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电动力学知到章节测试答案智慧树2023年最新华南师范大学绪论单元测试1.由于静电场场强是电标势的负梯度，所以静电场一定是( )。
参考答案:无旋有源场；2.由于磁感应强度是磁矢势的旋度，所以磁场一定是( )。
参考答案:无源有旋场；3.由Stokes定理可知：( )。
参考答案:4.标量的梯度用于确定( )。
参考答案:场的方向；;场的大小；5.矢量的散度用于确定( )。
参考答案:场的有源性；;场的有旋性；;场的源或者汇；6.矢量的旋度用于确定( )。
参考答案:场的有旋性；;场线是否封闭；7.参考答案:错8.参考答案:错第一章测试1.库仑定律表明电荷间作用力与其距离( )关系。
参考答案:成反平方；2.真空中的静电场高斯定理表明：穿过封闭曲面的电通量与该曲面内的净余电量( )。
参考答案:成正比；3.法拉第电磁感应定律表明：感应电场是由( )产生的。
参考答案:变化的磁场。
4.在电介质的某点处，与自由电荷体密度成正比的是( )的散度。
参考答案:电位移矢量；5.在磁介质的某点处，与自由电流面密度成正比的是( )的旋度。
参考答案:磁场强度矢量；6.法拉第电磁感应定律表明：感应电场是有源无旋场。
( )参考答案:错7.位移电流是由变化的电场产生的。
( )参考答案:对8.在电动力学中，库仑力不属于洛伦兹力。
( )参考答案:错9.在非线性介质中，电场强度矢量、电位移矢量、极化强度矢量三者不仅方向平行，而且大小成比例。
( )参考答案:错10.在非线性介质中，磁场强度矢量、磁感应强度矢量、磁化强度矢量三者不仅方向平行，而且大小成比例。
( )参考答案:错11.真空中的静电场高斯定理表明：穿过某封闭曲面的电通量只与该曲面内的净余电量有关，与该曲面外的电荷无关。
( )参考答案:对12.在静电场高斯定理的积分式中，封闭曲面是不能任意选取的。
( )参考答案:错13.真空中的静电场高斯定理表明：某点的电场强度的散度只与该点处的电荷有关，与其它地方的电荷无关。
静电场练习题及答案解析练习1一、选择题1. 一带电体可作为点电荷处理的条件是( )A. 电荷必须呈球形分布；B. 带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计；C. 电量很小；D. 带电体的线度很小。
2. 试验点和q0在电场中受力为F⃗，其电场强度的大小为F，以下说法正确的( )q0A. 电场强度的大小E是由产生电场的电荷所决定的，不以试验电荷q0及其受力的大小决定；B. 电场强度的大小E正比于F且反比与q0；C. 电场强度的大小E反比与q0；D. 电场强度的大小E正比于F。
3. 如果通过闭合面S的电通量Φe为零，则可以肯定( )A. 面S内没有电荷；B. 面S内没有净电荷；C. 面S上每一点的场强都等于零；D. 面S上每一点的场强都不等于零。
4. 如图所示为一具有球对称性分布的静电场的E~r关系曲线，产生该静电场的带电体是( ) A 半径为R的均匀带电球面；B半径为R的均匀带电球体；C半径为R的、电荷体密度为ρ=Ar（A为常数）的非均匀带电球体；D半径为R的、电荷体密度为ρ=A r⁄（A为常数）的非均匀带电球体。
5. 在匀强电场中，将一负电荷从A移动B，如图所示，则( )A. 电场力做负功，负电荷的电荷能增加；B. 电场力做负功，负电荷的电势能减少；C. 电场力做正功，负电荷的电势能增加；D. 电场力做正功，负电荷的电势能减少。
二、填空题1. 点电荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如图所示，图中S为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电通量∮E⃗⃗∙dS⃗=，式中E⃗⃗是点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和。
2. 真空环境中正电荷q均匀地分布在半径为R的细圆环上.在环环心O处电场强度为，环心的电势为。
=0，这表3. 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零，即∮E⃗⃗∙dl⃗L明静电场中的电场线。
4. 一半径为R的均匀带电球面，其电荷面密度为σ，该球面内、外的场强分布为（r⃗表示从球心引出的矢径）：E⃗⃗r=(r<R)；E⃗⃗r=(r>R)。
第八章 静电场8.1 真空中有两个点电荷M 、N ，相互间作用力为F，当另一点电荷Q 移近这两个点电荷时，M 、N两点电荷之间的作用力 (A) 大小不变，方向改变． (B) 大小改变，方向不变．(C) 大小和方向都不变． (D) 大小和方向都改． ［ C ］8.2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：(A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零．［ D ］8.3有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点a /2处，有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为(A)03εq ． (B) 04επq (C) 03επq ． (D) 06εq［ D ］q8.4面积为S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q ，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为(A)Sq 02ε． (B) S q 022ε．(C) 2022S q ε． (D) 202Sq ε． ［ B ］8.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A 点经C 点运动到B 点，其运动轨迹如图所示．已知质点运动的速率是递增的，下面关于C 点场强方向的四个图示中正确的是：［ D ］8.6如图所示，直线MN 长为2l ，弧OCD 是以N 点为中心，l 为半径的半圆弧，N 点有正电荷＋q ，M 点有负电荷-q ．今将一试验电荷＋q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功(A) A ＜0 , 且为有限常量． (B) A ＞0 ,且为有限常量．