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2017山东济南中考试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(2017济南，1，3分)在实数0，－2，5，3中，最大的是( ) A ．0B ．－2C ．5D ．32．(2017济南，2，3分)如图所示的几何体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．3．(2017济南，3，3分)2017年5月5日国产大型客机C 919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为( ) A ．×104B ．×104C ．×103D ．×1034．(2017济南，4，3分)如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，AC ⊥AB 交b 于点C ，∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°a b5．(2017济南，5，3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是( )A ．B ．C ．D ．6．(2017济南，6，3分)化简a 2＋ab a －b ÷aba －b 的结果是( )A ．a 2B ．a 2a －bC ．a －b bD ．a ＋b b7．(2017济南，7，3分)关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A ．－6B ．－3C ．3D ．68．(2017济南，8，3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．⎩⎨⎧y －8x ＝3y －7x ＝4B ．⎩⎨⎧y －8x ＝37x －y ＝4C ．⎩⎨⎧8x －y ＝3y －7x ＝4D ．⎩⎨⎧8x －y ＝37x －y ＝49．(2017济南，9，3分)如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．2310．(2017济南，10，3分)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是( ) A ．12cmB ．24cmC ．63cmD ．123cm11．(2017济南，11，3分)将一次函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞－1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．x ＞212．(2017济南，12，3分)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m ，则石坝的坡度为( ) A ．34B ．3C ．35D ．4出口出口13．(2017济南，13，3分)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O ，AB ＝32，E 为OC 上一点， OE ＝1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是( ) A ．3105B ．22C ．354D ．32214．(2017济南，14，3分)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点(－2，0)，(x 0，0)，1＜x 0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b ＞0；②2a ＜b ；③2a －b －1＜0；④2a ＋c ＜0．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．(2017济南，15，3分)如图，有一正方形广场ABCD ，图形中的线段均表示直行道路，EAAB⌒BD 表示一条以A 为圆心，以AB 为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A 处有一路灯，O 是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x (m)时，相应影子的长度为y (m)，根据他步行的路线得到y 与x 之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是( ) A ．A →B →E →G B ．A →E →D →CC ．A →E →B →FD ．A →B →D →C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．(2017济南，16，3分)分解因式：x 2－4x ＋4＝__________．17．(2017济南，17，3分)计算：│－2－4│＋(3)0＝________________．18．(2017济南，18，3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是_________________．19．(2017济南，19，3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为300πcm 2，∠BAC ＝120°，BD ＝2AD ，则BD 的长度为____________cm ．第15题图1第15题图2第15题图320．(2017济南，20，3分)如图，过点O 的直线AB 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，A (2，1)，直线BC ∥y 轴，与反比例函数y ＝－3kx (x ＜0)的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为_________________．21．(2017济南，21，3分)定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿综或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P (－1，1)，Q (2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A (3，1)，B (5，－3)，C (－1，－5)，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为______________．CDACCB DBCBC ABACD【答案】(x－2)2790208（1，－2）三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．(2017济南，22，7分)（1）先化简，再求值：(a＋3)2－(a＋2)(a＋3)，其中a＝3．【解】原式＝a 2＋6a ＋9－(a 2＋2a ＋3a ＋6) ＝ a 2＋6a ＋9－a 2－2a －3a －6) ＝a ＋3． 当a ＝3时， 原式＝3＋3＝6．（2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5≥2(x －2) ①x 2＞x －1 ②【解】由①，得x ≥1. 由②，得x ＜2.∴不等式组的解集为：1≤x ＜2. 23．(2017济南，23，7分)（1）如图，在矩形ABCD ，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB ＝DF ．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠BE A . ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD ＝90°. ∴∠B ＝∠AFD ＝90°.ECA B又∵AD ＝AE ， ∴△ADF ≌△EB A. ∴AB ＝DF ．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．【解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠C ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－25°＝65°.24．(2017济南，24，8分)某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？ 【解】设银杏树的单价是x 元，玉兰树的单价是元，则12000x＋错误!＝150. 解得x ＝120.经检验x ＝120是方程的解. ∴＝180.答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元，CD25．(2017济南，25，8分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：（1）统计表中的a ＝________，b ＝___________，c ＝____________； （2）请将频数分布表直方图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．【解】（1）a ＝10，b ＝，c ＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝(本)． 814187652015105人数0本（4）该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数为：＋×1200＝528(人)．26．(2017济南，26，9分)如图1，□OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，A (2，1)，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y ＝kx (x ＞0)的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．【解】（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，则AP ＝1，OP ＝2.又∵AB ＝OC ＝3， ∴B (2，4).∵反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ，∴4＝k2.∴k ＝8.∴反比例函数的关系式为y ＝8x．（2）设MN 交OB 于点H ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，则BG ＝2，OG ＝4.∴OB ＝22＋42＝2 5.∵点H 是OB 的中点，∴点H (1，2)．∴OH ＝12＋22＝ 5. ∵∠OHN ＝∠OGB ＝90°，∠HON ＝∠GOB ，∴△OHN ∽△OGB ，∴ON OB ＝OH OG .∴ON 25＝54.∴ON ＝. （3）ED ＝BF ．理由：由点A （2,1）可得直线OA 的解析式为y ＝12x ．解方程组⎩⎨⎧y ＝12x y ＝8x，得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－4．∵点D 在第一象限，∴D (4，2)．由B (2，4)，点D (4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6. 把y ＝0代入上式，得0＝－x ＋6.解得x ＝6. ∴E (6，0)．∵ED＝(6－4)2＋(0－2)2＝22，BF＝(0－2)2＋(6－4)2＝2 2.∴ED＝BF．27．(2017济南，27，9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF＝CF，以下是她的证明过程请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF 的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，判断△CEF 的形状并给出证明．【解】（1）①证明中所叙述的辅助线如下图所示：②证明的括号中的理由是：AAS.（2）△CEF 是等边三角形．证明如下：设AE ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝2a ，AB ＝2b ，DE ＝3a ，BC ＝3b ，CE ＝a ＋b . ∵△BGF ≌△DEF ,∴BG ＝DE ＝3a .∴CG ＝BC ＋BG ＝3(a ＋b )． ∵CB CG ＝3b 3(a ＋b )＝b a ＋b ，CA CE ＝b a ＋b ，∴CB CG ＝CA CE .又∵∠ACB ＝∠ECG ，∴△ACE ∽△ECG . 第27题图2第27题图1CC第27题答案图1C A∴∠CEF ＝∠CAB ＝60°. 又∵CF ＝EF (已证)， ∴△CEF 是等边三角形． （3）△CEF 是等边三角形．证明方法一：如答案图2，过点B 作BN ∥DE ，交EF 的延长线于点N ，连接CN ，则∠DEF ＝∠FN B.又∵DF ＝BF ，∠DFE ＝∠BFN ，∴△DEF ≌△BNF ．∴BN ＝DE ，EF ＝FN ． 设AC ＝a ,AE ＝b ,则BC ＝3a ,DE ＝3b ． ∵∠AEP ＝∠ACP ＝90°，∴∠P ＋∠EAC ＝180°． ∵DP ∥BN ，∴∠P ＋∠CBN ＝180°．∴∠CBN ＝∠EA C ． 在△AEC 和△BNC 中，∵AE BN ＝AE DE ＝AC BC ＝33,∠CBN ＝∠EAC , ∴△AEC ∽△BN C .∴∠ECA ＝∠NC B .∴∠ECN ＝90°. 又∵EF ＝FN ， ∴CF ＝12EN ＝EF .又∵∠CEF ＝60°, ∴△CEF 是等边三角形．证明方法二：如答案图3，取AB 的中点M ，并连接CM ，FM ，则CM ＝12AB ＝A C.又∵∠CAM ＝60°,∴△ACM 是等边三角形. ∴∠ACM ＝∠AMC ＝60°.∵AM ＝BM ,DF ＝BF ,∴MF 是△ABD 的中位线.∴MF ＝12AD ＝AE 且MF ∥A D .∴∠DAB ＋∠AMF ＝180°.∴∠DAB ＋∠AMF ＋∠AMC ＝180°＋60°＝240°. 即∠DAB ＋∠CMF ＝180°＋60°＝240°.又∵∠CAE ＋∠DAB ＝360°－∠DAE －∠BAC ＝360°－60°－60＝240°， ∴∠DAB ＋∠CMF ＝∠CAE ＋∠DAB ∴∠CMF ＝∠CAE . 又∵CM ＝AC ,MF ＝AE ，∴△CAE ≌△CMF .∴CE ＝CF ,∠ECA ＝∠FCM . 又∵∠ACM ＝∠ACF ＋∠FCM ＝60°, ∴∠ACF ＋∠ECA ＝60°.即∠ECF ＝60°. 又∵CE ＝CF , 第27题答案图2N第27题答案图3C∴△CEF 是等边三角形． 28．(2017济南，28，9分)如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD 交B C 于点D ，tan ∠OAD ＝2，抛物线M 1：y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过A ，D 两点．（1）求点D 的坐标和抛物线M 1的表达式；（2）点P 是抛物线M 1对称轴上一动点，当∠CP A ＝90°时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，点E （0，4），连接AE ，将抛物线M 1的图象向下平移m (m ＞0)个单位得到抛物线M 2．①设点D 平移后的对应点为点D ′，当点D ′ 恰好在直线AE 上时，求m 的值； ②当1≤x ≤m (m ＞1)时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．【解】（1）过点D 作DF ⊥OA 于点F ，则DF ＝6.∵tan ∠OAD ＝DFAF ＝2，∴AF ＝3.∴OF ＝1.∴D (1，6).把A (4，0)，D (1，6)分别代入 y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧0＝16a ＋4b 6＝a ＋b .解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8. ∴抛物线M 1的表达式为：y ＝－2x 2＋8x .(2)连接AC ，则AC ＝42＋62＝213. ∵y ＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8， ∴抛物线M 1的对称轴是直线x ＝2． 设直线x ＝2交OA 于点N ，则N (2，0).以AC 为半径作⊙M ，交直线x ＝2于P 1、P 2两点，分别连接P 1C 、P 1A 、P 2C 、P 2A ，则点P 1、P 2两点就是符合题意的点，且这两点的横坐标都是2． ∵点M 是AC 的中点，∴点M （2,3）．∴MN ＝2.∵P 1M 是Rt △CP 1A 的斜边上的中线，∴P 1M ＝12AC ＝13.∴P 1N ＝MN ＋ P 1M ＝3＋13. ∴点P 1(2，3＋13). 同理可得点P 2(2，3－13).（3）由A (4，0)，点E （0，4）可得直线AE 的解析式为y ＝－x ＋4. ①点D (1，6)平移后的对应点为点D ′(1，6－m )，∵点D ′ 恰好在直线AE 上 ∴6－m ＝－1＋4. 解得m ＝3. ∴D ′(1，3)，m ＝3.②如答案图4，作直线x ＝1,它与直线AE 的交点就是点D ′(1，3).作直线x ＝m 交直线AE 于点Q (m ，－m ＋4).设抛物线M 2的解析式为y ＝－2x 2＋8x －m ．若要直线AE 与抛物线M 2有两个交点N 1、N 2，则关于x 的一元二次方程－2x 2＋8x －m ＝－x ＋4有两个不相等的实数根，将该方程整理，得2x 2＋9x ＋m ＋4＝0. 由△＝92－4×2(m ＋4)＞0，答案图3解得m ＜498.又∵m ＞1，∴1＜m ＜498.…………………………………………………………………………①∵1≤x ≤m (m ＞1)，∴抛物线M 2与直线AE 有两个交点N 1、N 2要在直线x ＝1与直线x ＝m 所夹的区域内（含左、右边界）.当点N 1与点D ′(1，3)重合时，把D ′(1，3)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得m ＝3. ∴m ≥3…………………………………………………………………………②当点N 2与点Q (m ，－m ＋4)重合时，把点Q (m ，－m ＋4)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得－m ＋4＝－2m 2＋8m －m .解得m 1＝2＋2，m 2＝2－2（不合题意，舍去）. ∴m ≥2＋2…………………………………………………………………………③ 由①、②、③可得符合题意的m 的取值范围为：2＋2≤m ＜498.．。
