河北省正定中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案

河北省正定中学2013-2014学年上学期高二期末考试（数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U R =且}086|{},2|1||{2<+-=>-=x xx B x x A ，则B A C u ⋂)(=（ ）A ．[)4,1-B ．()3,2C ．(]3,2D ．()4,1-2. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.123． 已知命题p 、q ,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1)(,0,20,ln )(>⎩⎨⎧<+>=x f x x x x x f 则 的解集为（ ）A ．(1,0)(0,)e -UB ．(,1)(,)e -∞-+∞UC ．(1,0)(,)e -+∞UD ．(,1)(0,)e -∞-U5． 在△ABC 中，若30A =o，8a =，83b =ABC S ∆等于 （ ）A ．323B ．3C ．3233．36. 如右图, 是一程序框图, 则输出结果为A.49 B. 511 C. 712 D. 6137．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正 三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的 表面积为侧（左）视图正（主）视图22A ．π34B ．π38C ．π316D ．π3328. 已知点O 是以角B 为直角顶点的ABC ∆的外心，且||2AB =u u u r ，||4AC =u u u r，则AO BC ⋅=u u u r u u u rA. 2B. 4C. 6D. 39．已知{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线)10(,0≤<==a a x y 和曲线3x y =围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P ，点P 落在区域A 内的概率是641，则a 的值为( )A ．641B ．81 C ．41 D ．21 10. 右图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )A. 46B. 36C. 56D. 6011. 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是AD 的中点，则异面直线1A B 与1C E 所成角的大小是 ( ) A.6π B.4π C.3π D.2π 12．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别12,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，且⊙I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则( )A ．||||OB e OA = B ．||||OA e OB =C ．||||OB OA =D ．||,||OB OA 关系不确定二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．实数,x y 满足条件1,0,0,x y y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩则22(1)z x y =-+的取值范围是 .14．已知向量(1,2),(4,)a x b y =-=r r ,若a b ⊥r r ，则93x y+的最小值为 ．15．在等比数列{}n a 中，首项123a =，441(12)a x dx =+⎰，则公比q 为 ．16．下列四个命题：①命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”； ②若命题22:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥则；③若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④命题“若101,log (1)log (1)a a a a a<<+<+则”是真命题. 其中真命题为三、解答题（共70分。

2015-2016学年高二第一学期期末考试数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分． 1. 已知集合{2},{13}A x x B x x =≥=≤≤，则A B =( )A.{13}x x -<≤B. {23}x x ≤≤C. {3}x x =D.φ2.复数12ii =-（ ） A.25i -+ B.25i -- C.25i - D.25i +3.抛物线214x y =的焦点到准线的距离为（ ）A.2B.4C.18D.124.22sin xdx -=⎰（ ）A.1-B.1C.0D.8-5.曲线3()2f x x x =+-在P 处的切线平行于直线41y x =-，则P 点坐标为（ ） A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)或(1,4)-- D.(2,8)或(1,4)-- 6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数ϕ=（ ） A.56πB.23π C.3π D.6π 7.已知(),p x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点，()1,2A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r的最大值( )A.2B.3C.5D.68.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）A.34A 种B.3133A A 种 C.2343C A 种 D.113433C C A 种 9.已知(2nx 展开式中各项系数和为625，则展开式中含x 项的系数为（ ） A.216 B.224 C.240 D.250 10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.403B. 203C. 20 D .4011.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =（ ）1B.112.已知数列{}n a 满足：1263,3,9138n n n n n n a a a a a ++=-≤-≥⋅，则2015a =（ ）A.20153322+B.201538C.20153382+D.201532二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在正项等比数列{}n a 中，前n 项和为5675,1,6=n S a a a S =+=，则___________. 14．设向量a 与b 的夹角为θ,且()()3,3,21,1a b a =-=-,则cos θ=___________. 15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 ___________种（用数字作答）.16.已知函数()ln tan 0,2f x x παα⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的导函数为()'f x ，若使得()()00'0f x x =成立的01x <，则实数α的取值范围为___________.三、解答题: （本大题共6小题，共70分.）17．（本题满分10分）等差数列{}n a 中,71994,2,a a a == (1)求{}n a 的通项公式; (2)设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 18．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且1tan tan 12cos cos A C A C=+。

