03第三讲 小学奥数方法讲解三答案.

第三讲多人多次相遇与追及在之前的课程中，我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇追及问题．本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题．本讲中画线段图非常重要，你还记得画行程图要注意什么吗？例题1有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米．A 、B 两地相距2700米．甲从A 地，乙、丙从B 地同时出发相向而行．请问，甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？「分析」全程已知，三个人的速度也都已知，那么甲乙的相遇时间、甲丙的相遇时间都是可以计算出来的． 练习1有冰冰、雪雪、霜霜三个人，冰冰每秒钟走4米，雪雪每秒钟走5米，霜霜每秒钟走6米．A 、B 两地相距990米．雪雪从A 地，霜霜、冰冰从B 地同时出发相向而行．请问，雪雪与霜霜相遇之后多少秒又与冰冰相遇？例题2叮叮、咚咚两人开车从A 地，铛铛则从B 地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时70千米，铛铛的速度为每小时50千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的车速是多少？「分析」请在图中把过程补全，并标出相应的数据，例如速度、时间、路程等．然后注意分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习2小春、小秋两人从A 地，小夏则从B 地同时出发，相向而行．小春的速度为每小时60千米，小夏的速度为每小时40千米．出发3小时后，小春与小夏相遇．又过了1小时，小秋也与小夏相遇．请问：小秋的速度是多少？A 地B 地叮叮咚咚铛铛例题3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？「分析」本题的运动过程和上题类似吗？请先把图补充完整，仍然是标出数据进行分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时60千米和每小时45千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发7小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？通过前面几道例题，同学们会发现解决多人多次的相遇与追及等更为复杂的行程问题，画线段图是相当重要的．然而我们不但要学会画图，还要学会看图．“横看成岭侧成峰”，同一个对象从不同的角度去观察往往会有不同的认识．就像例题4中红色的那条线段，既可以看成甲、乙两车的路程差，也可以看成乙车与卡车的路程和．当运动过程趋于复杂时，尤其需要这种从不同角度看待问题的思维习惯，这样才能充分利用好题目中的条件．A 地B 地甲车卡车乙车例题4甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米．如果甲从A 地，乙和丙从B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？「分析」请自己画出详细的线段图，好好分析一下，还能像前面两个例题那样一段一段计算吗？如果不能，该怎么办呢？ 练习4刘备、关羽、张飞三人，刘备每分钟走40米，关羽每分钟走60米，张飞每分钟走50米．如果刘备从A 地，关羽和张飞从B 地同时出发相向而行，刘备和关羽相遇后，过了10分钟又与张飞相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？上面几道例题的运动过程是一样的，在这样的运动过程里面，会有两次相遇运动和一次追及运动．在这个运动过程中有一段路程既是路程和又是路程差，需要同学们格外注意．接下来我们来看一下和速度倍数相关的行程问题．大家想象一下，如果甲、乙两人同时出发同向前进，甲的速度是乙的3倍，那么5分钟后，甲的路程是乙的几倍？30分钟后，甲的路程又是乙的几倍？2个小时后，甲的路程又是乙的几倍？其实上述问题的答案都是3倍．不管时间过了多久，只要甲、乙两人的时间相同，他们路程的倍数关系就等于速度的倍数关系． 例题5A 、B 两城相距48千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度行走．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，甲正好在乙和丙的中点？「分析」速度分别是4、2、2，那么我们可以把三人的路程分别设为几份呢？请试着画出线段图，标份数进行分析．A B甲乙 丙例题6A 、B 两城相距50千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度前进．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，丙正好在甲和乙的中点？「分析」同上题，还是需要把路程设份数，画出线段图进行分析．但要注意，丙在甲、乙的中点，应该是在甲、丙相遇错开后发生的．形象的来说，本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多．怎么解决这样复杂的问题呢？首先，必须有勇气，只要有勇气，你就敢面对这样的问题，积极开动脑筋去想． 其次，必须有耐心，只要有耐心，你就能动手去画图，细致的分析每一组数量关系，再花上些时间，题目自然能够搞定．或许有人会说，这根本不是什么解题技巧，画线段图、分析倍数关系才是解题．其实，这些只是技巧中的皮毛，真正的技巧是一种智慧，而勇气和耐心就是这种智慧的内涵． 课堂内外换个角度看问题有这样一个故事：有个年轻人为贫所困，便向一位老者请教．老者问：“你为什么失意呢？”年轻人说：“我总是这样穷．”“你怎么能说自己穷呢？你还这么年轻．”“年轻又不能当饭吃．”年轻人说．老者一笑：“那么，给你一万元，让你瘫痪在床，你干吗？”“不干．”“把全世界的财富都给你，但你必须现在死去，你愿意吗？”“我都死了，要全世界的财富干什么？”老者说：“这就对了，你现在这么年轻，生命力旺盛，就等于拥有全世界最宝贵的财富，又怎能说自己穷呢？”年轻人一听，又找回了对生活的信心．美国心理学家艾里斯曾提出一个叫“情绪困扰”的理论．他认为，引起人们情绪结果的因素不是事件本身，而是个人的信念．所以，许多在现实中遭遇挫折的人，往往认为“自己倒霉”，“想不通”，这些其实都是本人的片面认识和解释，正是这种认识才产生了情绪的困扰．实际情况是，人们的烦恼和不快，常常与自己的情绪有关，同自己看问题的角度有关．能否战胜挫折，关键在于自己要有主心骨，任何情况下都不被一时的失意和不快左右，永远怀AB甲乙丙着希望和信心，就能从逆境和灾难中解脱出来．再拿前面提到的那个自认为很穷的年轻人来说吧，其实，穷与富只是相对而言，并没有一个客观标准．一个人即使没有多少物质财富，但他有青春和生命，有奋发进取的精神状态，就不能说他穷．如果一个人热爱生命，就会感到充实和富有．概而言之，任何事情都不是绝对的，就看你怎么去对待它．作业1.小竹、小松两人从A地，小梅则从B地同时出发，相向而行．小竹的速度为每小时55千米，小梅的速度为每小时45千米．出发4小时后，小竹与小梅相遇．又过了1小时，小松也与小梅相遇．A、B两地相距多少千米？小松每小时走多少千米？2.甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时80千米和每小时65千米，两车同时从A地出发到B地去，出发8小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，这时乙车与卡车相距多少千米？又过了1小时，乙车也遇到这辆卡车．这辆卡车每小时行多少千米？3.哈利、罗恩、赫敏三人，哈利每分钟走60米，罗恩每分钟走50米，赫敏每分钟走45米．如果哈利从A地，罗恩和赫敏从B地同时出发，相向而行．哈利和罗恩相遇2分钟后，又与赫敏相遇．当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距多少米？A、B两地间的距离为多少米？4.东、西两城相距60千米．小明从东向西跑，每小时跑8千米；小光从西向东走，每小时走4千米；小亮骑自行车从东向西，每小时骑行11千米．3人同时动身，途中小亮遇见小光即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小光又折回向东骑，如此不断往返，直到三人在途中相遇为止．则小亮共行了多少千米？5.老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时1千米、3千米、1千米的速度前进．其中老贺从A出发往B走，另外两人则从B出发往A走．已知A、B两地相距36千米，在出发后多少小时，老郭正好在老贺与老刘的中点？第三讲 多人多次相遇与追及1. 例题1答案：3分钟详解：甲和乙相遇时的路程和是2700千米，速度和是100米/分，所以相遇时间是270010027÷=分钟．甲和丙相遇时的路程和也是2700千米，速度和是90千米/时，所以相遇时间是27009030÷=分钟，又过了3分钟甲和丙才相遇．2. 例题2答案：40千米/时详解：首先画出线段图（如下图），有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()70503360+⨯=千米咚咚和铛铛相遇时间是4小时，他们速度和是：360490÷=千米/时， 那么咚咚的速度是905040-=千米/时．3. 例题3答案：32千米/时详解：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车6个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是12千米/时，6个小时行驶的路程差是72千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是72千米．乙车和卡车的速度和是72172÷=千米/时．所以卡车的速度是724032-=千米/时．4. 例题4答案：16500米详解：画出线段图如下，从出发到①时刻，有甲和乙的相遇、乙和丙的同向行驶，由甲、乙相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．乙、丙同向行驶，A 地B 地咚 铛50km/h70km /h 叮A 地 B 地甲车乙车52千米40千米速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是甲、丙的相遇过程，时间为15分钟，知道速度和，可得①→②甲、丙路程和为()4060151500+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即乙、丙路程差为1500米，追及时间为()150********÷-=分钟，即从出发到①时刻共150分钟，全程为()506015016500+⨯=米．5. 例题5答案：6小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时甲在乙、丙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“2”．所以全程是“8”，即48千米，所以“1”是6千米，甲走了“4”是24千米，速度是4千米/时，所以行走时间是6小时．另外一个方法是，乙、丙的速度是一样的，其实，乙、丙中点始终就是全程的中点．所以甲行驶到乙、丙中点时，甲一定也在全程的中点，所以甲走了24千米，速度是4千米/时，行走时间仍然是6小时．6. 例题6答案：10小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时丙在甲、乙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“1”．