分式型哥西不等式——证明分式不等式的一个利器

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

柯西不等式的应用技巧精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立．其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值．例２ 设,,R x y z ∈，求证：≤≤ 二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 .三、巧添项四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的．例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：练习题1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++=(1) 求t 的最小值；(2) 当21=t 时，求z 的取值范围 2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。

柯西均值法证分式不等式的灵丹妙药作者：陶兴模来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第05期内容提要：本文将柯西不等式aibi2与均值不等式≤γ≤（γ≥1）联合使用，使一类分式不等式的证明变得十分简捷．这种证明方法操作程序固定，易于掌握．众所周知，柯西不等式（a+a+…+a）（b+b+…+b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2（ai∈R，bi∈R，ai=kbi时取等号，i=1，2，3，…，n）与均值不等式≤γ≤（ai∈R+，i=1，2，3，…，n，a1=a2=…=an时取等号，γ≥1）在不等式的证明中有着十分重要的作用．本文将这两个重要的不等式联合使用，使一类分式不等式的证明变得十分简捷．我们把这种证明方法称为柯西均值法．下面，我们用一些具体的例子来说明这种方法的操作程序．例1（第36届IMO试题的推广）设正实数a，b，c满足条件abc=1，n∈N*，试证：＋＋≥．证明：用a2nb2nc2n替换所证不等式左边的分子1，所证不等式变形为＋＋≥．由柯西不等式和均值不等式，·［a（b＋c）＋b（c＋a）＋c（a＋b）］≥［（bc）n＋（ca）n＋（ab）n］2≥32=（bc＋ca＋ab）2n．由此，得＋＋≥（bc＋ca＋ab）2n-1≥［3］2n-1=·32n-1=．所以，原不等式成立．例2（第28届IMO预选题）设a，b，c是三角形的三边，a+b+c=2S，试证：++≥n-2Sn-1（n∈N*）．证明：当n=1时，++≥显然成立．当n≥2时，由柯西不等式和均值不等式，得（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）］≥a例3（第31届IMO预选题）设正实数a，b，c，d满足条件ab+bc+cd+ad=1，试证：+++≥．证明：由已知条件ab+bc+cd+ad=1，得（a＋c）（b＋d）=1，b+d=．由柯西不等式和均值不等式，得由此得+++≥（a+b+c+d）2=a+c+2≥·4=．例4（1984年全国高中数学竞赛题的推广）设xi∈R+（i=1，2，3，…，n），x1x2x3·…·xn=1，α≥2，试证：+++…++≥n．证明：由柯西不等式和均值不等式，得＋＋＋…＋＋≥（x1＋x2＋x3＋…＋xn）α-1≥（n）α-1==n．例5设xi∈R+（i=1，2，3，…，n），xi=a，α≥2，试证：+++…+≥．证明：由柯西不等式和均值不等式，得［（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）］≥x2=（x1+x2+x3+…+xn）α=aα……（*）其中，（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）＝na－（x1+x2+x3＋…＋xn）＝（n－1）a．将此结论代入（*）式整理得+++…+≥．例6设正实数x1，x2，x3，…，xn满足条件x1x2x3…xn=1，α∈R且α≥3，n∈N且n≥3，试证：+++…+≥，其中∑i表示从x1，x2，x3，…，xn中任取n-2个作乘积，所有可能情况的积之和，共有n-1个项（i＝1，2，3，…，n）．证明：xxx·…·x替换所证不等式左边分子的1，所证不等式变形为+++…+≥①设①式左边为M，则由柯西不等式和均值不等式，得M（x1∑1＋x2∑2＋x3∑3＋…＋xn∑n）≥ （x2x3x4…xn）+（x1x3x4…xn）+（x1x2x4…xn）+…+（x1x2x3…xn-1）2≥（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-1②其中，x1∑1+x2∑2+x3∑3+…+xn∑n=x1（+++…+）+x2（+++…+）+x3（++…+++）+…+xn-1（++…++）+xn（+++…++）=（n-1）（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）．将此结果代入②式，得M≥·（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-2一般地，对于形如+++…+≥p的分式不等式，当α≥2，Ai>0，∑i>0，i=1，2，3，…，n，k>0，p>0且∑1+∑2+∑3+…+∑n=k（A1+A2+A3+…+An）时，都可以考虑利用本文提供的柯西均值法去思考它的证明.。