2017山东济南中考试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(2017济南，1，3分)在实数0，－2，5，3中，最大的是( )A．0 B．－2 C． 5 D．3【答案】D2．(2017济南，2，3分)如图所示的几何体，它的左视图是( )正面A．B．C．D．【答案】A3．(2017济南，3，3分)2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为( )A．0.555×104B．5.55×104C．5.55×103D．55.5×103【答案】C4．(2017济南，4，3分)如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB 交b于点C，∠1＝40°，则∠2的度数是( )A．40°B．45°C．50°D．60°abl21CBA【答案】C5．(2017济南，5，3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是( )A．B．C．D．【答案】B6．(2017济南，6，3分)化简a 2＋ab a －b ÷aba －b 的结果是( )A ．a 2B ．a 2a －bC ．a －b bD ．a ＋b b【答案】D7．(2017济南，7，3分)关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A ．－6 B ．－3 C ．3 D ．6 【答案】B 8．(2017济南，8，3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．⎩⎨⎧y －8x ＝3y －7x ＝4B ．⎩⎨⎧y －8x ＝37x －y ＝4C ．⎩⎨⎧8x －y ＝3y －7x ＝4D ．⎩⎨⎧8x －y ＝37x －y ＝4【答案】C9．(2017济南，9，3分)如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．23出口出口A E DB C【答案】B10．(2017济南，10，3分)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是( ) A ．12cmB ．24cmC ．63cmD ．123cmA BCD【答案】C11．(2017济南，11，3分)将一次函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞－1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．x ＞2 【答案】A12．(2017济南，12，3分)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m ，则石坝的坡度为( ) A ．34B ．3C ．35D ．4ED CA【答案】B13．(2017济南，13，3分)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O ，AB ＝32，E 为OC 上一点， OE ＝1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是( ) A ．35B ．2 2C ．34D ．32G FO ABE14．(2017济南，14，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－2，0)，(x0，0)，1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a－b－1＜0；④2a＋c＜0．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C15．(2017济南，15，3分)如图，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，⌒BD表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x(m)时，相应影子的长度为y(m)，根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是( )A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C第15题图1GFEAB第15题图2GFEABOxy第15题图3O【答案】D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．(2017济南，16，3分)分解因式：x2－4x＋4＝__________．【答案】(x－2)217．(2017济南，17，3分)计算：│－2－4│＋(3)0＝________________．【答案】718．(2017济南，18，3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是_________________．19．(2017济南，19，3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为300πcm 2，∠BAC ＝120°，BD ＝2AD ，则BD 的长度为____________cm ． 【答案】20DE C20．(2017济南，20，3分)如图，过点O 的直线AB 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，A (2，1)，直线BC ∥y 轴，与反比例函数y ＝－3kx (x ＜0)的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为_________________．xyCA OB【答案】821．(2017济南，21，3分)定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿综或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P (－1，1)，Q (2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A (3，1)，B (5，－3)，C (－1，－5)，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为______________．xy –1123–1123QS TPO【答案】（1，－2）三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．(2017济南，22，7分)（1）先化简，再求值：(a ＋3)2－(a ＋2)(a ＋3)，其中a ＝3． 【解】原式＝a 2＋6a ＋9－(a 2＋2a ＋3a ＋6) ＝ a 2＋6a ＋9－a 2－2a －3a －6) ＝a ＋3． 当a ＝3时， 原式＝3＋3＝6．（2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5≥2(x －2) ①x 2＞x －1 ②【解】由①，得x ≥1.由②，得x ＜2.∴不等式组的解集为：1≤x ＜2.23．(2017济南，23，7分)（1）如图，在矩形ABCD ，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB ＝DF ．FECAB证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠BE A . ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD ＝90°.∴∠B ＝∠AFD ＝90°. 又∵AD ＝AE ， ∴△ADF ≌△EB A. ∴AB ＝DF ．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．BAOCD【解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠C ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－25°＝65°.24．(2017济南，24，8分)某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？【解】设银杏树的单价是x 元，玉兰树的单价是1.5x 元，则12000x ＋90001.5x＝150. 解得x ＝120.经检验x ＝120是方程的解. ∴1.5x ＝180.答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元， 25．(2017济南，25，8分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：814187652015105人数0（1）统计表中的a ＝________，b ＝___________，c ＝____________； （2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数； （4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数． 【解】（1）a ＝10，b ＝0.28，c ＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：10814187652015105人数本0（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)． （4）该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数为：(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．26．(2017济南，26，9分)如图1，□OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，A (2，1)，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y ＝kx (x ＞0)的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．yxyy第26题图3第26题图2第26题图1FEDB CAONMBC AO BCAO【解】（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，则AP ＝1，OP ＝2.又∵AB ＝OC ＝3， ∴B (2，4).∵反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ，∴4＝k2.∴k ＝8.∴反比例函数的关系式为y ＝8x．y第26题答案图1PBCAOy第26题答案图2G HNMBC AO（2）设MN 交OB 于点H ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，则BG ＝2，OG ＝4.∴OB ＝22＋42＝2 5.∵点H 是OB 的中点，∴点H (1，2)．∴OH ＝12＋22＝ 5. ∵∠OHN ＝∠OGB ＝90°，∠HON ＝∠GOB ， ∴△OHN ∽△OGB ，∴ON OB ＝OH OG .∴ON2＝4.∴ON ＝2.5. （3）ED ＝BF ．理由：由点A （2,1）可得直线OA 的解析式为y ＝12x ．解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝ ，得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－4． ∵点D 在第一象限，∴D (4，2)．由B (2，4)，点D (4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6. 把y ＝0代入上式，得0＝－x ＋6.解得x ＝6. ∴E (6，0)．∵ED ＝(6－4)2＋(0－2)2＝22，BF ＝(0－2)2＋(6－4)2＝2 2. ∴ED ＝BF ．27．(2017济南，27，9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC 和△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠CAB ＝∠EAD ＝60°，点E ，A ，C 在同一条直线上，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ，CF ，试判断△CEF 的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF 的两条边是否相等，如EF ＝CF ，以下是她的证明过程证明：延长线段EF 交CB 的延长线于点G ． ∵F 是BD 的中点， ∴BF ＝DF .∵∠ACB ＝∠AED ＝90°， ∴ED ∥CG .∴∠BGF ＝∠DEF . 又∵∠BFG ＝∠DFE ，∴△BGF ≌△DEF ( ). ∴EF ＝FG . ∴CF ＝EF ＝12EG .①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS ，ASA ，AAS ，SSS 中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF 的度数，并判断△CEF 的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，判断△CEF 的形状并给出证明．第27题图2第27题图1FEDF E CC A【解】（1）①证明中所叙述的辅助线如下图所示：第27题答案图1FC E②证明的括号中的理由是：AAS. （2）△CEF 是等边三角形．证明如下：设AE ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝2a ，AB ＝2b ，DE ＝3a ，BC ＝3b ，CE ＝a ＋b . ∵△BGF ≌△DEF ,∴BG ＝DE ＝3a .∴CG ＝BC ＋BG ＝3(a ＋b )．∵CB CG ＝b (a ＋b )＝b a ＋b ，CA CE ＝b a ＋b ，∴CB CG ＝CACE.又∵∠ACB ＝∠ECG ，∴△ACE ∽△ECG .∴∠CEF ＝∠CAB ＝60°. 又∵CF ＝EF (已证)， ∴△CEF 是等边三角形． （3）△CEF 是等边三角形．证明方法一： 如答案图2，过点B 作BN ∥DE ，交EF 的延长线于点N ，连接CN ，则∠DEF ＝∠FN B.又∵DF ＝BF ，∠DFE ＝∠BFN ，∴△DEF ≌△BNF ．∴BN ＝DE ，EF ＝FN ．设AC ＝a ,AE ＝b ,则BC ＝3a ,DE ＝3b ． ∵∠AEP ＝∠ACP ＝90°，∴∠P ＋∠EAC ＝180°． ∵DP ∥BN ，∴∠P ＋∠CBN ＝180°．∴∠CBN ＝∠EA C ． 在△AEC 和△BNC 中， ∵AE BN ＝AE DE ＝ACBC ＝3,∠CBN ＝∠EAC , ∴△AEC ∽△BN C .∴∠ECA ＝∠NC B .∴∠ECN ＝90°. 又∵EF ＝FN ， ∴CF ＝12EN ＝EF .又∵∠CEF ＝60°,∴△CEF 是等边三角形．第27题答案图2NFEA第27题答案图3M FEA证明方法二：如答案图3，取AB 的中点M ，并连接CM ，FM ，则CM ＝12AB ＝A C.又∵∠CAM ＝60°,∴△ACM 是等边三角形. ∴∠ACM ＝∠AMC ＝60°.∵AM ＝BM ,DF ＝BF ,∴MF 是△ABD 的中位线.∴MF ＝12AD ＝AE 且MF ∥A D .∴∠DAB ＋∠AMF ＝180°.∴∠DAB ＋∠AMF ＋∠AMC ＝180°＋60°＝240°. 即∠DAB ＋∠CMF ＝180°＋60°＝240°. 又∵∠CAE ＋∠DAB ＝360°－∠DAE －∠BAC ＝360°－60°－60＝240°， ∴∠DAB ＋∠CMF ＝∠CAE ＋∠DAB ∴∠CMF ＝∠CAE .又∵CM ＝AC ,MF ＝AE ，∴△CAE ≌△CMF .∴CE ＝CF ,∠ECA ＝∠FCM . 又∵∠ACM ＝∠ACF ＋∠FCM ＝60°, ∴∠ACF ＋∠ECA ＝60°.即∠ECF ＝60°. 又∵CE ＝CF ,∴△CEF 是等边三角形．28．(2017济南，28，9分)如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD 交B C 于点D ，tan ∠OAD ＝2，抛物线M 1：y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过A ，D 两点．（1）求点D 的坐标和抛物线M 1的表达式；（2）点P 是抛物线M 1对称轴上一动点，当∠CP A ＝90°时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，点E （0，4），连接AE ，将抛物线M 1的图象向下平移m (m ＞0)个单位得到抛物线M 2．①设点D 平移后的对应点为点D ′，当点D ′ 恰好在直线AE 上时，求m 的值； ②当1≤x ≤m (m ＞1)时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．xy xy x y图3图2图1EEDBC AODBC AODB CAO【解】（1）过点D 作DF ⊥OA 于点F ，则DF ＝6.∵tan ∠OAD ＝DFAF＝2，∴AF ＝3.∴OF ＝1.∴D (1，6).把A (4，0)，D (1，6)分别代入 y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧0＝16a ＋4b 6＝a ＋b .解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8. ∴抛物线M 1的表达式为：y ＝－2x 2＋8x .xy FDBCAOxy P 2P 1MNDBCAO(2)连接AC ，则AC ＝42＋62＝213.∵y ＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8， ∴抛物线M 1的对称轴是直线x ＝2． 设直线x ＝2交OA 于点N ，则N (2，0).以AC 为半径作⊙M ，交直线x ＝2于P 1、P 2两点，分别连接P 1C 、P 1A 、P 2C 、P 2A ，则点P 1、P 2两点就是符合题意的点，且这两点的横坐标都是2． ∵点M 是AC 的中点，∴点M （2,3）．∴MN ＝2. ∵P 1M 是Rt △CP 1A 的斜边上的中线，∴P 1M ＝12AC ＝13.∴P 1N ＝MN ＋ P 1M ＝3＋13. ∴点P 1(2，3＋13).同理可得点P 2(2，3－13).（3）由A (4，0)，点E （0，4）可得直线AE 的解析式为y ＝－x ＋4. ①点D (1，6)平移后的对应点为点D ′(1，6－m )，∵点D ′ 恰好在直线AE 上 ∴6－m ＝－1＋4. 解得m ＝3.∴D ′(1，3)，m ＝3.xy答案图3D'EDBC AOxy答案图4N 2N 1Q D 'O 'EDBCAO②如答案图4，作直线x ＝1,它与直线AE 的交点就是点D ′(1，3).作直线x ＝m 交直线AE 于点Q (m ，－m ＋4).设抛物线M 2的解析式为y ＝－2x 2＋8x －m ．若要直线AE 与抛物线M 2有两个交点N 1、N 2，则关于x 的一元二次方程－2x 2＋8x －m ＝－x ＋4有两个不相等的实数根，将该方程整理，得2x 2＋9x ＋m ＋4＝0. 由△＝92－4×2(m ＋4)＞0，解得m ＜498.又∵m ＞1，∴1＜m ＜498.…………………………………………………………………………①∵1≤x ≤m (m ＞1)，∴抛物线M 2与直线AE 有两个交点N 1、N 2要在直线x ＝1与直线x ＝m 所夹的区域内（含左、右边界）.当点N 1与点D ′(1，3)重合时，把D ′(1，3)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得m ＝3. ∴m ≥3…………………………………………………………………………②当点N 2与点Q (m ，－m ＋4)重合时，把点Q (m ，－m ＋4)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得－m ＋4＝－2m 2＋8m －m .解得m 1＝2＋2，m 2＝2－2（不合题意，舍去）. ∴m ≥2＋2…………………………………………………………………………③ 由①、②、③可得符合题意的m 的取值范围为：2＋2≤m ＜498.．。