(C) A ＝∞． (D) A ＝0． ［ D ］-8.7静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q 0置于该点时具有的电势能． (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［ C ］8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？(A) 电场强度E M ＜E N ． (B) 电势U M ＜U N ．(C) 电势能W M ＜W N ． (D) 电场力的功A ＞0．［ C ］A8.9 电荷为＋q 和－2q 的两个点电荷分别置于x ＝1 m 和x ＝－1 m 处．一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：设试验电荷置于x 处所受合力为零，即该点场强为零．()()0142142020=+π-+-πx qx q εε 2分 得 x 2－6x +1=0, ()223±=x m因23-=x 点处于q 、－2q 两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得()223+=x m3分8.10 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．L解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L x q -+π=ε 2分d EO总场强为 ⎰+π=Lx d L x L q E 020)(d 4－ε()d L d q+π=04ε 3分 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．8.11 一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π。
第五章 静电场一、简答题1、为什么在无电荷的空间里电场线不能相交?答案：由实验和理论知道，静电场中任一给定点上，场强是唯一确定的，即其大小和方向都是确定的．用电场线形象描述静电场的空间分布时，电场线上任一点的切线方向表示该点的场强方向．如果在无电荷的空间里某一点上有几条电场线相交的话，则过此交点对应于每一条电场线都可作出一条切线，这意味着交点处的场强有好几个方向，这与静电场中任一给定点场强具有唯一确定方向相矛盾，故无电荷的空间里电场线不能相交．2、简述静电场中高斯定理的文字内容和数学表达式。
答案：在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的所有电荷电量的代数和的01ε倍。
0ε∑⎰=⋅内S Sq S d E3、写出静电场的环路定理，并分别说明其物理意义。
答案：静电场中，电场强度的环流总是等于零(或0l=⋅⎰l d E )，静电场是保守场。
4、感生电场与静电场有哪些区别和联系?二、选择题1、如图所示，两个同心均匀带电球面，内球面半径为1R 、带有电荷1Q ，外球面半径为2R 、带有电荷2Q ，则在外球面外面、距离球心为r 处的P 点的场强大小E 为 ( A ) A.20214r Q Q επ+ B.()()2202210144R r Q R r Q -π+-πεε C.()2120214R R Q Q -+επ D.2024r Q επ 2、半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：( B )3、图示一均匀带电球体，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 、2r 的金属球壳．设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： ( D )A.204r QE επ=，r Q U 04επ= B.0=E ，104r Q U επ= C. 0=E ，r Q U 04επ=D.0=E ，204r Q U επ= 4、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势(位)面，由图可看出：( D )A.C B A E E E >>，C B A U U U >>B.C B A E E E <<，C B A U U U <<C.C B A E E E >>，C B A U U U <<D.C B A E E E <<，C B A U U U >>5、面积为S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量q ±，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为 ( B )A.S q 02εB.S q 022εC.2022S q εD.202Sq ε 6、一均匀带电球面在球面内各处产生的场强 ( A )A.处处为零B.不一定为零C.一定不为零D.是常数7、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和0=∑i q ，则可肯定：( C )A.高斯面上各点场强均为零B.穿过高斯面上每一面元的电通量均为零C.穿过整个高斯面的电通量为零D.以上说法都不对8、下列说法中正确的是 ( D )A.电场强度为0的点，电势也一定为0.B.电场强度不为0的点，电势也一定不为0.C.电势为0的点，则电场强度也一定为0.D.电势在某一区域为常数，则电场强度在该区域也必定为0.9、如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于正立方体的中心上，则通过其中一侧面的电场强度通量等于 ( B )：A.04εqB.06εqC.06πεqD.04πεq 三、计算题1、两无限长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R (21R R < )，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和λ-，求：(1) 1R r <；(2)21R r R <<；(3)r R <2处各点的场强。
