线性代数测试题(第三章)

线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。

1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。

1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

自测题（三）参考答案与提示一、(1) ；2−n (2) 方程组的未知量个数为3，由基础解系所含向量个数与系数矩阵的秩的关系，可知1，不妨设所求方程组为()R =A 1230ax bx cx ++=，并将代入，得，故方程组的系数矩阵为． 12,ηη1,1a b c =−==(1,1,1)=−A 二、（1）（D ）；（2）（D ）．三、123412341311~014537570000−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A ⎞⎟−⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 得基础解系 ． 1234111445,1001x x x x −⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜−⎜⎟⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎝⎠四、1111011011211131~00121211231200000−−−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−−⎝⎠⎝A ⎞⎟⎟⎟⎠可见()()R R =A A ，方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩ 取，则 240x x ==1312x x ==，即得原方程组的一个特解T*(12,0,12,0)=η． 对应齐次线性方程组的基础解系 ， T 1(1,1,0,0)=ηT 2(1,0,2,1)=η原方程组的通解为 ．112212*,(k k k k R =++∈ηηηη、)五、考虑向量方程1122330k k k ααα++=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+030422032132131ak k k k k k k k 013422101=−a，即 02)3(2=−−−a ，即2=a ．六、当()R n =A 时，12,,,n αα"α0线性无关，设1122231()()()n n k k k αααααα++++++="，于是有 ，12310,0,,0n n k k k k k k −+=+=+="n 可见当为偶数时，有非零解，当n 为奇数时，n =Bx 0=Bx 0无非零解．七、由的每一列均为的解，那么矩阵中列向量组的秩必小于等于的解向量组的秩，即有R () = R (B =A x 0B =A x 0B s βββ,,,"21)()n R ≤−A所以 ()()R R n +≤A B ．八、（1）由已知，得矩阵的秩小于3，又()1223123123101(,,),,11011a a αααααααααα−⎛⎞⎜⎟−+−++=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠123,,ααα线性无关，所以矩阵10111011a −⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠⎟4一定不可逆，推出．2a =（2）方程组1223123(,,)a αααααααα−+−++=x 可化为()()1231231011,,11,,10112a αααααα−⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 因为123,,ααα线性无关，所以原方程组与方程组同解．10111110112a −⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠由此求出通解 ．111210k ⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝η九、方程组的系数行列式3[3]()a b b b ba b ba b a b b b a b bb ba==+A −b（1）当且时，方程组仅有零解．a b ≠3a ≠−（2）当时，对系数矩阵作行初等变换得原方程组的同解方程组，其基础解系为a b =A 12340x x x x +++=T 1(1,1,0,0),=−ηT 2(1,0,1,0),=−ηT 3(1,0,0,1)=−η于是方程组的通解为112233k k k =++x ηηηb 4 其中为任意常数．123,,k k k （3）当时，对系数矩阵作初等行变换，得原方程组的同解方程组为3a =−A 14234x x x x x x=⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得基础解系为 ， T(1,1,1,1)=η于是方程组的通解为，其中k 为任意常数．k =x η十、2113112112~0113(111200(1)(2)3(1)a a a a a a a a a −−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−+⎝⎠⎝A )a a ⎞⎟−⎟⎟−⎠ 于是可知当a 1且a =－2时，方程组有唯一解． ≠≠ 当a =－2时，方程组无解． 当a =1时，方程组有无穷多解．通解为x = （k 1 ，k 2为任意常数）．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛11010120021321k k x x x 十一、必要性 由及知，=AB O ≠B O =A x 0有非零解，所以0=A ．充分性 若0=A ，则=A x 0有非零解，记为．令0x ()0,,,,=≠B x O 000"，满足．=AB O 十二、因为方程组的增广矩阵A 的行向量组是的行向量组的部分组，所以C A 的行向量组可由的行向量组线性表示，于是C A 的行向量组的秩小于或等于的行向量组的秩，因此有C ()()()R R R ≤=A C A ，又的列向量组可由A A 的列向量组线性表示，有()()R R ≤A A ， 所以()()R R =A A ，故方程组有解．。

线性代数第三章练习册答案线性代数第三章综合自测题一、单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。

本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示，则（ D ）。

（A ）存在一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 （B ）对β的线性表示惟一（C ）向量组m αααβ,,,,21 线性无关（D ）存在一组数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 2. 向量组t ααα,,,21 线性无关的充分条件是（C ）（A ）t ααα,,,21 均为非零向量；（B ）t ααα,,,21 的任意两个向量的分量不成比例；（C ）t ααα,,,21 中任意部分向量组线性无关；（D ）t ααα,,,21 中有一个部分向量组线性无关。

3. 若m ααα,,,21 线性相关，且0=+++m m k k k ααα 2211，则（ D ）。

（A ）021====m k k k （B ）m k k k ,,,21 全不为零（C ）m k k k ,,,21 不全为零（D ）上述情况都有可能4. 一个n m ?阶矩阵A 的秩为m ，则下列说法正确的是（ A ）（A ）矩阵A 的行向量组一定线性无关；（B ）矩阵A 的列向量组一定线性无关；（C ）矩阵A 的行向量组一定线性相关；（D ）矩阵A 的列向量组一定线性相关。

