人教版七年级上册数学期中考试考前微专题集训三角形的高、中线与角平分线知识储备:1.三角形的三条重要线段:(1)作三角形的高时,一定要明确作的是三角形哪条边上的高.(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形.(3)三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线.2.三角形的稳定性:这是三角形所独有的性质,其他多边形不具有此性质.一.选择题.1.在实际生活中,我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性,下列实物图中利用了稳定性的是( )2.下列图形中AD是三角形ABC的高线的是( )3.如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是( )A.AB=2BFB.∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE4.如图,AD⊥BC,GC⊥BD,CF⊥AB,垂足分别是点D,点C,点F,下列说法中,错误的是( )A.在△ABC中,AD是边BC上的高B.在△ABC中,GC是边BC上的高C.在△GBC中,GC是边BC上的高D.在△GBC中,CF是边BG上的高5.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有的性质是( )A.边BB′上的中线B.边BB′上的高C.∠BAB′的平分线D.以上三种性质都具备6.若线段AP,AQ分别是△ABC边上的高线和中线,则( )A.AP>AQB.AP≥AQC.AP<AQD.AP≤AQ二.填空题.1.如图,在△ABC中,AD,BE分别是高和中线,BC=8 cm,AD=4 cm,则△BCE的面积为.2.在△ABC中,AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,则AC= ,AB= .3.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,若DE=3 cm,则EC= cm.4. 如图所示,在△ABC中,D,E分别为边BC,AD的中点,且S△ABC=4,则S阴影为 .5. 如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,且△ABD的周长为11,则△BCD的周长是 .三.解答题.1.在△ABC中,AD是中线,且AB=10 cm,AC=4 cm,求△ABD与△ACD的周长的差.2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,BC=12,AC=8,AD=6,则BE的长为多少?3.(1)工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶的钢架、输电线的支架等,这里运用的三角形的性质是________.(2)下列图形具有稳定性的有________个:正方形、长方形、直角三角形、平行四边形.(3)已知四边形的四边长分别为2,3,4,5,这个四边形的四个内角的大小能否确定?(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,工人准备再钉上两根木条,如图的两种钉法中正确的是:________.(5)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少需要加1根木条固定,要使五边形木架不变形,至少需要加2根木条固定,要使六边形木架不变形,至少需要加3根木条固定,…,如果要使一个n边形木架不变形,至少需要加________根木条固定.。
中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积；1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长．4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】DC A例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD第 1 题图 A B FD EC【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）目录一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究题型1: 三角形中线问题（向量化法） 题型2：三角形中线问题（角互补法） 题型3：三角形角平分线（比例法） 题型4：三角形角平分线（等面积法） 题型5：三角形角平分线（边长比与面积比关系）题型6：三角形角平分线（角互补法）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析一、三角形中线问题 方法1、向量化如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+ (此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷） 方法2、角互补ADC ADB π∠+∠=⇒cos cos 0ADC ADB ∠+∠=二、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 方法1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 方法2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 方法3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=方法4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=·全国·高三专题练习）锐角ABC 中，角CD 长的取值范围．c a =+又()12CD CA CB =+， 则()222211()244CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅()()2211224221442a b ab ab ab ++=+=+， 由正弦定理可得22sin sin sin a b cA B C===，所以a =所以(253CD ∈，2．（2023两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角(1)求角A ；(2)若2b =，，求ABC 的BC 【答案】(1)7 (1)cos 2cos(A =(0,A π∈若选②：由正弦定理，得A ，C ∈(2)解：AD 是ABC 的BC ∴1()2AD AB AC =+，∴222211()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+()222AB AB AC AC +⋅+ 秋·云南昆明·高一统考期中）在ABC 中，内角已知ABC 的面积； BC 上的中线为. 