张小春--雅可比迭代法

雅克⽐迭代算法（JacobiIterativeMethods）--[mpi,c++]雅克⽐迭代，⼀般⽤来对线性⽅程组，进⾏求解。

形如：a11∗x1+a12∗x2+a13∗x3=b1 a21∗x1+a22∗x2+a23∗x3=b2 a31∗x1+a32∗x2+a33∗x3=b3 我们需要求解出x1　，x２　，x３，我们对这组⽅程进⾏变换：x1=１a１1(b１−a１2∗x２−a１3∗x3)　x２=１a21(b2−a2１∗x１−a23∗x3)x３=１a３1(b３−a３１∗x１−a３２∗x２)我们不妨假设x00=(X01,X02,X03) ,当我们代⼊上述公式的时候，我们就会得到⼀组新的x1=(X11,X12,X13) ,此刻我们称之为⼀次迭代.然后我们将得到的X1,X2,X3再次代⼊公式，我们将会得到第⼆次迭代, 当我们重复这种迭代的时候，我们会得到第K次迭代：x k=(X k1,X k2,X k3) , k=1,2,3...n我们将其归纳成⼀般式⼦:eg: 对于⽅程组：求解：我们先将其变形：然后，我们假设：并将其代⼊得到：我们将得到的X1,x2,x3再次代⼊⽅程中，反复迭代,将会得到如下：最终我们将会得到⼀个收敛值，该组值，就是我们得到的解（会⾮常的逼近真实解）那么这种⽅法，也可以⽤来求解矩阵:对于⽅程： Ax =b ; 我们设定 A矩阵为： ,b矩阵为：， x矩阵为：到这⾥，每个⼈都有⾃⼰的解法，直接的解法是将 x = A−1b,但是A的逆矩阵A−1,计算较为复杂，我们这⾥需要⼀点⼩的tricks ,我们将A矩阵拆分成为⼀个对⾓矩阵D,下三⾓矩阵L,上三⾓矩阵U,即这样的话，公式 Ax = b 就变成了 ( D - L -U )x = b ,然后我们就可以得到：D x = b + (L+U)x ，当我们得到这个公式的时候，求解D的逆矩阵就容易了很多，我们得到D的逆矩阵为：然后，我们将D移到右边变成:这个公式，和我们上⾯描述的雅克⽐迭代是不是长得很像，然后我们可以将其⼀般化为：我们知道A是⼀个已知的常量矩阵，因⽽D,L,U都是已知矩阵，那么我们可以简化为：T=D−1∗(L+U) , c=D−1∗b ;根据这⼀个思想，我们可以得到⼀个伪代码：实现代码为:参考资料为:Processing math: 100%。

实验五矩阵的lu分解法，雅可比迭代法班级：学号：：实验五 矩阵的LU 分解法，雅可比迭代一、目的与要求：➢ 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；➢ 会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序；➢ 通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

二、实验内容：➢ 会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序，进一步了解各种方法的优缺点。

三、程序与实例➢ 列主元高斯消去法算法：将方程用增广矩阵[A ∣b ]=(ij a )1n (n )+⨯表示1) 消元过程对k=1,2,…,n-1①选主元，找{}n ,,1k ,k i k +∈使得k ,i k a =ik a ni k max ≤≤ ②如果0a k ,i k =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行③。

③如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，j i k j k a a ↔ j=k,┅,n+1④消元，对i=k+1, ┅,n 计算kk ik ik a a l /=对j=l+1, ┅,n+1计算kj ik ij ij a l a a -=2) 回代过程①若0=nn a ，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行②。