5. 两个n 维向量组A ：s ααα,,,21 ，B ：t βββ,,,21 ，且r B R A R ==)()(，于是有（ C ）（A ）两向量组等价，也即可以相互线性表出；（B ）s R ααα,,,(21 ，r t =),,,21βββ ；（C ）当向量组A 能由B 线性表出时，两向量组等价；（D ）当t s =时，两向量组等价。

第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。

α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。

如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。

4 D.327。

设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。

α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。

第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim (2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。

解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x xx -=-。

由已知直线过点(3,8),得 00082(3)y x x -=- (1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x = (2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。

也即440x y --=或8160x y --=。

4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=--0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数： (1) y (2) y ；(3) y 322x ．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x -=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y xx xx -==15661()6y x x-''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→-===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。

线性代数测试题（第三章）一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）： 1. 向量()()12243221αβ==-，，则 2α－3β =__________。

2. 一个含有零向量的向量组必线性 。

3. 设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。

4. 设12303206A t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当t = 时，R (A ) = 2。

5. 已知A 是m × n 矩阵，齐次线性方程组AX = 0的基础解系为12,,,s ηηηL 。

如R （A ）= k ，则s =__________；当k =__________时方程只有零解。

二、单项选择题 ( 每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）:1. 设有4维向量组 α1 , …, α6，则（ ）。

A R (α1 , …, α6) = 4B R (α1 , …, α6) = 2C α1 , α2 , α3 , α4必然线性无关D α1 , …, α6中至少有2个向量能由其余向量线性表示2. 已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4322351521215133A 则R （A ）为 A 1 B 2 C 3 D 43. 设s ααα,,,21Λ为n 维向量组, 且秩12(,,,),s R r ααα=L 则( )。

A 该向量组中任意r 个向量线性无关B 该向量组中任意 1+r 个向量线性相关C 该向量组存在唯一极大无关组D 该向量组有若干个极大无关组4. 若1234,,,X X X X 是方程组AX O =的基础解系，则1234X X X X +++ 是AX O =的（ ）。

A 解向量B 基础解系C 通解D A 的行向量5. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解的充分必要条件是（） A 04321=+++a a a a B 04321=---a a a a C 03214=-+-a a a a D 04321=--+a a a a 三、计算题（每小题8分，共64分）：1. 求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113420112404321αααα，，，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。

2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则 是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。

习题三 A 组1. 设1232()3()2()αααααα-++=+，求α，其中1110α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3340α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭。

解123103423221312430103αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关。

(1)131-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，210⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，141⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（2）230⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，140-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭解（1）121121121101101314077011011011101022000000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭::::, R(A)=2，线性相关（2）210210*********00102002000002-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭::, R(A)=3，线性无关 3. a 取什么值时，下列向量组线性相关？111a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 211a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311a α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 (法一)求系数行列式3211112(1)(2)11a a a a a a a a-=-+=+-+，令其为0，得1a =-。

由此可知，当1a =-时，R(A)<3，即题给向量组线性相关。

(法二)()23121212311110110101,,111101101111111111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a ααα-+--+-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭:::向量组线性相关，所以10a +=，即1a =-4. 设123,,ααα线性无关，证明：1α，12αα+，123ααα++也线性无关. 证明：设112123123()()0,k k k αααααα+++++=即123123233()()0.k k k k k k ααα+++++=由123,,ααα线性无关，有1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===，即112123,,αααααα+++线性无关. 5.设1(1,1,1)α=，2(1,2,3)α=，3(1,3,)t α=，问： (1) t 为何值时向量组123,,ααα线性相关。

第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。

分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。

请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。

习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。

一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。

矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。

两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。

n 维向量组的线性组合也是n 维向量。

定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。

判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。

反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。

第三章练习题（二）一、填空题1. 设A 是5阶矩阵，如果齐次线性方程组0=Ax 的基础解系有2个解，则=*)(A R 。

2. 若B A,都是n 阶非零方阵，且O AB =，则)(A R n 。

3. 设),,2,1(0,0n i b a i i =≠≠，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111A ，则矩阵A 的秩=)(A R 。

4. 若齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 。

5. 如果非齐次线性方程组b Ax =有解，则它有惟一解的充要条件是其对应的齐次方程组0=Ax 。

6. 如果n 元线性方程组b Ax =有解，r R =)(A ，则当 时，有惟一解；当 时，有无穷多解。

7. 已知线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+03121232121321x x x a a无解，则=a 。

二、选择题1. 设A 是n 阶方阵，且A A =2，则必有（ ）。

（A ）A 的秩为n （B ）A 的秩为零（C ）A 的秩与A E -的秩之和为n （D ）A 的秩与A E -的秩相同2. 若n 阶矩阵A 的伴随矩阵O A ≠*，又O AA =*，则)(A R 必等于（ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）1-n （D ）n3. 设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩为1r ，则（ ）。

（A ）1r r > （B ）1r r < （C ）1r r = （D ）r 与1r 的关系依C 而定4. 如果矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++--=117404632321111032211a a a a A ，则A 的秩)(A R （ ）。

（A ）必为 （B ）必为3 （C ）可能为2，也可能为3 （D ）可能为3，也可能为45. 设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）。