第9章 静电场9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T ，重力mg 以及库仑力F 的作用，则有mg T =θcos 和F T =θsin ,∴θmgtg F =,由于θ很小，故lxmgmg mg x q F 2sin tg 41220=≈==θθπε ∴3/1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛mg l q πε9-2 设q 1,q 2在C 点的场强分别为1E 和2E，则有14299m V 108.103.0108.1109--⋅⨯=⨯⨯⨯=方向沿AC 方向 方向沿CB 方向∴ C 点的合场强E的大小为： 设E 的方向与CB 的夹角为α，则有9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元l q d d λ=，它在圆心O 处的场强为201d 41d RlE λπε=，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两带电圆弧中对应电荷元在圆心O 处产生的d E 1和d E 2在x 方向分量相 互抵消。
0=∴x E ，圆心O 处场强E 的y 分量为方向沿y 轴正向。
9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d 1的P 点为坐标原点,x 轴向右为正。
设带电细棒电荷元x q d d λ=至P 点的距离x ，它在P 点的场强大小为 20d 41d x xE P λπε=方向沿x 轴正向各电荷元在P 点产生的场强方向相同，于是方向沿x 轴方向。
（2）坐标如题9-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元x q d d λ=与Q 点距离为r ，电荷元在Q 点所产生的场强20d 41d r xE λπε=，由于对称性，场d E 的x 方向分量相互抵消，所习题9-1图习题9-4图（a ）习题9-3图习题9-2图以E x =0,场强d E 的y 分量为θλπεθsin d 41sin d d 20r xE E y ==因θθθπθθd csc d d ,d 2d ,csc d 22222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-==x ctg tg x r ∴ θθπελθλπεd sin d 4sin d 41d 2020==r xE y其中 22222221)2/(d 2/c o s ,)2/(d 2/c o s L L L L +-=+=θθ代入上式得方向沿y 轴正向。
电动力学第三版答案第一章：静电学1.1 静电场静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。
静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。
电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。
在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。
电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
电势可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
1.2 电场的高斯定律电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面内的电荷有关系的定律。
它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积，\(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。
1.3 电势电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
电势可以通过以下公式计算：\[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。
1.4 静电场中的导体在静电场中，导体内部的电场强度为零。
当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。
静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度：\[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \]其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。
静电场习题答案一 选择题答案1()C 2()D 3()B 4()C 5()A 二 填空题答案 1. 原来的 1/2；2.22044R Q R S ππε∆,S ∆指向；3. 02/εσ 轴正向x ；02/3εσ轴正向x ;02/εσ 轴负向x ；4. a 0212/πελλ；5.120,/q φφφε<=三 简答题答案1答：电场强度的环流说明静电力是保守力，静电场是保守力场。
表示静电场的电场线不能闭合。
如果其电场线是闭合曲线，我们就可以将其电场线作为积分回路,积分结果不为零，这与静电场环路定理矛盾，说明静电场的电场线不可能闭合。
2答：由实验和理论知道，静电场中任一给定点上，场强是唯一确定的，即其大小和方向都是确定的．用电场线形象描述静电场的空间分布时，电场线上任一点的切线方向表示该点的场强方向．如果在无电荷的空间里某一点上有几条电场线相交的话，则过此交点对应于每一条电场线都可作出一条切线，这意味着交点处的场强有好几个方向，这与静电场中任一给定点场强具有唯一确定方向相矛盾，故无电荷的空间里电场线不能相交。
3答：在高斯定理中，对高斯面的形状没有特殊要求；在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有特殊要求， 所选高斯面应平行电场线或垂直电场线，当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强大小处处相等。
使得在计算通过此高斯面的电通量时，可以从积分号中提出来，而只需对简单的几何曲面进行积分就可以了。
4答 能定性的判断出各处电场强度的方向及大小。
静电场的场强E方向由高电势指向低电势，并与法线n的方向相反。
看等势面疏密比较电场强度的大小：等势面越密的，电场强度越大；反之，越小。
5解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S qE 0ε=看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S qE 02ε=，另一板受它的作用力S q S qq f 02022εε==，这是两板间相互作用的电场力．大题详解： 12：解：参见图。