2017山东济南中考试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(2017济南，1，3分)在实数0，－2，5，3中，最大的是()A ．0B ．－2C ．5D ．3【答案】D2．(2017济南，2，3分)如图所示的几何体，它的左视图是()A ．B ．C ．D ．【答案】A3．(2017济南，3，3分)2017年5月5日国产大型客机C 919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为()A ．0.555×104B ．5.55×104C ．5.55×103D ．55.5×103【答案】C4．(2017济南，4，3分)如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，AC ⊥AB 交b 于点C ，∠1＝40°，则∠2的度数是()A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C5．(2017济南，5，3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是()A ．B ．C ．D ．【答案】B6．(2017济南，6，3分)化简a 2＋ab a －b÷ab a －b 的结果是()A ．a 2B ．a 2a －bC ．a －b bD ．a ＋bb【答案】D7．(2017济南，7，3分)关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是()A ．－6B ．－3C ．3D ．6【答案】B8．(2017济南，8，3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是()A －8x ＝3－7x ＝4B －8x ＝3x －y ＝4C x －y ＝3－7x ＝4D x －y ＝3x －y ＝4【答案】C9．(2017济南，9，3分)如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是()A ．12B ．13C ．16D ．23【答案】B10．(2017济南，10，3分)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是()A ．12cm B ．24cm C ．63cm D ．123cm【答案】C11．(2017济南，11，3分)将一次函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是()A ．x ＞－1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．x ＞2【答案】A12．(2017济南，12，3分)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m ，则石坝的坡度为()A ．34B ．3C ．35D ．4【答案】B13．(2017济南，13，3分)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相较于点O，AB＝32，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是()A．3105B．22C．354D．322【答案】A14．(2017济南，14，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－2，0)，(x0，0)，1＜x0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a－b－1＜0；④2a＋c＜0．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C15．(2017济南，15，3分)如图，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，⌒BD表示一条以A 为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x(m)时，相应影子的长度为y (m)，根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是() A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C【答案】D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．(2017济南，16，3分)分解因式：x2－4x＋4＝__________．【答案】(x－2)217．(2017济南，17，3分)计算：│－2－4│＋(3)0＝________________．【答案】718．(2017济南，18，3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是_________________．【答案】9019．(2017济南，19，3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC＝120°，BD ＝2AD，则BD的长度为____________cm．【答案】2020．(2017济南，20，3分)如图，过点O的直线AB与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，A(2，1)，直线BC∥y轴，与反比例函数y＝－3kx(x＜0)的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为_________________．【答案】821．(2017济南，21，3分)定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿综或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P(－1，1)，Q(2，3)，则P，Q的“实际距离”为5，即PS＋SQ＝5或PT＋TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A(3，1)，B(5，－3)，C(－1，－5)，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为______________．【答案】（1，－2）三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．(2017济南，22，7分)（1）先化简，再求值：(a＋3)2－(a＋2)(a＋3)，其中a＝3．【解】原式＝a2＋6a＋9－(a2＋2a＋3a＋6)＝a2＋6a＋9－a2－2a－3a－6)＝a＋3．当a＝3时，原式＝3＋3＝6．（2－5≥2(x－2)①x－1②【解】由①，得x≥1.由②，得x＜2.∴不等式组的解集为：1≤x＜2.23．(2017济南，23，7分)（1）如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥B C.∴∠DAF＝∠BE A.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EB A.∴AB＝DF．（2）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．【解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠B ＝∠C ＝25°，∴∠BAD ＝90°－25°＝65°.24．(2017济南，24，8分)某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？【解】设银杏树的单价是x 元，玉兰树的单价是1.5x 元，则12000x ＋90001.5x ＝150.解得x ＝120.经检验x ＝120是方程的解.∴1.5x ＝180.答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元，25．(2017济南，25，8分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：（1）统计表中的a ＝________，b ＝___________，c ＝____________；（2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．【解】（1）a ＝10，b ＝0.28，c ＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)．（4）该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数为：(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．26．(2017济南，26，9分)如图1，□OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，A (2，1)，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y ＝kx(x ＞0)的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F两点，请探究线段ED 与BF的数量关系，并说明理由．【解】（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，则AP ＝1，OP ＝2.又∵AB ＝OC ＝3，∴B (2，4).∵反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过的B ，∴4＝k2.∴k ＝8.∴反比例函数的关系式为y ＝8x．（2）设MN 交OB 于点H ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，则BG ＝2，OG ＝4.∴OB ＝22＋42＝2 5.∵点H 是OB 的中点，∴点H (1，2)．∴OH ＝12＋22＝ 5.∵∠OHN ＝∠OGB ＝90°，∠HON ＝∠GOB ，∴△OHN ∽△OGB ，∴ON OB ＝OHOG .∴ON 25＝54.∴ON ＝2.5.（3）ED ＝BF ．理由：由点A （2,1）可得直线OA 的解析式为y ＝12x ．＝12x ＝8x1＝41＝22＝－22＝－4．∵点D 在第一象限，∴D (4，2)．由B (2，4)，点D (4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6.把y ＝0代入上式，得0＝－x ＋6.解得x ＝6.∴E (6，0)．∵ED ＝(6－4)2＋(0－2)2＝22，BF ＝(0－2)2＋(6－4)2＝2 2.∴ED ＝BF ．27．(2017济南，27，9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC 和△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠CAB ＝∠EAD ＝60°，点E ，A ，C 在同一条直线上，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ，CF ，试判断△CEF 的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF 的两条边是否相等，如EF ＝CF ，以下是她的证明过程证明：延长线段EF 交CB 的延长线于点G ．∵F 是BD 的中点，∴BF ＝DF .∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴ED ∥CG .∴∠BGF ＝∠DEF .又∵∠BFG ＝∠DFE ，∴△BGF ≌△DEF ().∴EF ＝FG .∴CF ＝EF ＝12EG .请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS ，ASA ，AAS ，SSS 中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF 的度数，并判断△CEF 的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，判断△CEF 的形状并给出证明．【解】（1）①证明中所叙述的辅助线如下图所示：②证明的括号中的理由是：AAS.（2）△CEF 是等边三角形．证明如下：设AE ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝2a ，AB ＝2b ，DE ＝3a ，BC ＝3b ，CE ＝a ＋b .∵△BGF ≌△DEF ,∴BG ＝DE ＝3a .∴CG ＝BC ＋BG ＝3(a ＋b )．∵CB CG ＝3b 3(a ＋b )＝b a ＋b ，CA CE ＝b a ＋b，∴CB CG ＝CACE .又∵∠ACB ＝∠ECG ，∴△ACE ∽△ECG .∴∠CEF ＝∠CAB ＝60°.又∵CF ＝EF (已证)，∴△CEF 是等边三角形．（3）△CEF 是等边三角形．证明方法一：如答案图2，过点B 作BN ∥DE ，交EF 的延长线于点N ，连接CN ，则∠DEF ＝∠FN B.又∵DF ＝BF ，∠DFE ＝∠BFN ，∴△DEF ≌△BNF ．∴BN ＝DE ，EF ＝FN ．设AC ＝a ,AE ＝b ,则BC ＝3a ,DE ＝3b ．∵∠AEP ＝∠ACP ＝90°，∴∠P ＋∠EAC ＝180°．∵DP ∥BN ，∴∠P ＋∠CBN ＝180°．∴∠CBN ＝∠EA C ．在△AEC 和△BNC 中，∵AE BN ＝AE DE ＝ACBC ＝33,∠CBN ＝∠EAC ,∴△AEC ∽△BN C .∴∠ECA ＝∠NC B .∴∠ECN ＝90°.又∵EF ＝FN ，∴CF ＝12EN ＝EF .又∵∠CEF ＝60°,∴△CEF 是等边三角形．证明方法二：如答案图3，取AB 的中点M ，并连接CM ，FM ，则CM ＝12AB ＝A C.又∵∠CAM ＝60°,∴△ACM 是等边三角形.∴∠ACM ＝∠AMC ＝60°.∵AM ＝BM ,DF ＝BF ,∴MF 是△ABD 的中位线.∴MF ＝12AD ＝AE 且MF ∥A D .∴∠DAB ＋∠AMF ＝180°.∴∠DAB ＋∠AMF ＋∠AMC ＝180°＋60°＝240°.即∠DAB ＋∠CMF ＝180°＋60°＝240°.又∵∠CAE ＋∠DAB ＝360°－∠DAE －∠BAC ＝360°－60°－60＝240°，∴∠DAB ＋∠CMF ＝∠CAE ＋∠DAB ∴∠CMF ＝∠CAE .又∵CM ＝AC ,MF ＝AE ，∴△CAE ≌△CMF .∴CE ＝CF ,∠ECA ＝∠FCM .又∵∠ACM ＝∠ACF ＋∠FCM ＝60°,∴∠ACF ＋∠ECA ＝60°.即∠ECF ＝60°.又∵CE ＝CF ,∴△CEF 是等边三角形．28．(2017济南，28，9分)如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD 交BC 于点D ，tan ∠OAD ＝2，抛物线M 1：y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过A ，D 两点．（1）求点D 的坐标和抛物线M 1的表达式；（2）点P 是抛物线M 1对称轴上一动点，当∠CPA ＝90°时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，点E （0，4），连接AE ，将抛物线M 1的图象向下平移m (m ＞0)个单位得到抛物线M 2．①设点D 平移后的对应点为点D ′，当点D ′恰好在直线AE 上时，求m 的值；②当1≤x ≤m (m ＞1)时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．【解】（1）过点D 作DF ⊥OA 于点F ，则DF ＝6.∵tan ∠OAD ＝DFAF＝2，∴AF ＝3.∴OF ＝1.∴D (1，6).把A (4，0)，D (1，6)分别代入y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得＝16a ＋4b＝a ＋b .＝－2＝8.∴抛物线M 1y ＝－2x 2＋8x .(2)连接AC ，则AC ＝42＋62＝213.∵y ＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8，∴抛物线M 1的对称轴是直线x ＝2．设直线x ＝2交OA 于点N ，则N (2，0).以AC 为半径作⊙M ，交直线x ＝2于P 1、P 2两点，分别连接P 1C 、P 1A 、P 2C 、P 2A ，则点P 1、P 2两点就是符合题意的点，且这两点的横坐标都是2．∵点M 是AC 的中点，∴点M （2,3）．∴MN ＝2.∵P 1M 是Rt △CP 1A 的斜边上的中线，∴P 1M ＝12AC ＝13.∴P 1N ＝MN ＋P 1M ＝3＋13.∴点P 1(2，3＋13).同理可得点P 2(2，3－13).（3）由A (4，0)，点E （0，4）可得直线AE 的解析式为y ＝－x ＋4.①点D (1，6)平移后的对应点为点D ′(1，6－m )，∵点D ′恰好在直线AE 上∴6－m ＝－1＋4.解得m ＝3.∴D ′(1，3)，m ＝3.②如答案图4，作直线x ＝1,它与直线AE 的交点就是点D ′(1，3).作直线x ＝m 交直线AE 于点Q (m ，－m ＋4).设抛物线M 2的解析式为y ＝－2x 2＋8x －m ．若要直线AE 与抛物线M 2有两个交点N 1、N 2，则关于x 的一元二次方程－2x 2＋8x －m ＝－x ＋4有两个不相等的实数根，将该方程整理，得2x 2＋9x ＋m ＋4＝0.由△＝92－4×2(m ＋4)＞0，解得m ＜498.又∵m ＞1，∴1＜m ＜498.…………………………………………………………………………①∵1≤x ≤m (m ＞1)，∴抛物线M 2与直线AE 有两个交点N 1、N 2要在直线x ＝1与直线x ＝m 所夹的区域内（含左、右边界）.当点N 1与点D ′(1，3)重合时，把D ′(1，3)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得m ＝3.∴m ≥3…………………………………………………………………………②当点N 2与点Q (m ，－m ＋4)重合时，把点Q (m ，－m ＋4)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得－m ＋4＝－2m 2＋8m －m .解得m 1＝2＋2，m 2＝2－2（不合题意，舍去）.∴m ≥2＋2…………………………………………………………………………③由①、②、③可得符合题意的m 的取值范围为：2＋2≤m＜498.．。