②nn n n n a a x /1,+=；对i=n-1, ┅,2,1,计算ii ni j j ij n i i a x a a x /11,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=+程序与实例程序设计如下：#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;void disp(double** p,int row,int col){for(int i=0;i<row;i++){for(int j=0;j<col;j++)cout<<p[i][j]<<' ';cout<<endl;}}void disp(double* q,int n){cout<<"====================================="<<endl; for(int i=0;i<n;i++)cout<<"X["<<i+1<<"]="<<q[i]<<endl;cout<<"====================================="<<endl; }void input(double** p,int row,int col){for(int i=0;i<row;i++){cout<<"输入第"<<i+1<<"行:";for(int j=0;j<col;j++)cin>>p[i][j];}}int findMax(double** p,int start,int end){int max=start;for(int i=start;i<end;i++){if(abs(p[i][start])>abs(p[max][start]))max=i;}return max;}void swapRow(double** p,int one,int other,int col){double temp=0;for(int i=0;i<col;i++){temp=p[one][i];p[one][i]=p[other][i];p[other][i]=temp;}}bool dispel(double** p,int row,int col){for(int i=0;i<row;i++){int flag=findMax(p,i,row); //找列主元行号if(p[flag][i]==0) return false;swapRow(p,i,flag,col); //交换行for(int j=i+1;j<row;j++){double elem=p[j][i]/p[i][i]; //消元因子 p[j][i]=0;for(int k=i+1;k<col;k++){p[j][k]-=(elem*p[i][k]);}}}return true;}double sumRow(double** p,double* q,int row,int col){ double sum=0;for(int i=0;i<col-1;i++){if(i==row)continue;sum+=(q[i]*p[row][i]);}return sum;}void back(double** p,int row,int col,double* q){for(int i=row-1;i>=0;i--){q[i]=(p[i][col-1]-sumRow(p,q,i,col))/p[i][i]; }}int main(){cout<<"Input n:";int n; //方阵的大小cin>>n;double **p=new double* [n];for(int i=0;i<n;i++){p[i]=new double [n+1];}input(p,n,n+1);if(!dispel(p,n,n+1)){cout<<"奇异"<<endl;return 0;}double* q=new double[n];for(int i=0;i<n;i++)q[i]=0;back(p,n,n+1,q);disp(q,n);delete[] q;for(int i=0;i<n;i++)delete[] p[i];delete[] p;}1. 用列主元消去法解方程⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++035.3643x .5072x .1835x .2137.2623x .43712x 347x .1 1.1833.555x 2.304x 0.101x 321321321例2 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++-12.041.0F 1.02E 3.47D 1.04C 3.54B -6.301.0F2.01E 2.51D 4.04C 5.05B -8.531.0F 1.21E2.92D 1.46C3.53B -20.071.0F 1.10E4.48D 1.21C 4.93B -32.041.0F 1.55E5.66D 2.40C 8.77B 计算结果如下B=-1.461954C= 1.458125D=-6.004824E=-2.209018F= 14.719421➢矩阵直接三角分解法算法：将方程组A x=b 中的A分解为A=LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，则方程组A x=b化为解2个方程组Ly=b，Ux=y，具体算法如下：①对j=1,2,3,…,n计算jjau11=对i=2,3,…,n计算1111/aalii=②对k=1,2,3,…,n:a. 对j=k,k+1,…,n计算∑-=-=11kqqjkqkjkjulaub. 对i=k+1,k+2,…,n计算kkkqqkiqikikuulal/)(11∑-=-=③11by=，对k=2,3,…,n计算∑-=-=11kqqkqkkylby④nnnnuyx/=,对k=n-1,n-2,…,2,1计算kknkqqkqkkuxuyx/)(1∑+=-=注：由于计算u 的公式于计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵[A ∣b ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++1,211,2222211,111211n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a 施行算法②，③，此时U 的第n+1列元素即为y 。

雅可比迭代公式雅可比迭代公式是一种在数值分析中用于求解线性方程组的迭代方法。

咱先来说说这个雅可比迭代公式到底是啥。

比如说，咱有一个线性方程组，像这样：\[\begin{cases}3x - y + z = 7 \\x + 2y - z = 1 \\x - y + 3z = 3\end{cases}\]雅可比迭代公式就是通过一次次的计算来逐渐逼近这个方程组的解。

咱们把这个方程组改写成下面这样：\[\begin{cases}x = \frac{1}{3}(7 + y - z) \\y = \frac{1}{2}(1 - x + z) \\z = \frac{1}{3}(3 - x + y)\end{cases}\]然后，咱就可以开始迭代啦。

先随便给 x、y、z 赋个初值，比如说都设成 0 。

第一次迭代，把初值代入上面的式子算新的值。

就这么一次次算下去，慢慢地，x、y、z 的值就会越来越接近真正的解。

我记得之前给学生们讲这个雅可比迭代公式的时候，有个学生特别有意思。

那是个挺机灵的小男孩，叫小明。

刚开始讲的时候，他一脸迷茫，完全没听懂。

我就给他举了个买糖果的例子。

假设小明有一笔零花钱，准备去买三种糖果，巧克力、水果糖和牛奶糖。

巧克力糖3 块钱一颗，水果糖2 块钱一颗，牛奶糖3 块钱一颗。

小明一共只有 11 块钱，而且他有个想法，就是买的巧克力糖的数量是水果糖和牛奶糖数量总和的三分之一，水果糖的数量是巧克力糖和牛奶糖数量总和的二分之一，牛奶糖的数量是巧克力糖和水果糖数量总和的三分之一。