高二第二学期期末考试 试题 试卷Ⅰ1.设集合，，则=A. B． C. D． ，命题，则 A．命题是假命题B．命题是真命题 C．命题是真命题D．命题是假命题 3. 设复数（是虚数单位），则=A. B. C. D. 、分数在内的人数分别为 A． B． C．　D． 5某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的为 B． C． D． 6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是A.2?B.?C.?D.3 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A．180 B．120 C．90 D．45 9. 设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 A. B. C. D. 10. 在中，三个内角所对的边为，若，则（） A． B． C．4 D． 11.设，分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于，两点，且满足，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 12.已知函数的两个极值点分别为，且，点表示的平面区域内存在点满足，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D． 试卷Ⅱ（共 90 分） 二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上） 13.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话． 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是的边长4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为． 15.已知点在渐近线方程为的双曲线上，其中，分别为其左、右焦点．若的面积为16且，则的值为． 16.若，函数有相同的最小值，则． 与，若且对任意正整数n满足，数列的前n项和 （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前n项和 18、（本小题满分12分） 某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如下，规定考试成绩内为优秀。

2014-2015学年第一学期高二期末考试数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。

请把答案涂在答题卡上）1．用三段论推理：“指数函数xa y =是增函数，因为xy )21(=是指数函数，所以xy )21(=是增函数”，你认为这个推理 A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的2．在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列命题是真命题的是A ．22bc ac b a ＞是＞的充要条件 B ．11,1＞是＞＞ab b a 的充分条件 C ．0,00≤∈∃x eR x D ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真4．已知0a b ＞＞，椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +，双曲线2C 的方程为22221y x a b-=，1C 与2C 的离心率之积为415，则2C 的渐近线方程为 A.02=±y x B. 02=±y x C ．04=±y x D ．04=±y x 5．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则A ．B x A x p ∉∈∀⌝2,: B ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉C ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈D ．B x A x p ∉∈∃⌝2,:6．设△ABC 的三边长分别为,,,c b a △ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a Sr ++=2.类比这个结论可知：四面体ABC P -的四个面的面积分别为,1S ,2S ,3S ,4S 内切球的半径为r ，四面体ABC P -的体积为V ，则r ＝A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 47．用数学归纳法证明=+++-++-+++222222212...)1()1(...21n n n 3)12(2+n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是A.222)1(k k ++B. 2)1(+k C ．22)1(k k ++ D.]1)1(2)[1(312+++k k8． 设F 为抛物线x y 42=的焦点，C B 、、A 为该抛物线上三点，若=++，则|FA|+|FB|+|FC|= A ．9B. 6C. 4D. 39．若函数1()e (0,)axf x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是A ．4 B. C.210．如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A ．22eB ．22e C ．21e D ．25.2e11．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A ．313723cm π B ．38663cm πC ．35003cm πD ．320483cm π12. 已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A .3B .3C .2D 试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13.22sin 2xdx π=⎰． 14.将一个白球，一个红球，三个相同的黄球摆放成一排，则白球与红球不相邻的放法有 _________种.15. 若曲线x e y -=上点P 处的切线平行于直线012=++y x ，则点P 的坐标是________． 16. 若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是________． 三、解答题（本题共6个小题 共计70分。

2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣24．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤55．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．16．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．67．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9% 10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．8011．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第号座位上．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：==，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：A．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．4．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5【解答】解：若“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0，则a≥x2，x∈[1，2]，∵y=x2，x∈[1，2]，∴1≤y≤4，即a≥4，即命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是a≥4，故选：A．