高中数学课时跟踪检测二十三指数函数与对数函数的关系新人教B版必修72

课时素养评价八指数函数与对数函数的关系(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数y=的反函数是( )A.y=(x∈R且x≠-4)B.y=(x∈R且x≠3)C.y=(x∈R且x≠)D.y=(x∈R且x≠-)【解析】选B.由y=,得x=.故所求反函数为y=(x∈R且x≠3).2.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( )A.[-1,1]B.(-∞,0]C.[-2,4]D.[2,4]【解析】选A,C.函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在[-1,1], [-2,4]上不单调.3.设y=+m和y=nx-9互为反函数,那么m,n的值分别是( )A.-6,3B.2,1C.2,3D.3,3【解析】选D.求出y=+m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数,得m=3,n=3.4.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( )A.a<bB.a=bC.a>bD.无法确定【解析】选A.因为f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3)> f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.二、填空题(每小题4分,共8分)5.函数f(x)=的反函数是________.【解析】函数的值域为[0,+∞),令y=,将其中的x,y对调得x=,解得y=4-x2,所以反函数f-1(x)=4-x2(x≥0).答案:f-1(x)=4-x2(x≥0)6.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-1≤x≤0),则原函数的定义域是________,f(-1)=________.【解析】因为原函数的定义域为反函数的值域,又-1≤x≤0,所以1≤2-x2≤2,即y∈[-,-1].令-=-1,解得x=±1,因为原函数的定义域为[-,-1],所以x=-1.答案:[-,-1] -1【加练·固】函数f(x)=log2x+1(x≥4)的反函数f-1(x)的定义域是________.【解析】函数f(x)的值域为[3,+∞),所以f-1(x)的定义域是[3,+∞).答案:[3,+∞)三、解答题(共26分)7.(12分)求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.(1)y=-1.(2)y=-3x2-2(x≤0).【解析】 (1)因为原函数的定义域是x≥1,所以值域为y≥-1,。

