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3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
函数的单调性、奇偶性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．2．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．3．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．5．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数．( )(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )4．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点二利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．考点四函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3考点五 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2]考点六 函数的单调性、奇偶性、周期性【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【训练3】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2x6. (2013·咸阳二模)若函数f (x )＝sin x(x ＋a )2是奇函数，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．47. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题8．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．9．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 11. (2014·临川二中)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________. 12. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．14. f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．能力提升题组1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在 区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3. (2013·吉安模拟)已知偶函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1C ．12D ．－123．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．。