5．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．1【解答】解：由题意得，f′（x）=+2x﹣b，∴在点（b，f（b））处的切线斜率是：k=f′（b）=，∵b＞0，∴f′（b）=≥，当且仅当时取等号，∴在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是，故选：A．6．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），∵，a2=2，∴2q•2q5=4•4q4∴q2=4，∴q=2．∵a2=2，∴a1=1，故选：B．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选：D．9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9%【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为K2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．80【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．【解答】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2﹣2×4a×2a×，∴e=．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：结合图象分析：当k＞0时，若y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=﹣1，则f（x）=a＜或f（x）=b∈（0，1）；对于f（x）=a，存在两个零点；对于f（x）=b，存在两个零点，综上所述，函数y=f[f（x）]+1的零点个数为4个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．【解答】解：由题意得，=3+6=9，=，=，∴cosθ===，故答案为：．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于﹣．【解答】解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为：﹣．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第2号座位上．【解答】解：由互换规律知第四次互换座位后为1鼠2猴3兔4猫，与开始时的座位一致，故每经过4k（k∈N）次调换，座位都与开始时的座位相同，∴第202次互换座位后与第2次互换座位后座位一致．故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵tanAtanC=+1．∴=，可得：﹣2cos（A+C）=1，∴cosB=﹣cos（A+C）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵•=b2，B=．∴accos=b2，解得：ac=b2①，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac②，∴由①②可得：a=c，结合B=，可得三角形为等边三角形．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．【解答】解：（1）设{}的公差为d，则，，∵a2=6，a5=12，∴，解得a1=4，d=2，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2．∵数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1，∴当n=1时，b1=S1，由，得，当n≥2时，∵，，=（b n﹣1﹣b n），即，∴S n﹣S n﹣1∴，∴{}是以为首项，为公比的等比数列，∴=．（2）∵=2•（）n，∴c n=c n====，∴T n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣＜1，由已知得，∴m≥2014，∴最小正整数m=2014．…（12分）．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．【解答】（1）证明：∵E、B分别为A′D、DC的中点，∴EB∥A′C又A′C⊂平面A′ACC′，且BE⊄平面A′ACC′，∴BE∥平面A′ACC′（2）解：∵AB=BC=，∠ABC=90°，∴AC=2，又A′A=2，∴AC=A′A=2，∵A′B′C′﹣ABC为直三棱柱，∴∠A′B′C′=90°，∴A′B′⊥B′C′，又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′B′⊥B′B，又B′C′∩BB′=B′，∴A′B′⊥平面BCC′B′．∴．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，由题设条件知，a2=8，b=c所以=4，故椭圆的方程为；（II）椭圆C的左准线方程为x=﹣4，所以点P的坐标为（﹣4，0）显然直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=k（x+4）设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0）由直线代入椭圆方程得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0．①由△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0解得﹣＜k＜．②因为x1，x2是方程①的两根，所以x1+x2=﹣，于是x0==﹣，y0=．因为x0==﹣≤0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为，即解得，此时②也成立．故直线l斜率的取值范围是．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得x＞；令f'（x）＜0，解得0＜x＜．从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．所以，当x=时，f（x）取得最小值﹣．（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=+1﹣==∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（1）=4故a≤4即实数a的取值范围为（﹣∞，4]证明：（III）若则，由（I）得：lnx•x ≥，当且仅当x=时，取最小值；设m（x）=，则m′（x）=，∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，故当x=1时，m（x ）取最大值故对一切x∈（0，+∞），都有成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

