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论正切数戴煦数的计数意义

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第29卷　第4期2008年12月内蒙古农业大学学报Journal of Inne r Mongolia Agricultura l Universit yVol .29　No .4Dec .2008论正切数(戴煦数)的计数意义3沙　娜1,　罗见今2(1.　浙江科技学院理学系,杭州　310023;2.　浙江大学科技与文化研究所,杭州　310028)摘要:　正切数(戴煦数)是1种与欧拉数相匹配的特殊函数和计数函数,作为独立的数学对象,19世纪中叶开始引起中外数学家的注意。

本文着重分析了正切数在组合数学计数理论中的意义,简介西方数学家J.Greg ory(1671),Schlo m ich(1857),Andre (1879,1881,1883,1894,1895),Estanave (1902),Schwa rt z (1931),Tos cano (1936),Entrenge r (1966)和K nut h,B uckholt z (1967)的成果。

主要介绍晚清浙江数学家徐有壬(1840年前)、戴煦(1852)在中国数学史上的开创性工作和数学史界李俨(1955)等的研究。

关键词:　数学史;　正切数(戴煦数);　欧拉数;　特殊函数;　计数函数中图分类号:　Q174.6 文献标识码:　A 文章编号:1009-3575(2008)04-0216-05T ANGE NTNUMBERS (D A IX U N UMBERS ):I TSMEA N ING IN T HEC O UNTING THE ORY OF C OMB IN AT OR ICSS HA N a,　LUO J ian -jin(Institut e of S &T and Culture,Zhej ia ng U niversity ,Hangzhou 310028China)Abs tra c t:　As a s pecia l functi on and counting functi on,Da i Xu ’s number (tang ent nu mber)is ma tching with Euler ’s nu m ber (se 2cant nu m be r ),but a s a s e lf -existent ma thema tics re search objec t,Chinese and weste rn ma t hema ticians p ay att enti on t o it till in the m iddle of 19th century .This pape r intends t o s how,wha t is tangent nu mber and its meaning in the counti ng theory of combina t orics .W e si mply introduce t he study of we stern m athem atic ians,s uch as Schlo m ich (1857),Andre (1879,1881,1883,1894,1895),Estanave (1902),Schwa rt z (1931),Tos cano (1936),Entrenge r (1966)and K nuth,B uckholt z (1967).This paper ma i nly re s ea rch the initia ting j ob of Chine se ma t he m aticians in the Qing Dynasty,such as Xu Y ouren (徐有壬,before 1840),Da i Xu (戴煦,1852),and p resents the re sea rch works by L i Yan (李俨,1955),e td .The hist ory of ma t he m atics;　tangent number;　Eule r ’s number;　s pecial function;　counting func ti onKe y wo rd s:　Hist ory of m athema tic s ;Tangent numbe rs(daixu nu mbers);Euler ’s na m be r;Spec ial func tion;Counting func tion1　正切数的意义所谓正切数(戴煦数),是指tan x 展开为x 的无穷幂级数,当分母表为阶乘时,分子所构成的无穷正整数序列。

本文用D n 来表示。

通常用E n 来表示与正切数相匹配的欧拉数。

tan x =∑∞n =1D n(2n -1)!x2n -1, sec x =∑∞n =0E n(2n )!x 2n,(0x 0<π2) 当n =1,2,…,60时,D n :1,2,16,272,7936,353792,22368256,1903757312,209865342976,3收稿日期　3基金项目　教育部重大项目“晚清科学技术研究”(5D )作者简介　沙娜(55—),女,副教授,主要研究方向为科技史和物理:2008-11-0:0JJ 770018:19.29088885112832(以上戴煦[1],1852),4951498053124096,…。

以下至n =60时的D n 值由Knuth,B uckho ltz 在1967年用计算机获得[2],略去。

作为数学名词,“正切数”产生得比较晚,一些著作、论文这样称呼它[3],开始变成通用的名称。

类似地,却没有“正割数”的说法———实际上就是著名的欧拉数。

这反映出在西方数学史中对欧拉数的研究远比正切数重视。

当涉及到D n 时,通常用伯努利数B n 来表示:D n=22n (22n-1)2n B n (n >0),上式就写成tan x ∑∞n =022n (22n -1)B n (2n )!x 2n -1,与正切数相关联,欧拉数是指sec x 展开为x 的无穷幂级数当分母表为阶乘时,分子所构成的无穷正整数序列E n 。