所以全程是“5”，即50千米，所以“1”是10千米．甲走了“4”是40千米，速度是4千米/时，所以行走时间是10小时．B乙 丙 50米/40米/60米/分千米/时 A B 甲乙 4千米/2千米/A B2千米/4千米/7. 练习1答案：20分钟详解：雪雪和霜霜相遇时的路程和是990千米，速度和是11米/分，所以相遇时间是9901190÷=分钟．雪雪和冰冰相遇时的路程和也是990千米，速度和是9千米/时，所以相遇时间是9909110÷=分钟，又过了20分钟雪雪和冰冰才相遇．8. 练习2答案：35千米/时详解：有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()60403300+⨯=千米小秋和小夏相遇时间是4小时，他们速度和是：300475÷=千米/时， 那么小秋的速度是754035-=千米/时．9. 练习3答案：60千米/时简答：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车7个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是15千米/时，7个小时行驶的路程差是105千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是105千米．乙车和卡车的速度和是1051105÷=千米/时．所以卡车的速度是1054560-=千米/时．10. 练习4答案：9000米简答：画出线段图如下，从出发到①时刻，有刘和关的相遇、关和张的同向行驶，由刘、关相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．关、张同向行驶，速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是刘、关的相遇过程，时间为10分钟，知道速度和，可得①→②；刘、张路程和为()405010900+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即关、张路程差为900米，追及时间为()900605090÷-=分钟，即从出发到①时刻共90分钟，全程为A 地B 地 甲车乙车 60千米45千米()4060909000+⨯=米．11. 作业1答案：400；35简答：全程长：()55454400+⨯=千米，小松与小梅用了5小时相遇，所以小松的速度为：40054535÷-=千米∕时．12. 作业2答案：120；55简答：8小时内甲、乙两车的路程差为()80658120-⨯=千米．甲、乙两辆车的路程差就是后面1小时内乙车与卡车的路程和，所以卡车的速度为：12016555÷-=千米∕时．13. 作业3答案：210；4620简答：哈利和赫敏2分钟内的路程和也是罗恩和赫敏的路程差，根据这个关系可知当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距()26045210⨯+=米．可求出哈利与罗恩相遇所用的时间是()210504542÷-=分，全程为()4260504620⨯+=米．14. 作业4答案：55简答：小亮行驶的总时间就是小明、小光的相遇时间：()60845÷+=小时，所以路程为55千米．15. 作业5答案：6简答：当老郭在老贺与老刘的中点时，老郭的路程是“3”份，老贺和老刘的路程都是“1”份．这时老郭和老刘相距“2”份，老郭和老贺也相距“2”份，全程36千米相当于是“6”份，“1”份是6米，也即老贺走了616÷=小时，老郭正好在老贺与老刘的中点．B关 张 60米/50米/40米/分。

第三讲基本直线形面积公式在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形．在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形．在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类．我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积．№1. 正方形和长方形的面积正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图：例题1如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜．其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形．请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？ 练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形．请问：剩下的黄瓜地的宽面积是多少？№2. 平行四边形的面积如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来．为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图．这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽．长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段．在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高．于是我们有：如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离．36 1824底当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图所示．同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离．要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高．大家看看下面的几个图形，试着画出与底边相对应的高．例题2下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出阴影平行四边形的面积．「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习2如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形．如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米．那么阴影平行四边形的面积是多少？BCF底高高高№3. 三角形的面积三角形中也有相对应的底和高．过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底．每个三角形有三组对应的底和高．要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度．观察下图，我们把一个三角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形．平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等．而平行四边形的面积等于“⨯底高”，正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式：从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．由于三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易．因此要想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高．．．．．．．．．．．．下面是一个简单的作图练习，大家不妨画一画．例题3如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：阴影三角形的面积是多少？「分析」阴影部分是三角形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？ 练习3右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积．№4. 梯形的面积三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有．在梯形中，平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高．如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形．从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍．同时平行四边形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等．所以：86下底例题4一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、高分别是多少．练习4如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？例题5如下图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？例题6如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．请问：阴影部分的面积是多少？ 「分析」阴影部分由两个三角形组成，你能分别求出这两个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？11课堂内外小欧拉与大羊圈欧拉是著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就．不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生．小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝镶上去的．小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考．小欧拉没有与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家．回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童．他一面放羊，一面读书．他读的书中，有不少数学书．爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只．原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈．他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米．正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用．若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米．父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米．小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划．他有办法．父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他．