河北省正定中学2014—2015学年度上学期第二次月考高二数学理试题一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．已知命题p ：，sin x ≤1，则( )． A ．¬p ：，sin x 0≥1 B ．¬p ：，sin x 0>1 C ． ¬p ：，sin x ≥1 D ．¬p ：，sin x >12．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么甲是乙的( )．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④4．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A.6B.8C.12D.185．用辗转相除法求840和1764的最大公约数是（ ） A ．84 B ．12 C ．168 D ．252 6. 执行如图所示的程序框图,输出的T=（ ）.A ．12B ．30C ．20D ．427．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．8. 已知椭圆C ：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C 于A 、B 两点，若的周长为，则C 的方程为 （ ） A ． B ． C ． D ．9．在面积为S 的△ABC 的边上AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )．A.14B.12C. 23D. 3410．设是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）C. 11．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，直线被圆截得的弦长为 ． 14．下列命题中_________为真命题． ①“A ∩B =A ”成立的必要条件是“AB ”； ②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．15．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 16. 已知椭圆C ：，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（本题10分）在中，3,sin 2sin a b C A ===（Ⅰ）求的值。

河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=72．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差4．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为40，60），80，1001，9﹣3，﹣2）0.100.50（2，3合计50 1.00（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1，3（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）220，40），60，80），，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=求解即可．解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×=8．五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选：C．点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分）将389化成四进位制数的末位是（）A．1B．2C．3D．0考点：进位制；排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：根据算法的规则，将389变为四进位制数，即可知末位数是几，对比四个选项，选出正确选项即可．解答：解：将389化成四进位制数的运算过程如图，所得的四进位制数是12011（4）其末位是1故选A点评：本题考查排序问题与算法的多样性，解题的关键是掌握进位制换算的方法﹣﹣除K取余法．7．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．8．（5分）已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5B．7C．13 D．15考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．解答：解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2×5﹣1﹣2=7，故选B．点评：本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1B．C．2D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．解答：解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．10．（5分）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．解答：解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图1，91，92（2x+1）+1﹣3，﹣2）0.100.50（2，3合计50 1.00（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1，3内的概率为0.5+0.2=0.7；（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为．解答：解：（Ⅰ）根据题意，50×0.10=5，8÷50=0.16，50×0.50=25，10÷50=0.2，50﹣5﹣8﹣25﹣10=2，2÷50=0.4，故可填表格：分组频数频率﹣2，﹣1）8 0.16（1，2 10 0.2（3，4内的概率为0.5+0.2=0.7；（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为．点评：本题考查统计知识，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：由x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），得3a＜x＜a，即p：3a＜x＜a．由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，由x2+2x﹣8＞0得x＞2或x＜﹣4．即q：x≥﹣2或x＜﹣4．因为q是p的必要不充分条件，所以a≤﹣4或﹣2≤3a，解得a≤﹣4或a≥﹣，因为a＜0，所以a≤﹣4或＜0．即a的取值范围a≤﹣4或＜0．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用一元二次不等式的解法先化简p，q是解决本题的关键．19．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．解答：（1）证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，=．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．所以，令x=1，则y=﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为hslx3y3h点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解答：解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．21．（12分）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；（Ⅱ）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值．解答：（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A1（﹣a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为①直线A2B的方程为y=﹣（x﹣a）②由①×②可得：③∵A（x1，y1）在椭圆C0上，∴∴代入③可得：∴；（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等∴4|x1||y1|=4|x3||y3|∴=∵A，A′均在椭圆上，∴=∴=∴∵t1≠t2，∴x1≠x3．∴∵，∴∴=a2+b2为定值．点评：本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．22．（12分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解答：解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．。