当n =0,1,2,…,9时,E n :1,1,5,61,1385,50521,2702765,199360981,19391512145,2404879675441(戴煦[1],1852)。

欧拉数很有名,在西方文献中有许多研究;Knuth,Buckholtz [2]在求出前60个正切数的同时也求出欧拉数的前61项。

由于两者密不可分,在定义正切数时,必然涉及欧拉数。

它们可从多种角度定义。

先看它们作为特殊函数时的情况。

两者的指数型生成函数(指母函数)为:tanh x =e 2x-1e 2x +1=∑∞n =0D n x n n !,sech x =2e xe 2x +1=∑∞n =0E n xnn!(0x 0<π2) 设欧拉多项式(Euler ’s polynom ial )为E n (x ),则D n =2nE n (1),n 奇时D n 非零:E n =2nE n (1/2),n 偶时E n 非零。

两者可由不止一种积分求得。

设伯努利多项式(B ernoulli polynom ial)为B n (x),则D n =22n +1∫112B n(x )dx, En=22n+1∫1214B n(x )d x,D n =22n +1∫∞x2n-1c sch πxdx (n ≥1),E n =22n+1∫∞x 2nsech πxd x (n ≥0) 将伯努利多项式展开为傅立叶级数(Fourier series ),据残数理论,利用黎曼ζ函数(R ie m an zeta function )的性质可以得到两者的如下无穷级数:D n=22n (2n )!n π2n (1+132n +152n +……),E n =22n +2(2n )!n π2n +1(1+132n+1+152n +1-……), 作为计数函数,两者的互反公式和递推公式分别为D n =∑nk =0(nk )E k,(n ≥1)E n =1-∑nk =0(nk )Dk,(n ≥0)D n =∑nk =1(-1)n-k2n -12k -1E k ,E n =∑nk =1(-1)n -k2n 2k -1D k +(-1)nD n +1=∑nk =0(nk )E kEn-k,(n ≥0) -D n +1=∑nk =0(nk )D kDn -k,(n ≥1)-E n +1=∑nk =0(nk )E kDn -k,(n ≥0) -E n +1=∑nk =0(nk )D kDn -k,(n ≥0) 它们还出现在安德烈(Andr e )的交错排列[4](有文献称为齿排列[5])等公式中D 2n-1=A 2n-1,E 2n =A 2n ,　而　2A n+1=∑nk =0(nk )A kAn -k(n ≥1) 其中A n 作者称为“A ndre 数”,其指数生成函数为[4]:tan (π4+x2)=∑nn =0A nxnn!作为特殊函数、计数函数,与两者相关的定义式、互反公式、关系式等至少有5多个(此不一一注明出处),多成对出现,涉及较多方面,显示了丰富的内涵;另外,由于正切数、欧拉数出现在欧拉多项式、伯努利多项式和多种计数公式中,其记法会出现不一致,应当区别。

可以归结为三种记法[],不然会引起混淆和错712第4期 沙　娜等:　论正切数(戴煦数)的计数意义02乱[6]。

2　中外数学家对正切数的研究概况正切数作为独立的数学对象,19世纪中叶开始引起中外数学家的注意。

徐有壬(1800-1860)是清朝高官,也是晚清著名数学家之一。

字君青(或钧卿),浙江乌程(今湖州市)人。

江苏巡抚,1860年太平军攻克苏州时,徐在阵前被杀。

徐有壬的天算著作大部分收在《务民义斋算学》[7]中,其中《测圆密率》研究无穷级数,在中算史上首次提出正切的无穷级数展开式,列出具有计数意义的10余对互反公式,是他主要成就所在[8]。