这时候，咱们不知道每种糖到底买多少颗，那就先随便猜个数。

比如说，先猜巧克力糖买 0 颗，水果糖买 0 颗，牛奶糖也买 0 颗。

然后按照前面说的关系来调整。

第一次调整，算出来巧克力糖应该买 11/3 颗，水果糖应该买 11/4 颗，牛奶糖应该买 11/9 颗。

当然啦，糖可不能买零点几颗，这只是个计算过程。

就这么一次次调整，最后就能算出比较接近真实情况的答案啦。

雅克比迭代法python
-Jacobi迭代法是一种数值计算技术，用于求解非线性系统的迭代方法。

它将
非线性系统拆解为若干个独立的一维或二维子系统，利用迭代过程不断迭代地改进参数，最终收敛到满足约束条件的最优解。

Jacobi迭代法有利于在非线性系统中有效求解问题，它具有以下特点：
1、计算简单：Jacobi迭代法只需要计算每次迭代的细节，不需要求解任何解析表
达式，这种迭代方法可以有效地减少计算量和计算时间；
2、易编译：Jacobi迭代法只需要将等式离散化，然后对每组等式进行迭代，在程
序上比较容易编译；
3、稳定性好：Jacobi迭代法能够很快地收敛到最优解。

因此，Jacobi迭代法在不断优化的求解参数的过程中，以及优化非线性系统
的运算效率上，都具有较高的效率和准确度。

它的优势在于计算简单性和高效的稳定性，可以有效地提升计算效率，作为从大规模非线性系统中求解问题的一种技术，它在机器学习、信号处理、图像处理、线性系统控制、建模和函数优化等诸多领域都得到了广泛应用，受到学术界和实际应用界的高度重视。

雅可比迭代法解线方程组的MPI实现一、概述1.1 研究背景雅可比迭代法是一种常用的迭代法求解线性方程组的方法，通过不断迭代更新变量值，最终达到一定的精度要求。

MPI（Message Passing Interface）是一种消息传递接口，常用于并行计算中，能够充分利用多核和多机的计算资源，提高求解效率。

1.2 研究意义现代科学技术领域中，线性方程组的求解是一个常见且重要的问题。

通过研究雅可比迭代法在MPI并行环境下的实现，可以提高线性方程组求解的效率，促进科学计算领域的发展。

二、雅可比迭代法原理2.1 基本原理雅可比迭代法是一种逐次逼近的方法，通过不断迭代更新变量值，最终达到一定的精度要求。

假设方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为待求解的变量，b为常数向量。

迭代公式如下：x(k+1) = D^(-1)*(b-R*x(k))其中，D为系数矩阵A的对角线部分组成的对角矩阵，R为A的其余部分（不含对角线），k为迭代次数。

2.2 算法流程- 初始化变量x0- 重复执行以下步骤：- 计算新的变量值x(k+1)- 判断迭代是否收敛- 如果达到精度要求，停止迭代；否则，继续迭代三、MPI并行计算简介3.1 MPI概述MPI是一种消息传递接口，常用于并行计算中。

它定义了一组函数和语义，用于在多个进程之间传递消息，实现进程间的通信和同步。

3.2 并行计算模型在MPI并行计算中，通常采用主从模型，其中一个进程作为主进程，负责调度和管理其他子进程，而其他子进程负责实际的计算任务。

主进程可以将任务分发给子进程，并收集子进程的计算结果，实现并行计算。

四、雅可比迭代法在MPI中的实现4.1 算法说明在MPI并行环境下，雅可比迭代法的实现需要考虑如何将计算任务分配给不同的进程，以及如何进行进程间通信和同步。

一般可以采用分块迭代的方式，将系数矩阵A分块并分配给不同的进程，每个进程负责计算自己分配到的部分，然后进行通信和同步，最终得到整体的解。

雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的算法描述一. 雅克比迭代法雅克比迭代法（Jacobi Iteration）是计算数值解的一种迭代方法，它遵循一个简单的步骤：给定问题的初始值，按照一定的规则，用求出某一个矩阵元素，替换当前值，得到下一个矩阵值，重复这个步骤，直到满足某一个条件，即为所求解的结果。