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x zu f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d duu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
编号： 班级： 学号：姓名： 成绩：第1章 静电场1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度p ρ，总等于自由电荷体密度f ρ的 －（1－εε0）倍。
f ρ=⋅∇DE])[(E)(P 00εεεχρ-⋅-∇=⋅-∇=⋅-∇=e PfP ρεεεεερ)(D])[(001--=-⋅-∇=2. 有一内外半径分别为21和r r 的空心介质球，介质的介电常数为ε，使介质内均匀带静止自由电荷f ρ，求 （1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
解 1）由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。
电场方向沿径向 故：1r r<时0402==⎰dV r r fV ερπ)E( 或 0=)E(r21r r r <<时 球壳体内：dr r r D r ds rr f ⎰⎰⎰==⋅12244πρπ)(n D ])([)(3113r r rr D f -=ρ ])([)()(310013rr rr D r E f -==ερε 在2r r>的球形外：)()(212202023441421r r dr r r E r r rf -==⎰ρεππρεπ )()(2122203r r rr E -=ερ式中 r εεε0= 写在一起⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<<-<=)(r )()(r])([)(E 22122302131013130r r r r r r r r r r r r f ερερ2） r ])([)(E D P 310013rrf --=-=ερεεε f p ρεεερ0--=⋅-∇=P （与第一题相符） 内表面：013031101011=-=--⋅-=-⋅-===])([]E )[(n )p (p n 12r r r f rr r r p ερεεσ 外表面：2222100013022r r r rr r r p )()(E])([n )p (p n 12--=--⋅-=-⋅-===ερεεεεσ3. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折 满足：1212tan tan εεθθ= 式中1ε和2ε分别为两介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度0=f σ，故边值关系为：t t E E 12=,n n D D 12= （012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12）若两种介质都是线性均匀的，即111E D ε=，222E D ε= ； 上边两式为:1122θθsin sin E E =，111222θεθεcos cos E E = 于是得： 1212tan tan εεθθ=4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。
证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。
静电情况下：0=1E ,0=1D由边值关系：012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12 可得：t t E E 12=,f n n D D σ=-12 即，02=t E ，f n D σ=2 对于各向同性线性介质E D ε=所以，n E εσf= 即导体外的电场线垂直于导体表面1 导体2 绝缘体5. 如图1，有一厚度为a 2，电荷密度为0ρ的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。
解：以O 原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性， 电势分布仅与x 有关，即一维问题。
容易写出定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=)()(a x dx d a x dx d i i 01220022ϕρεϕa x =时 e i ϕϕ= xx ei ∂∂=∂∂ϕϕ 0=x 时 0=)(x i ϕ直接求解得202x i ερϕ-= )(a x a e --=220ερϕ图16. 内半径a ，外半径为b 的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量Q ，试用分离变量法求空间电势分布。
解.根据球对称性，空间电势分布ϕ仅与r 有关，定结问题为：⎩⎨⎧>=∇<<=∇)()(b r b r a 002212ϕϕ01==a r ϕr=b 时 21ϕϕ=Q ds rr =∂∂-∂∂⎰)(2010ϕεϕε 02=∞→r ϕ求解得)(r ab Q -=1401πεϕ )(ba rQ -=1401πεϕ7. 均匀外电场中0E ，置入半径为0R 的导体球。
求以下两种情况的电势分布。
（1）导体球上接有电池，使球保持电势为0Φ；（2）导体球上带有总电荷Q 。
解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r 有关 1）ϕ的定解问题为⎪⎩⎪⎨⎧+-=Φ=>=∇∞→=0000200ϕθϕϕϕcos )(r E R r r R r此时0ϕ是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为230000000r R E r R r E θϕθϕϕcos )(cos +-Φ+-=2）ϕ的定解问题为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∂∂Φ==∇⎰==00r 0020R R r Qds nεϕϕϕ)('待定类似解为23000004rR E r Qr E θπεθϕϕcos cos ++-=8. 介电常数为ε的无限均匀介质中，挖一个半径为a 的空球，球心处置一电矩为f p 的自由偶极子，试求空间电势分布。