2017 年济南市天桥区九年级第三次模拟考试数学试题（2017.06）一、选择题（本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分）1．在－3，12，π，0.35 中，无理数是（）A．－3 B．12C．πD．02．5 月14 日－15 日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，世界的目光再次聚焦中国，某网站调查显示截至5 月22 日有174 万余人关注此次峰会，174 万用科学记数法可表示为（）A．0.174×107 B．1.74×106 C．1.74×105 D．17.4×1053.下列运算正确的是（）A．x2•x3＝x6 B．x6÷x5＝x C．（－x2）4＝x6 D．x2＋x3＝x54. 如图，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2 的度数为（）A．34°B．56°C．124°D．146°第4 题图5. 如图是由4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）．A．B．C．D6．分式方程21=2x x 的解为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．关于 x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0 的一个根是 0，则 a 的值为（）A ．1B ．－1C ．1 或－1D ．128．某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：10、6、9、11、8、10，下列关于这组数据描述正确的是（）A ．极差是 6B ．众数是 10C ．平均数是 9.5D ．方差是 169．若 kb ＞0，则函数 y=kx+b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10． 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B 到 C 的方向 平移到△DEF 的位置，AB=10，DO=4，平移距离为 6，则阴影部分面积为（）A ．24B ．40C ．42D ．4811. 如图,已知点 E (−4,2)，F (−2,−2)，以 O 为位似中心，按比例尺 1:2，把△EFO 缩小，,则点 E 的对应点 E ′的坐标为（）A ． (2,−1)或(−2,1)B ． (2,−1)C ． (8,−4)或(−8,−4)D ． (8,−4)12. 下列说法正确的是（）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是菱形C ．一组对边平行的四边形是平行四边形D ． 矩形的对角线互相垂直 13. 定义：a 是不为 1 的有理数，我们把11a -称为 a 的差倒数．如：2 的差倒数是1=-112-， －1 的差倒数是11=1-12-（）．已知a 11=-3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的 差倒数，…,依次类推，a 2009的值为A ．1-3B ．34C ．4D ．4314．如图，分别过点 P i (i ,0)(i ＝1、2、…、n )作 x 轴的垂线，交 y =212x 的图象 于点 A i ，交直线 y ＝1-2x 于点 B i ．则111A B +221A B ++1n n A B 的值为 A ．21n n + B ．21n + C ．21n n +（） D ．215．如图 1，在等边△ABC 中，点 E 、D 分别是 AC ，BC 边的中点，点 P 为 AB 边上的一个动点，连接 PE ，PD ，PC ，DE ．设 AP =x ，图 1 中某条线段的长为 y ，若表示 y 与 x 的函数 关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的( )A ．线段 DEB ．线段 PDC ．线段 PCD ．线段 PE二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）16．分解因式：x3－4x＝.|x|－317．当x＝时，分式x＋3的值为零．18．有一组数据：2，4，a，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的众数是．19．如图，在平面直角坐标系中，函数kyx0)k（的图象经过A(1，2)、B 两点，过点A作x 轴的垂线，垂足为点C，连接AB、BC，若△ABC 的面积为3，则点B 坐标为.20．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，DE⊥AB，则∠ABE 的度数为．ADEB C21．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E，若点P、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ＋PQ 的最小值是．三、解答题（本大题共7 小题，共57 分）22．（本小题满分7 分）(1)计算：12－( 2－1)0－2cos30°；⎧x－3＜1 ①，并把解集在数轴上表示出来．(2)解不等式组：⎨4x－4≥x＋2 ②–4 –3 –2 –10 1 2 3 4 23．（本小题满分7 分）(1)已知，如图，段A，C，D，B 在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：∠E＝∠FE FD B(2)如图，在△ABC 中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切．求⊙C 的半径．CA B24．（本小题满分8 分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200 本图书所用的时间与李强清点完300 本图书所用的时间相同,且李强平均每分钟比张明多清点10 本,求张明平均每分钟清点图书的数量.整理情况 频数 频率非常好0.21 较好 70 0.35一般 m 不好3625．（本小题满分 8 分）为培养学生良好的学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完 整的统计图表．（1）本次抽样共调查了 名学生；（2）m ＝ ． （3）该校有 1500 名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？（4）某学习小组 4 名学生的错题集中，有 2 本“非常好”（记为 A 1、A 2），1 本“较好”（记为 B ），1 本“一般”（记为 C ），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完 全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的 3 本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画 树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．26．（本小题满分 9 分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 y ＝kx 的图象与反比例函数m y x的图象经过点 A (2，2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA 向上平移3 个单位长度后与y 轴交于点B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C 的坐标及△ABC 的面积；(3)反比例函数图象上是否存在点D，使DC⊥BC，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．y yC C B BA AO x O x26 题备用图27．（本小题满分9 分）如图1，已知线段BC＝2，点B 关于直线AC 的对称点是点D，点E 为射线CA 上一点，且ED＝BD，连接DE、BE．(1)依题意不全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；(2)若∠ACB＝45°，点C 关于直线BD 的对称点为F，连接FD，FB．将△CDE 绕点D顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△C′DE′ ，点E 的对应点为E′，点C 的对应点为点C′．①如图2，当α＝30°时，连接BC′，求证：EF＝BC′；②如图3，点M 为DC 的中点，点P 为线段C′E′上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围?28．（本小题满分9 分）已知抛物线l1：y＝－x2＋bx＋3 交x 轴于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C，其对称轴为直线x＝1，抛物线l2 经过点A，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，与y 轴交于点D5 (0,-)2．(1)求抛物线l2 的解析式；(2) P 为直线x＝1 上一点，连接PA，PC，当PA＝PC 时，求点P 的坐标；(3)M 为抛物线l2 上一动点过点M 作直线MN∥y 轴，交抛物线l1 于点N，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．一、选择题：二、填空题：2017 年学业水平考试冲刺训练数学答案20．21．2 2 16．x(x + 2)(x -2)17． 3 18．6 19．(4, 1)2三、解答题：22.（1）解：12 -( 2 -1)0 -2cos 30︒3 2…………………………………………2 分= 2 3 -1-2⨯= 3 1……………………………………………….3 分（2）解：由①得： x < 4由②得：x ≥ 2∴ 2 ≤ x < 423.（1）证明：∵AC =BD , ∴AC +CD =BD +CD……………………………………...1 分 ……………………………………… ..2 分…………………………….3 分………………………………………………………………...4 分∴AD= BC …………………………………………………………………………………… 1 分∵AE=BF，∠A=∠B∴△ADE≌△BC………………………………………………………………………………………………………………… 2 分∴∠E=∠F．…………………………………………………………………………… 3 分（2）证明：过C 作CD⊥AB …………………………………………………………1 分∵△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，∴△ABC 为直角三角形，∠C=90° ……………………………………………………. …2 分AC ⋅BC AB =125……………………………………………………………3 分∴CD =∵⊙C 与AB 相切12……………………………………………………………4 分∴γ=CD =524. 解：设张明平均每分钟清点图书 x 本，则李强平均每分钟清点（x+10）本，……1 分依题意，得：，…………………………………………………………………4 分解得：x=20，……………………………………………………………………………………6 分经检验，x=20 是原方程的解，………………………………………………………………7 分答：张明平均每分钟清点图书 20 本。
2017山东济南中考试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(2017济南，1，3分)在实数0，－2，5，3中，最大的是( ) A ．0B ．－2C ．5D ．32．(2017济南，2，3分)如图所示的几何体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．3．(2017济南，3，3分)2017年5月5日国产大型客机C 919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为( ) A ．0.555×104B ．5.55×104C ．5.55×103D ．55.5×1034．(2017济南，4，3分)如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，AC⊥AB 交b 于点C ，∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．(2017济南，5，3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是()a bA ．B ．C ．D ．6．(2017济南，6，3分)化简a2＋ab a －b ÷aba －b的结果是( ) A ．a 2 B ．a2a －bC ．a －b bD ．a ＋b b7．(2017济南，7，3分)关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A ．－6B ．－3C ．3D ．68．(2017济南，8，3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．⎩⎨⎧y －8x ＝3y －7x ＝4 B ．⎩⎨⎧y －8x ＝37x －y ＝4 C ．⎩⎨⎧8x －y ＝3y －7x ＝4 D ．⎩⎨⎧8x －y ＝37x －y ＝49．(2017济南，9，3分)如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．2310．(2017济南，10，3分)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是( ) A ．12cmB ．24cmC ．63cmD ．123cm出口出口11．(2017济南，11，3分)将一次函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞－1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．x ＞212．(2017济南，12，3分)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m ，则石坝的坡度为( ) A ．34B ．3C ．35D ．413．(2017济南，13，3分)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O ，AB ＝32，E为OC 上一点，OE ＝1，连接BE ，过点A 作AF⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是( ) A ．3105B ．22C ．354D ．322EA14．(2017济南，14，3分)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图象经过点(－2，0)，(x 0，0)，1＜x 0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b ＞0；②2a ＜b ；③2a －b －1＜0；④2a ＋c ＜0．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．(2017济南，15，3分)如图，有一正方形广场ABCD ，图形中的线段均表示直行道路， ⌒BD表示一条以A 为圆心，以AB 为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A 处有一路灯，O 是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x(m)时，相应影子的长度为y(m)，根据他步行的路线得到y 与x 之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是( ) A ．A →B →E →G B ．A →E →D →CC ．A →E →B →FD ．A →B →D →C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．(2017济南，16，3分)分解因式：x 2－4x ＋4＝__________．17．(2017济南，17，3分)计算：│－2－4│＋(3)0＝________________．18．(2017济南，18，3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是_________________．AB第15题图1第15题图2第15题图319．(2017济南，19，3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为300πcm 2，∠BAC ＝120°，BD ＝2AD ，则BD 的长度为____________cm ．20．(2017济南，20，3分)如图，过点O 的直线AB 与反比例函数y ＝kx的图象交于A ，B 两点，A (2，1)，直线BC∥y 轴，与反比例函数y ＝－3kx(x ＜0)的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为_________________．21．(2017济南，21，3分)定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿综或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P (－1，1)，Q (2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A (3，1)，B (5，－3)C，C(－1，－5)，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为______________．DACCB DBCBC ABACD【答案】(x－2)2790208（1，－2）三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．(2017济南，22，7分)（1）先化简，再求值：(a＋3)2－(a＋2)(a＋3)，其中a＝3．【解】原式＝a2＋6a＋9－(a2＋2a＋3a＋6)＝a2＋6a＋9－a2－2a－3a－6)＝a＋3．当a＝3时，原式＝3＋3＝6．（2）解不等式组：⎩⎨⎧3x －5≥2(x －2) ①x 2＞x －1 ②【解】由①，得x ≥1. 由②，得x ＜2.∴不等式组的解集为：1≤x ＜2. 23．(2017济南，23，7分)（1）如图，在矩形ABCD ，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB ＝DF ．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠BE A . ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD ＝90°. ∴∠B ＝∠AFD ＝90°. 又∵AD ＝AE ， ∴△ADF ≌△EB A. ∴AB ＝DF ．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．【解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠C ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－25°＝65°.ECABCD24．(2017济南，24，8分)某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？【解】设银杏树的单价是x 元，玉兰树的单价是1.5x 元，则12000x ＋90001.5x＝150. 解得x ＝120.经检验x ＝120是方程的解. ∴1.5x ＝180.答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元， 25．(2017济南，25，8分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：（1）统计表中的a ＝________，b ＝___________，c ＝____________； （2）请将频数分布表直方图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．【解】（1）a ＝10，b ＝0.28，c ＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：814187652015105人数0（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)． （4）该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数为：(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．26．(2017济南，26，9分)如图1，□OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，A (2，1)，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y ＝kx (x ＞0)的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．【解】（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，则AP ＝1，OP ＝2.又∵AB ＝OC ＝3， ∴B (2，4).本∵反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ，∴4＝k2.∴k ＝8.∴反比例函数的关系式为y ＝8x．（2）设MN 交OB 于点H ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，则BG ＝2，OG ＝4.