雅克比迭代法求解矩阵问题的一般步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|；（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j≠i)[a(i, j)x(j)])/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。

二. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）是另一种迭代方法，算法的基本思想也是：通过迭代，计算出当前矩阵的第i行第j列的元素xi；然后更新第i行第j列元素的值，继续迭代，直到某种条件满足，即可求出矩阵的解。

高斯-赛德尔迭代法的基本步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|;（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j<i)[a(i, j)x(j)]∑(j>i)[a(i,j)x(j)] )/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。

总结从上面的对比来看，雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的步骤基本一致，均采用迭代的方式求解矩阵A的解X，不同的是，高斯赛德尔迭代法在更新矩阵A的第i行第i列元素时，采用把小于i的j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算，而雅克比迭代法采用把全部j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算。

雅可比迭代法（Jacobi iteration method）是一种用于求解线性方程组的迭代算法。

给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n×n矩阵，x和b是n维向量，雅可比迭代法通过构造一个迭代矩阵来逼近方程的解。

雅可比迭代法的迭代矩阵通常表示为D - L - U，其中D、L和U分别是矩阵A的对角矩阵、严格下三角矩阵和严格上三角矩阵。

具体来说，D的对角线元素是A的对角线元素，L是A 的下三角部分（不包括对角线），U是A的上三角部分（不包括对角线）。

雅可比迭代法的迭代公式为：
x^(k+1) = D^(-1) * (b - (L + U) * x^k)
其中，x^k表示第k次迭代的解向量，D^(-1)是对角矩阵D的逆矩阵。

雅可比迭代法的收敛性取决于迭代矩阵D - L - U的谱半径（即最大特征值的绝对值）。

如果谱半径小于1，则雅可比迭代法收敛；否则，可能不收敛。

在实际应用中，通常会使用其他更高效的迭代方法，如高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel method）或SOR方法（Successive Over-Relaxation method）。

雅可比迭代法一、引言雅可比迭代法，也称为雅可比算法(Jacobi method)，在科学计算领域中应用很广泛，本文重点讲述该算法在迭代进化计算中的应用。

20世纪40年代初，由美国数学家Jacobi和瑞士数学家可夫等人创造。

雅可比迭代法主要步骤如下： 1、初始化； 2、选择一种迭代策略； 3、按照迭代策略执行相应的操作，直至收敛； 4、调整参数使迭代过程收敛，得到最终的收敛速度。

下面将详细介绍这个方法的原理及过程。

1、初始化“雅可比”是一个美国人，因此他不会使用编程来实现自己的想法，但是他对于迭代法非常了解，曾经使用编程来解决两个公开的问题，一个是阿基米德与公元前250年的欧几里德的问题，另一个是荷兰金属铸件需要多少时间来铸成一个合金块。

他研究过可以提高计算效率的任何技术。

20世纪30年代初， Jacobi发现一些只能运行到第n次的迭代法并没有提供尽可能快的收敛速度。

因此，他决定编写一个运行到第n+1次的迭代法，通过检查某种程序的输入输出情况，就可以预测当前执行到哪一步。

2、选择一种迭代策略在给定初始条件，一共有m次迭代，该迭代法一定满足下列条件之一：直到十年后的1973年， Jacobi在美国数学学会会议上才正式提出了雅可比算法(Jacobi algorithm)，而且仅仅限于这个算法本身，并没有对它加以推广，由此可见， Jacobi选择这样一种渐进的发展策略，也许是出于性格上的稳健吧。

3、按照迭代策略执行相应的操作如果你想设计一种运行到第n+1次的迭代法，那么你要选择使计算复杂度为O(n^n)。

的策略(L(n))。

注意(1)此处的复杂度是以数字的形式来表示的；(2)它是针对每一次迭代的计算复杂度。

然后再选择一个初值使函数值在第m次迭代时满足O(n^m)。

3、调整参数使迭代过程收敛，得到最终的收敛速度雅可比迭代法一般情况下，迭代算法的目标函数不收敛，就需要对参数进行调整，而使算法收敛，如果把迭代速度函数和梯度算法进行比较，就可以知道梯度算法存在算法收敛性问题，而雅可比迭代法是满足这一要求的。