柯西施瓦茨不等式证明第一篇：柯西施瓦茨不等式证明柯西不等式的证明数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。

不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn,都有(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−b1a2)2≥0 所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2 假设n时命题成立,则n+1时(a21+a22+⋯+a2n+a2n+1)(b21+b22+⋯+b2n+b2n+1)≥((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2又由条件假设(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2所以((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2≥(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2很明显有(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn+an+1bn+1)2因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,⋯,an都为0,那么此时不等式明显成立.如果a1,a2,⋯,an不全为0,那么a21+a22+⋯+a2n>0构造二次函数f(x)=(a21+a22+⋯+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+⋯+anbn)x+(b21+b22+⋯+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+⋯+(anx+bn)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是Δ=4(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2−4(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≤0从而不等式得证.证明三:(恒等变形)注意到恒等式(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2 =∑1≤i所以不等式成立.证明四:(均值不等式)不妨设ai,bi不全为0,理由同证明二a21+a22+⋯+a2n=S,b21+b22+⋯+b2n=T那么由均值不等我们有a2iS+b2iT≥2∣∣aibi∣∣ST√对i从1到n求和,可以得到∑i=1na2iS+∑i=1nb2iT≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√于是2≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√≥2∣∣∣∑i=1naibiST−−−√∣∣∣得到(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2现在我们由证法二来得到等号成立条件,如果等号成立,那么f(x)能取到0,也就是说存在一个x使得 aix+bi=0对任意的i=1,2,⋯,n都成立,这就是等号成立条件,在a1a2⋯an≠0时,可以将它写成b1a1=b2a2=⋯=bnan.变形式(A)设ai∈R,bi>0(i=1,2⋯,n),则∑i=1na2ibi≥(∑ai)2∑bi.变形式(B)设ai,bi同号且不为零(i=1,2⋯,n),则∑i=1naibi≥(∑ai)2∑aibi.第二篇：利用柯西不等式证明不等式[范文模版]最值1.求函数y=x2+4x,(x∈R+)的最小值。

２００５年第４４卷第１期数学通报３７分式型哥西不等式——证明分式不等式的一个利器徐彦明（山东临沂师范学院数学系２７６００１）读了《数学通报＞＞２００４年第２期《构造向量证三元分式不等式》一文Ｈｊ，笔者很叹服作者那种高超的“构造”技巧，作为工具的向量不等式ｌａ１２Ｉｂ１２≥（ａ·ｂ）２（１）简洁而深刻，它是欧几里得空间中的哥西——施瓦兹不等式．在用它证明分式不等式时，关键就是如何恰当地构造出向量ａ和参，这种构造是需要技巧的，文［１］举出的５个例子就体现了这种技巧，但是，技巧越高，难度也就越大，从这一个角度来说，构造向量证明分式不等式好象又不是一种最优的方案．那么，有没有比构造向量证明分式不等式更好的方案呢？当然有的．我们知道，向量不等式（１）在欧几里得空间彤中的表现形式是（口；＋ｔ／，；＋…＋０２。

）（ｂ；＋ｂ；＋…＋６２）≥（ｏｌｂ１＋０，２ｂ２＋…＋ａ．ｂ。

）２（２）这也就是通常所说的哥西不等式，其中啦和ｂｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）都是实数．由这个不等式（２）很容易推出，当缸是实数而Ｙｉ是正实数（ｉ＝１，２，…，ｎ）时，有（誓＋誓＋…＋手）（，，１＋ｙ２＋…＋ｈ）≥（菇１），１，，２ｈ一…’＋省２＋…＋菇。