小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了．父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样简单的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美．父亲终于同意让儿子试试看．小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁．他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米．父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了．”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米．经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形．然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了．”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光．面积也足够了，而且还稍稍大了一些．父亲心里感到非常高兴．孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息．父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了．后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利．通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生．这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生．作业1. 在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以AB 为底的高．2. 如图，大正方形被分成三块区域．左上角的正方形面积为4，右上角的长方形面积为6，请问：大正方形的面积是多少？3.下图中，大正方形的面积是64，小正方形的面积是36．求平行四边形的面积．4. 下面两幅图都是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，求两个阴影三角形的面积．5. 如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边长是9厘米，大正方形的边长是13厘米．请问阴影梯形的面积是多少平方厘米？66 846BD C第三讲基本直线形面积公式1.例题1答案：8平方米详解：方法一：正方形的面积是16平方米，所以正方形的边长是4米，黄瓜的面积是28平方米，黄瓜的宽是4米，长就是2847÷=米．豆角的面积是32平方米，豆角的宽是4米，所以长是3248÷=米．所以苦瓜的宽是÷=米，莴笋的宽是8米，面积是72平方米，所以长是7289⨯=平方米；方法二：豆角是茄子面积的2倍，972-=米，长是4米，所以苦瓜的面积是248所以莴笋是黄瓜和苦瓜面积和的2倍，黄瓜和苦瓜的面积是72236÷=平方米，所以苦瓜的面积是36288-=平方米．2.例题2答案：28详解：阴影平行四边形的底BC是4，高FG是7，所以平行四边形的面积是4728⨯=．3.例题3答案：42平方厘米详解：阴影三角形的底是6厘米，高是6814+=厘米，所以阴影三角形的面积是614242⨯÷=平方厘米．4.例题4答案：30平方厘米详解：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是正方形上面的边，正方形的面积是49平方厘米，所以正方形的边长是7厘米，梯形的下底是长方形的宽即8厘米，梯形的高即长方形长与正方形边长之差，为1174-=厘米，所以梯形的面积是()+⨯÷=平方厘米．7842305.例题5答案：91平方厘米详解：由于两个大小一样的正方形错开了3厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3厘米，所以阴影平行四边形的底就是1037+=厘米，所以其面积-=厘米，高就是10313是71391⨯=平方厘米．6.例题6答案：12平方厘米详解：小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．阴影部分是由两个三角形组成的，这两个三角形的底都是752-=厘米，左面三角形的高是5厘米，右面三角形的高是7厘米，所以面积分别是2525⨯÷=平方厘米，2727+=平⨯÷=平方厘米，所以阴影部分的面积是5712方厘米．7.练习1答案：12平方米详解：西瓜地是正方形，面积为36平方米，所以边长为6米；冬瓜地面积为24平方米，长为6米，所以宽为2464÷=米；南瓜地面积为18平方米，长为6米，所以宽为1863÷=米；黄瓜地长为4米，宽为3米，所以面积为4312⨯=平方米．8. 练习2答案：96平方厘米详解：阴影平行四边形的底是小正方形边长即8厘米，高是两正方形边长之差，即20812-=厘米，所以平行四边形的面积是81296⨯=平方厘米．9. 练习3答案：30简答：阴影三角形的底是6，高是6410+=，所以阴影三角形的面积是610230⨯÷=．10. 练习4答案：14平方厘米简答：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即6厘米；梯形的下底是大正方形的边长即8厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为862-=厘米，所以梯形的面积是()682214+⨯÷=平方厘米．11. 作业1答案：如图所示简答：12. 作业2答案：25简答：小正方形的边长为2，小长方形的长为3，那么大正方形的边长为5，面积为5525⨯=．13. 作业3答案：48简答：小正方形的边长为6，大正方形的边长为8，平行四边形的面积是6848⨯=．14. 作业4答案：24；18简答：左图阴影三角形的底选为6，高为8，面积是68224⨯÷=．右图阴影三角形的底选为6，高为6，面积是66218⨯÷=．15.作业5答案：242平方厘米简答：梯形的上底为小正方形的边长，即9厘米．梯形的下底为大正方形的边长，即13厘米．梯形的高为大、小正方形边长和为22厘米．梯形的面积为(913)222242+⨯÷=平方厘米．6.。

第三讲移多补少与等量代换做移多补少的题目，最好的办法就是借助于画线段图，画图能给人一种直观的感觉，6帮助我们理清数量关系．例题1（1）第一行比第二行多________个．（2）第一行给第二行________个才能使第一行与第二行一样多．（3）第一行给第二行________个才能使第一行比第二行多2个．（4）第一行给第二行________个才能使第二行比第一行多2个．分析：动手试试，移动下，弄清开始时第一行比第二行多几个？练习1阿呆和阿瓜分糖果，开始时阿呆有14个，阿瓜有4个．后来阿呆给了阿瓜6个，这时谁的糖果多？多几个？例题2小高和墨莫分别有一些巧克力，小高比墨莫多10块．（1）小高给墨莫8个，这时谁的巧克力多？多几块？（2）小高给墨莫多少块才能使两人的巧克力一样多？（3）要让墨莫的巧克力比小高多4块，需要谁给谁巧克力？给几块？分析：可以画出增减示意图表示下给的过程？练习2一开始田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要让爸爸比妈妈多3块宝石，需要爸爸给妈妈多少块宝石？例题3开始时卡莉娅比萱萱多30张高思杀卡片．每次卡莉娅给萱萱3张．（1）给几次才能使两人的卡片一样多？（2）给几次才能使萱萱比卡莉娅多12张？分析：能不能先算清楚一共给多少张才能使两人的卡片一样多？或者萱萱比卡莉娅多12张？7练习3刘老师有两盒糖果，红盒比蓝盒多30粒糖，每次从红盒取5粒糖放到蓝盒，取几次后两盒糖的粒数就同样多？之前例题中的移多补少基本上要借助于画图，画图是表示数量关系非常直观的方法．除了画图之外，用简洁的语言来表示数量关系也十分重要．下面我们来看看等量代换的相关题目，同学们要用简洁的语言来表示数量关系．等量代换的思想是解决应用题时的常用技巧之一，在使用等量代换时，一般从问题开始分析．例题4体重大比拼：（1）4只小狗=8只小猫，那么5只小狗等于多少只小猫的体重？（2）2只小狗=4只小猫，1只小猫=2只鸭子，那么12只小狗等于多少只鸭子的体重？（3）3只小狗=4只小兔，5只小兔=7只小鸡，那么12只小狗加4只小兔等于多少只小鸡的体重？分析：第（1）、（2）问中利用等量代换中的倍数关系，找清楚1只小狗等于几只小猫？第（3）问中能否将12只小狗加4只小兔变为全是小兔？7头大象和10头长颈鹿重量相等，那么40头长颈鹿和多少头大象重量相等？练习4例题51只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量？分析：1只兔子等于几只鸡的重量呢？再分析出猴子与鸡的重量关系？例题6已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同．3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子和1只小鸭子共重多少8千克？分析：能否将题目中的条件列出来？通过倍数关系将题目中都变为大鸭子或者小鸭子？求出大小鸭子各几千克？课堂内外三藏取经三藏西天去取经，一去十万八千程．每日常行七十五，问公几日得回程．这是明朝数学家程大位编写的趣题，收录在他的数学名著《算法统宗》里．诗中的三藏指的是唐朝高僧玄奘．因为他被人们认为是唐朝第一高僧，所以又被称为“唐僧”．他受唐太宗李世民派遣，到印度钻研佛教典籍，译出经、论七十五部，一千三百三十五卷，促进了中印文化的交流．《西游记》里的唐僧便是以这位高僧为原型的．本题的意思是说：唐僧去西天取经，一共走了十万八千里．已知他每天走七十五里，问一共走了多少天？同学们，你们知道该怎么算吗？作业1.阿呆有20个西瓜，阿瓜有48个西瓜，（1）阿瓜给阿呆多少个西瓜后，阿瓜和阿呆的西瓜数相等？（2）阿呆给阿瓜多少个西瓜后，阿瓜比阿呆多32个？2.一开始阿呆比阿瓜多87个西瓜，要让阿呆比阿瓜多3个西瓜，需要阿呆给阿瓜多少个西瓜？3.小高给萱萱28个苹果后，（1）小高和萱萱一样多，问之前谁多？多几个？（2）小高比萱萱多10个，问之前谁多？多几个？4.用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？5.师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装3个与大徒弟组装2个所用的时间相同，而大徒弟组装39个与小徒弟组装1个所用的时间相同．请问：小徒弟组装4个的时间三个人一共能装几个零件？1011第三讲 移多补少与等量代换1. 例题1答案：（1）6个；（2）3个；（3）2个；（4）4个详解：（1）观察出来第一行比第二行多6个；（2）第一行比第二行多6个，给1差2，则给623÷=个即可；（3）开始时第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行多2个，则差4个，给1差2，则给422÷=个即可；（4）开始时第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行少2个，则差8个，给1差2，则给824÷=个即可．2. 例题2答案：（1）墨莫，多6块；（2）5块；（3）小高给墨莫，7块详解：（1）墨莫多，多82106⨯-=块；（2）5块，1025÷=块；（3）小高给墨莫，给()10427+÷=块．3. 例题3答案：（1）5次；（2）7次详解：（1）卡莉娅比萱萱多30张，卡莉娅给萱萱30215÷=张两人卡片才能一样多，而每次卡莉娅给萱萱3张，则需要1535÷=次；（2）卡莉娅比萱萱多30张，后来萱萱比卡莉娅多12张，则需要卡莉娅给萱萱()3012221+÷=张，而每次卡莉娅给萱萱3张，则需要2137÷=次．