【答案】(1)4A π=222a c b +-和ACD 中，分别由余弦定理可得212b AD+-，212AD AD+--8=bc ，即AD 秋·江苏镇江·高一校考期中）在ABC 中，内角(1)求角A；，求ABC的面积2sin sin CB，在ABC在ABC 中，sin 2cos B =-因为0C <<选择条件③在ABC 中，3cos2C =因为0C <<23C π=；(1)求BAM ∠的正弦值； 在ABM 中，由余弦定理，得ACM △中，由余弦定理，得BMA 与CMA ∠在ABM 中，由余弦定理，得因为BAM ∠解法2、由题意可得，cos 45AB AC AB AC ⋅=⨯⨯AM 为边上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =，边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的11sin 22BAM AB AC BAC =⨯⨯∠126452⨯⨯⨯︒， ． 、在ABN 中，由余弦定理，得，分别为边BC ，为ABC 重心，2103=，在ABP 中，由余弦定理，得22PB AB PA PB -=⋅又由MPN ∠131050APB =解法2：因为BN 为边上的中线，所以12BN AN A BA B AC =+=-+， ()22111111322244AM BN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+= ⎪⎝⎭， 2222111024BN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-+=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即10BN =．所以131310cos 50510AM BN MPN AM BN⋅∠===⨯．3．（2022·四川达州·一模）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积边上的中线长为3. 求ABC 外接圆面积的最小值. 【答案】(1)a =π. 【详解】（1）ABC 的面积sin 0A >，因此cos bc是ABC的中线，有1()2AD AB AC=+，因此22242AD AB AB AC AC=+⋅+，即有22，解得22，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，即2a=.）设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得）知22241cos2Abc b c=≥=+，当且仅当π<，于是得11sin3A≥所以ABC外接圆面积最小值为．（2022·四川宜宾统考模拟预测）ABC的内角sinsinC bcA-=2a c=，求ABC的周长；AC边的中点为D，求中线的最大值.3sinsinc CcA-=故ABC的周长a b c b++=+2）∵2BD BC BA=+，()22222222422BD BC BABC BA BC BA a c b =+++⋅+=+-=设ABC 中角(1)求b 边的长度； ，求ABC 的面积；1sin +4b B b 为中点，所以()12AD AB AC =+，设,AB AC 的夹角为2211=++2=22AD AB AC AB AC c ∴⋅又()()2211+=+=+=22c AB AD AB AB AC AB AB AC ⋅⋅⋅21+4cos =cos ==417+8cos AB AD BAD AB AD⋅θθ∠，即128cos 8cos 116cos 90θθ，所以1cos =8θ或cos =θ1+4cos >0θ，所以1cos =8θ，易得ABC ∴的面积为137×41sin =24θ⨯⨯．（2022秋·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末）已知分别为ABC 三个内角A (1)求A ；(2)若AD 为，求ABC 的面积在ABC 中，sin cos A C 3sin sin A ，又在ABC 中，3sin cos A =，即sin ⎛⎝()0,A π∈66ππ=即A 2在ABC 中，2在ABC中()12AD AB AC=+，()()222211244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅()22214964x x x=++得21x=即1x=，2b=，3c=133sin22ABCS bc A==(1)求证：2AB AC=；60）证明：因为ABD中，由正弦定理可得：180，故sin180，故cos 3，cos 3=，0180BAC <∠<，故60BAC ∠.题型4：三角形角平分线（等面积法）典型例题春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知ABC 的内角，ABC 的面积为c 的值. 2c ab -=， 1π1πsin sin 2626ACD BCDABCSSCA CD CB CD S +=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，秋·河北衡水·高一校考阶段练习）记ABC 的内角0B =． 的角平分线交在ABC 中，由正弦定理得：0πC <<，解得所以2π3C =(2)依题意，a +是ABC 的角平分线，则+=ACDBCDABCSSS，2πsin 3，整理得ab =，解得ab CD a b ==+：三角形角平分线（边长比与面积比关系）典型例题秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知ABC 中，角的角平分线．ABCABDS S△△sin C∠ABC ABD S S =△△由正弦定理可得BDC ∠+即sin sin C A =（2）BCD ABD S S =△△设2AB =BDC ∠+22923b b b b +-⋅cos ABC ∴∠例题2．（(1)求cos C 及线段BC 的长；ABCS =sin AC∠12ADCABCS S =，3158ABC S =△. 6：三角形角平分线（角互补法）同类题型演练ABC 中，已知545cos 7AB AC B，，. AD 的长．在ABC 中，由余弦定理整理得27BC 解得7BC =97BC由于0BC >，所以7BC =因为(0,B π∈，所以sin 0B >2261cos 7B Bsin sin AC BCB A=267sin 26755BC B A ACABCABDACDSSS=+及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x 整理得20sin 240cos9sin9x在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC AAB AC2cos 22cos 1A 得cos θ=8109ADx2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）在ABC 中，内角，且cos 2C ＝sin 2A +cos 2B +sin A sin C 求角B 的大小；23=，角B BD ＝1，求ABC 的周长．