）２（３）事实上，只需将Ｙｉ改写为（＾）２，就可以看出不等式（３）和（２）的关系，或者干脆地说，在不等式（２）中令口ｉ＝睾，ｂｉ＝＾（ｉ＝１，２…，ｎ）就导出不等√Ｙｉ式（３）了．需用线将它们连成一个网络（即使人可以从任一点出发沿此网络中之线走到任何别的点），问此网络应按什么方式连接这四点方使所用线的总长为最小．（１９９５年高考备选题）解首先，符合要求的网络一定是由直线段连成的．我们按照结点（从该点走出的线不止两条时的点）数多少对网络进行分类．取正方形的边长为ａ．（１）当网络中无结点时，网络相当于正方形的三边，总长为３０．（２）当网络中取一个结点时，由三角形两边之和大于第三边原理知，以正方形两条对角线组成的网络最优，其总长是２√２０．（３）当网络中有且仅有２个结点时，情形稍微复杂．我们采用局部调整法．图５（ａ）是网络一般情形，当保持ＡＭ＋ＢＭ不变时膨将在一个以Ａ、曰为焦点的椭圆上移动，同样保持ＣＮ＋ＤＮ不变Ⅳ也将在一个以Ｃ、Ｄ为焦点的椭圆上移动．所以当Ｍ、Ⅳ调整到使ＡＭ＝ＢＭ，ＣＮ＝ＤＮ时，即图５（ｂ）所示网络时，线的总长度较少（此时肘、Ⅳ两点最近）．再运用费尔马点性质，当将肘、Ⅳ调整到分别是ＡＡＯＢ、△ＣＯＤ的费尔马点处时，网络总长度最短，如图５（ｃ）．此时，么ＡＭＢ＝么ＢＭＮ＝么ＭＮＣ＝么ＣＮＤ＝１２００．网络总长为（１＋√３）口．（４）当网络中有３个或３个以上结点时，必存在某条直线段是多余的，如图５（ｄ）中的朋．故肯定不是长度最短的．综上所述，以图５（ｃ）的形式连接四点时，所用线的总长度为最短．当然，由于正方形的对称性，还存在另一种方式的连接图５（ｅ），但本质上与图５（ｃ）一致．ＢＣ圈５０丑Ｃ圈５ｄＢＣ图５ｅ～圆一圜澍～圜　万方数据３８数学通报２００５年第４４卷第１期不等式（３）通常被改写为以下形式：ｘ：菇；菇２ｎ万＋瓦＋…＋一Ｙｎ≥堕Ｌ±兰±二上丛（４）ｙｌ＋ｙ２＋…＋％其中戈ｆ是任意实数，Ｙｉ是任意正实数（ｉ＝１，２，…，ｎ），当且仅当兰：兰：…：一Ｘｎ时，其中的等号成Ｙ１Ｙ２ｙｎ立．这个分式型不等式（４）被称为分式型哥西不等式．笔者认为，它是证明一类分式不等式的利器．以下借用文…中的例子来说明这个不等式在证明分式不等式中的应用．例１设ｏ，ｂ，Ｃ∈Ｒ＋，则ａｂｃ１１１萨＋７＋孑≥一ａ＋ｉ＋ｉ’证由不等式（４），有。

柯西不等式及应用武胜中学高2009级培优讲座- 2 - 柯西不等式及应用武胜中学周迎新柯西不等式：设a1,a2,…a n,b1,b2…b n均是实数，则有（a1b1+a2b2+…+a n b n）2≤（a12+a22+…a n2）（b12+b22+…b n2）等号当且仅当a i=λb i(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。

注：二维柯西不等式：（一）、柯西不等式的证明柯西不等式有多种证明方法，你能怎么吗？证法一：判别式法：令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+（a n x+b n）2=(a12+a22+…+a n2)x2+2(a1b1+a2b2+…+a n b n)x+(b12+b22+…+b n2)∵ f(x)≥0 ∴△≤0 即（a1b1+a2b2+…+a n b n）2≤(a12+a22+…+a n2)(b12＋b22+…+b n2) 等号仅当 a i=λb i时取到。

证法二：武胜中学高2009级培优讲座- 3 -（二）、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。

1．证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。

如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，（1）巧拆常数：武胜中学高2009级培优讲座- 4 -例1：设a、b、c为正数且各不相等。

求证：cbaaccbba????????9222分析∵a、b、c均为正∴为证结论正确只需证：9]111)[(2????????accbbacba而)()()()(2accbbadba????????又2)111(9???（2）重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，a+b=1，??Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax???分析：不等号左边为两个二项式积，，每个两项式可以使柯西????RxxRba21,,,不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。

证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。

2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。