2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2

2.3.1 空间直角坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.【答案】02．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．其中叙述正确的序号是________．【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．【答案】④3.如图2－3－3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．图2－3－3【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．【答案】(0,0,1)4.如图2－3－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．图2－3－4【解析】 由点B 1的坐标为(a ，a ，a )知点D 1的坐标为(0,0，a )． 【答案】 (0,0，a )5．已知点M 到三个坐标平面的距离都是1，且点M 的三个坐标同号，则点M 的坐标为________．【解析】 根据点M 到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M (1,1,1)或(－1，－1，－1)．【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)6．已知点P ′在x 轴正半轴上，OP ′＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，PP ′＝1，则点P ′和P 的坐标分别为________，________.【导学号：41292118】【解析】 由于P ′在x 轴的正半轴上，故点P ′的坐标为(2,0,0)，又PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，故P 点坐标为(2,0，±1)．【答案】 (2,0,0) (2,0，±1)7.正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图2－3－5所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为________．图2－3－5【解析】 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，138.如图2－3－6, M －OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的射影为H ，则M 的坐标是________．图2－3－6【解析】 由M －OAB 是棱长为a 的正四面体知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，A (0，a,0)，O (0,0,0)． 又点H 为△OAB 的中心知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，0， 从而得M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，63a . 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫36a ，a2，63a二、解答题9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标.【导学号：41292119】【解】 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连结BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1均在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝⎛⎭⎪⎫32，0，1.10．如图2－3－7，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．图2－3－7【解】 ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，∴可以以顶点A 为原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，∴∠ABD 就是直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角，∠ABD ＝30°， ∴Rt △BAD 中，由AB ＝2，AE ⊥BD ，∠ABD ＝30°可解得AD ＝AB ·tan 30°＝2×33＝233，BD ＝2AD ＝433，AE ＝1. 过点E 在平面ABCD 内作AB 的垂线EM ，垂足为点M ，∴Rt △AEM 中，EM ＝AE ·sin 60°＝32， AM ＝AE ·cos 60°＝12.又长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，F 为A 1B 1的中点，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，A 1(0,0,1)，B 1(2,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，F (1,0,1)． [能力提升]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是________．【解析】 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称． 【答案】 关于y 轴对称2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为________．【解析】 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)．【答案】 (－4,0，－6)3.如图2－3－8所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，写出A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．图2－3－8A ________，B ________，C ________，D ________，P ________，E ________.【解析】 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，与过点A 与AB 垂直的直线AG 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0. 【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 (0,0,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0(答案不唯一)4.如图2－3－9所示，AF ，DE 分别是圆O ，圆O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8，BC 是圆O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.【导学号：41292120】图2－3－9【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6 2.所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。

