),αα,,由此可得2sin4sin43ABπααα⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭.试题解析：解：（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220x y y+-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y+-=,联立两方程解得{xy==或{32xy==,所以2C与3C交点的直角坐标()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭.试卷第14页，总15页○…_○…（Ⅱ）曲线1C 极坐标方程为(),0,R θαρρ=∈≠其中0απ≤<,因此点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当56πα=时AB 取得最大值,最大值为4.考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.视频23．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】设a b c d +=+，ab cd >，（Ⅱ）（ⅰ）若，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（Ⅰ）得（ⅱ）因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因综上考点：推理证明．。