双曲线与直线位置关系

直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。

设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。

【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。

直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。

做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。

首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。

它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。

其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。

双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。

那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。

从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。

从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。

再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。

最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。

当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。

所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。

总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。

直线与双曲线的位置关系株洲市四中高二数学组 罗叶青一、复习引入直线与椭圆的位置关系:相离,相切,相交.判定方法:运用数形结合和方程的思想,通过△判断位置关系二、直线与双曲线的位置关系问1:直线与双曲线有怎样的位置关系?(生答三种: 相离,相切,相交)问2:如何判定各种关系?(生答:联立方程组,得到关于x 的一元二次方程.根据△判断解的个数.)问3:联立以后是否一定得到关于x 的一元二次方程呢?例1 :判定直线和双曲线的位置关系(1)(2)多媒体演示小结1: 判定位置关系的方法是代数法,即联立方程组,消元,得到关于 x 的方程, ①当直线与渐近线平行时,即此时二次项系数为0,直线与双曲线相交于一点;②不平行时,二次项系数不为0,得到一元二次方程,判断实数解的个数:例2 已知直线 和双曲线 , 当k 为何值时,直线和双曲线只有一个交点?(多媒体演示)变题:将直线方程改为kx y =, ,结论如何?(多媒体演示) 小结2与双曲线有一个公共点的直线条数 :①过中心的直线系中不存在;②过渐近线上某点(原点除外)的直线系中有2条;1:,)0(:2222=-+±=by a x c m m x a b y l ＞14:,3:22=-+=y x c x y l 14:,121:22=-+=y x c x y l )2(2:-=-x k y l 4:22=-y x c )2(-=x k y③过双曲线上某点的直线系中有3条. 练习 求经过点( ),且与双曲线 仅有一个公共点的直线方程.备用例3：过双曲线1422=-y x 的右焦点作倾斜角为︒30的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|课堂小结:本节课主要研究了直线和双曲线的位置关系.主要解决位置关系的判定和定点直线系的交点问题, 都可以用代数法解决.它的一般步骤如下:课堂练习:1.判断直线和双曲线的位置关系(1) (2)2.当k 为何值时,直线和双曲线, ①没有交点 ②交于一点 ③交于两点作业:学案P39页5，6，72,2114:22=-y x c 1169:,3:22=-=y x c x l 1169:,134:22=-+=y x c x y l 2:+=kx y l ()04:22＞x y x c =-。

直线和双曲线的位置关系一、知识点直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.二、例题已知直线y=kx-1与双曲线x 2－y 2＝4，① 若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.② 若直线与双曲线右支有两个公共点，求k 的取值范围.③ 若直线与双曲线左支有两个公共点，求k 的取值范围.④ 若直线与双曲线左、右各一个公共点，求k 的取值范围.三、习题1．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3． 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153B.⎝⎛⎭⎫0，153C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－14.过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

5.直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？。

y -热身练习x2y21．与双曲线16 4第十七讲 直线与双曲线= 1有公共焦点，且过点(3 2,2) 的双曲线方程为 ．2．与双曲线 x 9- y 216 = 1有共同的渐近线，且过点 P (-3,2 3) 的双曲线方程为．x 2 23．设 P 为双曲线 - 16 9= 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若 PF 2 = 9 ，则 PF 1 =．4．已知 P 为双曲线 x 4 为．-y 2 = 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若∠F 1 PF 2 = 60，则 ∆F 1PF 2 的面积5．判断方程(k - 3)x 2+ (9 - k ) y 2= (k - 3)(9 - k ) 所表示的曲线，如果有焦点，求出焦点坐标．知识梳理2 2例题解析一、直线与双曲线的位置关系⎧ y = kx + m ⎪ 一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组⎨ x 2 - y 2 =的解的个数进行判断.⎪⎩ a 2 b 21 将直线方程代入双曲线方程中得(b 2 - a 2k 2)x 2 - 2a 2mkx - a 2m 2 - a 2b 2= 0 .当b 2- a 2k 2= 0 ，即 k = ± b时，若 m ≠ 0 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线交于一a点.若 m = 0，直线即为双曲线的渐近线，与双曲线无交点.当b 2- a 2k 2≠ 0 ，即 k ≠ ± b时，a∆ = (-2a 2mk )2- 4 (b 2 - a 2k 2 )(-a 2m 2 - a 2b 2 )；∆ > 0 ⇔ 直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； ∆ = 0 ⇔ 直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； ∆ < 0 ⇔ 直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.【例 1】（1）过点 P ( 7, 5) 与双曲线的方程。

x 2 - y 2 =7 251有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们 （2）直线 y = kx +1与双曲线3x 2- y 2= 1相交于 A 、B 两点，当 k 为何值时， A 、B 在双曲线的同一支上？当 k 为何值时， A 、B 分别在双曲线的两支上？【例 2】已知双曲线方程为 x 2 - y 4= 1，过 P （1， 0）的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有（）A ．4 条B ．3 条C ．2 条D ．1 条2-= 2【例 3】若双曲线 x 2－y 2＝1 的右支上一点 P （a ，b ）到直线 y =x 的距离为 A.－1 B.1 C.±1 D.±2，则 a +b 的值为22 2【例 4】已知直线 y = kx - 2 与双曲线 x 2 - y 2= 1只有一个交点，则 k 的取值范围是2 【例 5】过点 P ( 7, 5) 与双曲线 x y 1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方725程.【巩固训练】1．已知直线 y = kx -1与双曲线 x 2- y 2= 4 .（1）若直线与双曲线没有公共点，求 k 的取值范围； （2）若直线与双曲线有两个公共点，求 k 的取值范围； （3）若直线与双曲线只有一个公共点，求 k 的取值范围.2y 2 2.如果直线 y = k (x -1) 与双曲线 x 2 - y 2= 4 没有交点，则 k 的取值范围是3．已知双曲线 x 9 2- = 1的一个焦点到它的一条渐近线的距离为5，则 m =m4．若直线 y ＝kx ＋2 与双曲线 x 2－y 2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是5．直线 y = ax + 1与双曲线3x 2- y 2=1交于 A 、 B 两点. ①当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？ ②当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？二、交点及弦长直 线 l : y = kx + m (k ≠ 0)与 双 曲 线x- y 2= 1(a > 0, b > 0 ) a 2b2相 交 于 两 个 不 同 的 点A (x 1, y 1 )，B (x 2 , y 2 )，则线段 AB 叫做双曲线的弦，AB == x - x 1 22y或 AB == y - y . 1 2【例 6】斜率为2 的直线l 与双曲线 x2 - = 1交于 A , B 两点，且 AB = 4 ，求直线l 的方程.3 2【例7】已知双曲线 x 2－ y 3＝1，过 P （2，1）点作一直线交双曲线于 A 、B 两点，并使 P 为 AB 的 中点，则直线 AB 的斜率为【例8】过双曲线 x 2- y 3= 1的左焦点 F ，作倾斜角为π的弦 AB ，求⑴ AB ；⑵ ∆F AB 的周长1 6 2（ F 2 为双曲线的右焦点）。