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当 0<x<8 时,S'<0;当 8<x<16 时,S'>0.所以当 x=8 时,面积和 S 取极 小值,也是最小值,故最小值为 8. 【答案】D
3.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函 数关系式为 y=-3x +81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量 为 万件.
议一议:解决生活中的优化问题应当注意什么? (指定小组回答,其他组补充)
【解析】确定函数关系中自变量的定义区间,一定要考虑实际问题 的意义,不符合实际问题的值应舍去.
1.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m) 关于时间 t(单位:s)的函数为 s=s(t)=5-17t+9t2,求当 t=1 s 时,梯子上 端下滑的速度为( ).
(1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度 有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? (2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3240(-x +2x+3),则当 x 为何值时, 本年度的年利润最大?最大利润是多少?
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【方法指导】根据题意,建立目标函数关系式,再利用求导数的方法 讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的 x 值. 【解析】(1)由题意得上年度的利润为(13-10)×5000=15000 万元. 本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x),每辆车的出厂价为 13× (1+0.7x),年销售量为 5000×(1+0.4x), 因此本年度的年利润为 f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000× 2 (1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)=-1800x +1500x+15000(0<x<1). 由-1800x +1500x+15000>15000,得 0<x<6, 故当 0<x<6时,本年度的年利润比上年度有所增加.
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【解析】y'=-x2+81, 令 y'=0,得 x=9 或 x=-9(舍去). 当 0<x<9 时,y'>0,函数 f(x)单调递增; 当 x>9 时,y'<0,函数 f(x)单调递减. 故当 x=9 时,y 取最大值. 【答案】9
4.一边长为 48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为 x cm 的小 正方形,做成一个无盖方盒.求 x 多大时,方盒容积最大?
预学 3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型, 写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f'(x),解方程 f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大(小)者为 最大(小)值.
【解析】 设两段长分别为 x,16-x,则两个正方形的边长分别为4 ,
������ 2 16 -������ 2 ������ 2 -16x+128 其面积和为 S=( ) +( )= ,0<x<16. 4 4 8 2������ -16 ������ -8 令 S'= 8 = 4 =0,得 x=8.
重点:把实际问题转化为数学问题,用导数方法解决数学问题. 难点:从实际问题中抽象出数学模型并建立数学模型. 学法指导:通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,初步体 会实际生活中的最优化,合作探究利用导数解决实际生活中的最优化问 题,掌握解决最优化问题中函数模型的建立的方法以及用导数知识求最 值的方法和技巧,提升自己解决实际问题的能力以及运用能力.
饮料瓶大小对饮料公司利润有何影响? 下图是某种品牌饮料的三种规格不同的产品,它们的价格如下表所 示: 规格(L) 2 价格(元) 5.1 1.25 4.5 0.6 2.5
(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种利润更大呢?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
预学 1:函数的最值的存在性及其求法 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的 曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数 y=f(x)的所 有极值,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最 小值.
练一练:函数 f(x)=x(1-x )在[0,1]上的最大值为 (指定小组回答,其他组补充)
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【解析】已知 f(x)=x-x ,则 f'(x)=1-3x ,令 f'(x)=0,得
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3 x= 3 或
x=- 3 (舍去),计算比较得最大值为 f( 3 )=
【答案】
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3
3
2 3 . 9
预学 2:生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问 题通常称为优化问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用 导数解决一些生活中的优化问题.
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探究 1:利润最大问题 【例 1】某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场 需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的 比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增 加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.
第 9 课时 生活中的优化问题举例
1.通过实际例子,体会导数在解决最优问题中的应用 2.通过分析实际问题,体会导数在研究实际问题中的作用 通过对导数知识的应用,培养学生把知识应用在解决实际问 能力目标 题中的应用能力 通过对导数公式和其他知识的综合,培养学生理论联系实际 素养目标 和综合能力的数学素养 知识目标
A.1 m/s
B.2 m/s
C. m/s
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D. m/s
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【解析】v=s'=18t-17, 当 t=1 s 时,v=1 m/s. 所以当 t=1 s 时,梯子上端下滑的速度为 1 m/s. 【答案】A
2.把长度为 16 的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积 的和的最小值为( ). A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】由已知得,方盒底面为正方形,且边长为(48-2x)cm,高为 x cm, 所以容积 V=(48-2x) x,0<x<24. 2 令 V'=12x -384x+2304=0,得 x=8 或 x=24(舍去). 当 0<x<8 时,V'>0,函数递增;当 8<x<24 时,V'<0,函数递减. 所以当 x=8 时,方盒容积最大.最大值为 V=(48-16)2×8=8192 cm3.