∴OB ＝22＋42＝25.∵点H 是OB 的中点，∴点H (1，2)．∴OH ＝12＋22＝5.∵∠OHN ＝∠OGB ＝90°，∠HON ＝∠GOB ， ∴△OHN ∽△OGB ，∴ON OB ＝OH OG .∴ON 25＝54.∴ON ＝2.5. （3）ED ＝BF ．理由：由点A （2,1）可得直线OA 的解析式为y ＝12x ．解方程组⎩⎨⎧y ＝12x y ＝8x，得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－4．∵点D 在第一象限，∴D (4，2)．由B (2，4)，点D (4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6. 把y ＝0代入上式，得0＝－x ＋6.解得x ＝6. ∴E (6，0)． ∵ED ＝(6－4)2＋(0－2)2＝22，BF ＝(0－2)2＋(6－4)2＝22.∴ED ＝BF ．27．(2017济南，27，9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF＝CF，以下是她的证明过程证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．∵F是BD的中点，∴BF＝DF.∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴ED∥CG. ∴∠BGF＝∠DEF.又∵∠BFG＝∠DFE，∴△BGF≌△DEF( ). ∴EF＝FG.∴CF＝EF＝12EG.请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．【解】（1）①证明中所叙述的辅助线如下图所示：②证明的括号中的理由是：AAS.（2）△CEF 是等边三角形．证明如下：设AE ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝2a ，AB ＝2b ，DE ＝3a ，BC ＝3b ，CE ＝a ＋b . ∵△BGF ≌△DEF ,∴BG ＝DE ＝3a .∴CG ＝BC ＋BG ＝3(a ＋b )． ∵CB CG ＝3b 3(a ＋b )＝b a ＋b ，CA CE ＝b a ＋b，∴CB CG ＝CA CE . 又∵∠ACB ＝∠ECG ，∴△ACE ∽△ECG . ∴∠CEF ＝∠CAB ＝60°. 又∵CF ＝EF (已证)， ∴△CEF 是等边三角形． （3）△CEF 是等边三角形．证明方法一：如答案图2，过点B 作BN ∥DE ，交EF 的延长线于点N ，连接CN ，则∠DEF ＝∠FN B.第27题图2第27题图1B CC第27题答案图1BC A又∵DF ＝BF ，∠DFE ＝∠BFN ，∴△DEF ≌△BNF ．∴BN ＝DE ，EF ＝FN ． 设AC ＝a ,AE ＝b ,则BC ＝3a ,DE ＝3b ． ∵∠AEP ＝∠ACP ＝90°，∴∠P ＋∠EAC ＝180°． ∵DP ∥BN ，∴∠P ＋∠CBN ＝180°．∴∠CBN ＝∠EA C ． 在△AEC 和△BNC 中， ∵AE BN ＝AE DE ＝AC BC ＝33,∠CBN ＝∠EAC , ∴△AEC ∽△BN C .∴∠ECA ＝∠NC B .∴∠ECN ＝90°. 又∵EF ＝FN ， ∴CF ＝12EN ＝EF .又∵∠CEF ＝60°, ∴△CEF 是等边三角形．证明方法二：如答案图3，取AB 的中点M ，并连接CM ，FM ，则CM ＝12AB ＝A C.又∵∠CAM ＝60°,∴△ACM 是等边三角形. ∴∠ACM ＝∠AMC ＝60°.∵AM ＝BM ,DF ＝BF ,∴MF 是△ABD 的中位线.∴MF ＝12AD ＝AE 且MF ∥A D .∴∠DAB ＋∠AMF ＝180°.∴∠DAB ＋∠AMF ＋∠AMC ＝180°＋60°＝240°. 即∠DAB ＋∠CMF ＝180°＋60°＝240°.又∵∠CAE ＋∠DAB ＝360°－∠DAE －∠BAC ＝360°－60°－60＝240°， ∴∠DAB ＋∠CMF ＝∠CAE ＋∠DAB ∴∠CMF ＝∠CAE .第27题答案图2N第27题答案图3又∵CM ＝AC ,MF ＝AE ，∴△CAE ≌△CMF .∴CE ＝CF ,∠ECA ＝∠FCM . 又∵∠ACM ＝∠ACF ＋∠FCM ＝60°, ∴∠ACF ＋∠ECA ＝60°.即∠ECF ＝60°. 又∵CE ＝CF ,∴△CEF 是等边三角形． 28．(2017济南，28，9分)如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD 交B C 于点D ，tan ∠OAD ＝2，抛物线M 1：y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过A ，D 两点．（1）求点D 的坐标和抛物线M 1的表达式；（2）点P 是抛物线M 1对称轴上一动点，当∠CPA ＝90°时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，点E （0，4），连接AE ，将抛物线M 1的图象向下平移m (m ＞0)个单位得到抛物线M 2．①设点D 平移后的对应点为点D ′，当点D ′ 恰好在直线AE 上时，求m 的值； ②当1≤x ≤m (m ＞1)时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．【解】（1）过点D 作DF ⊥OA 于点F ，则DF ＝6.∵tan ∠OAD ＝DFAF ＝2，∴AF ＝3.∴OF ＝1.∴D (1，6).把A (4，0)，D (1，6)分别代入 y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧0＝16a ＋4b 6＝a ＋b .解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8. ∴抛物线M 1的表达式为：y ＝－2x 2＋8x .(2)连接AC ，则AC ＝42＋62＝213.∵y ＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8， ∴抛物线M 1的对称轴是直线x ＝2． 设直线x ＝2交OA 于点N ，则N (2，0).以AC 为半径作⊙M ，交直线x ＝2于P 1、P 2两点，分别连接P 1C 、P 1A 、P 2C 、P 2A ，则点P 1、P 2两点就是符合题意的点，且这两点的横坐标都是2． ∵点M 是AC 的中点，∴点M （2,3）．∴MN ＝2.∵P 1M 是Rt △CP 1A 的斜边上的中线，∴P 1M ＝12AC ＝13.∴P 1N ＝MN ＋ P 1M ＝3＋13. ∴点P 1(2，3＋13). 同理可得点P 2(2，3－13).（3）由A (4，0)，点E （0，4）可得直线AE 的解析式为y ＝－x ＋4. ①点D (1，6)平移后的对应点为点D ′(1，6－m )，∵点D ′ 恰好在直线AE 上 ∴6－m ＝－1＋4. 解得m ＝3.∴D ′(1，3)，m ＝3.②如答案图4，作直线x ＝1,它与直线AE 的交点就是点D ′(1，3).作直线x ＝m 交直线AE 于点Q (m ，－m ＋4).设抛物线M 2的解析式为y ＝－2x 2＋8x －m ．若要直线AE 与抛物线M 2有两个交点N 1、N 2，则关于x 的一元二次方程－2x 2＋8x －m ＝－x ＋4有两个不相等的实数根，将该方程整理，得2x 2＋9x ＋m ＋4＝0. 由△＝92－4×2(m ＋4)＞0， 解得m ＜498.又∵m ＞1，∴1＜m ＜498.…………………………………………………………………………①∵1≤x ≤m (m ＞1)， ∴抛物线M 2与直线AE 有两个交点N 1、N 2要在直线x ＝1与直线x ＝m 所夹的区域内（含左、右边界）.当点N 1与点D ′(1，3)重合时，把D ′(1，3)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得m ＝3. ∴m ≥3…………………………………………………………………………②当点N 2与点Q (m ，－m ＋4)重合时，把点Q (m ，－m ＋4)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得答案图3－m ＋4＝－2m 2＋8m －m .解得m 1＝2＋2，m 2＝2－2（不合题意，舍去）. ∴m ≥2＋2…………………………………………………………………………③ 由①、②、③可得符合题意的m 的取值范围为：2＋2≤m ＜498.．。
2017山东济南中考试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(2017济南，1，3分)在实数0，－2，5，3中，最大的是( )A．0 B．－2 C． 5 D．3【答案】D2．(2017济南，2，3分)如图所示的几何体，它的左视图是( )正面A．B．C．D．【答案】A3．(2017济南，3，3分)2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为( )A．0.555×104B．5.55×104C．5.55×103D．55.5×103【答案】C4．(2017济南，4，3分)如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1＝40°，则∠2的度数是( )A．40°B．45°C．50°D．60°abl21CBA【答案】C5．(2017济南，5，3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是( )A．B．C．D．【答案】B6．(2017济南，6，3分)化简a 2＋ab a －b ÷aba －b 的结果是( )A ．a 2B ．a 2a －bC ．a －b bD ．a ＋b b【答案】D7．(2017济南，7，3分)关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A ．－6 B ．－3 C ．3 D ．6 【答案】B8．(2017济南，8，3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．⎩⎨⎧y －8x ＝3y －7x ＝4B ．⎩⎨⎧y －8x ＝37x －y ＝4C ．⎩⎨⎧8x －y ＝3y －7x ＝4D ．⎩⎨⎧8x －y ＝37x －y ＝4【答案】C9．(2017济南，9，3分)如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．23出口出口A E DB C【答案】B10．(2017济南，10，3分)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是( ) A ．12cmB ．24cmC ．63cmD ．123cmABCD【答案】C11．(2017济南，11，3分)将一次函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞－1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．x ＞2 【答案】A12．(2017济南，12，3分)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m ，则石坝的坡度为( ) A ．34B ．3C ．35D ．4ED CA【答案】B13．(2017济南，13，3分)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O ，AB ＝32，E 为OC 上一点， OE ＝1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是( ) A ．35B ．2 2C ．34D ．32G FO ABE【答案】A14．(2017济南，14，3分)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点(－2，0)，(x 0，0)，1＜x 0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b ＞0；②2a ＜b ；③2a －b －1＜0；④2a ＋c ＜0．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C15．(2017济南，15，3分)如图，有一正方形广场ABCD ，图形中的线段均表示直行道路， ⌒BD 表示一条以A 为圆心，以AB 为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A 处有一路灯，O 是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x (m)时，相应影子的长度为y (m)，根据他步行的路线得到y 与x 之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是( )第15题图1GFEAB第15题图2GFEABOxy第15题图3O【答案】D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．(2017济南，16，3分)分解因式：x2－4x＋4＝__________．【答案】(x－2)217．(2017济南，17，3分)计算：│－2－4│＋(3)0＝________________．【答案】718．(2017济南，18，3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是_________________．【答案】9019．(2017济南，19，3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC＝120°，BD＝2AD，则BD的长度为____________cm．【答案】20D EC20．(2017济南，20，3分)如图，过点O的直线AB与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，A(2，1)，直线BC∥y轴，与反比例函数y＝－3kx(x＜0)的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为_________________．xyCA OB【答案】821．(2017济南，21，3分)定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿综或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P (－1，1)，Q (2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A (3，1)，B (5，－3)，C (－1，－5)，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为______________．xy –1123–1123QS TPO【答案】（1，－2）三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．(2017济南，22，7分)（1）先化简，再求值：(a ＋3)2－(a ＋2)(a ＋3)，其中a ＝3． 【解】原式＝a 2＋6a ＋9－(a 2＋2a ＋3a ＋6) ＝ a 2＋6a ＋9－a 2－2a －3a －6) ＝a ＋3． 当a ＝3时， 原式＝3＋3＝6．（2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5≥2(x －2) ①x 2＞x －1 ②【解】由①，得x ≥1.∴不等式组的解集为：1≤x ＜2.23．(2017济南，23，7分)（1）如图，在矩形ABCD ，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB ＝DF ．FECAB证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠BE A . ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD ＝90°.∴∠B ＝∠AFD ＝90°. 又∵AD ＝AE ， ∴△ADF ≌△EB A. ∴AB ＝DF ．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．AOCD【解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠C ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－25°＝65°.24．(2017济南，24，8分)某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？【解】设银杏树的单价是x 元，玉兰树的单价是1.5x 元，则12000x ＋90001.5x＝150. 解得x ＝120.经检验x ＝120是方程的解. ∴1.5x ＝180.答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元， 25．(2017济南，25，8分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最814187652015105人数0（1）统计表中的a ＝________，b ＝___________，c ＝____________； （2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数． 【解】（1）a ＝10，b ＝0.28，c ＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示： 10814187652015105人数（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)． （4）该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数为：(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．26．(2017济南，26，9分)如图1，□OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，A (2，1)，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y ＝kx (x ＞0)的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．yyy第26题图3第26题图2第26题图1FEDBCAO NMBC AOBCAO【解】（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，则AP ＝1，OP ＝2.又∵AB ＝OC ＝3， ∴B (2，4).∵反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ，∴4＝k2.∴k ＝8.∴反比例函数的关系式为y ＝8x．y第26题答案图1PBCAOy第26题答案图2G HNMBC AO（2）设MN 交OB 于点H ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，则BG ＝2，OG ＝4.∴OB ＝22＋42＝2 5.∵点H 是OB 的中点，∴点H (1，2)．∴OH ＝12＋22＝ 5. ∵∠OHN ＝∠OGB ＝90°，∠HON ＝∠GOB ， ∴△OHN ∽△OGB ，∴ON OB ＝OH OG .∴ON2＝4.∴ON ＝2.5. （3）ED ＝BF ．理由：由点A （2,1）可得直线OA 的解析式为y ＝12x ．解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝ ，得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－4．