2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，则M∩N=（）A．（﹣5，1]B．[1，3）C．[﹣7，3）D．（﹣5，3）2．（5分）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=7+ni，则（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．（5分）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）x0123y1357A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）4．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．365．（5分）“实数m=﹣”是“直线l1：x+2my﹣1=0和直线l2：（3m+1）x﹣my﹣1=0”相互平行的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16B．8C．D．48．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为（）A．B．4C．1D．9．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个C．1个D．2个10．（5分）设x，y想，满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．411．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．14．（5分）在[﹣6，9]内任取一个实数m，设f（x）=﹣x2+mx+m，则函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于．15．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx，若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞λx 成立，则实数λ的取值范围是．16．（5分）（1）“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件．（2）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的充要条件．（3）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0．则p1∧p2是真命题．（4）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{a n}为等比数列，其中a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）设b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在三角形ABC中，sin2CcosC+cosC=cos2CsinC+．（1）求角C的大小；（2）若AB=2，且sinBcosA=sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x＜y，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=4．（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；（Ⅱ）在BC边上是否存在一点M，使得D点到平面PAM的距离为2，若存在，求BM的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=﹣2于点M，N．（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．22．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线与直线y=3x平行，求a的值；（2）若a=1，求函数f（x）的极值与单调区间；（3）若函数f（x）=ax3﹣3x2的图象与直线y=﹣2有三个公共点，求a的取值范围．2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，则M∩N=（）A．（﹣5，1]B．[1，3）C．[﹣7，3）D．（﹣5，3）【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+5）＜0，解得：﹣5＜x＜3，即M=（﹣5，3），由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+7）≥0，解得：x≤﹣7或x≥1，即N=（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞），则M∩N=[1，3），故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=7+ni，则（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：由m（1+i）=7+ni，得m+mi=7+ni，即m=n=7，∴=．故选：D．3．（5分）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）【解答】解：∵=1.5，=4，∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）根据线性回归方程一定过样本中心点得到，线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，4）故选：D．4．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．36【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选：B．5．（5分）“实数m=﹣”是“直线l1：x+2my﹣1=0和直线l2：（3m+1）x﹣my﹣1=0”相互平行的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=0时，两直线分别为x=1和x=1，此时两直线重合，故m≠0，若两直线平行，则等价为，即m=﹣，则“实数m=﹣”是“直线l1：x+2my﹣1=0和直线l2：（3m+1）x﹣my﹣1=0”相互平行的充要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选：D．7．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16B．8C．D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a 7+a11≥2=2=8．故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为（）A．B．4C．1D．【解答】解：当输入的x值为10时，y=x﹣1=4，此时|y﹣x|=6，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x=4，y=1；当x=4，y=1时，|y﹣x|=3，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x=1，y=；当x=1，y=时，|y﹣x|=，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x=，y=；当x=，y=时，|y﹣x|=＜1，满足退出循环的条件，故输出结果为故选：A．9．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个C．1个D．2个【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，所以m2+n2＜4，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．故选：D．10．（5分）设x，y想，满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（4，6）．此时z=4a+6b=12，即=1，则+=（+）（）=1+1++≥2+2=4，当且仅当=时取=号，故选：D．