李俨先生做了大量工作,将徐有壬的割圆术和30多个无穷级数表示成现代形式[9]。

正切数包含在徐有壬的多个公式中,但尚未给出直接的求值函数。

戴煦(1805-1860),字鄂士,号鹤墅,浙江钱塘(今杭州市)人,晚清著名数学家。

他自幼喜好数学,毕生从事数学研究,和许多当时著名数学家(包括徐有壬在内)有密切联系。

1860年太平军攻克苏州时,戴熙、戴煦兄弟自杀。

戴煦的数学著作收在《求表捷术》[1]中,他对二项展开式、对数展开式、和三角函数的无穷级数展开式的研究是有成绩的。

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8高中数学“正切函数”知识点全解析

8高中数学“正切函数”知识点全解析

高中数学“正切函数”知识点全解析一、引言正切函数是三角函数中的重要一员，具有独特的性质和广泛的应用。

在高中数学中，正切函数是一个重要的教学内容，要求学生掌握其定义、性质、图像和应用。

本文将详细解析高中数学中“正切函数”这一知识点，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

二、正切函数的定义正切函数是一种周期函数，描述了一个角度与其对应的正切值之间的关系。

在直角坐标系中，正切函数的定义如下：对于任意不等于π/2 + kπ (k为整数)的实数x，正切函数y = tanx的值等于正弦函数sinx 与余弦函数cosx的比值，即tanx = sinx / cosx。

这里的x表示角度，通常用弧度制表示。

正切函数的定义域为全体实数去掉形如π/2 + kπ (k为整数)的点，值域为全体实数。

三、正切函数的性质1.周期性：正切函数是周期函数，其最小正周期为π。

即tan(x + π) = tanx，表示正切函数的图像在x轴上每隔π个单位重复出现。

2.奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tanx。

这表明正切函数图像关于原点对称。

3.增减性：在(-π/2, π/2)区间内，正切函数是增函数。

在每个周期内，正切函数的增减性都会重复出现。

4.无界性：正切函数在其定义域内是无界的，即其值可以无限增大或减小。

这意味着正切函数的图像在y轴方向上无限延伸。

5.渐近线：正切函数的图像存在无数条渐近线，即形如x = π/2 + kπ (k为整数)的垂直线。

当x趋近于这些值时，tanx趋近于无穷大或无穷小。

四、正切函数的图像与变换1.基本图像：正切函数的图像是一个连续的曲线，在每个周期内呈现出一个“S”形。

在(-π/2, π/2)区间内，正切曲线从负无穷大增加到正无穷大。

2.图像变换：通过对正切函数进行平移、伸缩等变换，可以得到各种形态的正切曲线。

例如，y = Atan(ωx + φ)表示振幅为A、角频率为ω、初相为φ的正切曲线。

三角函数的公式研究报告

三角函数的公式研究报告

三角函数的公式研究报告三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

在这篇报告中，我们将主要研究三角函数的公式，包括正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及常用公式。

一、正弦函数的定义和性质正弦函数的定义为：对于任意实数x，正弦函数的值等于x与x的角度对应的单位圆上的点的纵坐标。

用数学符号表示为sin(x)。

正弦函数的性质有以下几个方面：1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

这意味着正弦函数在每一段2π的长度上重复自身。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

这表示正弦函数关于原点对称。

3. 值域：正弦函数的值域为[-1,1]，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

二、余弦函数的定义和性质余弦函数的定义为：对于任意实数x，余弦函数的值等于x与x的角度对应的单位圆上的点的横坐标。

用数学符号表示为cos(x)。

余弦函数的性质有以下几个方面：1. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。

这意味着余弦函数在每一段2π的长度上重复自身。

2. 偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

这表示余弦函数关于y轴对称。

3. 值域：余弦函数的值域为[-1,1]，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

余弦函数的最大值为1，最小值为-1。

三、正切函数的定义和性质正切函数的定义为：对于任意实数x，正切函数的值等于x与x的角度对应的单位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值。

用数学符号表示为tan(x)。

正切函数的性质有以下几个方面：1. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。

这意味着正切函数在每一段π的长度上重复自身。

2. 奇性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

这表示正切函数关于原点对称。

3. 值域：正切函数的值域为实数集合R，即tan(x)可以取任意实数值。

三角函数与代数式的运算

三角函数与代数式的运算

三角函数与代数式的运算在数学中，三角函数和代数式是两个常见的数学概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的地位。