由B (2，4)，点D (4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6. 把y ＝0代入上式，得0＝－x ＋6.解得x ＝6. ∴E (6，0)．∵ED ＝(6－4)2＋(0－2)2＝22，BF ＝(0－2)2＋(6－4)2＝2 2. ∴ED ＝BF ．27．(2017济南，27，9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC 和△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠CAB ＝∠EAD ＝60°，点E ，A ，C 在同一条直线上，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ，CF ，试判断△CEF 的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF 的两条边是否相等，如EF ＝CF ，以下是她的证明过程 证明：延长线段EF 交CB 的延长线于点G ． ∵F 是BD 的中点， ∴BF ＝DF .∵∠ACB ＝∠AED ＝90°， ∴ED ∥CG .∴∠BGF ＝∠DEF . 又∵∠BFG ＝∠DFE ，∴△BGF ≌△DEF ( ). ∴EF ＝FG . ∴CF ＝EF ＝12EG .请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS ，ASA ，AAS ，SSS 中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF 的度数，并判断△CEF 的形状． 问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，判断△CEF 的形状并给出证明．第27题图2第27题图1FEDF DE CC A【解】（1）①证明中所叙述的辅助线如下图所示：第27题答案图1FBC E②证明的括号中的理由是：AAS.（2）△CEF 是等边三角形．证明如下：设AE ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝2a ，AB ＝2b ，DE ＝3a ，BC ＝3b ，CE ＝a ＋b . ∵△BGF ≌△DEF ,∴BG ＝DE ＝3a .∴CG ＝BC ＋BG ＝3(a ＋b )．∵CB CG ＝b (a ＋b )＝b a ＋b ，CA CE ＝b a ＋b ，∴CB CG ＝CACE.又∵∠ACB ＝∠ECG ，∴△ACE ∽△ECG .∴∠CEF ＝∠CAB ＝60°. 又∵CF ＝EF (已证)， ∴△CEF 是等边三角形． （3）△CEF 是等边三角形．证明方法一：如答案图2，过点B 作BN ∥DE ，交EF 的延长线于点N ，连接CN ，则∠DEF ＝∠FN B.又∵DF ＝BF ，∠DFE ＝∠BFN ，∴△DEF ≌△BNF ．∴BN ＝DE ，EF ＝FN ．设AC ＝a ,AE ＝b ,则BC ＝3a ,DE ＝3b ． ∵∠AEP ＝∠ACP ＝90°，∴∠P ＋∠EAC ＝180°． ∵DP ∥BN ，∴∠P ＋∠CBN ＝180°．∴∠CBN ＝∠EA C ． 在△AEC 和△BNC 中， ∵AE BN ＝AE DE ＝ACBC ＝3,∠CBN ＝∠EAC , ∴△AEC ∽△BN C .∴∠ECA ＝∠NC B .∴∠ECN ＝90°. 又∵EF ＝FN ， ∴CF ＝12EN ＝EF .又∵∠CEF ＝60°,∴△CEF 是等边三角形．FEAM FDEA证明方法二：如答案图3，取AB 的中点M ，并连接CM ，FM ，则CM ＝12AB ＝A C.又∵∠CAM ＝60°,∴△ACM 是等边三角形. ∴∠ACM ＝∠AMC ＝60°.∵AM ＝BM ,DF ＝BF ,∴MF 是△ABD 的中位线.∴MF ＝12AD ＝AE 且MF ∥A D .∴∠DAB ＋∠AMF ＝180°.∴∠DAB ＋∠AMF ＋∠AMC ＝180°＋60°＝240°. 即∠DAB ＋∠CMF ＝180°＋60°＝240°. 又∵∠CAE ＋∠DAB ＝360°－∠DAE －∠BAC ＝360°－60°－60＝240°， ∴∠DAB ＋∠CMF ＝∠CAE ＋∠DAB ∴∠CMF ＝∠CAE .又∵CM ＝AC ,MF ＝AE ，∴△CAE ≌△CMF .∴CE ＝CF ,∠ECA ＝∠FCM . 又∵∠ACM ＝∠ACF ＋∠FCM ＝60°, ∴∠ACF ＋∠ECA ＝60°.即∠ECF ＝60°. 又∵CE ＝CF ,∴△CEF 是等边三角形．28．(2017济南，28，9分)如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD 交B C 于点D ，tan ∠OAD ＝2，抛物线M 1：y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过A ，D 两点．（1）求点D 的坐标和抛物线M 1的表达式；（2）点P 是抛物线M 1对称轴上一动点，当∠CP A ＝90°时，求所有符合条件的点P 的坐标； （3）如图2，点E （0，4），连接AE ，将抛物线M 1的图象向下平移m (m ＞0)个单位得到抛物线M 2． ①设点D 平移后的对应点为点D ′，当点D ′ 恰好在直线AE 上时，求m 的值； ②当1≤x ≤m (m ＞1)时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．xy xy x y图3图2图1EEDBC AODBC AODB CAO【解】（1）过点D 作DF ⊥OA 于点F ，则DF ＝6.∵tan ∠OAD ＝DFAF ＝2，∴AF ＝3.∴OF ＝1.∴D (1，6).把A (4，0)，D (1，6)分别代入 y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧0＝16a ＋4b 6＝a ＋b .解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8. ∴抛物线M 1的表达式为：y ＝－2x 2＋8x . xy FDBCAOxy P 2P 1MNDBCAO(2)连接AC ，则AC ＝42＋62＝213.∵y ＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8， ∴抛物线M 1的对称轴是直线x ＝2． 设直线x ＝2交OA 于点N ，则N (2，0).以AC 为半径作⊙M ，交直线x ＝2于P 1、P 2两点，分别连接P 1C 、P 1A 、P 2C 、P 2A ，则点P 1、P 2两点就是符合题意的点，且这两点的横坐标都是2． ∵点M 是AC 的中点，∴点M （2,3）．∴MN ＝2. ∵P 1M 是Rt △CP 1A 的斜边上的中线，∴P 1M ＝12AC ＝13.∴P 1N ＝MN ＋ P 1M ＝3＋13. ∴点P 1(2，3＋13).同理可得点P 2(2，3－13).（3）由A (4，0)，点E （0，4）可得直线AE 的解析式为y ＝－x ＋4. ①点D (1，6)平移后的对应点为点D ′(1，6－m )，∵点D ′ 恰好在直线AE 上 ∴6－m ＝－1＋4. 解得m ＝3.∴D ′(1，3)，m ＝3.xy答案图3D'EDBC AOxy答案图4N 2N 1Q D 'O 'EDBCAO②如答案图4，作直线x ＝1,它与直线AE 的交点就是点D ′(1，3).作直线x ＝m 交直线AE 于点Q (m ，－m ＋4).设抛物线M 2的解析式为y ＝－2x 2＋8x －m ．若要直线AE 与抛物线M 2有两个交点N 1、N 2，则关于x 的一元二次方程－2x 2＋8x －m ＝－x ＋4有两个不相等的实数根，将该方程整理，得2x 2＋9x ＋m ＋4＝0. 由△＝92－4×2(m ＋4)＞0，解得m ＜498.又∵m ＞1，∴1＜m ＜498.…………………………………………………………………………①∵1≤x ≤m (m ＞1)，∴抛物线M 2与直线AE 有两个交点N 1、N 2要在直线x ＝1与直线x ＝m 所夹的区域内（含左、右边界）. 当点N 1与点D ′(1，3)重合时，把D ′(1，3)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得m ＝3. ∴m ≥3…………………………………………………………………………②当点N 2与点Q (m ，－m ＋4)重合时，把点Q (m ，－m ＋4)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得 －m ＋4＝－2m 2＋8m －m .解得m 1＝2＋2，m 2＝2－2（不合题意，舍去）. ∴m ≥2＋2…………………………………………………………………………③ 由①、②、③可得符合题意的m 的取值范围为：2＋2≤m ＜498.．。
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第1页（共58页）2017年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(3分）在实数0，﹣2，，3中，最大的是( )A．0 B．﹣2 C ． D．32．(3分）如图所示的几何体,它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为( )A．0。
555×104B．5。
55×104C．5。
55×103D．55.5×1034．（3分）如图，直线a∥b,直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°,则∠2的度数是( )第2页（共58页）A．40°B．45°C．50°D．60°5．（3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥,下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（)A ．B ．C ．D ．6．(3分）化简÷的结果是（）A．a2B ．C ．D ．7．（3分）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2,则另一个根是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．68．(3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八,盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何?译文:今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱;每人出7钱,又会差4钱,问人数、物价各是多少?设合伙人数为x人,物价为y钱，以下列出的方程组正确的是( ）A ．B ．第3页（共58页）C ．D ．9．(3分）如图,五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开,则她选择从A入口进入、从C，D出口离开的概率是（）A ．B ．C ．D ．10．（3分）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是( ）A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm11．（3分)将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y＞0时，x的取值范围是（)A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．x＞2第4页（共58页）12．（3分）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量的杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A ．B．3 C ．D．413．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3，E为OC上一点,OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（)A ．B．2C ．D ．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象经过点(﹣2，0)，（x0,0）,1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0,﹣2)的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．4第5页（共58页）15．（3分）如图1，有一正方形广场ABCD ，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯,O 是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m)时,相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x 之间关系的大致图象如图3,则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分)16．(3分）分解因式：x2﹣4x+4= ．17．(3分）计算：｜﹣2﹣4｜+（）0= ．18．（3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是．第6页（共58页）19．（3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为cm．20．（3分)如图，过点O的直线AB与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A（2，1），直线BC∥y轴，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点C，连接AC,则△ABC 的面积为．21．（3分)定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图,若P（﹣1，1)，Q（2，3),第7页（共58页）则P，Q的“实际距离"为5，即PS+SQ=5或PT+TQ=5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A,B，C三个小区的坐标分别为A（3，1)，B（5，﹣3），C（﹣1，﹣5），若点M表示单车停放点，且满足M到A,B，C的“实际距离"相等，则点M的坐标为．22．（6分)(1）先化简，再求值：(a+3）2﹣(a+2)（a+3)，其中a=3．(2)解不等式组：．于点F．求证：AB=DF．23．（4分)如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE第8页（共58页）25．（8分）某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境,购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1。
2017山东济南中考试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．(2017济南，1，3分)在实数0，－2，5，3中，最大的是( ) A ．0B ．－2C ．5D ．32．(2017济南，2，3分)如图所示的几何体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．3．(2017济南，3，3分)2017年5月5日国产大型客机C 919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为( ) A ．0.555×104B ．5.55×104C ．5.55×103D ．55.5×1034．(2017济南，4，3分)如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，AC ⊥AB 交b 于点C ，∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．(2017济南，5，3分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是( )a bA ．B ．C ．D ．6．(2017济南，6，3分)化简a 2＋ab a －b ÷aba －b 的结果是( )A ．a 2B ．a 2a －bC ．a －b bD ．a ＋b b7．(2017济南，7，3分)关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A ．－6B ．－3C ．3D ．68．(2017济南，8，3分)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．⎩⎨⎧y －8x ＝3y －7x ＝4B ．⎩⎨⎧y －8x ＝37x －y ＝4C ．⎩⎨⎧8x －y ＝3y －7x ＝4D ．⎩⎨⎧8x －y ＝37x －y ＝49．(2017济南，9，3分)如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．2310．(2017济南，10，3分)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是( ) A ．12cmB ．24cmC ．63cmD ．123cm出口出口11．(2017济南，11，3分)将一次函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞－1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．x ＞212．(2017济南，12，3分)如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m ，则石坝的坡度为( ) A ．34B ．3C ．35D ．413．(2017济南，13，3分)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O ，AB ＝32，E 为OC 上一点， OE ＝1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是( ) A ．3105B ．22C ．354D ．322EA14．(2017济南，14，3分)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点(－2，0)，(x 0，0)，1＜x 0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b ＞0；②2a ＜b ；③2a －b －1＜0；④2a ＋c ＜0．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．(2017济南，15，3分)如图，有一正方形广场ABCD ，图形中的线段均表示直行道路，⌒BD 表示一条以A 为圆心，以AB 为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A 处有一路灯，O 是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x (m)时，相应影子的长度为y (m)，根据他步行的路线得到y 与x 之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是( ) A ．A →B →E →G B ．A →E →D →CC ．A →E →B →FD ．A →B →D →C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．(2017济南，16，3分)分解因式：x 2－4x ＋4＝__________．17．(2017济南，17，3分)计算：│－2－4│＋(3)0＝________________．18．