11．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵，∴，∴，∴，故选：C．12．（5分）若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=f[（x+1）+1]=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x），所以函数y=f（x）是以2周期的函数．在同一坐标系内画出y=f（x），y=g（x）在区间[﹣5，5]上的图象，共有8个交点，所以函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个故选：C．二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：2514．（5分）在[﹣6，9]内任取一个实数m，设f（x）=﹣x2+mx+m，则函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于．【解答】解：∵f（x）=﹣x2+mx+m的图象与x轴有公共点，∴△=m2+4m＞0，∴m＜﹣4或m＞0，∴在[﹣6，9]内任取一个实数m，函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于=．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx，若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞λx 成立，则实数λ的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：f（x）=sinx﹣xcosx的导数为f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx，因为f′（x）＞λx，所以xsinx＞λx．当0＜x＜π时，λ＜sinx，当0＜x＜π时，sinx∈（0，1]，当x=时，sinx取得最大值1．即有λ＜1．故答案为：（﹣∞，1）．16．（5分）（1）“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件．（2）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的充要条件．（3）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0．则p1∧p2是真命题．（4）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．其中真命题的序号是①④（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于（1），数列{a n}为等比数列，设其公比为q，则=q2为定值，数列{a n a n+1}为等比数列，充分性成立；反之，若数列{a n a n+1}为等比数列成立，例如数列1，3，2，6，4，12，8…满足数列{a n a n+1}为等比数列，但数列{a n}不为等比数列，故“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件，故（1）正确；对于（2），例如a=1时，f（x）在区间[2，+∞）为增函数，所以）“a=2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件，故（2）不对；对于（3），由于x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，故命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0，为证明题，故p1∧p2是假命题，即（3）错误；对于（4），设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．因为a=1．b=，若A=30°”成立，由正弦定理=，所以sinB=，所以B=60°或120°，反之，若“B=60°”成立，由正弦定理得=，得sinA=，因为a＜b，所以A=30°，所以A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．故（4）对；综上所述，真命题的序号是①④，故答案为：①④．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{a n}为等比数列，其中a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）设b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设在等比数列{a n}中，公比为q，∵a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列，∴2（a3+a5）=a2+a4，∴2（q2+q4）=q+q3，解得q=，∴a n=．（2）∵，∴b n=（2n﹣1）•a n=（2n﹣1）•（）n﹣1，∴，①，②①﹣②，得：﹣（2n﹣1）•=1+2[1﹣（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n=3﹣，∴．18．（12分）在三角形ABC中，sin2CcosC+cosC=cos2CsinC+．（1）求角C的大小；（2）若AB=2，且sinBcosA=sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在三角形ABC中，sin2CcosC+cosC=cos2CsinC+．化简得：sinC=cosC，即sinC+cosC=，得2sin（C+）=，则sin（C+）=．故C+=或（舍），则C=．（6分）（2）因为sinBcosA=sin2A=2sinAcosA，所以cosA=0或sinB=2sinA．当cosA=0时，A=90°，则b=，==；（8分）当sinB=2sinA时，由正弦定理得b=2a．由cosC===，可知a2=．（10分）所以===．（12分）19．（12分）某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x＜y，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．【解答】解：（1）∵=（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），∵=，∴x+y=17…①∵=（1+1+0.25+1+2.25）=1.1，=[4+（x﹣8）2+0.25+0.25+（y﹣8）2]，∵=，∴（x﹣8）2+（y﹣8）2=1…②由①②结合x＜y得：x=8，y=9．（2）记被检测的5件B种元件为：A，B，C，D，E，其中A，B，C，D为正品，从中选取的两件为（x，y）则共有=10种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），记“抽取2件都为正品”为事件A，则事件A共包含=6种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），故P（A）==，即2件都为正品的概率为．20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=4．（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；（Ⅱ）在BC边上是否存在一点M，使得D点到平面PAM的距离为2，若存在，求BM的值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵ABCD是矩形，∴CD⊥AB，又∵PA⊥底面ABCD，且CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；（Ⅱ）解：假设BC边上存在一点M满足题设条件，令BM=x，∵AB=2，BC=4．且PA⊥底面ABCD，PA=2，则在Rt△ABM中，，∵PA⊥底面ABCD，∴，．又∵V P=V D﹣PAM，﹣AMD∴，解得＜4．故存在点M，当BM=时，使点D到平面PAM的距离为2．21．（12分）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=﹣2于点M，N．