160sin 602a BD +⋅⋅，+c ， 2222故ABC 的周长为．（2022·吉林统考模拟预测）在ABC 中，内角sin sin B b =求角A 的大小；若3AB =，的内角平分线交ABCABDADCS SS=+，1sin sin 2BAC AB AD BAD ∠=⋅⋅∠π1πsin 3sin 326AD =⨯⨯⨯+在ABC 中，由余弦定理：22AC AB +-．中，由正弦定理，中，由正弦定理，ABC 中，由余弦定理：1DC AC ()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，2222131934416168AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭193127913116168216⨯+⨯+⨯⨯⨯= 334AD =． ．（2022秋·全国·高三开学考试）已知在平面四边形ABCD 中，，求BDC 的面积，求CD 长BDC S=解：设CD =高三专题练习）已知ABC 的内角，ACD ABC S S=△△377，CD ACDABC S =2BD =由角平分线性质得1ABCS=12ACDS=⨯解得CD6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，2AB AC=，BAC∠的角平分线交BC于ABDADCSS的值；1,=AC【答案】（1）2【详解】解：（=ABDADCSSAB==ABDADCSS在ACD 中，224+=AD AD ．（2022·北京海淀校考模拟预测）已知ABC 的内角3sin 6B π⎛+ ⎝30c +=;条件这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题由题意知3sin B ⎛ ⎝06π⎫=⎪⎭, (0,B π∈故23B π=在ABC 中,由余弦定理可得22c ac +-22a c b +-对于条件①:与上式结合可得）在ABC 中,由正弦定理可得sin b B, 72sin 3π=, 33,cos 41=）BD 是∠ABD CBD =∠ABDBCD SAD S CD ==7AC =,AD ∴在ABD △2BD AB =35258⎛=+ ⎝故158BD =OM ON =⋅．1sin 2OM ⎛= ⎝⎭，(2,2ON =()2sin 223sin f x OM ON =⋅=+1sin 23cos 23sin 22x x x ⎛-+- ⎝222πππ==∵AD 为∠BAC 的角平分线，2AB AC =，ABC S=(3513ACD ABC S S ==．（2022·四川·校联考模拟预测）在(sin sin a A b B c =++ABC ABD ACD S S S =+，得()24bc b c bc =+≥，得值为43．ABC 中，ABC ABD ACD S S S =+，1sin 302b AD ⋅⋅︒， ()bc +，所以3b =，c =统考一模）在ABC 中，内角，3BA AC ⋅=，是ABC 的中线，求23π coscos()sin 22B C A A +==sin 0B ≠sin 2A ∴=，(0,πA ∈得cos2A =， 23A π∴=）3BA AC ⋅=,cos()3A π-=,得由余弦定理得：2b c +1()2AD AB AC =+， 2211()(44AD AB AC ∴=+=所以72AD =， AD 的长为72. ．（2022·河南开封·校联考模拟预测）在sin 2B C +=2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+,22cos b bc A +，∴2216b c bc +=-,，即163≤bc , 当且仅当433b c ==时取等号2216A b c bc bc =+-=-，解：在ABC 中，因为由正弦定理sin a A ,3,=m b m 24922+=⨯m C C π<<，所以在ACD 中，所以AD =选择条件②角，但由于三边未知，故三角形不唯一，不满足条件选择条件③因为ABC 的面积为1sin 2ab C 6ab =.1）知:a b 2,3,a b ==在ACD 中，所以AD =．（2022·湖北省直辖县级单位23AC =，(1)MPN ∠的余弦值．在ABC 中，由余弦定理可知：(222BC =+2BC = , AB BC =ABC ∴是等腰三角形，故120在ABM 中，由余弦定理可知：2cos AM ABC =∠在ABM 中，由正弦定理可知：sin AB AMB =∠因为AMB ∠27121cos 60)cos cos 60sin sin 60727MPN AMB AMB ∠==∠-∠=⨯-是ABC 的重心，所以23BP BN =21,3BN BP =∴= ,故112331133sin 601,sin 6012223262222BPMBCMSBP BM S BN BC =⋅⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯⨯=所以四边形PMCN 的面积为333263BNCBMPS S-=-=统考模拟预测）向量12sin ,m x ⎛⎫= ⎪⎝，63cos 2n ⎛⎫= ⎝()2m m n =⋅+. 求函数()f x 的对称中心；若函数1()()4g x f x =+上有5个零点，求的取值范围；在ABC 中，内角A ，)C 恰好为函数(f x 【答案】(1)π12⎛ ⎝25π31π,1212⎫⎪⎭4932sin m ⎛= ⎝，6cos 2n ⎛= ⎝2sin 2m n ⎛=+ ⎝()252sin 2sin 242()f x m m x n x ⎛=+-= ⎝=⋅+在ACD 中，由BCD △中，由78sin c A =在ABC 中，则可得712a =743a b +=4937123+(1)求证：::AD AB CD CB =；ABCABDCBDS SS=+，即cos θ，因为02θπ<<，则ABCS =统考三模）已知(2c ++是ABC 的角平分线，且，求ABC 的面积中，由正弦定理及sin C 得：是ABC 的角平分线，ABCABDCADSSS=+可得1因为3b =，2AD =，即有11sin 3622ABCSbc A ==⨯⨯．（2022·浙江绍兴·浙江省春晖中学校考模拟预测）在ABC 中，60，ABC 的面积等于，BAC ∠的角平分线___________. 【答案】217 【详解】解：2BC =，ABC 的面积等于132AB =⋅24AB AC ⋅=由余弦定理2cos BC AB AC A =⋅⋅(AB AC AB AC AB -⋅⋅=10AC +=（由于AB AC >AM 为∠所以=+ABCABMACMSSS，即ABCS=即111163642222AM AM =⨯⋅⨯+⨯⋅，解得故答案为：21；123．。