本文将探讨三角函数与代数式的运算，并介绍它们之间的关系和相互作用。

一、三角函数的基本定义和性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，表示一个角对应的纵坐标值与正弦线的交点。

其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数的周期为2π，并且具有奇函数的性质，即sin(-x) = -sin(x)。

2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，表示一个角对应的横坐标值与余弦线的交点。

其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数的周期为2π，且具有偶函数的性质，即cos(-x) = cos(x)。

3. 正切函数（tan）正切函数表示一个角的正切值，其定义域为实数集，值域为全体实数。

正切函数的周期为π，它与正弦函数和余弦函数有如下关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)。

二、代数式的基本运算1. 加法和减法在代数式中，加法和减法是最基本的运算，它们常常用于合并和简化代数式。

例如，将两个三角函数相加可得到一个新的代数式，而将两个三角函数相减则得到另一个代数式。

2. 乘法和除法乘法和除法是代数式中常见的运算方法。

在三角函数和代数式的运算中，乘法和除法常常用于改写和简化公式。

例如，将两个三角函数相乘可得到一个新的代数式，而将两个三角函数相除则可得到另一个代数式。

三、1. 三角函数的展开式三角函数的展开式是将一个三角函数表达式用其他三角函数表达的公式。

利用三角函数的展开式，可以简化和求解复杂的三角函数运算。

例如，使用正弦函数的展开式可以将一个复杂的三角函数表达式转化为正弦函数的和差形式。

2. 代数式和三角函数的混合运算在实际问题中，常常需要将代数式和三角函数进行复合运算。

例如，在求解三角方程时，需要使用代数式与三角函数相结合的运算方法。

通过代数式和三角函数的混合运算，可以解决一些复杂的数学问题。

三角函数的基本概念与应用

三角函数的基本概念与应用

三角函数的基本概念与应用三角函数是一个重要的数学概念，其基本形式是sin、cos和tan。

本文将对三角函数的基本概念及其应用进行探讨，以便读者更全面地理解三角函数的意义与作用。

一、三角函数的基本概念三角函数在数学中具有广泛的应用，其中最常见的是对角度的测量。

在数学中，角度是用度数来表示的，而三角函数则是在角度的基础上计算出的正弦、余弦和正切的值。

1. 正弦函数正弦函数是一个以角度作为自变量的函数，它的值在-1到1之间变化。

在三角形中，正弦函数等于对边长除以斜边长。

正弦函数的符号为sin。

2. 余弦函数余弦函数也是一个以角度作为自变量的函数，其值也在-1到1之间变化。

在三角形中，余弦函数等于邻边长除以斜边长。

余弦函数的符号为cos。

3. 正切函数正切函数同样也是一个以角度作为自变量的函数，它的值可以是任意实数。

在三角形中，正切函数等于对边长除以邻边长。

正切函数的符号为tan。

二、三角函数的应用三角函数在日常生活中也有着广泛的应用，如电子技术、物理学、航空航天等。

下面将就三角函数在这些领域的应用进行探讨。

1. 电子技术中的应用在电子技术中，三角函数主要用于计算交流电路中的电压和电流的大小及相位差，从而帮助电子技术人员完成各种复杂的电路设计。

此外，三角函数还可以用于信号的调制和解调，从而实现音频电视信号的传输。

2. 物理学中的应用在物理学中，三角函数主要用于描述物体的运动状态，如运动轨迹、速度、加速度等。

因此，三角函数不仅是物理学中最基础的概念之一，同时也是热力学、电磁学、量子力学等其他领域的基础。

3. 航空航天中的应用在航空航天领域中，三角函数被广泛地应用于导航和飞行控制。

航空指南针和飞机陀螺仪都涉及到三角函数的使用，从而帮助飞行员更准确地掌握飞行器的运动方向和位置。

三、总结三角函数是数学中一个重要的概念，除了在数学理论研究中应用广泛，在日常生活、科学研究以及工程设计中也都有着广泛的应用。

通过掌握三角函数的基本概念和应用，可以更好地理解数学中的相关概念，也可以让我们更好地应用三角函数来解决实际问题。