（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（，0）．…（3分）（Ⅱ）证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率设直线l方程为y=k（x﹣2），与抛物线方程联立得到，消去x，得：ky2﹣2y﹣4k=0，则由韦达定理得：y1y2=﹣4，，…（6分）直线AE的方程为：y﹣2=，即y=，令x=﹣2，得y M=，…（9分）同理可得：，…（10分）又∵，，所以=4+y M y N=4+=4+=4+=0…（13分）所以OM⊥ON，即∠MON为定值…（14分）．22．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线与直线y=3x平行，求a的值；（2）若a=1，求函数f（x）的极值与单调区间；（3）若函数f（x）=ax3﹣3x2的图象与直线y=﹣2有三个公共点，求a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），（1）函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线与直线y=3x平行，即有f′（﹣1）=3a+6=3，解得a=﹣1，此时，切点为（﹣1，﹣2），切线方程为y=3x+1，它与已知直线平行，符合题意．故a=﹣1；（2）a=1时，f′（x）=3x（x﹣2），当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＜0，或x＞2时，f′（x）＞0，所以，f（x）的单调减区间为[0，2]，单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；当x=2时，f（x）有极小值f（2）=﹣4，当x=0时，f（x）有极大值f（0）=0；（3）当a=0时，f（x）=﹣3x2，它与y=﹣2没有三个公共点，不符合题意，当a＞0时，由f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）知，f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，又f（0）=0，f（）=﹣，所以﹣＜﹣2，即﹣＜a＜，又因为a＞0，所以0＜a＜；当a＜0时，由f′（x）=3x（ax﹣2）知，f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（0，）上单调递增，又f（0）=0，f（）=﹣，所以﹣＜﹣2，即﹣＜a＜，又因为a＜0，所以﹣＜a＜0；综上所述，a的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．第21页（共23页）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第22⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxxxx第23页（共23页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014-2015年石家庄高二数学答案（理科）一、选择题：1-5 CCBDB 6-10 DBBBA 11-12DD二、填空题：13. 160 14. 2 15. [-4,12] 16.4a ≥三、解答题：17．解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=， ．．．．．．．．．．．．．3分 解得0.018x =． ．．．．．．．．．．．．．．．．5分(Ⅱ) 450.06550.06650.1750.54850.18950.0674x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．10分18．解：（I ）由所给茎叶图知，15位观众对甲选手的评分由小到大排序，排在8位的是88，故样本中位数为88，所以现场观众对甲选手评分的中位数估计值是88． ．．．．．．．3分 15位观众对乙选手的评分由小到大排序，排在8位的是84，故样本中位数为84，所以现场观众对乙选手评分的中位数估计值是84． ．．．．．．．．．．．．．6分（II ）由所给茎叶图知，对甲选手的评分的中位数高于对乙选手的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲选手的评分的标准差要小于对乙选手的评分的标准差；．．．．．．．9分说明甲选手的受欢迎程度较高。

．．．．．．．．．．．．．．12分（注：考生利用平均数等其他统计量进行分析，结论合理的同样给分）19.解：（I ）解：x+y-4=0 ………1分(1,1)到x+y-4=0的距离为2，根据勾股定理,直线被圆C 截得的弦长为.4分（II ）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0………7分2x +y －7=0， x =3，x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）. …………….9分∵圆心C （1，1），｜AC ｜＝2＜3（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点………….12分20．解：（I ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：．．．．．．．．．．．．．．．．2分0,1y ==， 代入数据可得2.7ˆ=b ， ．．．．．．．．．．．．．．．4分1ˆˆ1ay bx =-= ， ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由上述计算结果，知所求回归直线方程为ˆ2867.2(2010)1yx -=-+即ˆ7.214185y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （II ）利用直线方程①，可预测2015年的粮食需求量为7.2201514185323⨯-=（万吨）． ．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,所以PC BD ⊥……2分又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥.而PCPA P =,PC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC ……… 4分(2)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ⊂平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方形,于是2AB AD ==. ∵m ∈R ，∴ 得以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系A BDP -.则),,(200M 、(0,2,0)D ,C(2,2,0)…….5分平面BED 的一个法向量为()2,2,1n ==-2PC (7)),,(220-=,设λ=(22,2,)λλλλ=+=--DE DC CP ,0=DE PC49λ= 1084(,,)999=-DE ……9分设平面MDE 的一个法向量为(),,n =1x y z ,则00n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11DE MD ,从而10840999220⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩x y z y z ,令5=z ,得()2,5,5n =1. …… 11分cos ,⋅<>==121212n n n n n n 所以二面角--B ED M的余弦值为.…12分22. 解：(1)因为22||||||++=AB AF BF即1122||||||||+++=AF FB AF BF而1212||||||||2AF AF FB BF a +=+=,所以4==a a …….2分而圆22(1)1+-=x y 在椭圆内部，且与其相切.b=2…….3分 所求椭圆方程为22184+=x y ………4分 （2）设圆N ：22(1)1+-=x y 的圆心为N ，则。