4. 例题4答案：（1）10只；（2）48只；（3）28只详解：（1）4狗=8猫，则1狗=2猫，则5狗=10猫；（2）2狗=4猫，则12狗=24猫，因为1猫=2鸭，则24猫=48鸭，则12狗=48鸭；（3）因为3狗=4兔，则12狗=16兔，那么变为20兔，5兔=7鸡，则20兔=28鸡． 5. 例题5答案：5只详解：1兔+1猴=8鸡，3兔=9鸡，则1兔=3鸡，那么3鸡+1猴=8鸡，所以1猴=5鸡． 6. 例题6答案：20千克详解：①3大+2小=32，②4大+3小=44，算式相减②-①得到：③1大+1小=12，现在①-③，则2大+1小=20．7. 练习1答案：阿瓜；多2个简答：开始阿呆比阿瓜多10个，后来阿呆给阿瓜6个，这时阿瓜比阿呆多，多62102⨯-=个． 8. 练习2答案：4块简答：()11324-÷=块．9. 练习3答案：3次简答：红盒比蓝盒多30粒，红盒给蓝盒30215÷=粒两者才一样多，而每次红盒给蓝盒5粒，÷=次．则需要155310.练习4答案：28头简答：7象=10长，则40长=28象．11.作业1答案：（1）14个；（2）2个简答：（1）阿瓜给阿呆：()-÷=．4820214÷=（2）现在阿瓜比阿呆多28个，要多32个，相当于多了4个，则必须阿呆给阿瓜：422个．12.作业2答案：42个简答：()873242-÷=．13.作业3答案：（1）小高多，多56个；（2）小高多，多66个简答：（1）28256⨯+=个．⨯=个．（2）282106614.作业4答案：30个简答：3鹅蛋=9鸡蛋，化简为1鹅蛋=3鸡蛋，2鸡蛋换4鸽子蛋化简为1鸡蛋=2鸽子蛋，3鸡蛋=6鸽子蛋，代换掉鸡蛋，变为1鹅蛋=6鸽子蛋，则5鹅蛋=30鸽子蛋．15.作业5答案：34个简答：小徒弟组装4个的时间，大徒弟能装12个，师傅能装18个．三人一共34个．12。

第三讲基本直线形面积公式在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形. 在日常生活中，我们最常 见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形.在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类. 我们已经学 过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积.i?T 我要一块.太大 了不好拿，这样韭— 你把这块布沿着长和记. 宽各对折—次吧，罗口日 方便・*这样尊猖方便了吧?S我们这里\ r 的布都是长4米 宽2米的长方形J] 米10元® .谢谢！长2米门、 '畀宽味-共20元一 VM1.正方形和长方形的面积[|正方形的面积边长边长|| [[长方形的面积长宽正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图:例题1如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、萬笋和苦瓜.其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种萬笋的面积是72 平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形.请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的M 2.平行四边形的面积如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色 标出来.为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图.这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同， 都等于长方形的长乘以 宽.长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段. 在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高.于是我们有：|平行四边形面积止垃J]女口图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的， 都等于上下两条平行线间的距离.面积是多少?底当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图所示.同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离.要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高.大家看看F面的几个图形，试着画出与底边相对应的高.例题2下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的, 请求出阴影平行四边形的面积.「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习2如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形.如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米.那么阴影平行四边形的面积是多少？EDA4M 3.三角形的面积三角形中也有相对应的底和高.过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底.每个三角形有三组对应的底和高.要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度.观察下图，我们把一个三角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形.平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等.而平行四边形的面积等于“底高”正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式:[[三角形面积底高从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.由于三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易.因此要想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高..下面是一个简单的作图练习，大家不妨画一画.例题3如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米.请问：阴影三角形的面积是多少？「分析」阴影部分是三角形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习影三角形的面积.M 4.梯形的面积三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有•在梯形中，平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高.从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍.同时平行四边形的底由梯形的上底和下底拼接而成，咼与梯形的咼相等.所以：4和6的正方形拼成的，请求出阴|梯形的面积上底下底高I例题4 8一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、高分别是多少.练习4如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是厘米.请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？例题如下图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？例题6如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米.请问：阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分由两个三角形组成，你能分别求出这两个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？11 10小欧拉与大羊圈欧拉是著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就.不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生.小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝镶上去的•小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考•小欧拉没有与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家.回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童•他一面放羊，一面读书•他读的书中，有不少数学书•爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只•原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈•他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米•正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用•若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米.父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米.小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划. 他有办法•父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他•小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了. 父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样简单的事情？” 但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美•父亲终于同意让儿子试试看.小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁•他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米.父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了.”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米•经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形.然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了. ”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光•面积也足够了，而且还稍稍大了一些•父亲心里感到非常高兴•孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息.