(2017济南，18，3分)在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是_________________．AB第15题图1第15题图2第15题图319．(2017济南，19，3分)如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为300πcm 2，∠BAC ＝120°，BD ＝2AD ，则BD 的长度为____________cm ．20．(2017济南，20，3分)如图，过点O 的直线AB 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，A (2，1)，直线BC ∥y 轴，与反比例函数y ＝－3kx (x ＜0)的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为_________________．21．(2017济南，21，3分)定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿综或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P (－1，1)，Q (2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A (3，1)，B (5，C－3)，C(－1，－5)，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为______________．DACCB DBCBC ABACD【答案】(x－2)2790208（1，－2）三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．(2017济南，22，7分)（1）先化简，再求值：(a＋3)2－(a＋2)(a＋3)，其中a＝3．【解】原式＝a2＋6a＋9－(a2＋2a＋3a＋6)＝a2＋6a＋9－a2－2a－3a－6)＝a＋3．当a＝3时，原式＝3＋3＝6．（2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5≥2(x －2) ①x 2＞x －1 ②【解】由①，得x ≥1. 由②，得x ＜2.∴不等式组的解集为：1≤x ＜2. 23．(2017济南，23，7分)（1）如图，在矩形ABCD ，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB ＝DF ．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠BE A . ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD ＝90°. ∴∠B ＝∠AFD ＝90°. 又∵AD ＝AE ， ∴△ADF ≌△EB A. ∴AB ＝DF ．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．【解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠C ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－25°＝65°.ECABCD24．(2017济南，24，8分)某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？ 【解】设银杏树的单价是x 元，玉兰树的单价是1.5x 元，则12000x ＋90001.5x＝150. 解得x ＝120.经检验x ＝120是方程的解. ∴1.5x ＝180.答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元， 25．(2017济南，25，8分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：（1）统计表中的a ＝________，b ＝___________，c ＝____________； （2）请将频数分布表直方图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．【解】（1）a ＝10，b ＝0.28，c ＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：8141887652015105人数0（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)． （4）该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数为：(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．26．(2017济南，26，9分)如图1，□OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，A (2，1)，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y ＝kx (x ＞0)的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．【解】（1）过点A 作AP ⊥x 轴于点P ，则AP ＝1，OP ＝2.又∵AB ＝OC ＝3， ∴B (2，4).本∵反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过的B ，∴4＝k2.∴k ＝8.∴反比例函数的关系式为y ＝8x．（2）设MN 交OB 于点H ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，则BG ＝2，OG ＝4.∴OB ＝22＋42＝2 5.∵点H 是OB 的中点，∴点H (1，2)．∴OH ＝12＋22＝ 5. ∵∠OHN ＝∠OGB ＝90°，∠HON ＝∠GOB ， ∴△OHN ∽△OGB ，∴ON OB ＝OH OG .∴ON 25＝54.∴ON ＝2.5. （3）ED ＝BF ．理由：由点A （2,1）可得直线OA 的解析式为y ＝12x ．解方程组⎩⎨⎧y ＝12x y ＝8x，得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－4．∵点D 在第一象限，∴D (4，2)．由B (2，4)，点D (4，2)可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6. 把y ＝0代入上式，得0＝－x ＋6.解得x ＝6. ∴E (6，0)．∵ED ＝(6－4)2＋(0－2)2＝22，BF ＝(0－2)2＋(6－4)2＝2 2. ∴ED ＝BF ．27．(2017济南，27，9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC 和△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠CAB ＝∠EAD ＝60°，点E ，A ，C 在同一条直线上，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ，CF ，试判断△CEF 的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF 的两条边是否相等，如EF ＝CF ，以下是她的证明过程请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS ，ASA ，AAS ，SSS 中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF 的度数，并判断△CEF 的形状． 问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，判断△CEF 的形状并给出证明．第27题图2第27题图1CC【解】（1）①证明中所叙述的辅助线如下图所示：②证明的括号中的理由是：AAS.（2）△CEF 是等边三角形．证明如下：设AE ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝2a ，AB ＝2b ，DE ＝3a ，BC ＝3b ，CE ＝a ＋b . ∵△BGF ≌△DEF ,∴BG ＝DE ＝3a .∴CG ＝BC ＋BG ＝3(a ＋b )． ∵CB CG ＝3b 3(a ＋b )＝b a ＋b ，CA CE ＝b a ＋b ，∴CB CG ＝CA CE .又∵∠ACB ＝∠ECG ，∴△ACE ∽△ECG . ∴∠CEF ＝∠CAB ＝60°. 又∵CF ＝EF (已证)， ∴△CEF 是等边三角形． （3）△CEF 是等边三角形．证明方法一：如答案图2，过点B 作BN ∥DE ，交EF 的延长线于点N ，连接CN ，则∠DEF ＝∠FN B.又∵DF ＝BF ，∠DFE ＝∠BFN ，∴△DEF ≌△BNF ．∴BN ＝DE ，EF ＝FN ． 设AC ＝a ,AE ＝b ,则BC ＝3a ,DE ＝3b ． ∵∠AEP ＝∠ACP ＝90°，∴∠P ＋∠EAC ＝180°． ∵DP ∥BN ，∴∠P ＋∠CBN ＝180°．∴∠CBN ＝∠EA C ． 在△AEC 和△BNC 中， ∵AE BN ＝AE DE ＝AC BC ＝33,∠CBN ＝∠EAC , ∴△AEC ∽△BN C .∴∠ECA ＝∠NC B .∴∠ECN ＝90°. 又∵EF ＝FN ，第27题答案图1BC A∴CF ＝12EN ＝EF .又∵∠CEF ＝60°, ∴△CEF 是等边三角形．证明方法二：如答案图3，取AB 的中点M ，并连接CM ，FM ，则CM ＝12AB ＝A C.又∵∠CAM ＝60°,∴△ACM 是等边三角形. ∴∠ACM ＝∠AMC ＝60°.∵AM ＝BM ,DF ＝BF ,∴MF 是△ABD 的中位线.∴MF ＝12AD ＝AE 且MF ∥A D .∴∠DAB ＋∠AMF ＝180°.∴∠DAB ＋∠AMF ＋∠AMC ＝180°＋60°＝240°. 即∠DAB ＋∠CMF ＝180°＋60°＝240°.又∵∠CAE ＋∠DAB ＝360°－∠DAE －∠BAC ＝360°－60°－60＝240°， ∴∠DAB ＋∠CMF ＝∠CAE ＋∠DAB ∴∠CMF ＝∠CAE . 又∵CM ＝AC ,MF ＝AE ，∴△CAE ≌△CMF .∴CE ＝CF ,∠ECA ＝∠FCM . 又∵∠ACM ＝∠ACF ＋∠FCM ＝60°, ∴∠ACF ＋∠ECA ＝60°.即∠ECF ＝60°. 又∵CE ＝CF ,∴△CEF 是等边三角形． 28．(2017济南，28，9分)如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD 交B C 于点D ，tan ∠OAD ＝2，抛物线M 1：y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过A ，D 两点．第27题答案图2N第27题答案图3C（1）求点D 的坐标和抛物线M 1的表达式；（2）点P 是抛物线M 1对称轴上一动点，当∠CP A ＝90°时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，点E （0，4），连接AE ，将抛物线M 1的图象向下平移m (m ＞0)个单位得到抛物线M 2．①设点D 平移后的对应点为点D ′，当点D ′ 恰好在直线AE 上时，求m 的值； ②当1≤x ≤m (m ＞1)时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．【解】（1）过点D 作DF ⊥OA 于点F ，则DF ＝6.∵tan ∠OAD ＝DFAF ＝2，∴AF ＝3.∴OF ＝1.∴D (1，6).把A (4，0)，D (1，6)分别代入 y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧0＝16a ＋4b 6＝a ＋b .解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8. ∴抛物线M 1的表达式为：y ＝－2x 2＋8x .(2)连接AC ，则AC ＝42＋62＝213. ∵y ＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8， ∴抛物线M 1的对称轴是直线x ＝2． 设直线x ＝2交OA 于点N ，则N (2，0).以AC 为半径作⊙M ，交直线x ＝2于P 1、P 2两点，分别连接P 1C 、P 1A 、P 2C 、P 2A ，则点P 1、P 2两点就是符合题意的点，且这两点的横坐标都是2． ∵点M 是AC 的中点，∴点M （2,3）．∴MN ＝2.∵P 1M 是Rt △CP 1A 的斜边上的中线，∴P 1M ＝12AC ＝13.∴P 1N ＝MN ＋ P 1M ＝3＋13. ∴点P 1(2，3＋13). 同理可得点P 2(2，3－13).（3）由A (4，0)，点E （0，4）可得直线AE 的解析式为y ＝－x ＋4. ①点D (1，6)平移后的对应点为点D ′(1，6－m )，∵点D ′ 恰好在直线AE 上 ∴6－m ＝－1＋4. 解得m ＝3. ∴D ′(1，3)，m ＝3.②如答案图4，作直线x ＝1,它与直线AE 的交点就是点D ′(1，3).作直线x ＝m 交直线AE 于点Q (m ，－m ＋4).设抛物线M 2的解析式为y ＝－2x 2＋8x －m ．若要直线AE 与抛物线M 2有两个交点N 1、N 2，则关于x 的一元二次方程－2x 2＋8x －m ＝－x ＋4有两个不相等的实数根，将该方程整理，得2x 2＋9x ＋m ＋4＝0. 由△＝92－4×2(m ＋4)＞0， 解得m ＜498.又∵m ＞1，∴1＜m ＜498.…………………………………………………………………………①∵1≤x ≤m (m ＞1)，∴抛物线M 2与直线AE 有两个交点N 1、N 2要在直线x ＝1与直线x ＝m 所夹的区域内（含左、右边界）.当点N 1与点D ′(1，3)重合时，把D ′(1，3)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得m ＝3. ∴m ≥3…………………………………………………………………………②当点N 2与点Q (m ，－m ＋4)重合时，把点Q (m ，－m ＋4)的坐标代入y ＝－2x 2＋8x －m ，可得－m ＋4＝－2m 2＋8m －m .解得m 1＝2＋2，m 2＝2－2（不合题意，舍去）.答案图3∴m ≥2＋2…………………………………………………………………………③ 由①、②、③可得符合题意的m 的取值范围为：2＋2≤m ＜498.．。
2017年山东省济南市市中区中考数学三模试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣ B．C．﹣2 D．22．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．3．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（）A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×1094．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．30°5．下列运算正确的是（）A．﹣=B．（﹣3）2=6 C．3a4﹣2a2=a2D．（﹣a3）2=a56．下列是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．下列说法正确的是（）A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件B．审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为8．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N9．化简分式÷，正确的结果是（）A． B．C．a﹣1 D．a10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（2，0）11．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定12．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）A．y=x+5 B．y=x+10 C．y=﹣x+5 D．y=﹣x+1013．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75 B．4.8 C．5 D．414．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A．B．C．D．15．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．分解因式：a3﹣a= ．17．计算：﹣0﹣4cos45°=．18．有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的中位数是．19．不等式的解集是．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．21．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S=1，则正方形ABCD的面积是6+4△OGF其中正确有．三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．（1）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．（2）解方程： =．23．（1）如图1，已知AD=BC ，AC=BD ．求证：△ADB ≌△BCA ．（2）如图2，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至点C ，使AC=3BC ，CD 与⊙O 相切于点D ，若CD=，求⊙O 的半径．24．有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18吨，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38吨，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满．两种车型的载重量各是多少？25．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t ），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t 且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？（3）从月均用水量在2≤x ＜3，8≤x ＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．26．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．27．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE ⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）28．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y 轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）说明ED是⊙P的切线，若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线上吗？请说明理由；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017年山东省济南市市中区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣ B．