解 如图建立球坐标系，f p 的方向为极轴x e 方向,ϕ的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=∇<-=∇∞→001202r e e i a r a r ϕϕρεϕ)()(r=a 时，e i ϕϕ=；rr e i ∂∂=∂∂ϕεϕε0注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，i ϕ可写为：)(cos ][cos )(θπεθϕn n n n n n f i P r B r A r p 10204+-∞=∑++=第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故B n =0 解的电势分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⋅=<<+⋅--⋅=)()(r p )()(r p )(r p a r r a r a r f e f f i 303000302430224εεπϕεεπεεεπεϕ9．半径为R 的均匀介质球中心置一自由偶极子f p ，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为1ε，球外为2ε）。
解：求解与上题类似，只需,,210εεεε→→ 得()()()03211213112424R r R r <+⋅-+⋅=εεπεεεπεϕrp r p f f ，()()03212243R r r≥+⋅=εεπϕrp f ，极化电荷分布，在介质球内f p ρεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01 因此在球心处有一极化电偶极矩f p p ⎪⎭⎫⎝⎛--=εε01， 在0R r =的界面上，由()12p p p n σ-⋅-=，()ϕεε∇-=0p 可得，()()()()302112102101012022230R p r rr r f R r R r p εεπεθεεεϕϕεϕεεϕεεσ+-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--∂∂-===cos10. 两个接地的无限大导电平面，其夹角为︒60，点电荷Q 位于这个两面角的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为α。
试用电像法求真空中的电势。
解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q 位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：（1）首先考虑半面'ON ，为了满足'ON 平面的电势为零，应在Q 关于'ON 对称的位置B 处有一像电荷-Q ,（2）考虑半面ON ，同样为了满足电势为零的要求，对于A 、B 处两个点电荷+Q 和-Q ，应在A 、B 关于ON 对称的位置C 、D 处有两个-Q 、+Q ，（3）再考虑'ON 半平面，对于C 、D 处的-Q 和+Q ，应在E 、F 处有两个像电荷+Q 和-Q 才能使导体'ON 的电势为零。
可以证明E 、F 处的两个点电荷+Q 和-Q 关于ON 平面对称，因而可满足ON 平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P 处的电势可表为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=654321041r Q r Q r Q r Q r Q r Q x πεϕ， 其中621r r r ,,,Λ分别为给定电荷Q 及其像电荷到P 点的距离。
在其余空间的电势为0=ϕ。
-Q11. 接地空心导体球，内外半径为1R 和2R ，球内离球心a 处（1R a <）置一点电荷Q ，试用电像法求空间电势分布。
导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量0Q ，则电势分布又如何？若导体球壳具有确定的电势0ϕ，电势分布如何？ 解：根据题意设球内区域电势为1ϕ，球外区域电势为2ϕ，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∇--=∇∴==00212122012R R R R z y a x Q ϕϕϕδεϕ,,， 设像电荷位置如图所示，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=''rQ r Q 0141πεϕ 其中()()122212222θθcos ,cos 'Rb b R r Ra a R r -+=-+=由边界条件011==R R ϕ()()θθcos cos 'a R a R Q b R b R Q 122121221222-+=-+()()()θcos ''a Q b Q R b R Q b R Q 221221222122-=+-+要使上式对任意θ成立，必有()()()⎩⎨⎧=-=+-+02022122122212a Q b Q R b R Q b R Q ''（*） ()0212122=++-∴R R a ab b 解得a b aR b ==2211,，（舍去） 代入（*），得Q aR Q Q a R Q 1211=-=''， Q aRQ a R b 121-==∴,,由上可知，2041R Q Q +=πεϕ'，()()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+--+=20021212212121220412241R Q Q a R R a RR aQR Ra a R Q πεθθπεϕcos ///cos 若使有确定0ϕ，且两种情况有相同解20041R Q Q +=πεϕ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+=θθπεϕcos /cos a R R a R R a QR Ra a R Q 21241212202241， 由边界条件σϕεϕε-=∂∂-∂∂nn 1122所以，外表面感应电荷面密度021=∂∂==R R Rϕεσ，内表面感应电荷面密度()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=∂∂==231221122102241θπϕεσcos a R a R R a R Q R R R ，总感应电荷Q ds Q s-==⎰2σ感应，（可见全部在内表面上）12. 四个点电荷，两个＋q ，两个－q ，分别处于边长为a 的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。