父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了•后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利. 通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生.这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生.作业2.如图，大正方形被分成三块区域.请问：大正方形的面积是多少？463.下图中，大正方形的面积是64,小正方形的面积是36.求平行四边形的面积.下面两幅图都是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，求两个阴影三角形的面积.左上角的正方形面积为4,右上角的长方形面积为6，4.5.如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边长是米.请问阴影梯形的面积是多少平方厘米？9厘米，大正方形的边长是13厘1.在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以AB为底的高.第三讲基本直线形面积公式1. 例题1答案：8 平方米详解：方法一：正方形的面积是16 平方米，所以正方形的边长是 4 米，黄瓜的面积是28 平方米，黄瓜的宽是4 米，长就是28 4 7 米.豆角的面积是32平方米，豆角的宽是4 米，所以长是32 4 8 米，莴笋的宽是8 米，面积是72 平方米，所以长是72 8 9 米.所以苦瓜的宽是9 7 2 米，长是4 米，所以苦瓜的面积是2 4 8 平方米；方法二：豆角是茄子面积的 2 倍，所以莴笋是黄瓜和苦瓜面积和的 2 倍，黄瓜和苦瓜的面积是72 2 36平方米，所以苦瓜的面积是36 28 8 平方米.2. 例题2答案：28详解：阴影平行四边形的底BC 是4，高FG 是7，所以平行四边形的面积是 4 7 28 .3. 例题3答案：42 平方厘米详解：阴影三角形的底是6厘米，高是 6 8 14厘米，所以阴影三角形的面积是 6 14 2 42平方厘米.4. 例题4答案：30 平方厘米详解：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是正方形上面的边，正方形的面积是49 平方厘米，所以正方形的边长是7 厘米，梯形的下底是长方形的宽即8 厘米，梯形的高即长方形长与正方形边长之差，为117 4 厘米，所以梯形的面积是7 8 4 2 30 平方厘米.5. 例题5答案：91 平方厘米详解：由于两个大小一样的正方形错开了 3 厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3 厘米，所以阴影平行四边形的底就是10 3 7 厘米，高就是10 3 13厘米，所以其面积是7 13 91 平方厘米.6. 例题6答案：12 平方厘米详解：小正方形的边长是 5 厘米，大正方形的边长是7 厘米.阴影部分是由两个三角形组成的，这两个三角形的底都是7 5 2 厘米，左面三角形的高是 5 厘米，右面三角形的高是7 厘米，所以面积分别是 2 5 2 5 平方厘米， 2 7 2 7 平方厘米，所以阴影部分的面积是 5 7 12 平方厘米.7. 练习1答案：12 平方米详解：西瓜地是正方形，面积为 36平方米，所以边长为 6米；冬瓜地面积为24平方米，长为618平方米，长为6米，所以宽为18 6 3米；黄瓜 地长为4米，宽为3米，所以面积为4 3 12平方米.8. 练习2答案：96平方厘米详解：阴影平行四边形的底是小正方形边长即8厘米，高是两正方形边长之差，即 20 8 12厘 米，所以平行四边形的面积是 8 12 96平方厘米.9. 练习3答案：30简答：阴影三角形的底是6,高是6 4 10，所以阴影三角形的面积是 6 10 2 30 .10. 练习4答案：14平方厘米简答：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即6厘米；梯形的下底是大 正方形的边长即8厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为8 6 2厘米，所以梯形的面积是6 8 2 2 14平方厘米. 11. 作业1答案：如图所示简答：12. 作业2答案：2513. 作业3答案：48简答：小正方形的边长为 6,大正方形的边长为 8,平行四边形的面积是 6 8 48 .14. 作业4答案：24； 18简答：左图阴影三角形的底选为6,高为8,面积是6 8 2 24 •右图阴影三角形的底选为 6,高为6，面积是6 6 2 18 .米，所以宽为24 6 4米；南瓜地面积为简答：小正方形的边长为2，小长方形的长为 3,那么大正方形的边长为 5,面积为5 5 25 . A15. 作业5 答案：242 平方厘米简答：梯形的上底为小正方形的边长，即9 厘米.梯形的下底为大正方形的边长，即13厘米.梯形的高为大、小正方形边长和为22厘米.梯形的面积为(9 13) 22 2 242 平方厘米.6.。

第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的．一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”．那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子．例1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口．如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？例2．用10个13⨯的长方形纸片覆盖一个103「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样的情形入手呢？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？练习2、用7个12⨯的长方形纸片覆盖一个72例3．在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可．但现在有100条，画图数并不现实．我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量．．有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分？下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题．例4．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试．设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A 、B 、C 、D ．如下图，最开始时，球在A 手上，第一次传球由A 传给B 、C 、D ，也就是第一层有三个字母就够了．然后B 、C 、D 都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母．再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到836561 个字母，这要多大的一个树形图啊！可见画树形图的方案不可行．但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此．它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系．事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量．因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数．如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数．请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行．然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系？BC DACDABDABCAB C D A B D A B C B C D A C D A B C B C D A C D A B D练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法”．“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法．例5．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部．简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式．下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题．例6．圆周上有10个点A1、A2、L、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举．像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手．那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针．印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面．僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽．不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序．这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法．假设有n 片，移动次数是()f n ．显然(1)1f =，(2)3f =，(3)7f =，且(1)2()1f k f k +=+．此后不难证明()21n f n =-．64n =时，64(64)2118446744073709551615f =-=．假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855年．这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年．真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭．课 堂 内 外作业1. 有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2. 甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取．每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止．那么共有多少种抓取石子的方案？3. 用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2．这样的七位数有多少个？5. 用8个的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？12第五讲 进位制问题例题：例7． 答案：（1）31023、3735、11B9、7DD ；（2）257；（3）1742详解： （1）（2）32025051525257⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）3202120121122121742⨯+⨯+⨯+⨯=．