4.3指数函数与对数函数的关系必备知识基础练1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,其图像经过点(√a,a),则f(x)=()A.log2xB.lo g12xC.12xD.x2y=a x(a>0且a≠1)的反函数是f(x)=log a x,由a=log a√a=12,得f(x)=lo g12x.2.(2020山东聊城高一检测)已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是()A.0B.1C.-1D.√25f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.3.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是()A.[-1,1]B.(-∞,0]C.[-2,4]D.[2,4]2|x|在[-1,1]和[-2,4]上不是单调函数,所以不存在反函数.4.已知a>0且a≠1,f(x)=a x,g(x)=log a x,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是()f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即log a2<0,∴0<a<1.∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.5.已知函数y=a x+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a=,b=.1y=a x+b的图像过点(1,4),得a+b=4;由其反函数的图像过点(2,0),得原函数的图像必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.6.函数y={x +1,x <0,e x ,x ≥0的反函数是 .{x -1,x <1,lnx ,x ≥1x<0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x<1;当x ≥0时,y=e x 的反函数是y=ln x ,x ≥1. 故原函数的反函数为y={x -1,x <1,lnx ,x ≥1.7.求出下列函数的反函数. (1)y=lo g 16x ;(2)y=(1e )x;(3)y=πx ;(4)y={x 2,-1≤x <0,x 2-1,0≤x ≤1.对数函数y=lo g 16x 的底数为16,所以它的反函数是指数函数y=(16)x .(2)指数函数y=(1e )x的反函数是对数函数y=lo g 1ex=-ln x.(3)指数函数y=πx 的反函数为对数函数y=log πx.(4)①当x ∈[-1,0)时,y ∈(0,1],此时x=-√y ,得原函数的反函数是y=-√x ,x ∈(0,1];②当x ∈[0,1]时,y=x 2-1,y ∈[-1,0],此时x=√y +1,得原函数的反函数是y=√x +1,x ∈[-1,0]. ∴函数y={x 2,-1≤x <0,x 2-1,0≤x ≤1的反函数为y={√x +1,x ∈[-1,0],-√x ,x ∈(0,1].关键能力提升练8.(2020四川泸县高二月考)已知函数g (x )=f (x )+x 2是奇函数,当x>0时,函数f (x )的图像与函数y=log 2x 的图像关于y=x 对称,则g (-1)+g (-2)=( ) A.-7 B.-9 C.-11 D.-13当x>0时,f (x )的图像与函数y=log 2x 的图像关于y=x 对称,∴当x>0时,f (x )=2x ,∴当x>0时,g (x )=2x +x 2.又g (x )是奇函数,∴g (-1)+g (-2)=-[g (1)+g (2)]=-(2+1+4+4)=-11.9.(2020山东临沂高一检测)已知函数f (x )=3x ,函数g (x )是f (x )的反函数,若正数x 1,x 2,…,x 2 018,x 2 019满足x 1·x 2·…·x 2 018·x 2 019=243,则g (x 12)+g (x 22)+…+g (x 2 0172)+g (x 2 0182)+g (x 2 0192)的值等于( )A.4B.8C.10D.32函数f (x )=3x ,函数g (x )是f (x )的反函数,∴g (x )=log 3x ,∴g (x 12)+g (x 22)+…+g (x 2 0172)+g (x 2 0182)+g (x 2 0192)=log 3(x 1·x 2·…·x 2 018·x 2 019)2=2log 3(x 1·x 2·…·x 2 018·x 2 019)=2log 3243=2log 335=10. 10.(2020上海高一期末)函数f (x )=x 2-1(x<0)的反函数f -1(x )= .√x +1(x>-1)x<0时,f (x )=x 2-1>-1,由y=x 2-1对调x ,y 得x=y 2-1, 解得y=-√x +1,因此,f -1(x )=-√x +1(x>-1).11.(2021上海交大附中高一考试)若函数y=x 2+(a-4)x+3-a ,x ∈[0,1]没有反函数,则a 的取值范围是 .y=x 2+(a-4)x+3-a ,x ∈[0,1]没有反函数,则函数在定义域内不单调,又函数的对称轴为x=4-a2, 所以0<4-a2<1,解得2<a<4. 12.已知函数f (x )=a ·2x +a 2-22x -1(x ∈R ,x ≠0),其中a 为常数,且a<0.(1)若f (x )是奇函数,求a 的取值集合A ;(2)当a=-1时,设f (x )的反函数为f -1(x ),且y=g (x )的图像与y=f -1(x+1)的图像关于y=x 对称,求g (1)的取值集合B.由于函数y=f (x )为奇函数,且定义域为{x|x ≠0},则f (-1)=-f (1).∵f (1)=2a+a 2-22-1=a 2+2a-2,f (-1)=12a+a 2-212-1=-2a 2-a+4, ∴-2a 2-a+4=-a 2-2a+2,整理得a 2-a-2=0,解得a=-1或a=2. ∵a<0,∴a=-1,∴f (x )=-2x -12x -1=-2x +12x -1,定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,f (-x )=-2-x +12-x -1=-2x (2-x +1)2x (2-x -1)=-1+2x1-2x=2x +12x -1=-f (x ), 此时,函数y=f (x )为奇函数,合乎题意. 因此,A={-1}. (2)当a=-1时,y=f (x )=1+2x 1-2x ,可得y (1-2x )=1+2x ,得2x =y -1y+1,∴x=log 2y -1y+1,所以,f -1(x )=log 2x -1x+1.由于y=g (x )的图像与y=f -1(x+1)的图像关于y=x 对称,则g (1)为方程f -1(x+1)=1的实数解,解方程f -1(x+1)=1,即log 2xx+2=1, 变形得xx+2=2,解得x=-4,即g (1)=-4.因此,B={-4}.学科素养创新练13.已知f (x )=a ·2x -12x +1(a ∈R ),f (0)=0.(1)求a 的值,并判断f (x )的奇偶性; (2)求f (x )的反函数;(3)对任意的k ∈(0,+∞),解不等式f -1(x )>log 21+xk.由f (0)=0,得a=1,所以f (x )=2x -12x +1.因为f (x )+f (-x )=2x -12x +1+2-x -12-x+1=2x -12x +1+1-2x1+2x=0,所以f (-x )=-f (x ),即f (x )为奇函数.(2)因为f (x )=y=2x -12x +1对调x ,y 后,得x=2y -12y +1,所以2y =1+x1-x (-1<x<1).所以f -1(x )=log 21+x1-x(-1<x<1). (3)因为f -1(x )>log 21+xk,即log 21+x 1-x >log 21+xk ,所以{1+x1-x>1+xk ,-1<x <1,所以{x >1-k ,-1<x <1,所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1}; 当k ≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.。

学案二十指数函数与对数函数的关系
一、三维目标：
1. 理解反函数的概念，会求简单函数的反函数，提高归纳概括能力。

2. 通过自主学习、合作探究，体会互为反函数的函数间的关系。

3. 以极度的热情投入到课堂学习当中，体验数形和谐的对称美.
二、学习重、难点：
重点：反函数的概念以及指数函数对数函数的关系
. 难点：反函数概念的理解.；
【自主探究】
1.对数函数x y 2log 和指数函数x y
2的自变量与因变量的关系是怎样的？2.在同一坐标系内画出
x y 2log 和x
y 2的图像，3.在同一坐标系内画出x y 2
1l o g 和
x y ）（2
1的图像x
x y ）（2
1x x
y 2X
x
y 2log x 明确学习目标
研究学习目标明确学习方向课前自主预习
自主学习教材独立思考问题。