2．3.1 空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 空间直角坐标系阅读教材P118，完成下列问题．1．空间直角坐标系的概念从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如图2－3－1，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠C＝90°，试在图中建立一个空间直角坐标系．图2－3－1【解】以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图．教材整理2 空间点的坐标表示阅读教材P119，完成下列问题．对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(×)(2)在空间直角坐标系中，xOz平面上点的坐标满足z＝0.(×)(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√)(4)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于z轴的对称点为P′(－x，－y，z)．(√)2．在空间直角坐标系中，点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为____________．【解析】点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为(－2，－4，－6)．【答案】(－2，－4，－6)[小组合作型]空间中点的坐标的确定如图2－3－2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF ＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．图2－3－2【精彩点拨】可选取A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．【自主解答】 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，则CF ＝AB ＝1，CE ＝12AB ＝12， 所以BE ＝BC －CE ＝2－12＝32. 所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点M 的坐标的方法过点M 分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A ，B ，C 三点，确定x ，y ，z .具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点(落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征．[再练一题]1．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是BB ′，D ′B ′的中点，棱长为1，求E ，F 点的坐标．【解】 建立如图空间直角坐标系，E 点在xDy 面上的射影为B ，B (1,1,0)，竖坐标为12，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1. [探究共研型]空间中点的对称问题探究1 在空间坐标系中，点(1,1,1)关于原点对称的坐标是什么？【提示】 (－1，－1，－1)．探究2 在空间坐标系中，点(a ，b ，c )关于x 轴对称的点的坐标是什么？【提示】 (a ，－b ，－c )．探究3 在空间坐标系中，点(a ，b ，c )关于xOy 平面对称的点的坐标是什么？【提示】 (a ，b ，－c )．求点M (2，－1,3)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．【精彩点拨】 结合图形，利用图象对称的思想找准对称点．【自主解答】 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(2，－1，－3)，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(2,1,3)，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－2，－1,3)，关于x 轴的对称点M 4的坐标为(2,1，－3)，关于y 轴的对称点M 5的坐标为(－2，－1，－3)，关于z 轴的对称点M 6的坐标为(－2,1,3)，关于原点的对称点M 7的坐标为(－2,1，－3)．平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中．在空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1(－x ，－y ，－z )；②关于x 轴(横轴)对称的点的坐标是P 2(x ，－y ，－z )；③关于y 轴(纵轴)对称的点的坐标是P 3(－x ，y ，－z )；④关于z 轴(竖轴)对称的点的坐标是P 4(－x ，－y ，z )；⑤关于xOy 平面对称的点的坐标是P 5(x ，y ，－z )；⑥关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．[再练一题]2．在空间直角坐标系中，点P(－1,1,2)关于y轴对称的点的坐标为________，关于坐标平面yOz对称的点的坐标为________．【解析】由对称知识可知，P关于y轴对称的点为(1,1，－2)，关于平面yOz对称的点为(1,1,2)．【答案】(1,1，－2) (1,1,2)1．点P(－1,0,4)位于________平面内．【解析】点P(－1,0,4)的y坐标为0，∴点P(－1,0,4)在xOz平面内．【答案】xOz2．点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.【解析】点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足B(0,2，－1)，故x＋y＋z＝1.【答案】 13．在空间直角坐标系中，点P(－2,4,4)关于x轴的对称点的坐标是________.【解析】因为点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P′的坐标为(－2，－4，－4)．【答案】(－2，－4，－4)4．设x，y为任意实数，相应的所有点P(x，y,3)的集合是________．【答案】过z轴上的点(0,0,3)且与z轴垂直的平面5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的坐标系，求点C，B1，P的坐标．(写出符合题意的一种情况即可)【解】如图，分别以AD，AB和AA1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系．∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，从而C(4,5,0)，B1(0,5,4)．又D1(4,0,4)，P 为B 1D 1的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，4.。

直线的斜率与倾斜角知识点课标要求题型说明空间两点间距离1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法；2. 掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题。

解答题注意类比思想的运用，类比平面内两点距离公式和中点坐标公式推导和记忆空间中的两点距离公式和中点坐标公式。

二、重难点提示重点：空间两点间的距离公式的应用。

难点：空间两点间距离公式的推导。

考点一：空间中两点间的距离1. 空间中一点到原点的距离公式推导在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A （x ，y ，0）、B （0，y ，z ）、C （x ，0，z ），与坐标原点O 的距离分别是OA ＝22x y +、OB ＝22y z +、OC ＝22x z +。

如图，在空间直角坐标系中，设点P （x ，y ，z ）在xOy 平面上的射影为M ，则点M 的坐标是M （x ，y ，0），PM ＝|z |，OM ＝22x y +。

根据勾股定理，则点P （x ，y ，z ）与坐标原点O 的距离为OP ＝22OM PM +＝222x y z ++。

2. 空间中两点的距离公式推导在空间中，设点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2），在xOy 平面上的射影分别为M 、N 。

则M 的坐标是M （x 1，y 1，0），N 的坐标是N （x 2，y 2，0），MN 221212()()x x y y -+- （1）若直线P 1P 2垂直于xOy 平面，则点P 1、P 2之间的距离P 1P 2＝|z 1－z 2|。

（2）若直线P 1P 2平行于xOy 平面，则点P 1、P 2之间的距离P 1P 2＝MN（3）若直线P 1P 2是xOy 平面的一条斜线，根据勾股定理，则点P 1、P 2的距离P 1P 2＝综上：空间中任意两点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）间的距离P 1P 2＝221221221)()()(z z y y x x -+-+-。

高中数学第二章解析几何初步2-3空间直角坐标系2-3-1空间直角坐标系的建立2-3-2空间直角坐标系中点的坐标学案北师大版必修23.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置.(重点、难点)[基础·初探]教材整理空间直角坐标系阅读教材P89至P91“例3”以上部分，完成下列问题.1.空间直角坐标系的建立：(1)空间直角坐标系建立的流程图：↓↓(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向.(3)有关名称：如图2­3­1所示，图2­3­1①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标：(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画.(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标.(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组.(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系.( )(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上.( )(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0).( )(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同.( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√[小组合作型]。