例8．答案：（1）5；（2）13121、731 详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换；二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换．例9．答案：15031 详解：列竖式计算．例10． 答案：212．a =5、b =5、c =2例11． 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量1克到1023克的所有重量，此时需要10个砝码．例12． 答案：12...... 3 ...... 2 ...... 1 0 (3)...... 2 ...... 3 (7) (3)…… 9 ……12 (1) (1)...... 13 ...... 13 (7)详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989．练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248．a =5、b =0、c =3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C 30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1，再根据进位制展开解方程得出b 、c 均为0，所以原数十进制是100．4. 答案：22简答：由题意有，其中a 、b 、c 均小于3，则有，化简得，符合条件的a 、b 、c 为2、1、1，化成十进制是22．5. 答案：24简答：由题意有，其中a 、b 均要大于7，则有，符合条件的最小的a 、b 为15、9，和是24．4774a b +=+ ()()4774a b = 815a b c =+ 93164a b c c b a ++=++ ()()34abc cba =。

第三讲年龄问题初步前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．不对，…再过一年我就和你一样大啦！不对，再过一年我就比你大两岁啦！萱萱小高萱萱小高“年龄问题”是我们以后会学到的“和差倍问题”的基础．本讲我们将初步接触年龄问题．年龄问题当然是讲年龄了．今年呆呆7岁，瓜瓜8岁．10年后，呆呆17岁，瓜瓜18岁．他们的年龄都变了10岁，那什么没有变呢？例题1弟弟今年8岁，姐姐13岁，10年后，姐姐比弟弟大几岁？【提示】对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，那么他们的年龄差变了吗？练习1皮皮今年7岁，爸爸比他大30岁，3年前，皮皮比爸爸小几岁？“年龄问题”的特点之一是“年龄差”不变．想一想，对不对？我们可以利用“年龄差”不变这个特点解决很多问题．例题2小林今年10岁，他比爸爸小25岁．5年前，爸爸是多少岁？【提示】根据年龄差不变，可先计算出5年前小林的年龄，再计算出爸爸5年前的年龄；或根据小林今年的年龄计算出爸爸今年的年龄，再计算爸爸5年前的年龄．练习2佳佳今年12岁，她比张阿姨小20岁．5年后，张阿姨是多少岁？不是所有的问题都会用到“年龄差”不变，我们要灵活应用！例题3（1）灵灵今年6岁，4年后，灵灵的年龄和晶晶今年的岁数相同．晶晶今年几岁？（2）姐姐今年是12岁，姐姐3年前的年龄与妹妹2年后的年龄相等，问妹妹今年多少岁？【提示】先找出两人之间的年龄差！练习3朵朵今年是6岁，朵朵5年后的年龄与阳阳4年前的年龄相等，问阳阳今年多少岁？“年龄问题”第二个特点是“年龄和”．一个人每过一年长一岁，过两年长两岁．两个人每过一年，“年龄和”大2，过两年大4．三个人呢，四个人呢？有没有发现什么规律？例题4（1）妹妹今年9岁，4年后妹妹和姐姐的年龄和是30岁，姐姐今年多少岁？（2）小杰今年4岁，爸爸今年32岁．当两人年龄的和是50岁时，小杰和爸爸各是几岁？【提示】两人年龄和，随着时间的推移，同增同减相等的量．练习4妈妈今年30岁，女儿今年2岁，多少年以后母女俩的年龄之和是60岁？例题5奶奶今年56岁，妈妈今年32岁，壮壮今年6岁，再过多少年，他们三个人的年龄和是100岁？【提示】他们三个人今年的年龄和是多少岁？例题6爷爷今年70岁，他有三个孙子，大孙子20岁，二孙子15岁，三孙子才5岁．再过多少年后，三个孙子年龄的和同爷爷那时的年龄相等？【提示】每过一年，三个孙子年龄的和增加几岁？爷爷增加几岁？课堂内外年龄的那些事古人对高寿人常给以美称，如花甲、古稀等等．但如果年龄未到整数，比如七十七岁，八十八岁，九十九岁，怎么称呼呢？有人把七十七岁称为‘喜寿’，八十八岁称为‘米寿’，九十九岁称为‘白寿’．原来这是三个字谜．喜字，草写，是由七十七三个字组成；米字是由八十八三个字组成；白字是百字缺一，正好九十九！三十而立，四十而不惑，五十知天命，六十花甲，七十古稀．未满周岁的儿童――襁褓；2－3岁――孩提；童年——总角，垂髫；8岁（男）——龆年；10岁以下――黄口；10岁（女）——髻年；12岁（女）――金钗之年；13—14岁（女）――豆蔻年华；13—15岁——舞勺之年；15岁（女）——及笄之年；15岁（男）――志学之年，束发；16岁（女）――碧玉年华；15—20岁——舞象之年；20岁（男）――弱冠；20岁（女）――桃李年华；24岁（女）――花蓓（信）年华；出嫁——标梅之年；30岁（女）――半老徐娘；30岁（男）――而立之年；40岁（男）――不惑之年；50岁――知命之年、半百；60岁――花甲，平头之年、耳顺之年，杖乡之年；70岁――古稀、杖国之年；77岁——喜寿；80岁――杖朝之年；88岁——米寿；80－90岁――耄耋之年；90岁――鲐（台，骀）背之年；99岁——白寿；100岁――期頣，人瑞；108岁——茶寿．作业1.妞妞今年10岁，妈妈今年36岁，7年后，妈妈比妞妞大几岁？2.平平今年9岁，他比叔叔小21岁．6年前，叔叔是多少岁？3.小贝今年25岁，5年前，小贝和弟弟的年龄和是30岁，弟弟今年几岁？4.果果今年8岁，弟弟今年6岁，几年以后，他们的年龄之和是28岁？5.大雄今年7岁，爸爸今年38岁，妈妈今年35岁．再过几年，他们三个人的年龄和是89岁？第三讲 年龄问题初步1. 例题1答案：5详解：方法一：今年姐姐比弟弟大1385-=（岁），根据年龄差不变，所以10年后，姐姐比弟弟还是大5岁；方法二：10年后，姐姐131023+=（岁），弟弟81018+=（岁），姐姐比弟弟大23185-=（岁）．2. 例题2答案：30详解：方法一：根据题意可以知道今年爸爸是102535+=（岁），那么5年前，爸爸是35530-=（岁）．方法二：根据题意知道5年前小林是1055-=（岁），再由年龄差不变，所以5年前爸爸是52530+=（岁）．3. 例题3答案：（1）10；（2）7详解：（1）方法一：根据题意可以知道4年后灵灵是6410+=（岁），并且4年后，灵灵的年龄和晶晶今年的岁数相同，那么晶晶今年就是10岁．方法二：因为4年后，灵灵的年龄和晶晶今年的岁数相同，所以灵灵和晶晶的年龄差是4岁，并且是晶晶比灵灵大4岁，所以晶晶今年是6410+=（岁）．（2）方法一：根据题意可以知道姐姐3年前是1239-=（岁），并且姐姐3年前的年龄与妹妹2年后的年龄相等，那么妹妹今年就是927-=（岁）．方法二：因为姐姐3年前的年龄与妹妹2年后的年龄相等，所以姐姐和妹妹的年龄差是325+=（岁），并且是姐姐比妹妹大5岁，所以妹妹今年是1257-=（岁）．4. 例题4答案：（1）13；（2）39详解：（1）方法一：根据题意可以知道4年后妹妹是9413+=（岁），那么4年后姐姐的年龄是301317-=（岁），姐姐今年就是17413-=（岁）．方法二：因为4年后妹妹和姐姐的年龄和是30岁，所以今年妹妹和姐姐的年龄和是304222-⨯=（岁），那么姐姐今年是22913-=（岁）．（2）小杰和爸爸今年年龄和是43236+=（岁），当两人年龄的和是50岁时，是过了(5036)27-÷=（年），那么7年后，小杰是4711+=（岁），爸爸是32739+=（岁）．5. 例题5答案：2详解：今年三人的年龄和是5632694++=（岁），那么再过(10094)32-÷=（年），三人的年龄和是100岁．6. 例题6答案：15详解：今年三个孙子的年龄和是2015540++=（岁），那么今年爷爷比三个孙子的年龄大704030-=（岁），因为爷孙四人年龄同时增加，所以再过30(31)15÷-=（年）后，三个孙子年龄的和同爷爷那时的年龄相等．7. 练习1答案：30简答：根据年龄差不变，今年爸爸比他大30岁， 3年前，皮皮比爸爸还是小30岁．8. 练习2答案：37简答：方法一：根据题意可以知道今年张阿姨是122032+=（岁），那么5年后，张阿姨是32537+=（岁）． 方法二：根据题意知道5年后小林是12517+=（岁），再由年龄差不变，所以5年后张阿姨是172037+=（岁）．9. 练习3答案：15简答：方法一：根据题意可以知道5年后朵朵是6511+=（岁），并且与阳阳4年前的年龄相等，那么阳阳今年就是11415+=（岁）．方法二：因为朵朵5年后的年龄与阳阳4年前的年龄相等，所以朵朵和阳阳的年龄差是459+=（岁），并且是阳阳比朵朵大9岁，所以阳阳今年是6915+=（岁）．10. 练习4答案：14简答：母女俩今年年龄和是30232+=（岁），当两人年龄的和是60岁时，是过了(6032)214-÷=（年）．11. 作业1答案：26简答：根据年龄差不变，今年妈妈比妞妞大361026-=（岁），7年后，妈妈比妞妞还是大26岁．12. 作业2答案：24简答：方法一：根据题意可以知道今年叔叔是92130+=（岁），那么6年前，叔叔是30624-=（岁）． 方法二：根据题意知道6年前平平是963-=（岁），再由年龄差不变，所以6年前叔叔是32124+=（岁）．13. 作业3答案：15简答：方法一：根据题意可以知道5年前小贝是25520-=（岁），那么弟弟今年就是20515-=（岁）．方法二：因为小贝5年前的年龄和弟弟5年后的年龄相等，所以小贝和弟弟的年龄差是5510+=（岁），并且是小贝比弟弟大10岁，所以弟弟今年是251015-=（岁）．14. 作业4答案：7简答：今年果果和弟弟的年龄和是8614+=（岁），281414-=（岁），因为两人年龄同增同减，所以是在1427÷=（年）后，他们的年龄和是28岁．15. 作业5答案：3简答：首先知道大雄、爸爸和妈妈三人今年的年龄和是7383580++=（岁），当三人年龄和是89岁，三人年龄和共增加了89809-=（岁）；然后根据年龄同增同减，应是再过933÷=（年），三人年龄和才是89岁．6.。