C．﹣2 D．2【考点】14：相反数．【分析】依据相反数的定义求解即可．【解答】解：﹣2的相反数是2．故选：D．2．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据几何体的三视图，即可解答．【解答】解：根据图形可得主视图为：故选：C．3．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（）A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×109【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108．故选：A．4．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．30°【考点】JA：平行线的性质．【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD 的度数．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1=∠ABC=50°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB=90°．∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．∴∠BCD=40°．故选：C．5．下列运算正确的是（）A．﹣=B．（﹣3）2=6 C．3a4﹣2a2=a2D．（﹣a3）2=a5【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】根据二次根式的加减法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方即可做出判断．【解答】解：A、﹣=2﹣=，故正确；B、（﹣3）2=9，故错误；C、3a4﹣2a2不是同类项不能合并；故错误；D、（﹣a3）2=a6，故错误；故选A．6．下列是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．7．下列说法正确的是（）A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件B．审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法C．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为【考点】X6：列表法与树状图法；V2：全面调查与抽样调查；W1：算术平均数；W7：方差；X1：随机事件．【分析】由随机事件和必然事件的定义得出A错误，由统计的调查方法得出B错误；由方差的性质得出C正确，由概率的计算得出D错误；即可得出结论．【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上不是必然事件，是随机事件，选项A错误；B、审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项B错误；C、甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项C正确；D、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为，不是，选项D错误；故选：C．8．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【考点】SC：位似变换．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．9．化简分式÷，正确的结果是（）A． B．C．a﹣1 D．a【考点】6A：分式的乘除法．【分析】根据分式的乘除法即可求出答案．【解答】解：原式=×=a，故选（D）10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（2，0）【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选C．11．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．【分析】求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，三角形三边长为2，5，8，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三角形三边长为4，5，8，周长为4+5+8=17，故选B12．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）A．y=x+5 B．y=x+10 C．y=﹣x+5 D．y=﹣x+10【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；LB：矩形的性质．【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据题意可得到x、y之间的关系式，可得出答案．【解答】解：设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2（x+y）=10，∴x+y=5，即y=﹣x+5，故选C．13．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.75 B．4.8 C．5 D．4【考点】MC：切线的性质；KS：勾股定理的逆定理．【分析】设QP中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时由直角三角形ABC的面积等于两直角边乘以的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD来求出，根据面积相等可得出CD的长，即为线段PQ长度的最小值．【解答】解：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，且S△ABC=BC•CA=CD•AB，∴CD=4.8．故选B．14．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉．【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：当x≤4时，y=6×8﹣（x•2x）=﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y=48﹣8x=﹣8x+48，此时函数的图象为直线y=﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．结合四个选项的图象知选A项．故选：A．15．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【考点】59：因式分解的应用；4I：整式的混合运算；H7：二次函数的最值．【分析】根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．分解因式：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．17．计算：﹣0﹣4cos45°=﹣1 ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣0﹣4cos45°=2﹣1﹣4×=2﹣1﹣2=﹣1故答案为：﹣1．18．有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的中位数是 5 ．【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．【分析】首先根据平均数的概念求出a的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：∵该组数据的平均数为5，∴=5，∴a=5，将这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，7，可得中位数为：5．故答案为：5．19．不等式的解集是﹣5≤x＜2 ．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣5，由②得，x＜2，不等式组的解集为：﹣5≤x＜2．故答案为：﹣5≤x＜2．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【考点】L8：菱形的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱形ABCD=底×高=2×2=4，故答案为4．21．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S=1，则正方形ABCD的面积是6+4△OGF其中正确有①④⑤．【考点】LO：四边形综合题．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，在用锐角三角函数即可判断；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF 时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，在Rt△ADE中，tan∠AED=＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确．∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF=═2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，∴S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤共三个．故答案为①④⑤．三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．（1）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．（2）解方程： =．【考点】B3：解分式方程；4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入即可解答本题；（2）根据解分式方程的方法可以解答此方程，注意分式方程要检验．【解答】解：（1）a（a﹣2b）+（a+b）2=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，当a=﹣1，b=时，原式==2+2=4；（2）=方程两边同乘以x（x﹣2），得x﹣2=3x移项及合并同类项，得2x=﹣2系数化为1，得x=﹣1，经检验，x=﹣1是原分式方程的解，故原分式方程的解是x=﹣1．23．（1）如图1，已知AD=BC，AC=BD．求证：△ADB≌△BCA．（2）如图2，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至点C，使AC=3BC，CD与⊙O相切于点D，若CD=，求⊙O的半径．【考点】ME：切线的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据全等三角形的判定即求证；（2）连接OD，利用AC=3BC可知OB=OC，在Rt△ODC中，cos∠DOC==，从而可知∠DOC=60°，∠AOD=120°，在Rt△POC中，利用勾股定理即可求出OD的长度．【解答】解：在△ADB与△BCA中，∴△ADB≌△BCA（SSS）（2）连接OD，∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，∴∠ODC=90°，∵AC=3BC，AB=2OB，∴OB=BC，∴OB=OC又OB=OD，∴OD=OC在Rt△ODC，cos∠DOC==，∴∠DOC=60°，∴∠AOD=120°在Rt△POC中，由勾股定理可知：OD2+DC2=OC2，∵CD=，∴OD 2+3=4OD 2， ∴OD=124．有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18吨，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38吨，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满．两种车型的载重量各是多少？ 【考点】9A ：二元一次方程组的应用．【分析】设一辆大卡车的载重量为x 吨，一辆小卡车的载重量为y 吨，根据“第一次运送18吨，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38吨，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设一辆大卡车的载重量为x 吨，一辆小卡车的载重量为y 吨， 根据题意得：，解得：．答：一辆大卡车的载重量为8吨，一辆小卡车的载重量为2吨．25．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t ），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；（2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总数是：2÷4%=50（户），则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%=6（户），则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：×100%=30%．（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；（3）在2≤x ＜3范围的两户用a 、b 表示，8≤x ＜9这两个范围内的两户用1，2表示．则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是： =．26．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B 、与y 轴交于点A ，与反比例函数y=的图象在第二象限交于C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点D 是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ．如果S △BAF =4S △DFO ，求点D 的坐标．（3）若动点D 在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC 与线段DB 之差达到最大时，求点D 的坐标．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．【解答】解：（1）∵tan∠ABO=，∴=，且OB=4，∴OA=2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴=，即=，解得CE=3，∴C（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣；（2）设D（x，﹣），∵D在第四象限，∴DF=x，OF=，∴S△DFO=DF•OF=x×=3，由（1）可知OA=2，∴AF=x+，∴S△BAF=AF•OB=（x+）×4=2（x+），∵S△BAF=4S△DFO，∴2（x+）=4×3，解得x=3+或x=3﹣，当x=3+时，﹣的值为3﹣，当x=3﹣时，﹣的值为3+，∵D在第四象限，∴x=3﹣不合题意，舍去，∴D（3+，3﹣）；（3）∵D在第四象限，∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得，解得，∴直线AB解析式为y=﹣x+2，联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或（舍去），∴D（6，﹣1），即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）．27．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE ⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．28．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y 轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）说明ED是⊙P的切线，若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线上吗？请说明理由；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解直角三角形得到D（0，2），设抛物线的解析式为y=（x+4）（x﹣2），把D（0，2）即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠CDO，于是得到CD为⊙P的直径，根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线；E点的对应点E′不会落在抛物线上，根据相似三角形的想知道的DE=3，根据旋转的想知道的E点的对应点在射线DC上，而点D，C在抛物线上，于是得到点E′不能在抛物线上；（3）根据二次函数的解析式得到M（﹣1，），由B（﹣4，0），D（0，2），当BM为平行四边形BDMN的对角线时，当DM为平行四边形BDMN的对角线时，当BD为平行四边形BDMN的对角线时，根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵C点坐标为（2，0），BC=6，∴B（﹣4，0），在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，∴OD=2tan60°=2，∴D（0，2），设抛物线的解析式为y=（x+4）（x﹣2），把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴， ==，∴，∵∠DAE=∠DCB，∴△AED∽△DCB，∴∠ADE=∠CDO，∵∠ADE+∠ODE=90°，∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠DOC=90°，∴CD为⊙P的直径，∴ED是⊙P的切线；E点的对应点E′不会落在抛物线上，理由：∵△AED∽△COD，∴，即=，解得：DE=3，∵∠CDE=90°，DE＞DC，∴将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点在射线DC上，而点D，C在抛物线上，∴点E′不能在抛物线上；（3）存在，∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+，∴M（﹣1，），∵B（﹣4，0），D（0，2），如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到B，则点M（﹣1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到N1（﹣5，）；当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到D，则点M（﹣1，）向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到N2（3，）；当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向右平移1个单位，再向下平移个单位得到D，则点B（﹣4，0）向右平移1个单位，再向下平移个单位得到N3（﹣3，﹣）；综上所述，以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，点N的坐标为（﹣5，）或（3，）或（﹣3，﹣）．。