第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的.一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”.那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子.例1.老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇•如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口.如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶•走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系. 可具体从什么样的情形入手呢？练习2、用7个1 2的长方形纸片覆盖一个7 2的方格表，共有多少种覆盖方法？例3.在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可.但现在有100条，画图数并不现实.我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分?下面我们来学习一类很经典的递推计数问题------ 传球问题.例4.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个. 先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中•请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试.设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A、B、C、D .如下图，最开始时，球在A手上，第一次传球由A传给B、C、D，也就是第一层有三个字母就够了•然后B、C、D都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母•再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到38 6 561个字母，这要多大的一个树形图啊！BCD A B D A B C BCD A C D ABC BCD A C D A B D可见画树形图的方案不可行. 但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此. 它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系. 事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量一一树形图每一层分支的数量. 因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数.如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数. 请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行. 然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系?练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个. 先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中.请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法” •“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法.例5. 一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1,这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部.简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式. 下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题.例6.圆周上有10个点A1、A2、L、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举. 像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手.那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？课堂内外神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针. 印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔•不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序•这需要多少次移动呢？这里需要递归的方法•假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1) 1 , f(2) 3, f(3) 7，且f(k 1) 2f(k) 1 .此后不难证明f(n) 2n 1 . n 64 时，f (64) 264 1 18446744073709551615 .假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400 秒，平均每年31556952 秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855 年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年•真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.作业1. 有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2. 甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取•每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止•那么共有多少种抓取石子的方案？3. 用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2 .这样的七位数有多少个？5. 用8个1 2的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？第五讲进位制问题例题:例7.答案：(1) 31023、3735、11B9、7DD ; (2) 257; ( 3) 1742详解： (1)(2) 2 53 0 52 1 5 232(3) 2 12 0 121 12例& 答案：(1) 5； (2) 13121、731详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换； 二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换.例9.答案：15031详解：列竖式计算.例 10. 答案：212. a=5、b=5、c=2例11 . 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量 1克到1023克的所 有重量，此时需要10个砝码.例12 . 答案：1250 257 ;2 1201742 .详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989.练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248. a=5、b=0、c=3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1 ，再根据进位制展开解方程得出b、c 均为0，所以原数十进制是100.4. 答案：22 简答：由题意有abc 3 cba 4 ，其中a、b、c 均小于3，则有9a 3b c 16c 4b a ，化简得8a b 15c，符合条件的a、b、c为2、1、1,化成十进制是22.5. 答案：24简答：由题意有47 a 74 b ,其中a、b 均要大于7,则有4a 77b 4 ,符合条件的最小的a、b为15、9,和是24.。

第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的．一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”．那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子．例1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口．如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？例2．用10个13⨯的长方形纸片覆盖一个103「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样的情形入手呢？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？练习2、用7个12⨯的长方形纸片覆盖一个72例3．在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可．但现在有100条，画图数并不现实．我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量．．有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分？下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题．例4．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试．设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A 、B 、C 、D ．如下图，最开始时，球在A 手上，第一次传球由A 传给B 、C 、D ，也就是第一层有三个字母就够了．然后B 、C 、D 都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母．再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到836561 个字母，这要多大的一个树形图啊！可见画树形图的方案不可行．但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此．它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系．事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量．因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数．如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数．请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行．然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系？BC DACDABDABCAB C D A B D A B C B C D A C D A B C B C D A C D A B D练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法”．“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法．例5．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部．简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式．下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题．例6．圆周上有10个点A1、A2、L、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举．像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手．那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针．印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面．僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽．不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序．这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法．假设有n 片，移动次数是()f n ．显然(1)1f =，(2)3f =，(3)7f =，且(1)2()1f k f k +=+．此后不难证明()21n f n =-．64n =时，64(64)2118446744073709551615f =-=．假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855年．这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年．真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭．课 堂 内 外作业1. 有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2. 甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取．每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止．那么共有多少种抓取石子的方案？3. 用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2．这样的七位数有多少个？5. 用8个的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？12第五讲 进位制问题例题：例7． 答案：（1）31023、3735、11B9、7DD ；（2）257；（3）1742详解： （1）（2）32025051525257⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）3202120121122121742⨯+⨯+⨯+⨯=．例8．答案：（1）5；（2）13121、731 详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换；二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换．例9．答案：15031 详解：列竖式计算．例10． 答案：212．a =5、b =5、c =2例11． 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量1克到1023克的所有重量，此时需要10个砝码．例12． 答案：12...... 3 ...... 2 ...... 1 0 (3)...... 2 ...... 3 (7) (3)…… 9 ……12 (1) (1)...... 13 ...... 13 (7)详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989．练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248．a =5、b =0、c =3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C 30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1，再根据进位制展开解方程得出b 、c 均为0，所以原数十进制是100．4. 答案：22简答：由题意有，其中a 、b 、c 均小于3，则有，化简得，符合条件的a 、b 、c 为2、1、1，化成十进制是22．5. 答案：24简答：由题意有，其中a 、b 均要大于7，则有，符合条件的最小的a 、b 为15、9，和是24．4774a b +=+ ()()4774a b = 815a b c =+ 93164a b c c b a ++=++ ()()34abc cba =。

第三讲移多补少与等量代换做移多补少的题目，最好的办法就是借助于画线段图，画图能给人一种直观的感觉，6帮助我们理清数量关系．例题1（1）第一行比第二行多________个．（2）第一行给第二行________个才能使第一行与第二行一样多．（3）第一行给第二行________个才能使第一行比第二行多 2 个．（4）第一行给第二行________个才能使第二行比第一行多 2 个．分析：动手试试，移动下，弄清开始时第一行比第二行多几个？练习1阿呆和阿瓜分糖果，开始时阿呆有14 个，阿瓜有 4 个．后来阿呆给了阿瓜 6 个，这时谁的糖果多？多几个？例题2小高和墨莫分别有一些巧克力，小高比墨莫多10 块．（1）小高给墨莫8 个，这时谁的巧克力多？多几块？（2）小高给墨莫多少块才能使两人的巧克力一样多？（3）要让墨莫的巧克力比小高多 4 块，需要谁给谁巧克力？给几块？分析：可以画出增减示意图表示下给的过程？练习2一开始田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要让爸爸比妈妈多 3 块宝石，需要爸爸给妈妈多少块宝石？例题3开始时卡莉娅比萱萱多30 张高思杀卡片．每次卡莉娅给萱萱 3 张．（1）给几次才能使两人的卡片一样多？（2）给几次才能使萱萱比卡莉娅多12 张？分析：能不能先算清楚一共给多少张才能使两人的卡片一样多？或者萱萱比卡莉娅多12 张？7练习3刘老师有两盒糖果，红盒比蓝盒多30 粒糖，每次从红盒取 5 粒糖放到蓝盒，取几次后两盒糖的粒数就同样多？之前例题中的移多补少基本上要借助于画图，画图是表示数量关系非常直观的方法．除了画图之外，用简洁的语言来表示数量关系也十分重要．下面我们来看看等量代换的相关题目，同学们要用简洁的语言来表示数量关系．等量代换的思想是解决应用题时的常用技巧之一，在使用等量代换时，一般从问题开始分析．例题4体重大比拼：（1）4 只小狗=8 只小猫，那么 5 只小狗等于多少只小猫的体重？（2）2 只小狗=4 只小猫，1 只小猫=2 只鸭子，那么12 只小狗等于多少只鸭子的体重？（3）3 只小狗=4 只小兔，5 只小兔=7 只小鸡，那么12 只小狗加 4 只小兔等于多少只小鸡的体重？分析：第（1）、（2）问中利用等量代换中的倍数关系，找清楚 1 只小狗等于几只小猫？第（3）问中能否将12只小狗加 4 只小兔变为全是小兔？7 头大象和10 头长颈鹿重量相等，那么40头长颈鹿和多少头大象重量相等？练习4例题51 只兔子的重量加上 1 只猴子的重量等于8 只鸡的重量，3 只兔子的重量等于9 只鸡的重量，那么 1 只猴子的重量等于多少只鸡的重量？分析：1 只兔子等于几只鸡的重量呢？再分析出猴子与鸡的重量关系？例题6已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同． 3 只大鸭子和 2 只小鸭子共重32 千克，4 只大鸭子和 3 只小鸭子共重44 千克，请问 2 只大鸭子和 1 只小鸭子共重多少8千克？分析：能否将题目中的条件列出来？通过倍数关系将题目中都变为大鸭子或者小鸭子？求出大小鸭子各几千克？课堂内外三藏取经三藏西天去取经，一去十万八千程．每日常行七十五，问公几日得回程．这是明朝数学家程大位编写的趣题，收录在他的数学名著《算法统宗》里．诗中的三藏指的是唐朝高僧玄奘．因为他被人们认为是唐朝第一高僧，所以又被称为“唐僧”．他受唐太宗李世民派遣，到印度钻研佛教典籍，译出经、论七十五部，一千三百三十五卷，促进了中印文化的交流．《西游记》里的唐僧便是以这位高僧为原型的．本题的意思是说：唐僧去西天取经，一共走了十万八千里．已知他每天走七十五里，问一共走了多少天？同学们，你们知道该怎么算吗？作业1. 阿呆有20 个西瓜，阿瓜有48 个西瓜，（1）阿瓜给阿呆多少个西瓜后，阿瓜和阿呆的西瓜数相等？（2）阿呆给阿瓜多少个西瓜后，阿瓜比阿呆多32 个？2. 一开始阿呆比阿瓜多87 个西瓜，要让阿呆比阿瓜多 3 个西瓜，需要阿呆给阿瓜多少个西瓜？3. 小高给萱萱28 个苹果后，（1）小高和萱萱一样多，问之前谁多？多几个？（2）小高比萱萱多10 个，问之前谁多？多几个？4. 用3 个鹅蛋可换9 个鸡蛋，2 个鸡蛋可换 4 个鸽子蛋，用 5 个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？5. 师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装 3 个与大徒弟组装 2 个所用的时间相同，而大徒弟组装 39个与小徒弟组装 1 个所用的时间相同．请问：小徒弟组装 4 个的时间三个人一共能装几个零件？10第三讲移多补少与等量代换1. 例题1答案：（1）6 个；（2）3 个；（3）2 个；（4）4 个详解：（1）观察出来第一行比第二行多 6 个；（2）第一行比第二行多 6 个，给 1 差2，则给6 2 3个即可；（3）开始时第一行比第二行多 6 个，后来第一行比第二行多 2 个，则差 4 个，给 1 差2，则给 4 2 2个即可；（4）开始时第一行比第二行多 6 个，后来第一行比第二行少 2 个，则差8 个，给 1 差2，则给8 2 4个即可．2. 例题2答案：（1）墨莫，多 6 块；（2）5 块；（3）小高给墨莫，7 块详解：（1）墨莫多，多8 2 10 6块；（2）5 块，10 2 5 块；（3）小高给墨莫，给10 4 2 7 块．3. 例题3答案：（1）5 次；（2）7 次详解：（1）卡莉娅比萱萱多30 张，卡莉娅给萱萱30 2 15张两人卡片才能一样多，而每次卡莉娅给萱萱 3 张，则需要15 3 5次；（2）卡莉娅比萱萱多30 张，后来萱萱比卡莉娅多12 张，则需要卡莉娅给萱萱30 12 2 21张，而每次卡莉娅给萱萱 3 张，则需要21 3 7次．4. 例题4答案：（1）10 只；（2）48 只；（3）28 只详解：（1）4 狗=8 猫，则 1 狗=2 猫，则 5 狗=10 猫；（2）2 狗=4 猫，则12 狗=24 猫，因为 1 猫=2 鸭，则24 猫=48 鸭，则12 狗=48 鸭；（3）因为 3 狗=4 兔，则12 狗=16 兔，那么变为20 兔，5 兔=7 鸡，则20 兔=28 鸡．5. 例题5答案：5 只详解：1 兔+1 猴=8 鸡，3 兔=9 鸡，则 1 兔=3 鸡，那么 3 鸡+1 猴=8 鸡，所以 1 猴=5 鸡．6. 例题6答案：20 千克详解：① 3 大+2 小=32，②4 大+3 小=44，算式相减②-①得到：③ 1 大+1 小=12，现在①-③，则2 大+1 小=20．7. 练习1答案：阿瓜；多 2 个简答：开始阿呆比阿瓜多10 个，后来阿呆给阿瓜 6 个，这时阿瓜比阿呆多，多6 2 10 2个．8. 练习2答案：4 块简答：11 3 2 4 块．9. 练习3答案：3 次简答：红盒比蓝盒多30 粒，红盒给蓝盒30 2 15粒两者才一样多，而每次红盒给蓝盒 5 粒，11则需要15 5 3次．10. 练习4答案：28 头简答：7 象=10 长，则40 长=28 象．11. 作业1答案：（1）14 个；（2）2 个简答：（1）阿瓜给阿呆：48 20 2 14 ．（2）现在阿瓜比阿呆多28 个，要多32 个，相当于多了 4 个，则必须阿呆给阿瓜： 4 2 2 个．12. 作业2答案：42 个简答：87 3 2 42 ．13. 作业3答案：（1）小高多，多56 个；（2）小高多，多66 个简答：（1）28 2 56 个．（2）28 2 10 66 个．14. 作业4答案：30 个简答：3 鹅蛋=9 鸡蛋，化简为 1 鹅蛋=3 鸡蛋，2 鸡蛋换 4 鸽子蛋化简为 1 鸡蛋=2 鸽子蛋， 3鸡蛋=6 鸽子蛋，代换掉鸡蛋，变为 1 鹅蛋=6 鸽子蛋，则 5 鹅蛋=30 鸽子蛋．15. 作业5答案：34 个简答：小徒弟组装 4 个的时间，大徒弟能装12 个，师傅能装18 个．三人一共34 个．12。